El solenoide y el toroideElectromagnetismo

Campo magnticoFuerza sobre unconductor rectilneoLa balanza decorrienteFuerza y momento sobre una espiraEl galvanmetroLa rueda de Barlow

Corriente rectilneaLa espiraEl solenoide y el toroideOscilaciones deun imn (I)Oscilaciones deun imn (II)Campo producido por un solenoide en un punto de su ejeEl solenoide. Ley de AmpreEl toroide

Campo producido por un solenoide en un punto de su ejeVamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje del solenoide sumando el campo producido por lasNespiras.

En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitudL, formado porNespiras iguales de radioa.En la pgina anterior, obtuvimos la expresin delcampo magntico producido por una espirade radioaen un punto P de su eje distantex.

Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma direccin y sentido, pero distinto mdulo, dependiendo de su distanciaxal punto P.El nmero de espiras que hay en el intervalo comprendido entrexyx+dxesdn=Ndx/LEstas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una espira por el nmerodnde espiras

Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variablea=xtan, y teniendo en cuenta que 1+tan2=1/cos2, simplificamos mucho la integral

Si el solenoide es muy largo comparado con su radioay si el punto P est situado en el centro, tendremos que1, y20. El campoBvale entonces

Representamos ahora, el campo B en unidades del campo en el centro del solenoide, en funcin de la posicinxdel punto P, situando el origen de coordenadas en el centro del solenoide, tal como se muestra en la figura

El campo magntico es prcticamente uniforme en el interior del solenoide, en los extremos del solenoide se reduce a la mitad del campo magntico en el centro.El solenoide. Ley de AmpreSi suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. En esta aproximacin es aplicable la ley de Ampre.

El primer miembro, es la circulacin del campo magntico a lo largo de un camino cerrado y en el segundo miembro, el trminoise refiere a la intensidad que atraviesa dicho camino cerrado.Para determinar el campo magntico, aplicando la ley de Ampre, tomamos un camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulacin es la suma de cuatro contribuciones, una por cada lado.

Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulacin:1. Como vemos en la figura, la contribucin a la circulacin del lado AB es cero ya que bienBydlson perpendiculares o bien,Bes nulo en el exterior del solenoide.2. Lo mismo ocurre en el lado CD.3. En el lado DA la contribucin es cero, ya que el campo en el exterior al solenoide es cero.4. El campo es constante y paralelo al lado BC, la contribucin a la circulacin esBx,siendoxla longitud de dicho lado.

La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fcilmente:Si hayNespiras en la longitudLdel solenoide en la longitudxhabrNx/Lespiras. Como cada espira trasporta una corriente de intensidadi, la corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD esNxi/L.La ley de Ampre se escribe para el solenoide.

Para visualizar las lneaslneas del campodel campo magntico, se emplean limaduras de hierro. Este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado por parte del experimentador.En el programa interactivo se calcula, aplicando la ley de Biot-Savart, elcampo magntico producido por cada espiraen un punto fuera del eje. Posteriormente, determina el campo magntico resultante, sumando vectorialmente el campo producido por cada espira en dicho punto. Finalmente, se trazan las lneas del campo magntico que pasan por puntos equidistantes a lo largo del dimetro del solenoide.Podemos ver el mapa de las lneas del campo magntico de: Unaespira circular Dos espiras, esta disposicin simula las denominadas bobinas de Helmholtz, utilizadas en el laboratorio para producir campos magnticos aproximadamente uniformes en la regin entre las dos bobinas. Muchas espiras iguales y equidistantes, que simula el solenoide.Se introduce El nmero de espiras N en el control de edicin tituladon de espiras La separacin entre las espiras, en el control de edicin tituladoSeparacinSe pulsa el botn tituladoDibujar

Campo magntico producido por un toroideAplicamos la ley de Ampre para determinar el campo producido por un toroide de radio medioR.Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide.1. Las lneas de campo magntico que en el solenoide son segmentos rectos se transforman en circunferencias concntricas en el solenoide. El campo magntico es tangente en cada punto a dichas circunferencias. El sentido de dicho campo viene determinado por la regla de la mano derecha.2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radior, cuyo centro est en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. El campo magnticoBes tangente a la circunferencia de radior. El campo magnticoBtiene el mismo mdulo en todos los puntos de dicha circunferencia.La circulacin (el primer miembro de la ley de Ampre) vale

3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radior(en color azul) en los tres casos siguientes. Fuera del toroide (rR)Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia de color azul de la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos .La intensidad neta esNi-Ni=0, yB=0 en todos los puntos del camino cerrado.

El campo magntico est completamente confinado en el interior del toroide.

La espiraElectromagnetismo

Campo magnticoFuerza sobre unconductor rectilneoLa balanza decorrienteFuerza y momento sobre una espiraEl galvanmetroLa rueda de Barlow

Corriente rectilneaLa espiraEl solenoide y eltoroideOscilaciones deun imn (I)Oscilaciones deun imn (II)Campo magntico producido por una corriente circular en un punto de su eje.Campo magntico producido en un punto fuera del ejeAproximacin: Puntos alejados de la espira. Dipolo magnticoFuerza entre dos espirasReferencias

Campo magntico producido por una corriente circular en un punto de su eje.En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magntico, tales como un electroimn o un transformador, el hilo que transporta la corriente est arrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer lugar, el campo creado por una espira.

En la figura, se muestra una espira circular de radioa, recorrida por una corriente de intensidadi. El punto P est sobre el eje de la espira a una distanciazde su centro.Searla distancia entre el elemento de corriente y el punto P. Laley de Biotnos permite calcular el campo magntico creado por dicho elemento de corriente.

Fijarse que los vectores unitariosutyurforman 90El vector campo magnticodBtiene dos componentes a lo largo del eje de la espiradBcos(90-) perpendicular al eje de la espiradBsen(90-)Por razn de simetra, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos diametralmente opuestos se anulan entre s. Por tanto, el campo magntico resultante est dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integracin sencilla ya queres constante yes constante

En el centro de la espiraz=0,tenemos

El sentido del campo magntico viene determinado por la regla de la mano derecha.Para una espira no es aplicable la ley de Ampre. Sin embargo, como podemos ver en el applet de la siguiente pgina, si sedisponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un campo cuya direccin es cada vez ms paralela al eje comn de las espiras, a medida que se incrementa su nmeroEn la situacin ideal de un solenoide formado por un nmero grande de espiras apretadas, cuya longitud es grande comparada con su dimetro, el campo en el interior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeo. En estas condiciones es aplicable la ley de Ampre, para determinar el campo magntico en el interior del solenoide.Campo magntico producido en un punto fuera del ejeVamos a calcular el campo magntico producido por una espira circular en un punto fuera del eje de la espira. Laley de Biotafirma que el campoBproducido por una corrienteise obtiene

Dondedles un elemento de corriente,utes un vector unitario que seala la direccin y sentido de la corriente, yures un vector unitario que seala el punto P donde se calcula el campo magntico.

El campo producido por una espira de radioatiene simetra axial, bastar calcular las componentesByyBzdel campo magntico en un punto P (0,y, z) del plano YZ.Como vemos en la figura la distanciarentre el elemento de corrientedl=adque est situado en el punto (acos,asen, 0) y el punto P (0,y, z) considerado es

Efectuando el producto vectorialutur, nos queda las componentes del campo

La primera integral es inmediata y vale ceroBx=0, ya que para cada elemento de corrientedlexiste otro simtrico al plano OYZ cuyo efecto es el de anular la componente X del campo magnticoLas componentes del campoBson

Debido a la simetra cilndrica del problema, solamente tenemos dos componentes del campouna a lo largo del eje de simetra Z,Bzy la otra en la direccin radialBy.Cuandoy=0, un punto del eje de la espira, podemos comprobar fcilmente queBy=0, y que

Para expresar estas integrales en trminos de las integrales elpticas completas de primera y segunda especie hacemos el cambio de variable=/2-

Las tablas de integrales elpticas (Good) nos dan las siguientes equivalencias

Las componentes del campo magntico se expresan en trminos de las integrales elpticas completas de primeraK(m) y segunda especieE(m) de la siguiente forma.

En la figura, se muestra la direccin del campo magntico mediante flechas, en el plano YZ, cony>0 yz>0. El mdulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo ms alejado. El radio de la espira esa=1.0

Caso particularEstudiamos el campo a lo largo del eje del anillo,y0,

las integrales elpticas tienden ambas aK(0)=E(0)=/2Como podemos comprobar fcilmenteBy0, fijarse que los dos trminos entre parntesis se cancelan. En cuanto a la componente Z. Los dos ltimos trminos ente parntesis proporcionales ayse cancelan

Resultado que hemos obtenido previamente.ActividadesSe introduce La abscisa (y/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento tituladaAbscisa La ordenada (z/a) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento tituladaOrdenadaSe pulsa en el botn tituladoCalcularEl programa interactivo calcula las componentesByyBzdel campo, su mdulo y el ngulo que forma con el eje Y.Las componentes del campoByyBzse expresan en trminos de (y/a) y (z/a)

El campo en el centro de la espira,z=0, es

El programa interactivo calcula el valor deByy deBzen unidades del campo en el centro de la espira

Aproximacin: Puntos alejados de la espira. Dipolo magnticoPartimos de nuevo de las ecuaciones

Si el punto P est lejos de la espira, es decir, si se cumple que

Podemos aproximar el denominador de las dos integrales que nos calculan el campoByyBz.

Donde hemos llamado ahorara

Las componentes del campo parar>>a, son aproximadamente

El campo creado por una bobina deNespiras apretadas esNveces el campo producido por una de las espiras.Las dos componentes del campo,ByyBzen el punto P (y, z) las podemos expresar en una nica frmula.

Dondem=ia2kes el momento dipolar magntico, sealado mediante una flecha de color rojo.

En el applet se representa las lneas del campo magntico producido por una bobina de pequeo radioacuyo momento dipolar magnticomse seala mediante una flecha de color rojo.Lneas de campo magnticoComo el campo es tangente a las lneas de fuerza, la ecuacin de las lneas de fuerza es

tal como se muestra en la figura.

La ecuacin diferencial de las lneas de fuerza para el dipolo magntico es

Haciendo el cambio de variableZ=z2,Y=lny

Para integrar esta ecuacin diferencial de primer orden escribimosZ=uv

Igualamos a cero el parntesis

La ecuacin queda

La solucin de la ecuacin diferencial es,

dondeCes una constante de integracinDeshaciendo el cambio de variable

Escribiendo la constanteC=D2/3,Dtiene dimensiones de longitud

En la figura, se muestra las lneas del campo magntico paraD=0.25, 0.5, 0.75 y 1.0

Fuerza entre dos espirasEn la figura, se muestran dos espiras contenidas en planos paralelos de radioay radiobseparadas una distanciaz. Las espiras conducen corrientesIaeIb, respectivamente.

Si las corrientes tienen el mismo sentido, la fuerza es atractiva y si tienen sentido contrario, la fuerza es repulsiva.El campo magntico producido por la espira de radioa, tiene dos componentes, uno radialByy la otra axialBz, y sus valores en la posicin que ocupa la segunda espira de radioy=bes.

La fuerza que ejerce el campo magntico producido por la espira inferior de radioa, sobre la corriente que circula por la espira superior de radiobes

Como apreciamos en la figura, la componenteBzdel campo magntico produce sobre un elemento de corriente una fuerzaFycuya direccin es radial. La fuerza neta sobre la espira es cero.La componente radialBydel campo produce sobre un elemento de corrientedlb=bduna fuerza cuya direccin es a lo largo del eje Z Positiva (repulsiva), si las corrientes tienen sentido contrario Negativa (atractiva) si las corrientes tienen el mismo sentido (como en la figura)

Introduciendo el valor de la componente radialBydel campo magntico producido por la espira de radioa.