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CAIDA LIBRE

I.Objetivos

Estudiar las caractersticas del movimiento de cada libre de un cuerpo (movimiento

rectilneo uniformemente acelerado en direccin vertical).

Comprobar que la distancia es directamente proporcional al tiempo empleado al cuadrado,

que la grafica y t es una parbola, que la grafica v t es una recta donde su pendienterepresenta a la aceleracin.

Medir experimentalmente la aceleracin de un cuerpo que cae libremente (aceleracin de

la gravedad).

II.Fundamento Terico

Aceleracin:

Cuando la velocidad de una partcula cambia con el tiempo, se dice que la partcula esta acelerando.Por ejemplo, la velocidad de un automvil aumentar cuando se pise el acelerador y disminuir cuando

aplique los frenos.

Un movimiento de caractersticas ms generales es aquel en el cual la velocidad cambia conforme

transcurre el tiempo. La variacin de la velocidad es producida por una cantidad llamada aceleracin.

Aceleracin media

Si dada partcula en el instante inicial 0t se mova con una velocidad 0v y luego de un cierto intervalo

de tiempot su velocidad cambia a1v en el instante

1t , definimos la aceleracin media como el cambio

que experimenta la velocidad instantnea de la partcula en el intervalot, esto es:

t

v

tt

vva

=

=

01

01

Aceleracin instantnea

Dado que la aceleracin media no nos proporciona informacin detallada acerca de cmo vara la

velocidad instantnea de la partcula en cada instante de tiempo definimos la cantidad llamada

aceleracin instantnea.

La aceleracin instantnea, se define como el lmite de la aceleracin media conforme el intervalo de

tiempot tiende a cero, esto es:

2

2

limdt

yd

dt

dv

t

va ==

=

Es decir, la aceleracin instantnea es la derivada de la velocidad con respeto al tiempo, o bien, es la

segunda derivada del desplazamiento y con respecto al tiempo dos veces.

Se puede decir que la aceleracin instantnea es la rapidez de la variacin de la velocidad instantnea.

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La aceleracin instantnea suele llamarse simplemente aceleracin.

Grficamente, la aceleracin esta representada por la pendiente de la recta tangente a la curva de

velocidad en funcin del tiempo, en cualquier punto.

Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

Se analizar el movimiento de una partcula o mvil restringida a moverse slo a lo largo del eje x o

slo a lo largo del eje y con aceleracin constante, es decir que la aceleracin media coincide con la

aceleracin instantnea.

== aa Constante

A este movimiento se le denomina movimiento rectilneo uniformemente acelerado.

En este caso la velocidad del mvil vara uniformemente, es decir la velocidad aumenta o disminuye la

misma cantidad en la unidad de tiempo. Veremos que, efectivamente, para esta clase de movimiento, la

velocidad es proporcional al tiempo, siendo la aceleracin la constante de proporcionalidad.

A partir de la definicin de aceleracin obtenemos: dv = a*dt, para despejar v de esta ecuacindiferencial integramos:

=v

v

t

t

dtadv

0 0

En donde 0v es la velocidad del mvil en el instante inicial 0t y v es la velocidad en el instante

cualquiera t. Notar que pusimos la aceleracin a fuera del signo integral por ser constante.

Resolviendo las integrales de la ecuacin anterior obtenemos:

)( 00 ttavv =

Si 0t =0, la relacin anterior es:

atvv0

+= (1)

En estas dos ltimas relaciones podemos notar claramente la relacin de proporcionalidad existente

entre la velocidad y el tiempo.

Las grficas de velocidad y aceleracin en funcin del tiempo para este movimiento, cuando el mvil

parte del reposo, estn representadas en la figura1.

Para determinar la relacin funcional entre la posicin y el tiempo partimos de la definicin de

velocidad:dt

dxv = , de donde obtenemos: vdtdx = .

FIGURA 1

v a

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t t

a) b)

figura 1: a) velocidad en funcin del tiempo b) aceleracin en funcin del tiempo

Para despejar x de esta ltima ecuacin diferencial integramos:

x

x

t

t0 0

vdtdx

pero la velocidad v viene dada por la ecuacin (1), entonces:

x

x

t

t0

0 0dt)atv(dx

Resolviendo las integrales obtenemos:

)tt(a2

1)tt(vxx 20

2

000

de donde finalmente, si 0t =0 y 0x =0, obtenemos:

2

0 at

2

1tvx

Claramente podemos notar en esta ltima ecuacin que la distancia recorrida por un mvil con

movimiento rectilneo uniformemente acelerado es proporcional al tiempo elevado al cuadrado.

En la figura 2 se ha graficado la curva de posicin en funcin del tiempo correspondiente a estemovimiento:

FIGURA 2

x x

t t

a) Aceleracin positiva b) aceleracin negativa

Figura 2: Posicin en funcin del tiempo para el movimiento uniforme acelerado con:

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a) aceleracin positiva, b) aceleracin negativa

Cada libre de cuerpos.

Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan caen hacia la Tierra con aceleracin casi

constante. Denotaremos la aceleracin de la cada libre con el smbolo g. El valor de la g sobre la Tierra

disminuye conforme aumenta la altitud. Tambin hay ligeras variaciones de g con la latitud. La

direccin de cada libre esta dirigida hacia el centro de la Tierra.

Las caractersticas mas importantes de cada libre son:

El cuerpo que se mueve esta influenciado solamente por la aceleracin de la gravedad.

El cuerpo que cae se mueve con movimiento rectilneo uniformemente variado.

La resistencia del aire en la cada libre de los cuerpos puede ser despreciable siempre y

cuando la densidad de los cuerpos sea grande como ser las piedras, metales, etc, y no en los

cuerpos que tienen densidad pequea como ser una pluma un pedazo de algodn etc.

La caracterstica mas importante de la cada libre es que la velocidad inicial es cero debido a

que el cuerpo no esta siendo lanzado sino solo se deja caer.

La aceleracin de los cuerpos que cae libremente en la superficie terrestre tiene un valor

aproximado a 9,8 m/s. Los objetos lanzados hacia arriba o hacia abajo y los que se sueltan desde el reposo todos

caen libremente una vez que se han liberado.

Tambin, es importante recordar que cualquier objeto que cae libremente experimenta una

aceleracin dirigida hacia abajo. Esto es cierto independientemente del movimiento inicial del

objeto.

El movimiento de cada libre es un movimiento rectilneo uniformemente variado o acelerado en el ejey es decir verticalmente y por lo tanto podemos utilizar la siguiente formula:

x = vo t + 1/2g* t

y como el movimiento es en el eje vertical y los vectores son negativos como se muestra en la figura4 entonces obtenemos lo siguiente:

-h = - vo t + 1 (-g) t

2

y como la velocidad inicial es igual a cero vo = 0 se obtiene:

h = 1 gt

2

y de la otra ecuacin:v = vo + gt

Reemplazando todo respecto al eje vertical se obtiene que:

-v = - vo + (-g) t

en donde la velocidad inician es cero y llegamos a la ecuacin siguiente:

v = gt

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y de la ultima ecuacin: v = vo +2ax

Realizando los pasos anteriores se obtiene la ecuacin:

v = 2gh

y

vo = 0 figura 3

a =(-g)

h

v

x

III.Materiales

Dos esferas metlicas de diferentes masas

Cronometro digital Regla de 2 metros graduada (mm)

Balanza Soporte vertical

Nuez Prensas

IV.Procedimiento

Primero montamos el experimento armando todas las partes. Tenamos el soporte vertical el queunimos a la mesa con las prensas, luego pusimos la nuez a una determinada altura unida al

aparato que estaba conectado al cronometro.

Dejamos caer las esferas libremente desde diferentes alturas, medimos cinco veces el tiempo y

medimos tambin las alturas, y finalmente sacamos el promedio del tiempo para llenar nuestra

tabla de datos.

V.Anlisis De Datos

Determinando la gravedad para ambas esferas:

Para la esfera pequea de masa g =18,6 [g]

Los datos recogidos en el laboratorio nos sirven para la grafica h t, para ambas esferas y tambin

para construir la tabla 1, la cual nos muestra la altura y los promedios de los tiempos.

N H (m) t (s)

1 1,54 0,561

2 1,48 0,552

3 1,435 0,543

4 1,4 0,536

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6/19

5 1,34 0,525

6 1,3 0,515

7 1,25 0,507

8 1,195 0,496

9 1,125 0,482

10 0,995 0,453

La grafica es de h (m) t(s) es la siguiente:

Los datos de la tabla 1 se analizarn con la ecuacin cinemtica de movimiento rectilneo

uniformemente acelerado (eje y); entonces se usa de aceleracin constante donde la velocidad inicial escero y la gravedad es 9.80 m/s:

2

02

1gttvh +=

pero como el mvil parte del reposo, es decir 0v = 0, entonces:

2

2

1gth =

2

2

1gth =

BAxy = ; Donde A = 1/2g y B =2

La ecuacin corresponde a una parbola, por lo tanto requiere ser ajustada por el mtodo de mnimos

cuadrados, con los datos de la tabla 1.

Ajustando la curva por el mtodo de mnimos cuadrados tenemos:

N H (m) T (s) Log H= y Log t=x x*y X2

1 1,54 0,561 0,1875 -0,2510 -0,0471 0,0630

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7/19

2 1,48 0,552 0,1703 -0,2581 -0,0439 0,0666

3 1,435 0,543 0,1553 -0,2652 -0, 0412 0,0703

4 1,4 0,536 0,1461 -0,2708 -0,0395 0,0733

5 1,34 0,525 0,1271 -0,2798 -0,0356 0,0783

6 1,3 0,515 0,1139 -0,2882 -0,0328 0,0830

7 1,25 0,507 0,0967 -0,2950 -0,0286 0,0870

8 1,195 0,496 0,0755 -0,3045 -0,0230 0,0927

9 1,125 0,482 0,0492 -0,3169 -0,0156 0,100410 0,995 0,453 -0,0044 -0,3439 0,0015 0,1182

1,1174 -2,8734 -0,3058 0,8331

2

22

)8734,2(8331,0*10

1174.1*)8734,2()3058.0(*10

)(

=

=

B

xxN

yxxyNB

046,2=B

10

)8734,2(*046.21174,1 =

=

A

N

xByA

6979,0=A

Pero el verdadero valor de A es: A = antilog (0,6979) = 4.987

En la ecuacin matemtica la constante A nos permite hallar el valor de la aceleracin de la partcula

esta vez la gravedad de la siguiente manera:A = * g

Donde A es un dato que ya obtuvimos con la regresin exponencial y despejando g obtendremos lagravedad experimental como se muestra a continuacin:

g = 2 A

Finalmente remplazando obtenemos la gravedad experimental

g = 2(4.987)

297,9

s

mg=

Para la esfera grande de masa g=27,5[g]

Con los datos obtenidos en el laboratorio tenemos la tabla 2:

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N H ( m) T (s)

1 1,54 0,559

2 1,48 0,549

3 1,435 0,541

4 1,4 0,534

5 1,34 0,522

6 1,3 0,513

7 1,25 0,5048 1,195 0,493

9 1,125 0,477

10 0,995 0,449

Analizando de la misma forma que la anterior, tenemos la grafica h t.

Tendramos la ecuacin:BAxy= ;

Donde A = 1/2g y B =2

Ajustando por el mtodo de mnimos cuadrados, tenemos:

N H (m) T (s) Log H = y Log t = x X*Y X2

1 1,54 0,559 0,1875 -0,2526 -0,0474 0,0638

2 1,48 0,549 0,1703 -0,2604 -0,0443 0,06783 1,435 0,541 0,1553 -0,2668 -0, 0414 0,0712

4 1,4 0,534 0,1461 -0,2724 -0,0398 0,0742

5 1,34 0,522 0,1271 -0,2823 -0,0359 0,0797

6 1,3 0,513 0,1139 -0,2899 -0,0330 0,0840

7 1,25 0,504 0,0967 -0,2975 -0,0288 0,0885

8 1,195 0,493 0,0755 -0,3071 -0,0232 0,0943

9 1,125 0,477 0,0492 -0,3215 -0,0158 0,1033

10 0,995 0,449 -0,0044 -0,3477 0,0015 0,1209

1,1174 -2,8982 -0,3477 0,8478

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9/19

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10/19

La grafica de estos puntos es:

El grafico de h t2corresponde a una recta, por lo tanto ajustando por el mtodo de mnimos cuadrados

tenemos:

N H (m)=y T2(s2)=x x*y x2

1 1,54 0,3147 0,4846 0,0990

2 1,48 0,3047 0,4509 0,0928

3 1,435 0,2948 0,4215 0,0869

4 1,4 0,2873 0,4022 0,0825

5 1,34 0,2756 0,3693 0,0759

6 1,3 0,2652 0,3447 0,07037 1,25 0,257 0,3212 0,0660

8 1,195 0,246 0,2927 0,0605

9 1,125 0,2323 0,2602 0,0539

10 0,995 0,2052 0,2031 0,0421

13,04 2,6828 3,5507 0,7302

2

22

)6828,2()7302,0(*10

)04,13(*)6828,2()5507,3(*10

)(

=

=

B

xxN

yxxyNB

98,4=B

10

)6828,2(*98,404,13 =

=

A

N

xByA

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11/19

0336,0=A

Y la ecuacin toma la forma de Y= A + Bx

El valor de B es: B= 4,98

Reemplazando en: B = g; el valor de

296,9

s

mg =

Para la esfera grande de masa m= 27,5 [g]

Construiremos la grafica h - t2(tabla 4)

N H (m) T (s2)

1 1,54 0,3125

2 1,48 0,3014

3 1,435 0,2642

4 1,4 0,2852

5 1,34 0,2725

6 1,3 0,2631

7 1,25 0,254

8 1,195 0,243

9 1,125 0,2275

10 0,995 0,2016

La grafica es:

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12/19

La grafica representa una recta y ajustando por el mtodo de mnimos cuadrados, tenemos:

N H (m)=y T2(s2)=x X*Y x2

1 1,54 0,3125 0,4812 0,0976

2 1,48 0,3014 0,4461 0,0908

3 1,435 0,2642 0,3778 0,0698

4 1,4 0,2852 0,3993 0,0813

5 1,34 0,2725 0,3651 0,0742

6 1,3 0,2631 0,3420 0,0692

7 1,25 0,254 0,3175 0,0645

8 1,195 0,243 0,2892 0,0590

9 1,125 0,2275 0,2548 0,0517

10 0,995 0,2016 0,2006 0,040613,04 2,625 3,4726 0,6991

2

22

)625,2()6991,0(*10

)04,13(*)625,2()4726,3(*10

)(

=

=

B

xxN

yxxyNB

95,4=B

10

)625,2(*95,404,13 =

=

A

N

xByA

0032,0=A

Y la ecuacin toma la forma de Y= A + Bx

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13/19

El valor de B es: B= 4,955

Reemplazando en: B = g ; el valor de

291,9

s

mg=

Determinando las velocidades en cada punto de las esferas.

Para la esfera pequea:

La aceleracin encontrada es: g = 9.96 m/s2, entonces encontraremos las velocidades con los tiempos

recolectados del laboratorio de la tabla 1. Por lo tanto la ecuacin a emplear es: v = g*t (las

velocidades en m/s)

V = g * 0,561= 5,587 V = g* 0,525 = 5,229 V = g* 0,496 = 4,940

V = g * 0,552 = 5,498 V = g* 0,515 =5,129 V = g* 0,482 =4,801

V = g * 0,543 = 5,408 V = g* 0,507 =5,049 V = g* 0,453 =4,502V = g* 0,536 =5,338

Realizando la tabla 5, tendremos:

N T (s) V (m/s)

1 0,561 5,587

2 0,552 5,498

3 0,543 5,408

4 0,536 5,338

5 0,525 5,2296 0,515 5,129

7 0,507 5,049

8 0,496 4,940

9 0,482 4,801

10 0,453 4,502

La grafica de v t es:

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14/19

La grafica nos muestra que es una recta y no es necesario lineal izar, por lo tanto su ecuacin es: V = A

+ Bt; ajustando la misma tendremos:

N T (s)=x V (m/s)=y x*y x

2

1 0,561 5,587 3,1343 0,3147

2 0,552 5,498 3,0349 0,3047

3 0,543 5,408 2,9365 0,2948

4 0,536 5,338 2,8611 0,2873

5 0,525 5,229 2,7452 0,2756

6 0,515 5,129 2,6414 0,2652

7 0,507 5,049 2,5598 0,257

8 0,496 4,940 2,9462 0,246

9 0,482 4,801 2,3141 0,2323

10 0,453 4,502 2,0394 0,2052

5,17 51,481 26,717 2,68301

2

22

)17,5(6830,2*10

)481,51*17,5()717,26(*10

)(

=

=

B

xxN

yxxyNB

01,10=B

10

)17,5*01,10(481,51 =

=

A

N

xByA

031,0=A

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15/19

La ecuacin es: v =- 0.031 + 10,018t

Para la esfera grande

Seguimos el mismo procedimiento que para la esfera grande, para hallar las velocidades en cada punto.

(La aceleracin encontrada es g = 9,91 m/s2 y las velocidades estn en m/s)

V = g* 0,559 = 5, 5396 V = g* 0.522 =5, 1730 V = g* 0,493 = 4,8856V = g* 0,549 = 5, 4405 V = g* 0.513 = 5, 0838 V = g* 0,477 = 4, 7271V = g* 0,541 = 5,361 V = g* 0.504= 4, 9946 V = g* 0,449 = 4, 4495

V = g* 0,534 = 5, 2919

Con estos datos se elabora la tabla 6, de v t

N V (m/s) T (s)1 5,5396 0,559

2 5,4405 0,549

3 5,361 0,541

4 5,2919 0,534

5 5, 1730 0,522

6 5,0838 0,513

7 4,9946 0,504

8 4,8856 0,493

9 4,7271 0,477

10 4,4495 0,449

La grafica es:

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16/19

Como es una recta no es necesario lineal izar, y procedemos de la forma anterior ajustando la recta por

el mtodo de mnimos cuadrados:

2

22

)141,5(6535,2*10

)9467,50*141,5()2965,26(*10

)(

=

=

B

xxN

yxxyNB

909,9=B

10

)141,5*909,9(9467,50 =

=

A

N

xByA

00028,0=A

La ecuacin sera: v = 0,00028+ 9,909t

Comparando los resultados de las aceleraciones en ambos procedimientos nos al parecer el mismo

valor, pienso que deberan ser iguales pues se trata de los mismos datos, y adems las grficas dealtura tiempo siempre nos darn una parbola y una recta pero al parecer hubo errores de medicion,

pero las dos son confiables.

Se tomara en cuenta la masa de las esferas si es que tambin tomamos en cuenta la resistencia del

aire, ya que segn lo que dijo Newton, ambas esferas caen al mismo tiempo si se desprecia laresistencia del aire.

VI.Conclusiones

N V (m/s)=y T (s)=x X*y X2

1 5,5396 0,559 3,0966 0,3125

2 5,4405 0,549 2,9868 0,3014

3 5,361 0,541 2,9003 0,29674 5,2919 0,534 2,8258 0,2851

5 5, 1730 0,522 2,7003 0,2725

6 5,0838 0,513 2,6079 0,2631

7 4,9946 0,504 2,5173 0,2540

8 4,8856 0,493 2,4086 0,2430

9 4,7271 0,477 2,2548 0,2275

10 4,4495 0,449 1,9978 0,2016

50,9467 5,141 26,2965 2,65356

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17/19

Con los datos obtenidos pudimos comprobar que el movimiento rectilneo uniformemente acelerado (M.

R. U. A.), en la direccin vertical tiene las mismas caractersticas que la del movimiento horizontal y lanica variante es que en la cada libre de los cuerpos la aceleracin es igual a la gravedad y haciendo

un anlisis pudimos comprobar que:

La distancia recorrida por u mvil que tiene aceleracin es directamente proporcional al cuadrado del

tiempo empleado, por esta razn la grfica distancia en funcin del tiempo es una parbola.

La regresin potencial de la distancia en funcin del tiempo se asemejo a una parbola y obtuvimos la

gravedad experimentalmente con los datos recolectados del laboratorio, en el primer caso para la esferagrande la gravedad encontrada se acerco bastante a la gravedad en La Paz que es 9.77 m/s2, esto

quiere decir que nuestros datos estuvieron bien, y que no existi un porcentaje alto de error, la gravedad

experimental fue: g = 9.67 m/s2.

Pero para el caso de la esfera pequea hubo un porcentaje alto de errores, yo creo mas errores fortuitos

que sistemticos, por que varan un poco los tiempos y fue lo que nos llevo a tener un valor muy alto dela gravedad experimental, la g encontrada era 9,97 m/s2.

En sntesis logramos verificar nuestros objetivos con este experimento, aunque con un porcentaje de

error, pero se logro lo ms importante que lo que nos dice la teora se cumple, ejemplo: la grafica develocidad tiempo es una recta y lo comprobamos.

VII.Bibliografa

FSICA SERWAY

CUARTA EDICIN TOMO 1

GUIA DE LABORATORIO

FISICA BASICA I ING. RENE DELGADO SALGUERO

VIII.Anexos

7/25/2019 Fis-100L_inf. 3

18/19

Universidad Mayor de San Andrs Facultad de Ingeniera Curso Bsico

Laboratorio de Fsica Bsica I FIS-1L

I!"#

INFORME N 3

CAIDA LIBRE

$ocente% Ing. Rene Delgado Salguero

Au&iliar% Univ. ladi!ir Marino Aduviri

7/25/2019 Fis-100L_inf. 3

19/19

'studiante% Univ. Flavio Al"redo #an$aniAlar%&n

Carrera% Ingenier'a Civil

(ru)o% F

Fec*a de 'ntrega% ( de A)ril de *++(

La ,a-Bolivia