TEMA: CAMPO MAGNETICO DE UN SOLENIODE

Un solenoide es un alambre largo enrollado en forma de hélice. Con esta configuración, puede producirse un campo magnético razonablemente uniforme en el espacio rodeado por las vueltas del alambre —llamado interior del solenoide— cuando éste lleva una corriente. Cuando hay muy poco espacio entre las vueltas, cada una puede tratarse como si fuera una espira circular, y el campo magnético neto es la suma vectorial de los campos que resultan de todas las vueltas.

La figura 30.16 muestra las líneas de campo magnético alrededor de un solenoide de espiras sueltas, no apretadas. Observe que las líneas de campo en el interior son casi paralelas, están uniformemente distribuidas y están juntas, lo que indica que en este espacio el campo es intenso y casi uniforme.

Figura 30.16 Líneas de campo magnético para un solenoide de vueltas poco apretadas.

Si las vueltas están muy apretadas y el solenoide es de longitud finita, las líneas de campo magnético son como se muestra en la figura 30.17a. Esta distribución de líneas de campo es similar a la que rodea un imán de barra (véase la figura 30.17b). En consecuencia, un extremo del solenoide se comporta como polo norte del imán, y el extremo opuesto se comporta como polo sur. Conforme se incrementa la longitud del solenoide, el campo interior se vuelve más uniforme y el exterior más débil. Se obtiene un solenoide

Figura 30.17 a) Líneas de campo magnético para un solenoide con vueltas muy apretadas de longitud finita, que lleva una corriente estable. El campo en el espacio interior es intenso casi uniforme. Observe que las líneas de campo se parecen a las que existen alrededor de un imán de barra, lo que significa que efectivamente el solenoide tiene polos norte y sur. b) Patrón del campo magnético de un imán de barra, desplegadas mediante limaduras de

hierro sobre una hoja de papel.

ideal, cuando las vueltas están muy apretadas y la longitud es mucho mayor que los radios de las vueltas. La figura 30.18 muestra la sección transversal longitudinal de una porción de un solenoide de este tipo, que lleva una corriente I. En este caso, el campo externo es cercano a cero, y el campo interior es uniforme en un volumen muy grande.

Si en la figura 30.18 considera la espira amperiana (espira 1) perpendicular a la página que rodea a un solenoide ideal, verá que ésta encierra una pequeña corriente conforme las cargas en el alambre se mueven espira por espira a lo largo del solenoide. En consecuencia, existe un campo magnético diferente de cero en el exterior del solenoide. Es un campo débil, con líneas de campo circulares, como las que son provocadas por una línea de corriente, según en la figura 30.4. Para un solenoide ideal, éste es el único campo externo a él. En la figura 30.18 es posible eliminar este campo si se añade una segunda capa de vueltas de alambre en el exterior del primer conjunto, con corriente a lo largo del eje del solenoide en dirección opuesta en comparación de la primera capa.

En tal caso la corriente neta a lo largo del eje será igual a cero.

Figura 30.18 Vista de sección transversal de un solenoide ideal, donde el campo magnético interno es uniforme y el campo exterior es cercano a cero.

La ley de Ampère aplicada a la trayectoria circular cerca de la parte baja cuyo plano es perpendicular a la página, se puede usar para mostrar que existe un campo débil externo al solenoide. La ley de

Ampère aplicada a la trayectoria rectangular discontinua en el plano de la página puede ser usada para calcular la magnitud del campo interno.

En un solenoide ideal puede utilizar la ley de Ampère para obtener una expresión

cuantitativa del campo magnético interior. Ya que el solenoide es ideal, B⃗ en el espacio interior

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es uniforme y paralelo al eje, y las líneas de campo magnético en el espacio exterior forman círculos alrededor del solenoide. Los planos de estos círculos son perpendiculares a la página. Considere la trayectoria rectangular (espira 2) de longitud l y ancho w que se muestran en la figura 30.18. A esta trayectoria se le puede aplicar la ley de Ampère para evaluar la integral de

B⃗∗d s⃗ en cada lado del rectángulo. La contribución a lo largo del lado 3 es igual a cero, porque

en esta región las líneas de campo magnético son perpendiculares a la trayectoria. Las

contribuciones de los lados 2 y 4 son iguales a cero, de nuevo porque B⃗ es perpendicular a d s⃗

a lo largo de estas trayectorias, tanto en el interior como en el exterior del solenoide. El lado 1

proporciona una contribución a la integral ya que, a lo largo de esta trayectoria, B⃗ es uniforme

y paralelo a d s⃗. La integral de la trayectoria rectangular cerrada es, debido a eso,

∮ B⃗∗d s⃗=∫ B⃗∗d s⃗=B∫ ds=BlTrayectoria 1 Trayectoria 1

El lado derecho de la ley de Ampère se refiere a la corriente total I a través del área limitada por la trayectoria de integración. En este caso, la corriente total a través de la trayectoria rectangular es igual a la corriente en cada vuelta multiplicada por el número de vueltas. Si en la longitud l, N es el número de vueltas, la corriente total a través del rectángulo es NI. Por tanto, la ley de Ampère aplicada a esta trayectoria da

∮ B⃗∗d s⃗=Bl=μo∋¿¿

B=μo∗N

lI=μo∋¿ (30.17)

Donde n = N/l es el número de vueltas por unidad de longitud.

También se podría obtener este resultado si reconsidera el campo magnético de un toroide (véase el ejemplo 30.6). Si el radio r del toroide de la figura 30.15 con N vueltas es mucho mayor que el radio a de la sección transversal del toroide, una pequeña sección del toroide se aproxima a un solenoide, para el cual n=N /2 πr . En este límite, la ecuación 30.16 concuerda con la ecuación 30.17.

La ecuación 30.17 es válida sólo para los puntos cercanos al centro (es decir alejados de los extremos) de un solenoide muy largo. Como podía haberse esperado, el campo cerca de cada extremo es más pequeño que el valor dado por la ecuación 30.17. En el extremo de un solenoide largo, la magnitud del campo se reduce a la mitad de la magnitud en el centro (véase el problema 36).

EJEMPLO 30.6

Campo magnético creado por un toroideUn dispositivo llamado toroide (figura 30.15) se usa con frecuencia para crear un campo

magnético casi uniforme en algún área cerrada. El dispositivo consiste en un alambre conductor enrollado alrededor de un anillo (un toro) hecho de un material no conductor. Para un toroide que tiene N vueltas de alambre muy juntas una de otra, calcule el campo magnético en la región ocupada por el toro, a una distancia r del centro.

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Figura 30.15 (Ejemplo 30.6) Un toroide que consiste en muchas vueltas de alambre.Si las vueltas están muy juntas una de otra, el campo magnético en el interior del toro (la región sombreada

en amarillo) es tangente al círculo discontinuo (espira 1) y varía como 1/r. La dimensión a es el radio transversal del toro. El campo afuera del toroide es muy pequeño y se puede describir usando la espira amperiana (espira 2) en

el lado derecho, perpendicular a la página.

SOLUCIÓN

Conceptualizar: Estudie cuidadosamente la figura 30.15 para entender cómo el alambre se enrolla alrededor del toro. El toro podría ser un material sólido o podría ser aire, con un alambre rígido enrollado en la forma que se muestra en la figura 30.15 para formar un toroide vacío.

Categorizar: Ya que el toroide tiene un alto grado de simetría, este ejemplo se clasifica como un problema de ley de Ampère.

Analizar: Considere la espira amperiana circular (espira 1) de radio r en el plano de la figura 30.15. Por simetría, la magnitud del campo es constante en este círculo y tangente a él, de modo

que B⃗∗d s⃗=B ds. Además, el alambre pasa a través de la espira N veces, de modo que la

corriente total a través de la espira es NI.

Aplique la ley de Ampère a la espira 1:

∮ B⃗∗d s⃗=B∮ds=B (2 πr )=μo∋¿¿Resuelva para B:

B=μo∋¿

2 πr¿

Finalizar: Este resultado demuestra que B varía como 1/r y por tanto no es uniforme en la región ocupada por el toro. Sin embargo, si r es muy grande en comparación con el radio de sección transversal a del toro, el campo es aproximadamente uniforme adentro del toro.

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Para un toroide ideal, en el que las vueltas estén muy juntas, el campo magnético externo es cercano a cero, pero no es exactamente cero. En la figura 30.15, imagine que el radio r de la espira amperiana es más pequeño que b o mayor que c. En cualquier caso, la espira encierra

cero corriente neta, de modo que ∮ B⃗∗d s⃗=0. Puede pensar que este resultado prueba que

B⃗=0, pero no es así. Considere la espira amperiana (espira 2) en el lado derecho del toroide en

la figura 30.15. El plano de esta espira es perpendicular a la página, y el toroide pasa a través de la espira. Conforme las cargas entran al toroide, como indican las direcciones de corriente en la figura 30.15, logran su avance contra las manecillas del reloj alrededor del toroide. Por lo tanto, ¡una corriente pasa a través de la espira amperiana perpendicular! Esta corriente es pequeña, pero no cero. Como resultado, el toroide actúa como una espira de corriente y produce un campo externo débil de la forma que se muestra en la figura 30.7. La causa por la que

∮ B⃗∗d s⃗=0 para las espiras amperianas de radio r <b y r > c en el plano de la página, es que

las líneas de campo son perpendiculares a d s⃗S, no porque B⃗=0

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