fasciculo 3

Semestre 1

Fascículo

3

Fundamentosde Matemáticas

Fundamentosde matemáticas Semestre 1

Fundamentos de matemáticas

Tabla de contenido Página

Introducción 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual 2

Logros 2

Expresiones algebraicas 2

Operaciones con polinomios 7

Adición de polinomios 7

Multiplicación de polinomios 8

División de polinomios 9

Cocientes y productos notables 11

Factorización 15

Actividad de trabajo colaborativo 20

Resumen 20

Bibliografía recomendada 21

Nexo 21

Seguimiento al autoaprendizaje 23

Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.


Semestre 1

Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C.

Orientación a cargo de;

ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008

5 Fascículo No. 3 Semestre 1



Introducción El planteamiento, análisis y solución de situaciones cotidianas de diferentes

ciencias que involucran el manejo de variables, se facilita al enunciarlas

haciendo uso de un lenguaje adecuado, gracias a las expresiones

algebraicas. Por esta razón, otro conjunto que abordaremos es el conjunto

de las expresiones algebraicas y nos apoyaremos en éstas para el

desarrollo de las demás temáticas.

Introducimos el concepto de polinomio, como un caso especial de

expresión algebraica; también se define el concepto de término semejante y

revisamos algunas de las operaciones más importantes entre los

polinomios: adición, resta, producto y división.

Trataremos algunas multiplicaciones y divisiones especiales, en las cuales

se puede abreviar el proceso y dar la respuesta por simple inspección,

como es el caso de los productos y cocientes notables. Posteriormente, se

abordará la factorización como un proceso inverso de la multiplicación y por

último, se estudiarán algunas aplicaciones en el manejo operatorio con las

fracciones algebraicas.

Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos relacionados con la

temática propuesta en este fascículo, se requiere que además de su auto -

motivación, buena disposición e interés personal recuerde lo siguiente:

1. ¿Qué son constantes y qué son variables?

2. ¿Cuándo se dice que dos cosas u objetos son semejantes?

3. Recuerde cómo se expresan las variables y las constantes

4. Efectúe: a) 333

2105,223,4 xxx +−

b) 09,12)11,26)(13,65( +− c) 12,256,256 −÷

6



Fascículo No. 3 Semestre 1

conforman se efectúan

como simplificando como los entre ellos inversamente como la por como

EXP. ALGEBRAICAS POLINOMIOS

OPERACIONES

SUMA RESTA

TÉRMINOS SEMEJANTES

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN

FACTORIZACIÓN

P. NOTABLES

D. CUBOS

D. CUADRADOS

SUMA CUBOS

TRINOMIOS

DIVISIÓN SINTÉTICA

FACTOR COMÚN CUADRADO PERFECTO

NO CUADRADO PERFECTO

TÉRMINOS ALGEBRAICOS

Hernán A. Díaz G.

Mapa conceptual Fascículo 3

Al finalizar el estudio del fascículo, el estudiante: Identifica y simplifica términos semejantes. Realiza operaciones con polinomios. Aplica algunos conceptos algebraicos en situaciones contextuales. Identifica y expresa la factorización de diferentes expresiones

Expresiones algebraicas Una expresión en donde se combinan constantes y variables, las variables

afectadas por exponentes con las diferentes operaciones de suma, resta,

multiplicación, división, potenciación y radicación, recibe el nombre de

expresión algebraica; las constantes o parte numérica, están constituidas

por números reales y las variables o parte literal, por las últimas letras del

alfabeto.

LogrosLogrosLogros

7




Son expresiones algebraicas:

252435 3 324332 ++− yxyxyx ,

yxyx

3553 32

++ , 7,4532 4432

2323 +−+ yxyxyx

Se ha repartido una suma de acciones entre tres personas; la segunda

recibió b acciones más que la primera, la tercera c acciones más que la

segunda. Expresar las acciones repartidas, siendo x la parte de las

acciones que recibió la primera.

Como x es la parte de acciones que recibió la primera persona y la segunda

persona recibió b acciones más que la primera, a la segunda le

corresponden: x + b acciones y como a la tercera persona le corresponden

c acciones más que a la segunda, entonces a la tercera persona le

corresponde: x + b + c acciones.

También son expresiones algebraicas la definición de la gran mayoría de

fórmulas que se utilizan en las diferentes ciencias.

La suma de los primeros n números naturales ( )2

1+xx

El interés simple que se obtiene por colocar un capital durante un cierto

tiempo 100

rtc ⋅⋅

El espacio recorrido por una partícula que se mueve con m.u.a (Movimiento

uniforme acelerado) 20 2

1 attv +⋅

La hipotenusa en un triángulo rectángulo 2

221 cc +

Cuando en una expresión algebraica reemplazamos cada una de las

variables por un valor particular, se crea una expresión numérica que tiene

como resultado un número real, entonces decimos que se ha obtenido el

valor numérico de la expresión.

8




2,512350608,064500060400002,08000008,05000)20(3)20(002,0)20(008,0 23 =+−=++⋅−⋅=++−

Polinomio: Una expresión que tenga más de dos términos recibe en general el nombre de polinomio. Los polinomios forman un subconjunto de las expresiones algebraicas.

Ejemplo A. Una empresa ha determinado que los costos totales para uno de sus

productos se calcula con la expresión 50003002,0008,0 23 ++− qqq , ¿cuál

es el costo de producir los primeros 20 artículos?.

Reemplazamos en la expresión q por 20, es decir hacemos q =20

Dentro de las expresiones algebraicas se encuentran aquellas expresiones

donde únicamente se combinan la multiplicación con la potenciación de las

variables afectadas por enteros positivos, llamadas términos o monomios.

La parte numérica recibe el nombre de coeficiente y las variables se

denominan parte literal.

Cuando formamos una expresión mediante la suma o resta de dos tér-

minos, le decimos binomio y si tiene tres términos se denomina trinomio.

nn xbxbxbbxP ++++= ...)( 2

210 , donde los coeficientes nbbb ,..., 10 son

números reales y los exponentes son enteros positivos. Esto es un

polinomio en la variable x y si 0≠nb el grado del polinomio es n. El grado

de un término es el exponente al cual se haya elevado la variable, si el

término tiene dos o más variables, el grado es la suma de los exponentes.

El grado del polinomio es el mayor de los grados entre los términos.

Ejemplo

7,4532 54322323 +−+ yxyxyx es un polinomio de cuatro términos en las

variables x e y de grado 9, tiene grado 4 con respecto a x y grado 5 con

respecto a y. Los dos primeros términos son de grado 5 y el cuarto término

es de grado cero.

xxx +− 34 2257 es un trinomio de grado 4

9




Cuando en un término sólo hay parte literal su coeficien-te es uno

2222 1 yxyx =

73224 2

3 5253 +−−zxzxzx no es un polinomio ya que los exponentes de las

variables no son enteros positivos.

814 −x es un binomio de grado 4, el segundo término se llama término

independiente.

Cuando dos términos tienen las mismas variables y afectadas por los mismos exponentes se dice que los términos son SEME-JANTES, usualmente si en una expresión existen términos que sean semejantes estos se deben simplificar, es decir, reducirlos a uno sólo.

Para simplificar términos semejantes efectuamos la suma o resta

indicada entre sus coeficientes.

El término 3272,5 nm es semejante con 32

43 nm− se recogen o simplifican

como 3297,4 nm .

3424 ba no es semejante con el término 4325 ba ya que los exponentes

de las variables son diferentes

Utilizamos los signos de agrupación para enunciar como una sola expresión varios términos. El principio básico de la colocación de signos de agrupación es la propiedad distributiva de la multiplica-ción con respecto a la suma y la resta, y por ende la ley de signos. Para colocar u omitir un signo de agrupación precedido de signo menos (–) se cambian los signos de los términos agrupados y si está precedido de signo más (+) no cambian los signos de los términos agrupados.

10




Simplifiquemos los términos que sean semejantes:

A.- 113375

354 322232 −++−− yxxyxyyx = 16

327 232 −+ xyyx

323232 734 yxyxyx =+

222

32

37

35 xyxyxy =+−

16115 −=−−

B.-

nmnmnmnmnmnm 3322222323 13,413,53113224,542,17 ++−+− =

22323 3911,055,21 nmnmnm −−

nmnmnm 333 55,2113,442,17 =+ 323232 11,013,524,5 nmnmnm −=+−

222222 3931132 nmnmnm −=−

C.-

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =−−+−−=+−−−+−−=+−−−+−− 3943892{}948474592{}91247592{ xxxxxxxxx

1153943892 +−=+−−−− xxxx

3.1

1. De un lote de producción de 32 artículos, se sacan primero x artículos y 3 más, la segunda vez se saca el doble de lo que se había sacado antes y 4 más. Escribir un polinomio en la forma más simple que exprese los artículos que quedan.

2. Encontrar el interés simple (I ) que paga un capital ( c ) de $ 200.000

a una tasa de (r) de 0.18 por un período (t ) de tres años usando la fórmula I = c.r.t

3. Simplifique o reduzca los términos que sean semejantes. x – {x – 1 – [x – 2 – (x – 3 – {x – 4 – [x – 5 – (x – 6)]})]}

11




Operaciones con polinomios Los polinomios, y las operaciones que realizamos con ellos, son los con-

ceptos más utilizados en el desarrollo de las matemáticas y su aplicación es

significativa frente a situaciones especiales en otras ciencias. Los principios

operatorios y las propiedades estudiadas en el conjunto de los números

reales, las aplicamos de forma generalizada en las operaciones con

polinomios.

Adición de polinomios El proceso de adición o suma de polinomios consiste en omitir los signos de

agrupación, si los hay, para posteriormente reducir o simplificar los términos

que sean semejantes.

Ejemplo

A. Efectuar: =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− 222332222332 2

3153,07

31

415 yzyzyzyzyzyz

323232 275 yzyzyz −=−

2323232323 78,053,025,053,041 yzyzyzyzyz −=−−=−−

32

31

31

−=−−

222222 32 yzyzyz =+

El resultado es: 323278,0 223223 −+−− yzyzyz

B. De la suma de: 133253 23344 +−− wmmwmw con 727 233 −− wmmw

restar 11232 3344 ++ mwmw .

Cambiamos los signos de los términos de la expresión que hay que restar y

reducimos o simplificamos los términos semejantes.

12




444444 23 mwmwmw =− 33333333 2232725 mwmwmwmw −=−+

222 43 wmwmwm −=−−

511713 −=−−

El resultado es: 542 23344 −−− wmmwmw

Carina entra en una tienda y le dice al tendero que le venda la mitad de una cierta cantidad de huevos que éste tiene en unas cubetas más medio huevo más, el tendero atiende su pedido; luego, entra Camilo y le dice que le venda la mitad de los huevos que aún le quedan en las cubetas más medio huevo más, el tendero atiende su pedido, por último entra Heidy y ordena la mitad de los huevos que aún le quedan en las cubetas más medio huevo más, su pedido es atendido, sin embargo aún quedan 3 huevos. ¿Cuántos huevos había al comienzo en las cubetas?

Multiplicación de polinomios Multiplicar dos o más polinomios consiste en aplicar la propiedad dis-

tributiva del producto con respecto a la suma y resta, y de las bases con

respecto a los exponentes y viceversa. Por último, se simplifican los

términos que sean semejantes.

Ejemplo A. Efectuar:

( ) 322322 5,706,704,2612322502,46 nmnnmmnmnmnm ++−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

( )( ) 32 1226 mmm =

13




La división consiste en deter-minar cuántas veces se pue-de restar del dividendo el di-visor, por eso en una división se resta sucesivamente.

( )( )( )( )

nmnmmmn

nmnm 22

22

04,2604,8202,4

1836−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−

−=−

( )( )( )( )

222

2

06,7525,2

06,12302,4mn

mnmnmnnmn

=⎪⎭

⎪⎬⎫

−=−

=−−

( )( ) 32 5,735,2 nnn =−−

B. ( )( ) 2624361223 22 −−=−−+=+− xxxxxxx

C. ( )( ) 149177491717 22 −=−−+=+− xxxxxx

División de polinomios La división está íntimamente relacionada con la multiplicación pues son

operaciones inversas. Al dividir un polinomio )(xP llamado Dividendo por

un polinomio )(xQ llamado Divisor se obtiene un polinomio )(xC llamado

Cociente tal que )()()()( xRxCxQxP +⋅= , (algoritmo de la división), donde

)(xR es el residuo.

Para dividir dos polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la

división con respecto a la suma y resta, y de las bases con respecto a los

exponentes y viceversa; en el proceso se van simplificando los términos

que sean semejantes.

Ejemplo

A. 223223 725231417415 yxyxyxyxyyxx +−=+÷+++

yxyxyyxx 231417415 3223 ++++ 2223 7251015 yxyxyxx +−−−

22 176 xyyx +− 22 46 xyyx +

32 1421 yxy ++ 32 1421 yxy −−

La división es exacta y por lo tanto su residuo es cero.

14




B. 15245620 2 +=−÷−− xxxx

245620 2 −−− xxx

151020 2 ++− xxx

54 −x

24 +− x

3−

La división es inexacta su residuo es 3− .

Tomemos el polinomio en la variable )(xPx de grado byn un número real. Si 0)( =bP decimos que b es una solución de la ecuación polinómica 0)( =xP . También decimos entonces que

bx − es un factor o divisor de )(xP . Luego ( )bxxQxP −= )()( donde )(xQ es un polinomio de grado

1−n . Podemos escribir el polinomio )(xP en forma extendida mediante el algoritmo de la división.

( ) )()()( xRxQbxxP +−= . Si calculamos el polinomio en bx = tenemos

( ) )()()( xRxQbbbP +−= )()( xRbP =

Luego el residuo de dividir )(xP por ( )bx − se obtiene calculando )(xP en bx =

3.2

1. Halle el resultado de efectuar:

)753,2()5475,241()3,1237,3

43( 32322232 −++++−−−−+− mnnmmnnmmnmnmnnm 2

. De la suma de 433243 32 +−+− wzwwz con 174532 −+−− wzwwz

restar 32325,2 32 +−+ wzwwz .

15




3. Obtenga el producto : ( )( )wzwzwz 324211 22 −+− .

4. Efectúe: )1)(1( 2452

45 −− xx .

5. Hallar el área de una región cuadrangular que tiene de lado 78 2 +x 6.- Encuentre el área de una región rectangular de largo 25 +x y de

ancho 13 +x 7.- Efectúe el proceso de dividir 5211264 24 ++ xx entre 78 2 +x 8.- Determine el residuo de dividir el polinomio

13527)( 23 −+−= xxxxP entre 2−x . Cocientes notables Un cociente notable es una división donde podemos dar el resultado por

simple inspección, es decir abreviando el proceso. Tenemos los si-guientes:

A. Diferencia de potencias iguales: se presentan las opciones

i) Si las potencias son pares siempre son divisibles por la diferencia de

sus bases, como se observa a continuación:

122321 −−−−− +++++=−− nnnnn

nn

yxyyxyxxyxyx

K

Ejemplo

5432234566

mzmmzmzmzzmzmz

+++++=−−

ii) Si las potencias son pares siempre son divisibles por la suma de sus

bases.

122321 −−−−− −+−+−=+− nnnnn

nn

yxyyxyxxyxyx

K

Ejemplo

322344

ahaahhahah

−+−=+−

16




iii) Si las potencias son impares siempre son divisibles por la diferencia

de sus bases, así:

122321 −−−−− +++++=−− nnnnn

nn

yxyyxyxxyxyx

K

Ejemplo

43223455

wzwwzwzzwzwz

++++=−−

B. Suma de potencias iguales: se presentan las opciones.

i) Si las potencias son pares no es divisible ni por la suma, ni por la

diferencia de sus bases.

divisibleesnoyxyx nn

±+

ii) Si las potencias son impares es siempre divisible por la suma de sus

bases.

122321 −−−−− +−−+−=++ nnnnn

nn

yxyyxyxxyxyx

K

Ejemplo

2233

yxyxyxyx

+−=++

Los cocientes notables dan lugar a productos notables, al expresarlos como una multiplicación del divisor por el cociente.

Productos notables Algunas multiplicaciones especiales en las cuales el proceso se puede

abreviar, es decir cuyo resultado se puede dar por simple inspección,

reciben el nombre de productos notables. Entre ellos.

17




A. Producto de binomios de los cuales los más destacados son:

i) Producto de binomios iguales. El producto de dos binomios iguales, es

decir, un binomio al cuadrado siempre es igual a un trinomio cuadrado

perfecto, el cual se abrevia como los cuadrados de los dos términos y el

doble producto dichos términos.

Ejemplo

( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 222422222222 25401655424545454 ymyzmzyymzmzymzymzymz ++=++=+=++ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 42222222222 121198811111929119119119 yxyxyyxxyxyxyx +−=+−=−−=− ( ) 222 9424937 mwmwmw +−=−

ii) Producto de binomios conjugados. Dos binomios son conjugados

cuando sólo difieren en el signo que separa sus términos y su producto

se abrevia como la diferencia de sus cuadrados.

Ejemplo

( )( ) ( ) ( ) 4222222 16169413413413 mwmwmwmw −=−=−+

( )( ) ( ) ( ) 26222333 2516954

354354

3 pqhphqphqphq −=−=+−

( )( ) 1100110110 422 −=−+ zzz

iii) Producto de dos binomios de la forma ( )( )qnxpmx ++ , donde

qpnm ,,, , son enteros. Un producto de esta forma siempre tiene como

resultado un trinomio de la forma cbxax ++2 , donde

cqpbnpqmanm =⋅=⋅+⋅=⋅ ,)(,

Ejemplo

( )( ) 417154203151543 22 −+=−+−=−+ wwwwwww

( )( ) 1031142752 2 −−=+− xxxx , xxx 35431 −=− 6

18




Puede suceder que 11 == nym

( )( ) 21437 2 −−=+− zzzz

( )( ) 24538 2422 −+=−+ yyyy

iv) Producto de la forma ( ) )( 122321 −−−−− +++++− nnnnn yxyyxyxxyx K . Un

producto de esta forma siempre tiene como resultado una diferencia de

potencias iguales impares nn yx − , siendo n impar.

Ejemplo

( )( ) 55432234 16807243240110294411898173 mzmzmmzmzzmz −=++++−

v) Producto de la forma ( ) )( 122321 −−−−− −+−+−+ nnnnn yxyyxyxxyx K . Un

producto de esta forma siempre tiene como resultado una suma de

potencias iguales impares nn yx + , siendo n impar

Ejemplo

( )( ) 81254102525 322 +=+−+ zvzvzvz

3.3

1.- Obtenga el producto por simple inspección:

i) ( )22117 2wmx −

ii) ( )( )11 3563

56 −+ nqnq

iii) ( )( )1213 +− zz iv) ( )( )1827 +− xx v) ( )( )nmnmnm 8364249 22 −++ vi) ( )( )25303656 2 +−+ xxx

2.- Hallar el área de una región cuadrangular que tiene de lado 147 2 −h

19




3.- Obtenga el cociente por simple inspección: i) ( ) ( )3224332 5 −÷− zz ii) ( ) ( )mvmv 2516625 44 +÷− iii) ( ) ( )pxpx 278343 33 +÷+ 4.- Encuentre el área de una región rectangular de largo 7+m y de

ancho 1−m

Factorización Anteriormente aplicamos el principio para multiplicar dos o más expresio-

nes polinómicas, ahora desarrollaremos el proceso de devolvernos, es

decir, buscamos las expresiones que multiplicadas nos dan la expresión

inicial. Así pues, el proceso de hallar los factores de dicha expresión recibe

el nombre de factorización.

Si tenemos las expresiones )(),(),( xRxQxP donde )()()( xRxQxP ⋅= se dice

que )()( xRyxQ son factores de )(xP y )()( xRxQ ⋅ su factorización. Por ser la

factorización un proceso inverso a la multiplicación cada producto notable

da lugar a un caso.

i) Factorización por factor común: consiste en devolvernos en la

propiedad distributiva, hallamos el factor común como primer factor y

luego la expresión por la cual hay que multiplicar el factor común para

que de cada término de la expresión inicial.

Ejemplo Factorizar la expresión:

)1354)(7(7213528 22222332334 −+−=−+− wmwmwmwmwmwmwmw 34222 28)4)(7( mwmwmw = ; 2322 35)5)(7( mwwmw −=− ; 3322 21)3)(7( mwwmmw = ;

2222 7)1)(7( mwmw −=−

ii) Factorización de una diferencia de cuadrados: consiste en devolver-

nos en el producto de dos binomios conjugados, hallamos las raíces de

20




cada uno de los cuadrados y en un factor se escribe un binomio y en el

otro su conjugado.

Ejemplo

Expresar en factores: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=− ymymym

3213

3213

94169 22

iii) Factorización de trinomios cuadrados perfectos: consiste en

devolvernos en el producto de dos binomios iguales. Inicialmente se

comprueba si es un Trinomio Cuadrado Perfecto (dos cuadrados

diferentes y el doble producto de sus bases), luego se establece como el

producto de dos binomios iguales, es decir un binomio al cuadrado.

Ejemplo Descomponer en factores la expresión:

x ( )( ) ( )22222224242 5757572514049 zxyzxyzxyzxyzyx −=−−=+−

4222 49)7( yxxy = ; ( ) 422 255 zz =− ; ( )( )[ ] 2222 140257 zxyzxy −=−

iv) Factorización de trinomios de la forma cbxax ++2 , donde cba ,, son

números enteros: consiste en devolvernos en el producto de dos

binomios de la forma ( )( )qnxpmx ++ .

Expresamos el trinomio ( )( )a

qaxpaxcbxax ++=++2 , se multiplicó

inicialmente por a pero a su vez, se divide por a , el signo de b se coloca

en el primer paréntesis y en el segundo, se ubica el signo del producto, del

signo de b por el de c , buscando luego dos números enteros qyp donde

su producto sea igual cpora , es decir caqp ⋅=⋅ y su suma o resta igual a

b ,es decir bqp =± , por último se simplifica.

Ejemplo

21




Los cocientes notables dan lugar a casos de factoriza-ción, al expresarlos como una multiplicación del divisor por el cociente.

Expresar en factores:

( )( )( )( )

( )( )125332

36106

666576 2 +−=

⋅

+−

=+−

=−− xx

xxxxxx terceramitad

32143421

Descomponer: ( )( ) ( )( )571113522 +−=

+−=−− mmmmmm donde 1=a

v) Factorización de diferencias de potencias iguales impares nn yx − ,

siendo n impar: consiste en devolvernos en el producto de la

forma ( ) )( 122321 −−−−− +++++− nnnnn yxyyxyxxyx K .Hallamos la diferencia

de las raíces ésimasn − como primer factor y con ellas obtenemos el otro

factor.

Ejemplo

Factorizar: ( )( )41449278343 242263 ++−=− mwwmmwwm

23 63 7343 mwwm = ; 283 = ; ( ) 4222 497 wmmw = ; 422 = ; ( )( ) 22 1427 mwmw =

vi) Factorización de sumas de potencias iguales impares nn yx + ,

siendo n impar: consiste en devolvernos en el producto de la forma

( ) )( 122321 −−−−− −+−+−+ nnnnn yxyyxyxxyx K .Hallamos la suma de las raíces

ésimasn − como primer factor y con ellas obtenemos el otro factor.

Ejemplo

Factorizar: ( )( )23 6481815121 yyyy +−−=−

( ) yyyyyy 881;648;11;8512;11 2223 33 =⋅====

3.4

1.- Descomponer en factores: i) 22233344 5101525 wmwmwmwm −+− ii) 1625 4 −m

iii) 2224 49182169 znzmnm +− iv) 3512 2 −− zz

22




v) 2024 −−ww 2.- Halle los factores de: i) 33 100064 zy + ii) 1729 6 −x 3.- Una región cuadrangular tiene de área 1816 2 +− xx ¿cuál es la

longitud que tiene de lado?. 4.- El área de una región rectangular es 6322 −+ mm ¿cuál es su largo

y su ancho respectivamente?.

Aplicaciones Podemos hacer algunas aplicaciones de lo anterior para realizar opera-

ciones con fracciones algebraicas como suma, multiplicación y división.

También se pueden efectuar aplicaciones en la potenciación y radicación;

dentro de la radicación existe una aplicación llamada racionalización.

Ejemplos

A. ( ) 3333

393

344532

344

353

32

=−−

=−−

=−

−+−−=

−−

+−+

−− x

xxx

xxxx

xx

xx

xx

B.

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) =

+−+−−−

=+−

++−−=

+−+

−−

+=

−+

−−

+ 11133

111113

111

113

11

113 22

2 xxxxxx

xxxxxx

xxxx

xx

xxx

xx

1142

2

2

−+−

xxx

C. ( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )[ ]( ) =+−

+−⋅

+++−+

⋅+++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−46933

2346923

32322

4699

65827

61134

2

2

2

2

2

3

2

2

xxxx

xxxxx

xxxx

xxx

xxx

xxx

( )( )

( )332

+−−

xxx

D.

23




( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )[ ]( )( )[ ]

( )( )( )( )12

11511511

121515

1145

23125

2

2

2

2

++−+

=+−+−

⋅+++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

wwww

wwww

wwww

www

www

Racionalizar el numerador o el denominador de una expresión donde

aparecen radicales, es hallar una expresión equivalente donde ya no

aparecen radicales (cantidades irracionales), para ello se multiplica tanto el

numerador como el denominador por una expresión apropiada.

E. Racionalizar el denominador: xx

xx

xx

xx 23

23

23

23 3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

33==⋅=

F. Racionalizar el numerador: ( )( )( )( ) ( )32

932

332

3+

−=

++−

=−

xxx

xxxx

xx

Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. El área de una región rectangular es 1272 +− ww ¿cuál es el largo y el ancho

de dicha región?. 2. Factorizar 21314 2 −− xx . 3. Si la expresión que modela el precio de un artículo para un productor

es: 2513 2 +q , ¿cuál es la expresión que representa el ingreso para el producto de ese fabricante?

4. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía y

la administración en donde se apliquen los fundamentos algebraicos. Otro de los tantos conjuntos importantes a los que podemos hacer alusión,

24




es el conjunto de las expresiones algebraicas con las cuales iniciamos este

fascículo.

Una expresión algebraica es la combinación de constantes y variables

(afectadas de exponentes) con las operaciones más conocidas. Dentro de

las expresiones algebraicas están los polinomios, los cuales de acuerdo al

número de términos pueden ser: monomios, binomios, trinomios,

tetranomios etc.

Se trataron los términos semejantes y su reducción o simplificación,

posteriormente, con los polinomios realizamos las operaciones de suma y

resta, para las cuales basta con omitir los signos de agrupación y simplificar

los términos que sean semejantes. La multiplicación y la división de

polinomios se basan en la propiedad distributiva y la simplificación de

términos semejantes.

A continuación, se presentaron una serie de divisiones y multiplicaciones en

las cuales se puede abreviar el proceso de desarrollo, llamado cocientes y

productos notables. Posteriormente, como proceso inverso de la

multiplicación, se abordó la factorización y algunas aplicaciones en

operaciones con fracciones algebraicas, como suma, resta, multiplicación,

división y racionalización.

Haeussler, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias

Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición, 2001.

Soo tang tan. Matemáticas para administración y economía. Internacional

THOMPSON. 1999

Smith Charles Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley

Iberoamericana.1992

Laurence D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración,

25




Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001

Francisco Soler, Reinaldo Nuñez, Moisés Aranda. Fundamentos de

cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002

Bittinger. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial

addison Wesley. Septima edición

Frank S. Budnick. Matemáticas aplicadas para Administración, economía y

ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998

En el siguiente fascículo estudiaremos las ecuaciones lineales y los

sistemas de ecuaciones lineales. Se determinarán las condiciones para su

solución y se definirán los sistemas consistentes e inconsistentes. Se

presentarán los métodos usuales de solución de los sistemas, en donde el

estudiante debe emplear claramente los principios operatorios con las

expresiones algebraicas y los polinomios.

26




Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 3 Nombre______________________________________________________

_

Apellidos _______________________________ Fecha:

_________________

Ciudad_________________________________ Semestre:

_______________

1. El costo de operación de un automóvil a una velocidad v, está dado en forma

aproximada por el polinomio 1035.0005.0 2 +− vv (costo en miles por kilómetro, velocidad (v) en km / h ). Encontrar el costo de operación de un automóvil a 50 km / h

2. Una caja con fondo cuadrado está hecha de una pieza cuadrada de cartón de

12 pulgadas de lado. Se cortan cuadrados de lado x en las esquinas, y los lados se doblan hacia arriba. Hallar una expresión algebraica para el volumen y otra para el área superficial de la caja.

3. Al efectuar el producto ( )( )422 2510452 yxyxyx +−+ por simple inspección se

tiene:

A. 33 306 yx + B. ( )3252 yx − C. 63 1258 yx + D. ( )2252 yx + 4. Si el largo de una región rectangular es 35 +w y su ancho 53 −w , ¿cuál es el

área de la región?. Preguntas de selección múltiple con respuesta múltiple

Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras a, b, c, d. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.

27




Si a y b son correctas, marca la respuesta A Si b y c son correctas, marca la respuesta B Si c y d son correctas, marca la respuesta C Si b y d son correctas, marca la respuesta D

5. El área de una región rectangular es de 4925 2 −a y se tienen las expresiones: a. 7−a b. 75 +a c. 4925 +a d. 75 −a ¿El largo y el ancho que corresponden respectivamente a la región son ?

A. B. C. D.

6. Factorizar xyzzyxyx −−+ 22 7. El área de una región cuadrangular es: 25204 2 +− xx ¿Cuánto tiene de lado

dicha región?.

8. Efectuar: i) 543

519

57

−−

+−−

−− x

xxx

xx

ii) 31

651

232

2 −+

−+−

+−−

xx

xxxx

9. Efectuar: ( )( )

( )( )

( )( )1525

77125

11

11252

2

22

3

++−

⋅−

+⋅

−−

xxxx

xx

xx

10. Efectuar: ( )

152110

22593 2

2

2

−++

÷−+

xxx

xxx

11. Racionalizar nm −

1

fasciculo 3

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