TEORIA DE DEBYE• JHONNY STEVEN PASTRANA

• JEFFERSON MURILLO

• INGENIERIA DE MATERIALES

• UNIVERSIDAD DEL VALLE

La teoría del calor especifico de Debye es una mejora sobre la teoría de Einstein, la teoría de Einstein asume que todos los osciladores armónicos vibran a la misma frecuencia que es una simplificación drástica, en la teoría de Debye, se tiene en cuenta la gamma de frecuencia de los fonones.

Dulong y Petit

Einstein, n = 1,2,……

h= cte de plank

para un simple oscilador armónico

Para encontrar la densidad de los fonones en una frecuencia determinada gamma (f) y (f+df) denotado por D(f)df , Debye asumió el solido a un medio continuo haciendo caso omiso de la estructura discreta de la red cristalina y considera la ecuación de ondas estacionarias en un solido cubico de volumen por simplicidad, teniendo en cuenta un sistema dimensional de 1, la condición de frontera periódica para la onda elástica estacionaria en la dirección x es.

(ec. 1)

Donde q es vector de onda de fonones

q= 0, ,

Por lo tanto la densidad de modos en una dimensión =

En tres dimensiones seria

El numero de modos en el rango de vector de onda q para q+dq se da entonces por.

D(q)dq = (2)

“ es el volumen entre q y q+dq ”

Densidad de estado fonon: D(f)df , f = f+df , v =

En cuanto a la frecuencia w=2 utilizando la relación q=

Donde v es la velocidad de las ondas elásticas en el medio, se obtiene la densidad de estado de fonones como.

D(w)dw = (3) V= volumen

r=velocidad del sonido

f= frecuencia

Hacemos la densidad de fonones en términos de f

D(f)df = (4)

La ecuación (4) esta integrado de el numero total de modos de onda elástica en el solido.

Dado que el numero de grados de libertad de átomos de N en el solidos es 3N, Debye introdujo una frecuencia de corte mediante el establecimiento.

3N = (5)

se denomina frecuencia de Debye

3N = = (6)

La expresión para la frecuencia de Debye en términos de N se obtiene como.

= (7)

En términos de numero de átomos por unidad de volumen n = la frecuencia de Debye esta dada por.

= (8)

Es necesario tener otra ecuación para la velocidad de la onda, ya que el fonon no es el mismo para las vibraciones longitudinales y transversales.

Un oscilador atómico tiene 3 grados de libertad si tenemos en cuenta la velocidad de las ondas en una dirección determinada como el eje x.

La vibración del átomo a lo largo del eje x constituye una onda longitudinal y las vibraciones a lo largo .el eje y, z constituye las ondas transversales en el solido.

y

la ecuación (4) se convierte en

D(f)df = (9)

Integrando la ecuación (9) la expresión para

= (10)

Una estimación aproximada de la frecuencia de Debye se puede hacer con valores típicos de n y v en solidos y .

Usando la (10) obtenemos = la mayor frecuencia de vibración en la red, un rango de infrarrojo lejano.

La energía media de los fonones de la frecuencia f y la ecuación (9) para los estados de fonones, la energía interna total del solido se obtiene como.

La integral se puede simplificar teniendo x y expresando la constante en términos de (10)

(11)

Donde la primera derivada de la (11) con respecto a la temperatura del calor especifico a volumen constante el factor que tiene la dimensión de la temperatura se llama temperatura de Debye y se denota por

Para T

(12)

Esta ecuación se denomina ley de Debye, para la mayoría de los solidos se encuentra en el intervalo . La temperatura de Debye de algunos solidos se encuentran en la siguiente tabla

Solido

Cobre 315

Plata 215

Oro 170

Hierro 420

Níquel 375

Plomo 88

Carbón(diamante) 1860

GRAFICA DE TEMPERATURA DE DEBYE

Para T

La teoría de Debye necesita una mejora adicional, ya que supone el solido a ser un medio continuo y también asume una frecuencia de corte (frecuencia Debye) tanto para las vibraciones longitudinales y transversales de las estructuras, y son buenas solo para los modos de baja frecuencia.

A= electrón libre

B=fonones

BIBLIOGRAFIA

https://www.youtube.com/watch?v=QqYAkuVsqQQ

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/thermo/debye.html

http://seneca.fis.ucm.es/expint/html/fises/debye/debye.html

MUCHAS GRACIAS