Captulo 26

288 Capacitores

Captulo 8. Capacitores 287

RESUMEN

Un capacitor es un dispositivo que almacena carga elctrica y energa potencial. La capacitancia C de un capacitor es la razn de la carga almacenada sobre las placas del capacitor a la diferencia de potencial entre ellas:

La unidad de capacidad es C/V = faradio. El faradio es una unidad muy grande y se emplea el (F (10 6), el nF (109) y el pF(10 12 ).

SistemaCapacitancia

Esfera aislante cargada de radio R

Capacitor de placas planas paralelas de rea A y separacin d

Capacitor cilndrico de longitud L, radio interno a y radio externo b

Capacitor esfrico con radio interno a y radio externo b

La capacitancia equivalente de capacitores conectados en paralelo y en serie son

(paralelo)

(serie)

El trabajo hecho en cargar un capacitor a una carga Q es

Esto es igual a la cantidad de energa almacenada en el capacitor.

La energa elctrica puede tambin ser almacenada a travs del campo elctrico E. La densidad de energa (energa por unidad de volumen) es

La densidad de energa uE es igual a la presin electrosttica sobre una superficie.

Cuando un material dielctrico con constante dielctrica (e es insertado en un capacitor, la capacitancia se incrementa por un factor (e:

El vector de polarizacin P es el momento dipolar magntico por unidad de volumen:

El campo elctrico inducido debido a la polarizacin es

En la presencia de un dielctrico con constante dielctrica (e, el campo elctrico ser

donde E0 es el campo elctrico sin dielctrico.

PREGUNTAS 8.1. Si se le pidiera disear un capacitor para una situacin en la cual se requiriese de tamao pequeo y gran capacitancia. Qu factores seran importantes en su diseo?

Utilizaramos un capacitor lleno de dielctrico de constante dielctrica muy grande. Adems, el dielctrico debe ser tan fino como sea posible, teniendo presente que la ruptura dielctrica debe tambin ser considerada.

8.2. Se dan dos capacitores, C1 y C2, en donde C1 > C2. Cmo podran disponerse las cosas de modo que C2 pudiera contener mas carga que C1?

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8.3. Las placas de un capacitor estn conectadas a una batera. Qu ocurre con la carga en las placas si los alambres se quitan de la batera? Qu pasa con la carga si los alambres se quitan de la batera y se conectan entre s?

Las placas de un capacitor estn conectadas a una batera. Si los alambres que conectan se quitan de la batera, nada sucede a la carga en las placas. El capacitor sigue cargado. Sin embargo, si los alambres se quitan de la batera y se conectan el uno al otro, el capacitor se descarga. Esto es porque las placas cargadas inicialmente lo son con cargas que son iguales en magnitud y de signo contrario.

8.4. Analice las semejanzas y diferencias cuando se inserta (a) una lmina de dielctrico y (b) una lmina conductora entre las placas de un capacitor de placas paralelas. Suponga que los espesores de las lminas son de la mitad de la separacin entre las placas.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.5. Un par de capacitores se conectan en paralelo mientras un par idntico se conecta en serie. Qu par sera ms peligroso de manejar despus de haberse conectado a la misma fuente de voltaje? Explique.

Despus de ser conectados a la misma fuente del voltaje, el par conectado en paralelo sera ms peligroso de manejar puesto que tendra una capacitancia equivalente ms grande, y por lo tanto almacenara ms carga y energa.

8.6. Un capacitor de placas paralelas se carga mediante una batera, la cual despus se desconecta. Entonces se desliza una lmina de material dielctrico entre las placas. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo elctrico y a la energa almacenada.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.7. Qu ventaja habra al usar dos capacitores idnticos en paralelo conectados en serie con otro par en paralelo idntico, en lugar de usar un solo capacitor?

La ventaja al usar dos capacitores idnticos en paralelo conectados en serie con otro par en paralelo idntico, en lugar de usar un solo capacitor, es que este arreglo disminuira la diferencia potencial entre las placas de cualquier capacitor individual por un factor de 2, as disminuye la posibilidad de la interrupcin dielctrica (conduccin a travs del material dielctrico).

8.8. Tenemos a un capacitor de placas paralelas cuadradas de rea A y separacin d, en el vaco. Cul es el efecto cualitativo de cada uno de los casos siguientes sobre su capacitancia? (a) Si d se reduce. (b) Si se coloca una lmina de cobre entre las placas, pero sin que toque a ninguna de ellas. (c) Si se duplica el rea de una placa solamente. (d) Si se desliza a las placas paralelamente entre s de modo que el rea de traslape sea del 50%. (e) Si se duplica la diferencia de potencial entre las placas. (f) Si se inclina a una placa de modo que la separacin permanezca, siendo d en un extremo pero d en el otro.

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8.9. Siempre es posible reducir una combinacin de capacitores a un capacitor equivalente con las reglas que se han desarrollado? Explique.

No es siempre posible reducir una combinacin de capacitores a un capacitor equivalente por las reglas de combinaciones en series y en paralelo. Puede haber combinaciones, como la que est mostrada en la figura, que no se puede reducir por estas reglas.8.10. Un material dielctrico se desliza entre las placas de un capacitor de placas paralelas mientras permanece conectado a una batera. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo elctrico y a la energa almacenada. Se requiere trabajo para insertar material?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.11. En vista de que las cargas sobre las placas de un capacitor de placas paralelas son de signos opuestos, se atraen entre s. En consecuencia, se requerira trabajo positivo para aumentar la separacin de placas. Qu sucede con el trabajo externo efectuado en este proceso?

Ya que las cargas en las placas de un capacitor de placas plano paralelas son de signo opuesto, se atraen. Por lo tanto, debemos hacer trabajo positivo para aumentar la separacin de las placas. El trabajo externo hecho en este proceso se transforma en energa almacenada en el campo elctrico del capacitor.8.12. Dos capacitores idnticos estn conectados como se muestra en la figura. Entre las placas se desliza una lmina de material dielctrico, permaneciendo conectada la batera. Describa cualitativamente lo que le sucede a la carga, a la capacitancia, a la diferencia de potencial, al campo elctrico y a la energa almacenada por cada capacitor.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.13. Si la diferencia de potencial a travs de un capacitor se duplica, en qu factor cambia la energa almacenada?

Ya que U = CV 2, duplicando la diferencia potencial a travs de un capacitor se cuadruplicar la energa almacenada.

8.14. Un capacitor est conectado a una batera. (a) Por qu cada placa recibe una carga de la misma magnitud exactamente? (b) Es esto cierto aun cuando las placas son de tamaos diferentes.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.15. Por qu es peligroso tocar las terminales de un capacitor de alto voltaje incluso despus de que el voltaje aplicado se ha eliminado? Qu puede hacerse para lograr que un capacitor se maneje con seguridad despus de que se ha quitado la fuente de voltaje?

Es peligroso tocar los terminales de un capacitor de alto voltaje incluso despus de que el voltaje aplicado se haya eliminado. Esto es porque a menudo un capacitor sigue cargado largo tiempo despus de que el voltaje aplicado es removido. Esta carga residual puede ser mortal. El capacitor puede ser manejado con seguridad despus de descargar las placas con un cortocircuito con ayuda de un conductor, tal como un destornillador, con una manija aislante; en realidad es mejor usar una resistencia para no daar el condensador.8.16. Entre las placas de un capacitor como el de la figura se coloca una lmina delgada de aluminio de espesor despreciable. Qu efecto tiene sobre la capacitancia si (a) la hoja est aislada elctricamente y (b) si la hoja est conectada a la placa de arriba.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.17. Describa como puede aumentar el voltaje de operacin mxima de un capacitor de placas paralelas para una separacin de placa fija.

Uno puede aumentar el voltaje de funcionamiento mximo de un capacitor de placas plano paralelas para una separacin fija de la placa, insertando un material dielctrico entre las placas, que tenga un mayor voltaje de ruptura que el material que est actualmente entre las placas.

8.18. Una lmina dielctrica se inserta en un extremo de un capacitor de placas paralelas cargado (siendo las placas horizontales y habiendo sido desconectada a la batera de carga) y luego se retira. Describa qu sucede. Desprecie la friccin.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.19. Explique por qu un dielctrico aumenta el voltaje de operacin mximo de un capacitor aunque el tamao fsico de ste no cambie.

El voltaje de funcionamiento mximo que un capacitor puede soportar sin entrar en corto (conduccin a travs del material que se supone aislante) es incrementado con un dielctrico, ya que la rigidez dielctrica (el campo elctrico mximo que un material puede soportar sin el corto) es mayor que la del aire.

8.20. Tenemos un capacitor aislado de placas plano paralelas de rea A, separadas una distancia d en aire (puede considerarse vaco). El capacitor est cargado con carga Q. Aplicando una fuerza F separamos las armaduras hasta que su distancia se hace doble (2d). Razone el balance energtico entre el nuevo estado elctrico del capacitor y el trabajo realizado por la fuerza.

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8.21. Si un capacitor lleno de dielctrico se calienta, Cmo cambiar su capacitancia? (ignore la expansin trmica y suponga que las orientaciones de dipolo dependen de la temperatura).La capacitancia de un capacitor lleno de dielctrico disminuir con el aumento de temperatura. Esto es debido al hecho que a altas temperaturas, la alineacin del dipolo se reduce, lo cual reduce el campo interno debido a los dipolos, y por lo tanto disminuye la constante dielctrica.8.22. Los capacitores se almacenan a menudo con un alambre conectado entre sus terminales. Por qu se hace esto?

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PROBLEMAS

8.1. Dos conductores con cargas netas de +10.0 C y 10.0 C. tienen una diferencia de potencial de 10.0 V. Determine (a) la capacitancia del sistema y (b) la diferencia de potencial entre los dos conductores si las cargas en cada uno se incrementan hasta +100C y 100 C

Solucin:

(a) Dos conductores forman lo que se conoce como capacitor, un dispositivo para almacenar carga y energa. La capacitancia C de un capacitor es el cociente de la magnitud de la carga Q en cualquier conductor a la magnitud de la diferencia potencial V entre ellas, esto es C Q/V. Observe que esta definicin indica que la capacitancia es siempre una cantidad positiva. As pues, la capacitancia del sistema de dos conductores es

C = 1.00 F

(b) Si ahora la carga en el capacitor * ha aumentado a 100 C, la diferencia potencial entre los dos conductores es

V' = 100 V

* Observe que aunque la carga total en el capacitor es realmente cero (porque hay tanto exceso de carga positiva en un conductor como hay exceso de carga negativa en el otro), la magnitud de la carga en cualquier conductor est referida como la carga en el capacitor.

8.2. Un capacitor de placas paralelas tiene placas de rea A separadas por una distancia d. Una batera carga a las placas hasta una diferencia de potencial V0. A continuacin se desconecta la batera y se introduce un material dielctrico de ancho d. Cmo se compara la densidad de energa entre las placas del capacitor antes y despus de introducir el material dielctrico? 8.3. Un capacitor lleno de aire est compuesto de dos placas paralelas, cada una con un rea de 7.60 cm2, separadas por una distancia de 1.80 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo elctrico entre las mismas, (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y (d) la carga sobre cada placa.

Solucin:

(a) La diferencia potencial entre dos puntos a y b separados por una distancia d, donde d es medido paralelo a las lneas de campo entre las placas paralelas (vase la figura de la siguiente pgina), encontramos

Debido a que el campo E entre las placas es uniforme, podemos sacarlo de muestra integral, esto da

Vb Va es negativo porque a est en un potencial ms alto que b. Por lo tanto, la diferencia potencial entre las placas se puede expresar en trminos de E como V = Va Vb = (Vb Va) = Ed, de donde

E = 11.1 kV/m

La direccin del campo elctrico es hacia la placa negativa.

(b) Utilizaremos la ley del Gauss para derivar una expresin para la densidad de carga superficial en funcin de E, la magnitud del campo elctrico. La figura muestra una vista lateral de las placas conductoras. Seleccionamos una superficie gaussiana en la forma de un cilindro con las tapas de los extremos (para formar una superficie cerrada), segn lo mostrado por las lneas punteadas. Cada tapa tiene un rea arbitraria A' y una reside en el interior y otra en el exterior de la placa de la izquierda. De la ley de Gauss,

El campo elctrico es cero en todo el interior de un conductor, por tanto para la tapa interior. El campo fuera de la placa es perpendicular a ella, por tantopara la superficie curva del cilindro. En la regin del espacio donde el campo es uniforme (entre las placas conductoras), el campo pasa perpendicular a travs de la tapa del extremo exterior y tambin tiene una magnitud constante en cada punto en esa superficie de la tapa. Por lo tanto,

(1)

donde A' es el rea de la tapa derecha. La carga qin, la carga total dentro del cilindro gaussiano, consiste en la carga que est situada en la superficie derecha de la placa izquierda (la carga reside solamente en la superficie de un conductor). Puesto que la densidad de carga (carga por unidad de rea) en la superficie de la placa es , entonces, qin = A'.

El sustituir el valor de qin en la ecuacin (1) y resolver para E da

lo cual da

= 0E = (8.85 1012 C2/N.m2) (1.11 104 N/C) = 9.83 108 C/m2 = 98.3 nC/m2

(c) La capacitancia C de un capacitor es el cociente de la magnitud de la carga Q en cualquier conductor a la magnitud de la diferencia potencial V entre ellos, es decir, C Q/V. En este problema V = Ed y E = /0 = Q/A0. Por lo tanto,

(2)

y la capacitancia del capacitor de placas paralelas es

C = 3.74 pF

Note que 1 cm2 = 104 m2 y que 1 picofaradio = 1pF = 1012 F.

(d) La magnitud de la carga sobre cada placa del capacitor es

Q = CV = (3.74 1012 F) (20.0 V) = 7.48 1011 CQ = 74.8 pC

8.4. Se dispone de un recipiente de dimensiones a, b, c, lleno de un lquido de constante dielctrica (r. Las dos caras de dimensiones a y b son metlicas, y estn conectadas a una batera de potencial V0. Si se desconecta la batera, calcular cul debe ser el volumen de lquido que debemos desalojar del recipiente para que la diferencia de potencial entre las dos caras metlicas aumente en un 25 % de su valor inicial. (La distancia entre placas se mantiene constante durante el proceso).

Resp.

8.5. Un cable coaxial de 50.0 m de largo tiene un conductor interior con un dimetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 (C. El conductor circundante tiene un dimetro interior de 7.27 mm y una carga de (8.10 (C. (a) Cul es la capacitancia de este cable? (b) Cul es la diferencia de potencial entre los dos conductores? Suponga que la regin entre los conductores es aire. Solucin:(a) La diferencia de potencial entre dos cilindros fue previamente derivada en la solucin al problema 7.25 (vea la ecuacin (2) en esta solucin). Encontramos

Sustituyendo este resultado en la ecuacin definida para la capacitancia, y usando el hecho que =Q/L, obtenemos

C = 2.68 109 F oC = 2.68 nF

Note que a/b = 2a/2b.

(b) Usando la definicin de capacitancia, encontramos que la diferencia de potencial entre los dos conductores es

oV = 3.02 kV

8.6. Tres capacitores C1, C2 y C3, de 3(F a) Calcular la carga de cada capacitor despus de conectar C4.b) Hallar la variacin de energa del sistema.

8.7. Cuatro capacitores se conectan como se muestra en la figura. (a) Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos a y b. (b) Calcule la carga en cada capacitor si (Vab = 15.0 V

Solucin:

(a) Para encontrar la capacitancia equivalente entre a y b para la combinacin de capacitores mostrados en la figura (a), reducimos la combinacin paso a paso como se indica en las figuras de la (a) a la (d).

Los capacitores de 15.0 F y de 3.00 F estn en serie, entonces su capacitancia equivalente C5, es

C5 =2.50 F

Los capacitores de 2.50 F y 6.00 F estn en paralelo, as que su capacitancia equivalente C6, es

C6 = C5 + C 3 = 2.50 (F + 6.00 F = 8.50 F

Los capacitores de 8.50 F y 20.0 F estn en serie, su capacitancia equivalente, que es tambin la capacitancia equivalente de la combinacin de capacitores, ser

Ceq = 5.96 F

(b) Para encontrar la carga y la diferencia potencial a travs de cada capacitor, trabajamos al revs en las figuras (d) a (a). La carga en el capacitor de 5.96 F es

Q = CeqVab = (5.96 F)(15.0 V) = 89.5 CEsta es la carga que fluye a a b para cargar los capacitores de 8.50 F y 20.0 F. Por lo tanto, la carga a travs de estos capacitores es 89.5 C.

Q6 = 89.5 CyQ4 = 89.5 C

donde Q4 es la carga sobre el capacitor de 20.0 F. Los capacitores de 2.50 F y de 6.00 F comparten una carga total de 89.5 C. Para encontrar la carga total sobre cada uno de estos capacitores, primero encontramos la diferencia de potencial a travs de cada uno de estos capacitores, que es igual que la diferencia potencial a travs de su capacitor equivalente. Esto es porque los dos capacitores estn en paralelo. Por lo tanto,

Por lo tanto, para el capacitor de 6.00 F,

Q3 = C3Vac = (6.00 F)(10.53 V)Q3 = 63.2 C

y para el capacitor de 2.50 F,

Q5 = C5Vac= (2.50 F)(10.53 V) Q5 = 26.3 C

Esta es la carga que fluye de a a c a travs de los capacitores de 15.0 F y 3.00 F, que estn en serie. Si Q1 es la carga en el capacitor de 15.0 F, y Q2 es la carga en el capacitor de 3.00 F, entonces

Q1 = Q2 = 26.3 C

Debemos comprobar nuestros resultados para cerciorarnos que no hayamos cometido un error en nuestros clculos. Las cargas en los capacitores de 2.50 F y 6.00 F deben sumar hasta 89.5 C, lo cual es el caso puesto que

26.3 C + 63.2 C = 89.5 C.

8.8. Dos capacitores iguales de capacidad 10 F, conectados en paralelo, estn cargados a una diferencia de potencial de 100 V. A continuacin, introducimos un dielctrico de r = 3 entre las armaduras de uno de ellos. Explicar:

(a) Cmo cambiar la carga en cada uno de los capacitores respecto a la situacin de partida?

(b) Cmo cambiar la diferencia de potencial?

(c) Cmo cambiar la energa almacenada?

(d) Cmo se explica el cambio de energa teniendo en cuenta que debe cumplirse el principio de conservacin de la energa?8.9. (a) Un capacitor de 3.00 (F est conectado a una batera de 12.0 V. Cunta energa se almacena en el capacitor? (b) Si el capacitor hubiese estado conectado a una batera de 6.00 V, cunta energa se habra almacenado?

Solucin:

(a) La energa almacenada en un capacitor cuando una diferencia potencial V se aplica entre sus placas es dada por U = CV 2. As pues, cuando el capacitor est conectado con una batera 12 V, la energa almacenada en el capacitor es

U = CV 2 = (3.00 106 F)(12.0 V)2 = 2.16 104 JoU = 216 J

(b) Si el capacitor habra sido conectado con una batera de 6.00 V, la energa almacenada en el capacitor sera

U ' = CV ' 2 = (3.00 106 F)(6.00V)2 = 5.40 105 JoU ' = 54.0 J

la cual es de su valor original.

8.10. Determinar la capacidad equivalente de la disposicin de condensadores mostrada en la figura. Si el voltaje aplicado entre los puntos a y b es de 120 V, calcular la carga y la diferencia de potencial de cada condensador, as como la energa del sistema.

8.11. Demuestre que la energa asociada a una esfera conductora de radio R y carga Q rodeada por el vaco es U = ke Q2 /2R.

Solucin:

Encontraremos la energa asociada a la esfera conductora usando el concepto de la densidad de energa. Recuerde que si un campo elctrico existe en cualquier punto en el espacio (vaco), podemos pensar en ese punto como el sitio de la energa almacenada por unidad de volumen, de 0 E2.

Dentro de la esfera conductora (r < R), el campo elctrico es cero. En los puntos fuera de la esfera, una distancia r de su centro (r > R), el campo elctrico E es equivalente al de una carga puntual situada en el centro de la esfera, y entonces

.

La densidad de energa a cualquier radio r se encuentra de

Debido a que el campo elctrico es esfricamente simtrico, imaginamos el espacio alrededor de la esfera que se compondr de un nmero infinito de cscaras esfricas concntricas elementales, cada uno que tiene un radio r, un grueso dr, y un volumen dV=Adr (no voltaje!), donde A=4 r2 es el rea superficial del casquete (vea la figura). La energa dU que permanece en este elemento de volumen es

Ya queentonces. Por lo tanto,

Debido a que el campo elctrico es cero para r < R, obtenemos la energa total U en el campo elctrico integrando de r = R a r = :

Observe que ste es igual que el trabajo necesario para cargar una cscara a una carga total Q trayendo cargas desde una gran distancia. Vea el problema 7.23.

8.12. Un capacitor est formado por dos placas de superficies 120 cm2, cada una, y sometidas a una diferencia de potencial de 200 V. Determinar qu fuerza hay que hacer en cada placa para mantenerlas separadas 2 cm.Resp.

8.13. Un capacitor comercial se construye como se muestra en la figura. Este capacitor particular se enrolla a partir de dos tiras de aluminio separadas por dos tiras de papel cubierto de parafina. Cada tira de lmina y de papel mide 7.00 cm de ancho. La lmina tiene un espesor de 0.00400 mm; el papel tiene un espesor 0.025 mm y una constante dielctrica de 3.70. Qu longitud deben tener las tiras si se desea una capacitancia de 9.50 10(8 F? (Emplee la frmula de placas paralelas.)

Solucin:La capacitancia de un capacitor de placas plano paralelas sin un material dielctrico entre sus placas fue encontrada por (vase la ecuacin (2) en la solucin al problema 8.3.

donde A es el rea de la placa y d es la separacin de las placas. En la situacin actual las placas son las lminas metlicas, cada una tiene un rea A = wL

Cuando un dielctrico llena totalmente la regin entre las placas del capacitor, la capacitancia del capacitor aumenta en el factor . Es decir, la nueva capacitancia es

con la cual podemos calcular la longitud de las tiras lmina y de papel para tener la capacitancia deseada:

L = 1.04 m

Observe que la longitud de las tiras es independiente del grueso t de la hoja de metal y por lo tanto no entra en el clculo de L.

8.14. Determinar la relacin que existe entre las capacidades de dos capacitores si conectados en serie tiene una capacidad cuatro veces menor que conectados en paralelo. 8.15. Un capacitor de placas paralelas en aire tiene una separacin de placas de 1.50 cm y un rea de placas de 25.0 cm2. Las placas estn cargadas a una diferencia de potencial de 250 V y se encuentran desconectadas de la fuente. Despus se sumerge el capacitor en agua destilada. Determine (a) la carga en las placas antes y despus de la inmersin, (b) la capacitancia y el voltaje despus de la inmersin, y (c) el cambio de la energa del capacitor. Ignore la conductancia del lquido.

Se conoce que: = 80 = constante dielctrica del agua

Solucin:

(a) La capacitancia de un capacitor de placas paralelas de rea A, de separacin entre placas d, y sin un material dielctrico entre sus placas es

Por definicin, C0 = Q0/V0, donde Q0 y V0 representan la carga en las placas y la diferencia de potencial entre las placas antes de que el capacitor se sumerja en agua. Por lo tanto,

Q0 = C0V0 = (1.475 ( 1012 F)(250 V) = 3.69 ( 1010 C

Ya que las placas del capacitor se han desconectado de la fuente de potencial (batera), la carga sobre las placas del capacitor permanece igual despus que el capacitor se sumerja en el agua, esto es

Q = Q0 = 369 pC

(b) Despus de la inmersin, la capacitancia del capacitor se incrementa por el factor . Entonces,

C = C0 = (80)(1.475 ( 1012 F) = 1.18 ( 1010 FC = 118 pF

y la diferencia potencial entre las placas del capacitor es

V = 3.13 V

(c) La energa almacenada en el capacitor antes de la inmersin es

U0 = C0V02 = (1.475 (1012 F)(250 V)2 = 4.61 ( 108 J

y la energa almacenada en el capacitor despus de la inmersin es

U = CV 2 = (1.18 1010 F)(3.13 V)2 = 5.78 1010 J = 0.0578 108 J

de modo que el cambio en la energa del capacitor es

U = U U0 = (0.0578 4.61) 108 J = 4.55 108 JU = 45.5 nJ

8.16. Encontrar la capacidad equivalente de los siguientes sistemas:

(a) C1 = 2 (F, C2 = 3 (F, C3 = 9 (F

(b)

Resp.

8.17. Considere dos largos alambres paralelos y con cargas opuestas, de radio d y con sus centros separados por una distancia D. Suponiendo que la carga se distribuye de manera uniforme sobre la superficie de cada alambre, demuestre que la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres es

Datos: Dos largos alambres paralelos y con cargas opuestas. Asuma que la carga est distribuida uniformemente en la superficie de cada alambre.d = radio de cada alambre D = distancia entre los centros de los dos alambres

Encontrar: C/ = la capacitancia por unidad de longitud del par de alambres

Solucin: El campo elctrico una distancia r de un alambre de carga positiva de longitud infinita y de carga constante por la longitud de unidad fue encontrado por

perpendicular a la direccin del alambre. Esta ecuacin fue derivada usando la ley de Gauss. Vea la ecuacin 2 en la solucin del problema 6.13. A lo largo de la lnea que une los dos alambres el campo elctrico debido al alambre positivamente cargado a est en la misma direccin que el del alambre negativamente cargado b. Por lo tanto, el campo elctrico total en P es

Una vez que sepamos el campo elctrico entre los dos alambres vara con distancia del primer alambre, podemos calcular la diferencia potencial entre los dos alambres, que se da por

donde Ex es el campo elctrico entre los alambres, en la regin de x=d a x=Dd (no hay campo elctrico dentro de los alambres). Sustituyendo el valor de Ex en esta expresin tenemos:

Este resultado indica que el alambre b est en un potencial ms bajo que a.

Para encontrar la capacitancia por unidad de longitud del par de alambres, aplicamos la definicin de capacitancia C = Q/V, donde

es la magnitud de la diferencia potencial, una cantidad positiva. Usando el hecho de que = Q/ y ke=1/(4( (0), encontramos

8.18. Calcular la energa total almacenada en el siguiente sistema de capacitores:

8.19. Una placa conductora de espesor d y rea A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas con espaciamiento s y rea superficial A, como se muestra en la figura. La placa no necesariamente est a la mitad entre las placas del capacitor. Cul es la capacitancia del sistema?Solucin:

Imaginmonos que el capacitor est cargado con una carga Q. Cualquier carga que aparezca en una placa del capacitor induce una carga de igual magnitud y diferente signo en el lado ms cercano de la lmina, segn lo mostrado en la figura. Debido a esto, la carga neta en la lmina es cero. El campo elctrico dentro de la lmina, que es un conductor, es tambin cero. Por lo tanto, el capacitor con la lmina es elctricamente equivalente a dos capacitores en serie. Los capacitores de arriba y de abajo tienen capacitancias

y

donde A1 y A2 son las reas de los capacitores de arriba y de abajo, respectivamente, y s1 y s2 son las separaciones entre las placas de los capacitores de arriba y de abajo, respectivamente.

Como A1 = A2 = A, la capacitancia equivalente del sistema es

Pero, segn lo visto de la figura, s1 + s2 = s d. Por lo tanto,

El resultado demuestra que la capacitancia del sistema es independiente de la posicin de la lmina.

8.20. Disponemos de dos capacitores de 3(F y 5 (F cargados a 500 V y 700 V respectivamente. Permaneciendo cargados se unen las placas del mismo signo. Determinar la diferencia de potencial que se establecer y la carga de cada capacitor.

8.21. Un capacitor se construye a partir de dos placas cuadradas de lados y separacin d. Un material de constante dielctrica se inserta a una distancia x dentro del capacitor, como se ilustra en la figura. (a) Encuentre la capacitancia equivalente del dispositivo. (b) Calcule la energa almacenada en el capacitor si la diferencia de potencial es (V. (c) Encuentre la direccin y magnitud de la fuerza ejercida sobre el dielctrico, suponiendo una diferencia de potencial constante (V. Ignore la friccin. (d) Obtenga un valor numrico para la fuerza suponiendo que = 5.00 cm, (V = 2 000 V, d = 2.00 mm, y que el dielctrico es vidrio ( = 4.50). (Sugerencia: el sistema puede considerarse como dos capacitores conectados en paralelo). Solucin:

(a) Cuando la lmina dielctrica se inserta una distancia x en el capacitor original, la parte del capacitor llena de dielctrico y la parte llena de aire, forman dos capacitores nuevos de placas paralelas. Ya que la diferencia potencial Vab a travs del capacitor de placas paralelas de ancho x, de la constante dielctrica y de rea A1 es igual a la del capacitor lleno de aire de placas paralelas y ancho x y rea A2, el dispositivo es equivalente a los dos capacitores, C1 y C2, conectados en paralelo, donde

y

de modo que

(b) La energa almacenada en el capacitor en el instante que el dielctrico se inserta una distancia x entre las placas del capacitor es

(1)

(c) Hay un aumento en la energa almacenada en el capacitor como resultado de la insercin de la lmina dielctrica (vase la solucin al problema 8.25). Segn el principio de conservacin de la energa, el cambio en la energa electrosttica dU producida por la insercin de la lmina una distancia dx en el capacitor debe venir del trabajo producido por todas las fuerzas externas: el trabajo Vdq realizado por la fuente (por ejemplo, una batera) que mantiene las placas del capacitor a un potencial fijo V mas el trabajo Fdx requerido por un agente externo para insertar la lmina en el capacitor. (Las cargas sobre las placas ejercen fuerzas de atraccin en las cargas inducidas del dielctrico.) Es decir,

dU = Vdq + Fdx (2)

De la Ecuacin (1):

(3)

En el instante que el dielctrico se inserta una distancia x en el capacitor, la carga en el capacitor es

Esta carga aumenta (vase la solucin al problema 8.25) en una cantidad dq mientras que la lmina se inserta una distancia infinitesimal dx. El aumento en carga es

(4)

Sustituyendo las ecuaciones (3) y (4) en la ecuacin (2) da

El signo negativo que aparece en esta ecuacin indica que la direccin de la fuerza ejercida por el agente que inserta la lmina dielctrica en el capacitor debe ser opuesto al del desplazamiento de la lmina. El campo elctrico no uniforme cerca de los bordes del capacitor de placas paralelas hace que la lmina sea jalada en el capacitor. El agente externo que inserta la lmina debe por lo tanto ejercer una fuerza que la frene para insertarla sin aceleracin. La magnitud de esta fuerza que frena es

(d) Sustituyendo los valores dados en la ecuacin precedente encontramos

F = 1.55 ( 103 N

8.22. Una superficie metlica cilndrica muy larga de radio R1 y carga +q est rodeada por otra concntrica tambin cilndrica de radio R2 y carga q. Entre ellas existe un dielctrico de permitividad 30. Si la longitud de las superficies cilndricas es L, determinar:

a) La capacidad del capacitor descrito.

b) La densidad superficial de carga junto al conductor interior.

8.23. En el arreglo mostrado en la figura se aplica una diferencia de potencial (V, y C1 se ajusta de modo que el voltmetro entre los puntos b y d lea cero. Este "balance" ocurre cuando C1 = 4.00 (F. Si C3 = 9.00 (F y C4 = 12.0 (F, calcule el valor de C2.

Solucin:

Cuando el voltmetro entre los puntos b y d lee cero, ninguna carga lo atraviesa, y el potencial del punto b es igual que del punto d, es decir, Vb Vd = Vbd = 0. En este caso,

Vbc = Vdco (1)

Vab = Vado (2)

Ya que los capacitores C1 y C2 estn en la serie, Q1 = Q2, y los capacitores C3 y C4 estn en serie, Q3 = Q4. Por lo tanto, de ecuaciones (1) y (2),C2 = 3.00 F

8.24. Se rellena un capacitor de placas paralelas, de rea A y separacin entre sus placas d, con dos dielctricos de igual tamao de rea A/2 y espesor d. Demostrar (a) que este sistema puede considerarse como dos capacitores de rea A/2 conectados en paralelo, y (b) que la capacitancia se ve aumentada en el factor (1 + 2)/2.

8.25. Un capacitor de placas paralelas con separacin de placas d se carga hasta una diferencia de potencial (V0. Una lmina dielctrica de espesor d y constante dielctrica ( se introduce entre las placas mientras la batera permanece conectada a stas. (a) Muestre que la proporcin entre la energa almacenada despus de que el dielctrico se introduce y la energa almacenada en el capacitor vaco es U/U0 = . Proporcione una explicacin fsica para este aumento en la energa almacenada. (b) Qu sucede con la carga del capacitor? (Advierta que esta situacin no es la misma a la cual la batera se quita del circuito antes de introducir el dielctrico.)Solucin:

(a) Antes de introducir la lmina dielctrica, la capacitancia del capacitor es C0 y la energa U0 almacenada en el capacitor vaco es

U0 = C0V02Despus de que la lmina dielctrica se introduzca entre las placas, la capacitancia C es aumentada en un factor . Es decir,

C = C0

y la energa almacenada en el capacitor con el dielctrico es

U = CV 2 del = ( C0) V02 = ( C0V02) = U0donde V=V0 porque la batera permanece conectada a las placas (es decir, la diferencia de potencial entre las placas permanece constante). Por lo tanto, el cociente de la energa almacenada despus de que la lmina dielctrica se introduzca entre las placas a la energa almacenada en el capacitor vaco es

U/U0 = .

El aumento en la energa almacenada viene del trabajo elctrico hecho por la batera, pues la nueva carga fluye sobre el capacitor para mantener V0 constante.

(b) La carga Q del capacitor despus de que se haya insertado la lmina dielctrica es

Q = CV = ( C0) V0 = (C0V0)Q = Q0

donde Q0=C0V0 es la carga del capacitor antes de que la lmina dielctrica fuera insertada entre las placas. Este resultado demuestra que la carga aumenta en un factor como resultado de la insercin de la lmina dielctrica.

8.26. Tres capacitores tienen capacitancias 2.0, 4.0 y 8.0 F. Hallar la capacitancia equivalente (a) si los capacitores estn en paralelo y (b) si estn en serie.8.27. En la figura se muestra un capacitor variable de aire del tipo empleado para sintonizar aparatos de radio. Estn conectados entre si placas alternadas, un grupo fijo en posicin y el otro con posibilidad de rotacin. Considere un grupo de N placas de polaridad alterna, cada una de ellas con un rea A y separadas de las placas contiguas por una distancia d. Demuestre que este capacitor tiene una capacitancia, mxima de:

Solucin:

De acuerdo al grfico podemos ver que se forman N ( 1 capacitores con un rea de solapamiento variable.

Cada uno de estos capacitores tiene una capacitancia

donde ( es el ngulo formado en el rea sin solapamiento.

Ya que se forma un sistema de N ( 1 capacitores en paralelo, la capacitancia equivalente es la suma de las capacitancias individuales, as

De acuerdo a esta ecuacin, la capacitancia ser mxima cuando ( sea igual a cero, entonces

PROBLEMAS ADICIONALES

8.28. (a) Si un capacitor de placas planas paralelas tiene una separacin de 0.15 mm, cul deber ser su rea para que tenga una capacitancia de 1.0 F? (b) Si las placas son cuadradas, cul es la longitud de su lado?Resp. (a) 1.69 107 m2, (b) 4.12 103 m.

8.29. Un capacitor de placas planas paralelas tiene una capacitancia de 2.0 F y la separacin entre sus placas es de 1.6 mm. (a) Qu diferencia de potencial puede establecerse entre las placas antes de que se produzca la ruptura dielctrica del aire? (EMAX = 3.0 MV/m) (b) Cul es el valor de la carga mxima que puede almacenar el capacitor antes de que se produzca la ruptura dielctrica?

8.30. La membrana del axn de una clula nerviosa es una delgada capa cilndrica de radio R = 105 m, longitud L =0.1 m, y espesor d = 108 m. La membrana tiene una carga positiva sobre uno de sus lados y una carga negativa sobre el otro y acta como un capacitor de placas paralelas de rea A = 2 RL y separacin d. Su constante dielctrica es aproximadamente = 3.0. (a) Determinar la capacitancia de la membrana. Si la diferencia de potencial a travs de la membrana es 70.0 mV, determinar (b) la carga sobre cada lado de la membrana y (c) el campo elctrico a travs de la membrana.Resp. (a) 1.67 108 F, (b) 1.17 109 C, (c) 7.00 106 V/m.

8.31. Un capacitor posee placas rectangulares de longitud a y ancho b. La placa superior est inclinada un pequeo ngulo. La separacin de las placas vara de d0 hasta 2 d0, siendo d0 menor que a o b. Calcular la capacitancia utilizando bandas de ancho dx y de longitud b que actan como capacitores diferenciales aproximados de rea b dx y separacin d = d0 + (d0/a) x conectados en paralelo.

8.32. Dos placas paralelas poseen cargas +Q y Q. Si el espacio entre las placas est desprovisto de materia, el campo elctrico es de 2.5 105 V/m. Cuando el espacio se llena con un dielctrico determinado, el campo se reduce a 1.2 105 V/m. (a) Cul es la constante dielctrica del dielctrico? (b) Si Q = 10.0 nC, cul es el rea de las placas? (c) Cul es la carga total inducida en cada una de las caras del dielctrico?Resp. (a) 2.08, (b) 45.2 cm2, (c) 5.2 nC.

8.33. Cierto dielctrico de constante = 24.0 puede resistir un campo elctrico de 4.0 107 V/m. Con este dielctrico se quiere construir un capacitor de 0.1 F que pueda resistir una diferencia de potencial de 2.0 kV. (a) Cul es la distancia de separacin entre las placas?, (b) Cul debe ser el rea de las placas?Resp. (a) 5.0 105 m, (b) 235 cm2.

8.34. Un capacitor de placas planas paralelas rectangulares de longitud a y ancho b posee un dielctrico de igual ancho insertado parcialmente una distancia x entre las placas. (a) Determinar la capacitancia en funcin de x. Despreciar los efectos de los bordes. (b) Comprobar que la respuesta ofrece los resultados esperados para x = 0, y x = a.Resp. (a) Ce = 0 b[( 1) x + a]/d, (b) Para x = 0, Ce = 0 ba/d; para x = a, Ce = 0ba/d.

8.35. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas de 2.0 m2 de rea y una separacin de 1.0 mm. Se carga hasta 100 V. (a) Cul es el campo elctrico existente entre las placas? (b) Cul es la energa por unidad de volumen en el espacio situado entre las placas? (c) Hallar la energa total multiplicando la respuesta dada a la parte (b) por el volumen entre las placas. (d) Hallar la capacitancia C. (e) Calcular la energa total a partir de U = C V 2/2 comparando el resultado con el de la parte (c).Resp. (a) 105 V/m, (b) 0.0443 J/m3, (c) 8.85 105 J, (d) 1.77 108 F, (e) 8.85 105 J.

8.36. Un capacitor de placas paralelas tiene unas placas de 600 cm2 de rea y una separacin de 4.0 mm. Se carga hasta 100 V y luego se desconecta de la batera. (a) Hallar el campo elctrico E0, la densidad de carga y la energa potencial electrosttica U. Se inserta en su interior un dielctrico de constante = 4.0 que rellena por completo el espacio situado entre las placas. (b) Hallar el nuevo campo elctrico E y (c) la diferencia de potencial V. (d) Hallar la densidad de carga ligada.

8.37. Un capacitor de 20.0 pF se carga hasta 3.0 kV y luego se conecta en paralelo a un capacitor descargado de 50.0 pF. (a) Qu carga adquiere cada uno de los capacitores? (b) Calcular la energa inicial almacenada en el capacitor de 20.0 pF y la energa final almacenada en los dos capacitores. Se pierde o se gana energa al conectar los dos capacitores?Resp. (a) En el capacitor de 20.0 pF la carga es de 1.71 108 C; en el capacitor de 50.0 pF es de 4.29 108 C, (b) La energa inicial es de 9.00 105 J; la energa final es de 2.57 105 J; se pierde energa al conectar los capacitores.

8.38. Dos capacitores de capacitancias C1 = 4.0 F y C2 = 12.0 F se encuentran conectados en serie y alimentados por una batera de 12.0 V. Se desconectan cuidadosamente sin que se descarguen y se conectan en paralelo uniendo sus lados positivos y sus lados negativos. (a) Calcular la diferencia de potencial a travs de cada uno de los capacitores despus de ser conectados. (b) Hallar la energa inicial y final almacenada en los capacitores.

8.39. A un capacitor de placas paralelas de rea A y separacin x se le suministra una carga Q y luego se separa de la fuente de carga. (a) Hallar la energa electrosttica almacenada en funcin de x. (b) Hallar el aumento de energa dU debido al aumento de la separacin de las placas dx a partir de dU = (dU/dx) dx. (c) Si F es la fuerza ejercida por una placa sobre la otra, el trabajo realizado para mover una placa la distancia dx es F dx = dU. Demostrar que F = Q2/20A. (d) Demostrar que la fuerza hallada en la parte (c) es igual a EQ/2, siendo E el campo elctrico entre las placas. Estudiar la razn que justifique la presencia del factor en este resultado.

8.40. Un capacitor de 2.0 F se carga a una diferencia de potencial de 12.0 V y a continuacin se desconecta de la batera. (a) Cunta carga tienen sus placas? (b) Cuando se conecta un segundo capacitor (inicialmente sin cargar) en paralelo a este capacitor, la diferencia de potencial disminuye hasta 4.0 V. Cul es la capacitancia del segundo capacitor?Resp. (a) 24.0 C, (b) 4.0 F.

8.41. Se conectan tres capacitores idnticos de modo que su capacitancia mxima equivalente es de 15.0 F. (a) Describir esta combinacin. (b) Hallar las otras tres combinaciones posibles utilizando siempre los tres capacitores y sus capacitancias equivalentes.Resp. (a) En paralelo los capacitores de 5.0 F, (b) 10/3 F, 7.5 F, y 5/3 F.

8.42. Cuatro capacitores iguales de 30 (F se conectan segn la figura. Determinar la capacidad equivalente del conjunto, la diferencia de potencial a que est sometido, y la carga que almacena cada capacitor si conectamos los puntos A y B a una diferencia de potencial de 500 V.

8.43. Demostrar que las placas de un capacitor se atraen con una fuerza de magnitud F = Q2/(2(0A) (Sugerencia: calcular el trabajo para aumentar la separacin entre las placas, de x hasta x + dx.) Entonces el trabajo realizado en separar las placas cargadas es W = F dx.

8.44. Un capacitor de 1.0 F se conecta en paralelo con un capacitor de 2.0 F y la combinacin se conecta a la vez en serie con otro capacitor de 6.0 F. Cul es la capacitancia equivalente de esta combinacin?Resp. 2.0 F

8.45. Un capacitor de 0.30 F se conecta en serie al paralelo de los capacitores de 1.0 F y 0.25 F. La combinacin est conectada a una batera de 10.0 V. Calcular (a) la capacitancia equivalente, (b) la carga en cada uno de los capacitores, y (c) la energa total almacenada.

8.46. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas con rea A y separacin entre ellas d. Se inserta entre las placas una lmina metlica de espesor t y rea A. (a) Demostrar que la capacitancia viene dada por C = 0A/(d t), independiente del sitio en donde se coloque la lmina de metal. (b) Demostrar que este dispositivo puede considerarse como un capacitor de separacin a en serie con otro de separacin b, siendo a + b + t = d.

8.47. Un capacitor de placas paralelas de rea A y separacin d se carga hasta una diferencia de potencial V y luego se separa de la fuente de carga. Se inserta entonces una lmina dielctrica de constante = 2.0, espesor d y rea A/2. Suponiendo que 1 es la densidad de carga libre en la superficie del conductor-dielctrico y 2 la densidad de carga en la superficie conductor-aire. (a) Por qu debe tener el campo elctrico el mismo valor en el interior del dielctrico que en el espacio libre entre las placas? (b) Demostrar que 1 = 2 2. (c) Demostrar que la nueva capacitancia es 30A/2d y que la nueva diferencia de potencial es 2V/3.

APLICACIONES

Desfibrilador externo.

La aplicacin de electricidad para desfibrilar el corazn tal y como la conocemos en la actualidad es un descubrimiento del mdico y premio Nobel de la Paz Bernard Low, quien en 1961 descubri que la corriente elctrica continua era efectiva para desfibrilar el corazn. Pero el intento de reanimar a las vctimas de un paro cardaco data de muchos aos atrs. Los primeros pasos de la investigacin se dieron en 1889 cuando Prevost y Batelli hallaron que grandes voltajes elctricos aplicados al corazn de un animal ponan fin a la fibrilacin ventricular, y en 1947 se realiz la primera desfibrilacin exitosa en un ser humano. En los aos cincuenta, a partir de la investigacin de Kowenhoven, se empezaron a aplicar electrodos en la pared torcica, pero la revolucin lleg en 1961 cuando se utiliz corriente continua y no alterna, ms eficaz y con menos efectos secundarios. La patente presentada aqu es de 1977.

Hoja

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

d

(Dielctrico)

(Conductor)

Papel

Lmina metlica

tapa

derecha

superficie

curva

tapa

derecha

tapa

izquierda

superficie

gaussiana

(e

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_1177681667.unknown

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