fisica guion ok

7/23/2019 Fisica Guion Ok

1/15

CONDUCCIN DE CALOR POR METODO DE FOURIER.

La ecuacin de calor describe como distribuye la temperatura en un cuerposolido en funcin del tiempo y el espacio.

Condiciones de la problemtica.

1. El ujo de calor se produce en la direccinx.

2. No se pierde calor a travs de la super!cielateral

". La varilla es #omo$nea su densidad porunidad lon$itud esconstante.

%. La barra tiene lon$itud L y reatransversal &

Estas condiciones permitirn 'ue las leyes f(sicas 'ue emplearemos dependan

)nicamente de la posicin y del tiempo.En el proceso de derivacin de la ecuacin se emplearan las si$uientesma$nitudes*

u (x , t)=temperatura de la varillaparala posicin y el tiempo

Q (x , t)=flujo (ocantidad ) de calor en la direccin positiva para x

+i aplicamos el principio de conservacin de la ener$(a en la varilla en el

intervalo [x x+ x ] tendremos*

Variacinde la energainterna ( calor )=flujo decalor entrante flujo decalor saliente

La expresin matemtica correspondiente es*

Q

t

=AQ (x , t)A Qsa(x+ x ,t) ,1-

1


2/15

/onde el ujo de calor tiene unidades ( calsegcm2 ) se multiplica por & para

obtener unidades (calseg ) .0or otro lado #ay una ley f(sica 'ue relaciona el calor Q (x , t) con la masa m y

la temperatura u (x , t) llamada ecuacin de la termolo$(a 'ue se expresa de

la si$uiente forma.

Q (x , t)=mu (x , t) Ecuacin de calor espec(!co ,2-

Esta ecuacin describe el proceso de calentamiento en una fase del cuerpo en

la 'ue es el calor espec(!co.

Consideremos de nuevo el se$mento in!nitesimal [x x+ x ] como la seccin

transversal de la varilla tiene una seccin transversal & el volumen resultanteser

v=A x ora introduciremos un nuevo parmetro 'ue representa la

densidad del material teniendo 'ue m=A x

+ustituyendo en la ecuacin de calor espec(!co ,2- lle$aremos al resultadosi$uiente*

Q (x , t)=mu (x , t)= A xu (x , t) ,"-

/erivando respecto del tiempo tenemos

Q

t= A x

u

t ,%-

/e esta manera #emos obtenido otra expresin paraQ

t .

El si$uiente paso consiste en i$ualar con el resultado de principio deconservacin de calor ,1- con ,%-*

2


3/15

A x u

t= AQ (x ,t)A Q sa(x+ x , t)

x u

t=

Q

( (x , t)Qsa(x+ x , t))

/ividiendo por x *

u

t=

Q

( (x , t)Qsa(x+ x , t)) x

,3-

4eescribiendo utili5ando la ley de 6ourier*

Ley de 6ourier (Q (x ,t)=k u x ) donde 7 es la conductividad trmica

u

t=

k(( u x )x+ x(u

x )x) x

,8-

Cuando x0 podemos escribir ,8- de la si$uiente manera

u

t=c2

2u

x2 ,9-

/onde c2=

k

es lo llamado difusividad trmica del material

CONDICIONES DE FRONTERA

+upn$ase a#ora 'ue la barra tiene una lon$itud !nita ! , 'ue va de x=0

a x=! . La funcin de temperatura u(x ,t) se determinara dentro de todas

las posibles soluciones de la ecuacin (7) por las condiciones auxiliares

"


4/15

adecuadas. En el caso de la barra calentada puede especi!carse su funcin de

temperatura f(x ) en el tiempo t=0 . Esto proporciona la condicin inicial.

u (x ,0 )=f(x )(8)

:ambin pueden especi!carse las temperaturas !jas en los dos extremos de labarra. 0or ejemplo si cada extremo se empalma en un $ran bo'ue de #ielo atemperatura cero se tendr(a las condiciones de frontera.

u (0,t)=u (! , t)=0 (para toda t>0 )(9)

Combinando todo esto se obtiene el problema con valor en la frontera

u

t=c2

2u

t2(0


5/15

La estrate$ia completa para resolver el problema con valores en la frontera

(10) ser encontrar las funciones u1 ,u2, u3 , % 'ue satisfa$an tanto la

ecuacin diferencial parcial en (10a) como las condiciones de frontera

#omo$neas (10#) para lue$o intentar combinar estas funciones por

superposicin como si se estuvieran construyendo blo'ues con la esperan5a

de obtener una solucin u=c1 u1+c2 u2+% 'ue satisfa$a tambin la condicin

no #omo$nea en (10c ) $

SEPARACIN DE ARIA!LESEl mtodo para resolver el problema con valores en la frontera dado en ,1;-para la barra calentada lo introdujo 6ourier en su estudio de calor. +uponemos'ue la solucin es de la forma*

u (x , t)=&(x )'( t)(12)

En la cual las variables estn esto es cada una de las funciones

es el producto de una funcin de posicin x ,)nicamente- y una funcin de

tiempo t ,solamente-. +ustituyendo se tiene*

u

t=c2

2u

x2

& '(=c2&( ('

donde por simplicidad se escribe '(

para '((t) y &

( (

para &( ((x) .La

divisin de ambos entre &' resulta en

c2&

( (

&=

'(

' (13)

El lado i5'uierdo de la ecuacin ,1"- es una funcin solamente de x pero ellado derec#o es una funcin slo de t. +i t se mantiene constante en el lado

derec#o entonces en el lado i5'uierdo &( (/& debe permanecer constante

conforme x var(a. /e manera similar si x se mantiene constante en el lado

i5'uierdo entonces el lado derec#o '(/c2' debe permanecer constante

conforme t var(a. En consecuencia la i$ualacin es vlida slo si cada una de

3


6/15

estas dos expresiones es la misma constante la cual se representa como .

&s( la ecuacin ,1"- se convierte en

c2&

( (

&=

'(

'=(14)

La cual consiste de las dos ecuaciones

&( ((x )

c2&(x )=0(15)

'((t)'(t)=0(16)

Enfocndose primero enX,x- las condiciones de frontera #omo$neas son

u (x ,0 )=&(0 )'( t)=0,u (! , t)=&(! )'(t)=0.(17)

+i '( t) es una funcin no trivial de t entonces ,13- puede cumplirse slo si

&(0 )=&(! )=0 . /e esta manera &(x ) debe satisfacer el problema con

valores en la frontera

&( (

c2&=0

&(0 )=0,&(! )=0(18)

?ste es en realidad un problema de ei$envalores. 0uede veri!carse 'ue 'ue

,13- tiene una solucin no trivial si y slo si es uno de los ei$envalores

n=n2)2c2

!2

$ n=1,2,3,%,(19)

y 'ue una ei$enfuncin asociada con n es

&n=sinn)x

! ,n=1,2,3,% ,(20)

8

E"#envalore$ % e"#enf&nc"one$' (C)mo $e obt"enen*

&( (

c2&=0

&(x )=0,&(! )=0

Como es un real consideramos " casos*

=0 resulta *

&( (=0

Entonces &(x )=A+*x

0ero evaluando las condiciones resulta* &(x )=0 .

=+2>0

&( (

+2

c2&=0

&(x )=A cosh +x+* sinh+x

y las condiciones &(0 )=0=&(!) implican entonces 'ue A=*=0

=+2


7/15

ora atendemos la ecuacin ,2;- sabiendo 'ue la constante debe ser uno

de los ei$envalores de la ecuacin ,18-. 0ara la n@sima de estas posibilidadesla ecuacin ,18- se escribe como

'n(+

n2)

2c2

!2

'n=0 $(21)

&nticipando una solucin diferente 'n ( t) para cada uno de los diferentes

valores enteros positivos de n. Ana solucin no trivial de esta ecuacin es

'n (t)=cnexp (n2)

2c2t/!2) (22)

9


8/15

/onde cn es una constante arbitraria.

4esumiendo nuestros avances se #an descubierto las dos sucesionesasociadas

un(x , t)=&n(&) 'n(t)=cn exp(n2 )2 c2t

!2

)sen (

n)x

!) (23 )

para n=1,2,3,% Cada una de estas funciones satisface tanto la ecuacin de

calor como las condiciones #omo$neas u (0,t)= u (!, t)=0 . +e combinan

a#ora estas funciones ,superposicin- para intentar satisfacer tambin la

condicin no #omo$nea u (x ,0 )= f(x )$ En consecuencia se forma la serie

in!nita

u (x , t)=n=1

un(x , t)=n=1

cnexp(n2

)2

c2

t

!2 )sen ( n)x!)(24)

0ara satisfacer la condicin u (x ,0 )=f(x )(0


9/15

donde #n son los coe!cientes de seno de la serie de 6ourier en la ecuacin

,29- de la funcin de temperatura inicial de la barra f(x )=u(x ,0)$

Ob$ervac")n.0ara su uso en problemas y ejemplos en la tabla de la !$ura .3." se listan al$unos valores de la constante de

difusividad trmica c2

para al$unos materiales

comunes.

E,emplo -' +upn$ase 'ue una barra de lon$itud !=50 cm est inmersa en

vapor #asta 'ue su temperatura es u0=100 - . . En el tiempo t=0

su super!cie lateral es aislada y sus dos extremos se sumer$en en

#ielo a 0 - . . Calc)lese la temperatura de la barra en sus puntos

medios despus de media #ora si est #ec#a de ,a- #ierro ,b-concreto.

Sol&c")n' El problema con valores en la frontera para esta funcin de

temperatura de la barra u(t , x ) es*

ut=k uxx

u (0,x )=u (! , t)=0 "

u (x ,0 )=u0

Dnte$rando para obtener #n resulta*

u (x , t)=4u0

)

nimpar

1

nexp (n

2)

2c2

t

!2 )sen( n)x!)


10/15

La !$ura .3.% muestra la $r!ca de u=u (x ,t) con u0=100 y

!=50 . Conforme t se incrementa se observa 'ue a

temperatura mxima de la barra ,evidentemente en su punto medio-decrece en estado permanente. La temperatura en el punto medio

x=25 despus de t=1800 se$undos es

u (25,1800 )=400

)

nimpar

(1 )n+1

n exp(18n

2)

2c2

25 )

a/Con el valor de c2

;.13 'ue se utili5 en la !$ura .3.% esta

serie proporciona

u (25,1800 )/43.85190.0029+0.0000/43.85 - .

Este valor u (25,1800 )/43.85 es la altura mxima ,en su punto

medio x=25 - de la curva seccional vertical u=u (x ,1800)

observando en un


11/15

Con0"c"one$ 0e frontera a"$la0a.

Considrese a#ora el problema con valores en la frontera

u

t=k

2u

x2(0


12/15

&( (+&=0 "

&( (0 )=0,&( ( ! )=0.(33)

Ana ve5 ms deben considerarse en forma separada las

posibilidades =0,=+20 para los

ei$envalores.

Con =0 la solucin $eneral de &( (=0 es &(x )=Ax+*

de tal manera 'ue &((x )=A . &s( las condiciones de frontera

dadas en ,""- re'uieren 'ue A=0 pero 'ue G sea diferente de

cero. /ebido a 'ue una constante m)ltiplo de una ei$enfuncines una ei$enfuncin puede seleccionarse cual'uier valor

constante 'ue se desee para * . /e este modo con *=1 se

tiene el ei$envalor cero y la ei$enfuncin asociada.

0=0,&0(x )=1(34)

Con =0 en la ecuacin ,2;- se obtiene '((t)=0 de tal

manera 'ue puede tomarse tambin '0(t)=1 .

Con =+2


13/15

&(x )=Acos (+x )+*sen (+x)

&((x )=A+sen (+x )+*+cos (+x)

0or tanto &(

(0 )=0 implica 'ue *=0 y entonces

&((! )=A+sen (+! )=0

4e'uiere 'ue +! sea un m)ltiplo entero de ) debido a 'ue

+ 20 y A 20 si se tiene una solucin no trivial. /e esta

manera se tiene la sucesin in!nita de ei$envalores yei$enfunciones asociadas.

n=+n2=

n2)

2

!2 , &n(x )=cos ( n)x!)(35)

0ara n=1,2,3 :al como antes la solucin de la ecuacin ,2;-

con =n

2)

2

!2 es 'n (t)=exp(n

2)

2kt

!2 ) .

En consecuencia las funciones producto 'ue satisfacen lascondiciones #omo$neas son

u0(x , t)31 "un(x $ t)=exp(n2)

2kt

!2 )con( n)x!) (36 )

0ara n=1,2,3 0or consi$uiente la solucin de prueba es

u (x , t)=c0+n=1

cn exp(n2

)2

kt

!2 )con( n)x!)(37)

1"


14/15

0ara satisfacerla condicin no #omo$nea u (x ,0 )=f(x )

obviamente se desea reducir la ecuacin ,"9- cuando t=0 a la

serie coseno de 4ourier

f(x )=a0

2+

n=1

ancos ( n)x!)(38)

/onde

an=2

!0

!

f(x ) cos ( n)x!)dx

0ara n=1,2,3 /e esta manera se tiene el resultado si$uiente.

E,emplo 1' Considrese la misma barra de 3; cm del ejemplo 2 pero a#orasupn$ase 'ue su temperatura inicial se proporciona por medio de la


15/15

u

t=k

2u

x2

ux (0, t)=ux(50,t)=0

u (x ,0 )=f(x )

4eali5ando los clculos para obtener an se tiene

'ue

u (x , t)=501600

)2

n=1

1

n2exp(n

2)

2kt

2500 )cos ( n)x50)

La ! $ura .3.8 muestra la $r!ca de u u,x t- para los primeros12;; s en 'ue se observa 'ue la temperatura en la barra inicia conun mximo en el punto mediox 23 pero rpidamente

fisica guion ok

Documents