facultad de ciencias fÍsicas y matemÁticas escuela de

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

ESCUELA DE ESTADÍSTICA

TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO ESTADÍSTICO

“PROCEDIMIENTO EN “R” PARA OPTIMIZAR EL SABOR Y CONSISTENCIA

DE LA MERMELADA DE AGUAYMANTO Y BERENJENA”

Autor: Br. Loyaga Mendoza, Luis Pedro

Asesor: Dr. Diaz Araujo, Wilson

TRUJILLO – PERÚ

2018

Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

BIBLIOTECA DE CIENCIAS F

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DEDICATORIA

A Dios todo poderoso por haberme permitido llegar hasta este punto y haberme dado salud

para lograr mis objetivos, además de su infinita bondad y amor, que me ha guiado y cuidado

hasta hoy.

A ti Madre, Por haberme educado y soportar mis errores. Gracias a tus consejos, por el amor

que siempre me has brindado, por cultivar e inculcar ese sabio don de la responsabilidad.

¡Gracias por darme la vida! ¡Te quiero mucho!

A ti padre a quien le debo todo en la vida, te agradezco el cariño, tu ejemplo, la comprensión,

la paciencia y el apoyo que me brindaste para culminar mi carrera profesional.




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AGRADECIMIENTO

En primer lugar, agradecer a DIOS, quien me ha permitido alcanzar mi meta y adquirir la

fortaleza para este arduo trabajo.

A la Escuela de Estadística de la Universidad Nacional de Trujillo, por permitirme el acceso para

la ejecución de mi informe tesis.

A todos los docentes de la Escuela Académico Profesional de Estadística de la Universidad

Nacional de Trujillo, por haber contribuido con sus conocimientos y experiencias a lo largo de

mi formación profesional.

Para la culminación de la presente tesis, he podido contar con la colaboración de varias

personas, quienes con sus consejos, incentivos, conocimientos y esfuerzos han contribuido

de manera muy especial al desarrollo y culminación de este trabajo, gracias a todos ustedes

los estimo mucho.

A toda mi familia, por haberme dado todo su apoyo y consejo en los momentos que lo

necesitaba.

A mis amigos por estar siempre apoyándome y acompañándome cuando lo necesito.




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PRESENTACIÓN

Señores Miembros del Jurado

Se presenta el Informe de Tesis titulado “PROCEDIMIENTO EN “R” PARA OPTIMIZAR EL

SABOR Y CONSISTENCIA DE LA MERMELADA DE AGUAYMANTO Y BERENJENA”

Dicho trabajo se realizó con la finalidad de describir el procedimiento en lenguaje R para

optimizar el sabor y consistencia de la mermelada de aguaymanto y berenjena.

El informe se divide en capítulos y subcapítulos que permiten una lectura ordenada que

culmina con el análisis e interpretación de los resultados y las conclusiones a las que se

arriban.

Se pone a disposición este informe de tesis para su análisis y evaluación correspondiente,

sin dejar de señalar lo importante que es para mi persona todos los aportes y sugerencias

que favorezcan la continua mejora.




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RESUMEN

Con el objetivo de describir el procedimiento en lenguaje R para optimizar el sabor y consistencia de la

mermelada de aguaymanto y berenjena; se realizó el presente trabajo de investigación.

Las variables fueron proporción de aguaymanto/berenjena en el rango de 1/1 a 5/1, y el porcentaje de

pectina en el rango de 0.1 a 0.8% sobre las variables de respuesta que fueron el sabor y la consistencia en

la mermelada.

Se resumió el análisis de superficie de respuesta para la optimización de la consistencia y el sabor de la

mermelada de aguaymanto y berenjena en 4 pasos en los cuales se usaron comandos y operaciones

algebraicas y matriciales.

Los valores más adecuados de las variables del proceso se determinó mediante la metodología de

Superficie de Respuesta; empleando un diseño factorial 22 incluyendo 4 puntos axiales y 3 puntos

centrales; el cual permitió obtener los modelos que definen el comportamiento de las variables

independientes de proporción aguaymanto/berenjena y porcentaje de pectina respecto a las dependientes

para las respuestas consistencia y sabor. Los modelos fueron altamente significativos con un (p<0.05) tanto

la proporción y porcentaje de pectina por presentar un coeficiente de determinación R2 altos, siendo

posible construir las superficies de respuesta para esto se utilizó el software libre Lenguaje “R”.

Las condiciones más adecuados fueron una proporción de pulpa de aguaymanto/berenjena entre 5.5/1 y

6.5/1 y porcentaje de pectina entre 0.2 y 0.6%. Obteniéndose valores de 7,05 para el sabor y de 5,85 de

consistencia para la mermelada de aguaymanto y berenjena.




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ABSTRACT

In order to develop a series of steps in the R language to optimize the taste and consistency of jam obtained

from aguaymanto and eggplant; this research was conducted.

Ratio were the variables aguaymanto / eggplant in the range from 1/1 to 5/1, and the percentage of pectin

in the range of 0.05 to 0.8% on the response variables were the taste and consistency in jam.

A sequence of steps was used to optimize the flavor and consistency of jam obtained from aguaymanto and

eggplant R Language ranging from the simple to complex.

The most appropriate values of the process variables was determined by Response Surface Methodology;

using a factorial design 22 including 4 axial points and three central points; which allowed obtaining models

that define the behavior of the independent variables aguaymanto / eggplant and pectin percentage

dependent regarding to the consistency and taste responses proportion. The models were highly significant

at (p <0.05) both the proportion and percentage of pectin by having a high coefficient of determination R2,

being possible to construct surfaces answer for this free software Language "R" was used.

The most suitable conditions were a ratio of pulp aguaymanto / eggplant from 5.5 / 1 to 6.5 / 1 and pectin

percentage between 0.2 and 0.6%. Obtaining values of 7.05 to 5.85 the flavor and consistency for

aguaymanto jam and eggplant.




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ÍNDICE GENERAL

DEDICATORIA .......................................................................................................................... i

AGRADECIMIENTO................................................................................................................. ii

PRESENTACIÓN ...................................................................................................................... iii

RESUMEN.................................................................................................................................. iv

ABSTRACT..................................................................................................................................v

ÍNDICE GENERAL.....................................................................................................................vi

I. INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................1

1.1. Realidad Problemática ……………...............................................................................2

1.2. Justificación …………………………………………………………………………...4

1.3. Hipótesis ………………………………………………………………………………4

1.4. Objetivos …............……………………………………………………………………4

1.4.1. Objetivo General ……………..............................................................................4

1.4.2. Objetivos Específicos ..…………………………………………………………...4

II. MARCO TEÓRICO ………….............................................................................................5

2.1. Lenguaje R ………………………. ...............................................................................6

2.2. Metodología de Superficie de Respuesta ….................................................................7

2.2.1. Definición ............................................................................................................7

2.2.2. Funcion Respuesta ...............................................................................................8

2.2.3. Modelo de Primer Orden ......................................................................................8

2.2.4. Modelo de Segundo Orden ...................................................................................8

2.2.5. Gráfico de Contorno …….....................................................................................9

2.2.6. Diseño Factorial 2k ………...................................................................................9

2.2.7. Diseño Central Compuesto Rotable .....................................................................10

2.3. Pectina ….....................................................................................................................10

2.3. Consistómetro ..............................................................................................................10

III. MATERIALES Y MÉTODOS.......................................................................................11

3.1. Material de Estudio .....................................................................................................12

3.1.1. Población ………................................................................................................12




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vii

3.1.2. Muestra ...………................................................................................................12

3.1.3. Variables de Estudio ...........................................................................................12

3.1.4. Unidad de Análisis ..............................................................................................12

3.1.5. Marco Muestral ...................................................................................................12

3.2. Métodos …...................................................................................................................13

3.2.1. Recolección de Datos ..........................................................................................13

3.2.2. Análisis Estadístico ……………………..............................................................13

3.2.3. Procesamiento de Datos ......................................................................................13

IV. RESULTADOS ……………….......................................................................................14

V. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN ..........................................................................................26

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................................29

VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................32

VIII. ANEXOS .......................................................................................................................34




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CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN




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1.1. Realidad Problemática

Probablemente, cuando intentamos pensar en el avance de la informática y de la electrónica asociada

a ella, nos vienen a la mente: portátiles, tabletas, teléfonos inteligentes, ejecutándose en ellos webs,

videojuegos, aplicaciones de realidad aumentada. Pero a lo mejor unos pocos recuerdan que también

tenemos cada vez mayor cantidad y más variada de sensores, capaces de realizar mediciones,

almacenarlas y transmitirlas. Millones de datos que provienen del fondo de los océanos, de inhóspitos

desiertos, del espacio interestelar o de las mismas entrañas del ser humano.

La biología, meteorología, sismología, medicina, psicología requieren de la informática para tratar esas

cantidades ingentes de datos atómicos y convertirlos en información, más o menos estructurada, de

la que se pueda inferir un conocimiento, aplicable a dichas ciencias. Y de esa necesidad de tratar con

datos surgieron los lenguajes de tratamiento estadístico, como R.

En 1976, la mayor parte del análisis y computación estadísticos se realizaba por medio de subrutinas

en Fortran, algo que era bastante tedioso. Por eso, John Chambers, Rick Becker y Allan Wilks,

pertenecientes a Bell Labs, desarrollaron “S” como un conjunto de bibliotecas de macros Fortran, que

se convirtieron en su entorno de análisis estadístico interno. (Bouso, 2013)

Como eran rutinas de uso exclusivo dentro de Bell Labs, no le buscaron ningún nombre, y aunque

barajaron unos cuantos, todos tenían en común lo mismo: la palabra “Statistical”. Como por aquella

estaba de moda nombrar a los lenguajes con una única letra (con C como mejor ejemplo), se quedaron

con la S inicial, por lo que en 1979 comenzó a conocerse como ‘S’, antes de salir por primera vez de los

laboratorios Bell como un producto distribuible.

En 1988, se reescribió completamente S (la versión 3) en código C, siendo la primera versión parecida

a lo que es hoy día. Además, se sustituyeron las macros por funciones y se modificó la sintaxis para

hacerla más consistente, aunque también más estricta. También se añadieron las funciones de

modelado estadístico, ausentes hasta entonces. John Chambers publicó el libro “Statistical Models in

S” para documentar dicho análisis, el cual por su importancia es conocido como el libro blanco.

Diez años más tarde, en 1998 se liberó la cuarta versión, que actualmente es vigente, también

denominada S4. Con un conjunto de características orientadas a objetos más avanzadas que las de S3,

las clases propias del lenguaje también difieren mucho entre ambas versiones. Chambers también sacó

un libro verde para documentar esta versión: “Programming with data”. (Redondo,2017)




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Ese mismo año, S ganó el prestigioso premio “Association for Computing Machinery’s Software System

Award”, 15 años después que UNIX, 7 después que TCP/IP, 4 antes que Java u 11 años antes que

VMWare, por poner ejemplos conocidos por todos. Mientras S cambiaba de dueño y denominación,

Ross Ihaka y Robert Gentleman, decidieron implementar su propio dialecto. Era 1991 cuando estos

dos neozelandeses crearon R. Tardaron dos años en anunciarlo públicamente y otros dos años más en

licenciarlo bajo GPL. (Redondo,2017)

Al hablar de R, debemos tener presente que por una parte podemos hablar de un lenguaje de

programación y por otra parte podemos hablar de un entorno, desarrollado en el lenguaje R, que

integra un conjunto de programas para la manipulación de datos, la realización de cálculos y análisis

de los mismos y su representación gráfica. Por lo tanto, debemos entender que R tiene una doble

naturaleza, como lenguaje y como entorno. R, como lenguaje de programación, fue desarrollado por

los neozelandeses Ross Ihaka y Robert Gentleman, en 1996, como un dialecto del lenguaje S, que había

sido creado a principios de los años 90 del Siglo XX por los Laboratorios AT&T Bell.

Sobre la base de la distribución de R, bajo Licencia Pública General GNU, que realizaron sus creadores,

surgió a su alrededor una amplia comunidad de usuarios, que, de manera desinteresada, comenzaron

a desarrollar y publicar distintas rutinas y librerías (macros) que facilitaban la realización de procesos

recurrentes a la hora de trabajar con este lenguaje de programación: los accesos de consulta/escritura

a ficheros de datos, las operaciones matemáticas o, entre muchas otras, la representación gráfica de

los datos. Al albur de esta comunidad de usuarios surgió R-Project.org, como entidad sin ánimo de

lucro, que tiene como principales objetivos dar consistencia a los desarrollos que se realizaban y

estandarizar y normalizar los aplicativos resultantes.

Como resultado de los trabajos de esta dinámica comunidad, en la actualidad nos encontramos con un

R, que es un potente entorno en el que de una manera rápida un usuario con unos conocimientos

básicos de programación y estadística, puede:

Realizar avanzadas operaciones de análisis de datos, que se presentan en pantalla y permiten

obtener resultados intermedios (valores P-, coeficientes de regresión, residuales) que se pueden

exportar a un archivo de datos para su visualización o para ser utilizados en posteriores análisis.

Obtener representaciones gráficas de los análisis, que pueden ser visualizados en la propia

ventana de R o ser exportados a distintos formatos (jpg, png, bmp, pdf, emf, pictex, xfig,…), en

función del sistema operativo de la estación de trabajo del usuario, para ser republicados en otros

entornos. (Dalgaard, 2002)




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1.1. Problema

¿Cómo es el procedimiento en Lenguaje R para optimizar el sabor y consistencia de la mermelada de

aguaymanto y berenjena?

1.2. Justificación

Ya que la mayoría de software estadísticos necesitan licencia para poder ser usados y en vista de que

obtener estas licencias no es tan simple, se hace uso de software pirata.

Lo cual empezó a generar la creación y uso de software libres tales como el Lenguaje R que se ha

convertido en una herramienta muy útil, ya que nos proporciona un abanico de herramientas para el

análisis estadístico de datos.

En consecuencia, el uso de este software está acrecentando su uso y por consiguiente el adecuado

manejo del Lenguaje R es necesario para el perfil del profesional de Ingeniero Estadístico.

1.3. Hipótesis

Hipótesis Implícita

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo General

Describir el procedimiento en Lenguaje R para optimizar el sabor y consistencia de la

mermelada de aguaymanto y berenjena.

1.4.2. Objetivos Específicos

Describir la problemática de la optimización del sabor y consistencia de la mermelada

de aguaymanto y berenjena.

Identificar el método estadístico adecuado para optimiza el sabor y consistencia de la


Proponer el procedimiento en Lenguaje R para optimizar el sabor y consistencia de la


Ejecutar el procedimiento en Lenguaje R para optimizar el sabor y consistencia de la


Proponer un Resumen Ejecutivo de los resultados




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CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO




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2.1. LENGUAJE R

R es un lenguaje y entorno de programación para análisis estadístico y gráfico.

Se trata de un proyecto de software libre, resultado de la implementación GNU del lenguaje S. Lenguaje

R y S-Plus -versión comercial de S son, probablemente, los dos lenguajes más utilizados en investigación

por la comunidad estadística, siendo además muy populares en el campo de la investigación biomédica,

la bioinformática y las matemáticas financieras. A esto contribuye la posibilidad de cargar diferentes

bibliotecas o paquetes con finalidades específicas de cálculo o gráfico. (Arriaza, 2008)

R se distribuye bajo la licencia GNU General Public License (GPL) estando disponible para los sistemas

operativos Windows, Macintosh, Unix y GNU/Linux. R proporciona un amplio abanico de herramientas

estadísticas (modelos lineales y no lineales, tests estadísticos, análisis de series temporales, algoritmos

de clasificación y agrupamiento, etc.) y gráficas. (Arriaza, 2008)

Al igual que S, se trata de un lenguaje de programación, lo que permite que los usuarios lo extiendan

definiendo sus propias funciones. De hecho, gran parte de las funciones de R están escritas en el mismo

R, aunque para algoritmos computacionalmente exigentes es posible desarrollar bibliotecas

en C, C++ o Fortran que se cargan dinámicamente. Los usuarios más avanzados pueden también

manipular los objetos de R directamente desde código desarrollado en C. R también puede extenderse

a través de paquetes desarrollados por su comunidad de usuarios. (Arriaza, 2008)

R hereda de S su orientación a objetos. La tarea de extender R se ve facilitada por su permisiva política

de lexical scoping. Además, R puede integrarse con distintas bases de datos y existen bibliotecas que

facilitan su utilización desde lenguajes de programación interpretados como Perl y Python. (Arriaza,

2008)

Otra de las características de R es su capacidad gráfica, que permite generar gráficos con alta calidad.

R posee su propio formato para la documentación basado en LaTeX. R también puede usarse como

herramienta de cálculo numérico, campo en el que pueden ser tan eficaz como otras herramientas

específicas tales como GNU Octave y su equivalente comercial, MATLAB. (Arriaza, 2008)




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Y MATEMÁTICAS

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estad%C3%ADstico

http://es.wikipedia.org/wiki/Software_libre

http://es.wikipedia.org/wiki/GNU

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=S-Plus&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Biomedicina

http://es.wikipedia.org/wiki/Bioinform%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_financieras

http://es.wikipedia.org/wiki/Licencia_p%C3%BAblica_general_de_GNU

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_operativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_operativo

http://es.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Windows

http://es.wikipedia.org/wiki/Apple_Macintosh

http://es.wikipedia.org/wiki/Unix

http://es.wikipedia.org/wiki/GNU/Linux

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_no_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Contraste_de_hip%C3%B3tesis

http://es.wikipedia.org/wiki/Series_temporales

http://es.wikipedia.org/wiki/Clasificaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Agrupamiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n_C

http://es.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B

http://es.wikipedia.org/wiki/Fortran

http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_a_objetos

http://es.wikipedia.org/wiki/Bases_de_datos

http://es.wikipedia.org/wiki/Perl

http://es.wikipedia.org/wiki/Python

http://es.wikipedia.org/wiki/LaTeX

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_num%C3%A9rico

http://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave

http://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB

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2.2. METODOLOGIA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

2.2.1. Definición:

La Metodología de Superficies de Respuesta ( RSM) es un conjunto de técnicas

matemáticas utilizadas en el tratamiento de problemas en los que una respuesta de interés

está influida por varios factores de carácter cuantitativo. El propósito inicial de estas

t é c n i c a s e s diseñar un experimento q u e proporcione valores razonables de l a

v a r i a b l e respuesta y, a continuación, determinar el modelo matemático que mejor

se ajusta a los datos obtenidos. El objetivo final es establecer los valores de los factores

que optimizan el valor de la variable respuesta. (Kuehl, 2001)

Cuando decimos que el valor real esperado, η, que toma la variable de interés

considerada está influido por los niveles de k factores cuantitativos, X1, X2, ..., Xk, esto

significa que existe alguna función de X1, X2, ..., Xk (que se supone continua en Xi ,

i = 1, ..., k) que proporciona el correspondiente valor de η para alguna combinación

dada de niveles:

de tal forma que la variable respuesta puede expresarse como:

Donde:

ε: es el error observado en la respuesta.




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2.2.2. Función Respuesta:

Al decir que un valor de respuesta Y depende de los niveles x1, x2, ... xk de k factores,

con errores ξ1, ξ2,... ξk, estamos diciendo que existe una función matemática de x1, x2,

... xk cuyo valor para una combinación dada de los niveles de los factores corresponde

a Y, esto es Y=f(x1, x2, ... xk).

2.2.3. Modelo de Primer Orden:

Generalmente se desconoce la relación entre la respuesta y las variables independientes, por

ello requerimos un modelo que aproxime la relación funcional entre Y y las variables

independientes. Si la respuesta se describe adecuadamente por una función lineal de las

variables independientes se utiliza el modelo de primer orden:

Los parámetros del modelo se estiman mediante el método de mínimos cuadrados. Una vez que

se tienen los estimadores se sustituyen en la ecuación y obtenemos el modelo ajustado:

2.2.4. Modelo de Segundo Orden:

El objetivo primordial de esta etapa es modelar el comportamiento del proceso en una región

muy precisa y relativamente pequeña, para determinar la combinación de factores que con

mayor probabilidad se puede considerar como candidato a óptimo. Es esencial entonces, que

los procedimientos anteriores de Diseño de primer orden, Detección de curvatura, Escalamiento

Ascendente-Descendente, se hayan cumplido de manera rigurosa.




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2.2.5. Gráfico de Contorno:

Una técnica utilizada para ayudar a visualizar la forma que puede tener una superficie de

respuesta tridimensional consiste en representar la gráfica de contornos de la superficie, en la

que se trazan las denominadas líneas de contorno, que son curvas correspondientes a valores

constantes de la respuesta sobre el plano X1X2 (plano cuyos ejes coordenados vienen dados por

los niveles X1 y X2 de los factores). Geométricamente, cada línea de contorno es una proyección

sobre el plano X1X2 de una sección de la superficie de respuesta al intersectar con un plano

paralelo al X1X2. La gráfica de contornos resulta útil para estudiar los niveles de los factores en

los que se da un cambio en la forma o altura de la superficie de respuesta. La existencia de

gráficas de contorno no está limitada a 3 dimensiones a pesar de que en el caso en que haya

más de 3 factores de influencia no es posible la representación geométrica. No obstante, el

hecho de poder representar graficas de contorno para problemas en que haya 2 o 3 factores

permite visualizar más fácilmente la situación general.

Para generar la gráfica de contornos correspondiente se secciona la superficie de respuesta

usando planos paralelos al X1X2 en ciertos valores de respuesta considerados, por ejemplo:

2.2.6. Diseño Factorial 2k:

En un diseño factorial 2k, para cada factor se consideran dos niveles, que pueden

codificarse en los valores +1 (para el más alto) y –1 (para el más bajo). Considerando

todas las posibles combinaciones de los niveles de los k factores, se obtiene una matriz

de diseño de 2k filas, cada una de las cuales representa un tratamiento.




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10

Los diseños factoriales 2k presentan el inconveniente de que, salvo que se repitan algunas

observaciones, no permiten la estimación del error experimental. Una técnica

habitual para incluir repeticiones consiste en aumentar el diseño con algunas

observaciones en el centro, pues esto no influye sobre las estimaciones de los parámetros

y no altera la ortogonalidad del diseño, aunque como resultado, la estimación de β0 es

la media de todas las observaciones. (Montgomery, 2004)

2.2.7. Diseño Compuesto Central Rotable:

Es el tipo de diseño más utilizado en esta etapa, debido a su flexibilidad: se puede construir a

partir de un diseño factorial 2k constituyendo la porción factorial del DCC, agregando puntos

sobre los ejes en lo que se denominará porción axial y puntos al centro que se denominarán

porción central; resulta clave para las propiedades del diseño la distancia entre el centro del

diseño y la porción axial; generalmente esta distancia se define como α = (2k)1/4. (Montgomery,

2004)

2.3. Pectina:

La fruta contiene en las membranas de sus células una sustancia natural gelificante llamada pectina,

la cantidad depende de la maduración de la fruta.

2.4. Consistómetro:

El consistómetro es el instrumento que se utilizó la para medición de la consistencia de la mermelada,

con este instrumento se determina en un proceso de comparación física el recorrido de flujo en un

tiempo determinado de un líquido que se extiende o de un material pastoso. El cual utiliza como

unidad de medida el centímetro(cm.).




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CAPÍTULO III

MATERIAL Y MÉTODOS




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3.1. MATERIAL DE ESTUDIO

3.1.1. Población:

Base de datos de consumidores de mermelada.

Gutierrez, C. (2011) “EFECTO DE LA PROPORCIÓN DE PULPA DE

AGUAYMANTO/BERENJENA Y PORCENTAJE DE PECTINA EN LA CONSISTENCIA Y SABOR DE

LA MERMELADA OBTENIDA A PARTIR DEL AGUAYMANTO (Physalis peruviana) Y BERENJENA

(Solanum melangena) UTILIZANDO EL MÉTODO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA”.

Universidad Nacional de Trujillo. Trujillo

3.1.2. Muestra:

La muestra y su tamaño fue obtenido de la tesis “EFECTO DE LA PROPORCIÓN DE PULPA DE

AGUAYMANTO/BERENJENA Y PORCENTAJE DE PECTINA EN LA CONSISTENCIA Y SABOR DE

LA MERMELADA OBTENIDA A PARTIR DEL AGUAYMANTO (Physalis peruviana) Y BERENJENA

(Solanum melangena) UTILIZANDO EL MÉTODO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA”.

3.1.3. Variables de Estudio:

Proporción de pulpa de aguaymanto/berenjena.

Porcentaje de Pectina

Consistencia

Sabor

3.1.4. Unidad de Análisis:

Mermelada obtenida a partir del aguaymanto y berenjena

3.1.5. Marco Muestral:

Panel de 40 evaluadores no entrenados que fueron sometidos a evaluar 11 tipos de Mermeladas

obtenida a partir del aguaymanto y berenjena.




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Y MATEMÁTICAS

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3.2. MÉTODOS

3.2.1. Recolección de Datos:

Los datos fueron obtenidos a partir de la tesis de la escuela académico profesional de Ingeniería

Agroindustrial perteneciente a la facultad de Ciencias Agropecuarias de la Universidad Nacional

de Trujillo que lleva por título “EFECTO DE LA PROPORCIÓN DE PULPA DE

AGUAYMANTO/BERENJENA Y PORCENTAJE DE PECTINA EN LA CONSISTENCIA Y SABOR DE LA

MERMELADA OBTENIDA A PARTIR DEL AGUAYMANTO (Physalis peruviana) Y BERENJENA

(Solanum melangena) UTILIZANDO EL METODO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA.

3.2.2. Análisis Estadístico:

Se utilizó un diseño experimental que permitió optimizar las variables de Proporción de

Pulpa y porcentaje de pectina, mejorando el sabor y consistencia de la mermelada. Este diseño

experimental está basado en la metodología de Superficie de Respuesta, con un Diseño

Compuesto Central Rotable (DCCR).

Se realizó un planeamiento factorial completo 2k, incluido 4 puntos axiales y un número

arbitrario de puntos centrales (3 en este trabajo), lo que nos da el número total de 11 ensayos

a realizar. Se utilizó el valor α (puntos axiales) según el número de variables.

Con los resultados se determinó los coeficientes de regresión identificando los parámetros

significativos, con lo que se elaboró un modelo polinómico con modelos matemáticos de

segundo orden codificado como el que se muestra a continuación:

Dónde:

b0 , b j = Coeficientes de regresión i = 1, 2, 3, 4 j = 1, 2, 3, 4

Luego para validar el modelo estadístico, se realizó un análisis de varianza (ANVA) para las

respuestas investigadas, verificando si las variables son significativas (p<0.05 y R2). La

significancia del modelo y valores R² ≈1 indican la concordancia entre los valores

experimentales y los valores previstos para el modelo.

Analizados los resultados se procedió a generar las Superficies de Respuesta con las curvas de

Contorno para visualizar los valores óptimos, superponiendo las gráficas.

3.2.3. Procesamiento de Datos

Los datos serán procesados en el software libre Lenguaje R.




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Y MATEMÁTICAS

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CAPÍTULO IV

RESULTADOS




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RESULTADOS

Todos los que tienen experiencia en la elaboración de mermeladas saben que resulta difícil tener éxito

en todos sus atributos, incluso cuando se emplea una receta bien comprobada debido a la variabilidad

de los ingredientes en general, principalmente de la fruta. Las frutas difieren según sea su variedad y

su grado de madurez, incluso el tamaño y la forma de las cacerolas empleadas para la cocción influyen

sobre el resultado final al variar la rapidez con que se evapora el agua durante la cocción; entonces es

que surge la gran incógnita de como poder obtener un producto óptimo.

Se determinó que el método más apropiado para optimizar el sabor y consistencia de la mermelada

de aguamanto y berenjena es la metodología de Superficie de Respuesta; empleando un diseño

factorial 22 incluyendo 4 puntos axiales y 3 puntos centrales.

Se determinó el siguiente procedimiento en R para optimizar el sabor y consistencia de la mermelada

de aguaymanto y berenjena:

PASO I: Importar datos a partir de un fichero .txt y mostrarlos en el interfaz de R

> nombre_del_archivo<-read.table(file=" nombre_del_archivo.txt",header=T)

> nombre_del_archivo – para visualizar los datos

>attach(nombre_del_archivo) – para visualizar cada variable

PASO II: Obtener los Coeficientes de Regresión y ANOVA para las Respuestas.

PARA LA CONSISTENCIA (Y1)

Utilizaremos el comando lm para poder ingresar la formula correspondiente a nuestro modelo.

> nombre=lm(Y1~X1*X2+I(X1^2)+I(X2^2))

Luego utilizamos el comando summary para obtener los coeficientes y el comando anova.

> summary(nombre)




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Y MATEMÁTICAS

16

Y1=5.8458+2.4325*X1-10.8880*X2-0.1904*X1*X2-0.3098*X12+7.0718*X2

2

Dónde: Y1 = Consistencia de la mermelada

X1 = Proporción de pulpa aguaymanto/berenjena

X2 = Porcentaje de pectina

> anova(nombre)

PARA EL SABOR (Y2)



Luego utilizamos el comando summary para obtener los coeficientes y el comando anova

> summary(nombre)

Y2=3.44160+0.30032*X1+11.63938*X2-1.10956*X1*X2+0.09170*X12)+8.37992*X2

2)

Dónde: Y2 = Sabor de la mermelada



> anova(nombre)

PASO III: INGRESAR LOS VALORES DE las matrices B y b, y encontrar los puntos estacionarios para cada

respuesta.

𝑋∗ = −0.5𝐵−1𝑏


Donde: 𝐵 = [−0.3098 −0.0952−0.0952 7.0718.

] 𝑏 = [2.4325

−10.8880]

> nombre <-c(-0.3098,-0.0952,-0.0952,7.0718)

> nombre1 <-c(2.4325,-10.8880)

> nombre_matriz=matrix(nombre,ncol=2,byrow=F)




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Y MATEMÁTICAS

17

> nombre_matriz1=matrix(nombre1,ncol=1,byrow=F)

> nombre_matriz (Para visualizar la matriz B)

> nombre_matriz1(Para visualizar la matriz b)

> X=-0.5*solve(nombre_matriz)%*%nombre_matriz1

> X (Para visualizar X)

PARA EL SABOR (Y2)

Donde: 𝐵 = [0.09170 −0.55478−0.55478 −8.37992.

] 𝑏 = [0.3003211.63938

]

> nombre <-c (0.09170,-0.55478,-0.55478,-8.37992)

> nombre1 <- c(0.30032,11.63938)







PASO IV: REEMPLAZAR LOS PUNTOS ESTACIONARIOS EN LAS ECUACIONES OBTENIDAD PARA CADA

RESPUESTA


> X1=3.6741595

> X2=0.8192794

> Y1=5.8458+(2.4325*X1)+(-10.8880*X2)+(-0.1904*X1*X2)+(-0.3098*X1^2)+(7.0718*X2^2)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

18

> Y1 (Para visualizar Y1)

PARA EL SABOR (Y2)

> X1=1.8307778

> X2=0.5732765

> Y2=3.44160+(0.30032*X1)+(11.63938*X2)+(-1.10956*X1*X2)+(0.09170*X1^2)+(-8.37992*X2^2)


EJECUCION

PASO I: Importar datos a partir de un fichero .txt y mostrarlos en el interfaz de R

> nombre_del_archivo<-read.table(file=" nombre_del_archivo.txt",header=T)

> nombre_del_archivo – para visualizar los datos

>attach(nombre_del_archivo) – para visualizar cada variable




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

19

PASO II: Obtener los Coeficientes de Regresión y ANOVA para las Respuestas.




Luego utilizamos el comando summary para obtener los coeficientes y el comando anova.

> summary(nombre)




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20

Y1=5.8458+2.4325*X1-10.8880*X2-0.1904*X1*X2-0.3098*X12+7.0718*X2

2

Dónde: Y1 = Consistencia de la mermelada






ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

21

> anova(nombre)

PARA EL SABOR (Y2)



Luego utilizamos el comando summary para obtener los coeficientes y el comando anova

> summary(nombre)




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

22

Y2=3.44160+0.30032*X1+11.63938*X2-1.10956*X1*X2+0.09170*X12+8.37992*X2

2)

Y2 = Sabor de la mermelada



> anova(nombre)

PASO III: INGRESAR LOS VALORES DE las matrices B y b, y encontrar los puntos estacionarios para cada

respuesta.

𝑋∗ = −0.5𝐵−1𝑏


Donde: 𝐵 = [−0.3098 −0.0952−0.0952 7.0718.

] 𝑏 = [2.4325

−10.8880]

> nombre <-c(-0.3098,-0.0952,-0.0952,7.0718)

> nombre1 <-c(2.4325,-10.8880)








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Y MATEMÁTICAS

23



PARA EL SABOR (Y2)

Donde: 𝐵 = [0.09170 −0.55478−0.55478 −8.37992.

] 𝑏 = [0.3003211.63938

]

> nombre <-c (0.09170,-0.55478,-0.55478,-8.37992)

> nombre1 <- (0.30032,11.63938)









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Y MATEMÁTICAS

24


PASO IV: REEMPLAZAR LOS PUNTOS ESTACIONARIOS EN LAS ECUACIONES OBTENIDAD PARA CADA

RESPUESTA


> X1=3.6741595

> X2=0.8192794

> Y1=5.8458+(2.4325*X1)+(-10.8880*X2)+(-0.1904*X1*X2)+(-0.3098*X1^2)+(7.0718*X2^2)





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Y MATEMÁTICAS

25

PARA EL SABOR (Y2)

> X1=1.8307778

> X2=0.5732765

> Y2=3.44160+(0.30032*X1)+(11.63938*X2)+(-1.10956*X1*X2)+(0.09170*X1^2)+(-8.37992*X2^2)





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26

CAPÍTULO V

ANALISIS Y DISCUSIÓN




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Y MATEMÁTICAS

27

1 2

DISCUSIÓN

Esta investigación tuvo el como objetivo describir el procedimiento en Lenguaje R para optimizar

el sabor y consistencia de la mermelada de aguaymanto y berenjena.

A continuación, se presenta el análisis utilizando la Metodología de superficie de respuesta,

podemos afirmar lo siguiente:

Para la formación de la ecuación que predice la consistencia (Y1) se incluyó todos los coeficientes

de la regresión para no disminuir el coeficiente de determinación (R2

=90.2%) y por ende la

capacidad predictiva del modelo de regresión y pueda expresar la consistencia de la mermelada lo

más cercano a la real.

Y1 = 5.4713 + 2,6459 X1 – 0,3449X12 – 10,0409 X2 + 6,1063 X2

2 – 0,1920 X1 X2

Dónde: Y1 = Consistencia de la mermelada X1 = Proporción de pulpa aguaymanto/berenjena X2 = Porcentaje de pectina

Para la variable sabor se obtuvo cuatro coeficientes significativos para la formación del modelo de

regresión; El intercepto, el porcentaje de pectina lineal, el porcentaje de pectina cuadrático, y la

interacción de la proporción de pulpa de aguaymanto/berenjena lineal. Del mismo modo se toma

todos los coeficientes para aumentar la capacidad de predicción del modelo obtenido, cuyo

coeficiente de determinación es 96,383% y un coeficiente de determinación ajustado de 92,765%.

El modelo de regresión para la determinación del sabor de la mermelada nos otorgó la siguiente

ecuación:

Y2 = 3,44160 + 0,30032 X1 + 0,09170 X 2 + 11,63938X2 - 8,37992 X 2 - 1,10956 X1 X2

Dónde: Y2 = Sabor de la mermelada

X1= Proporción de pulpa aguaymanto/berenjena X2 = Porcentaje de pectina




ÍSICAS

Y MATEMÁTICAS

28

En el Anexo 4 y 5 se presentan el efecto de la proporción de pulpa aguaymanto/berenjena y

porcentaje de pectina en el sabor de la mermelada. Se puede apreciar que la aceptabilidad en cuanto

a sabor es mayor al ir aumentando la proporción de pulpa aguaymanto/berenjena. Por otro lado,

el sabor de la mermelada se va haciendo más aceptable a medida que aumenta el porcentaje de

pectina hasta el 0.6%, si se agrega por encima de esa cantidad el sabor se ve mermado. El análisis de

varianza nos indica que todas las variables independientes afectan significativamente sobre el sabor

(p<0,05).

En el anexo 6 y 7 están expuestos la proporción de pulpa aguaymanto/berenjena y porcentaje de

pectina en la consistencia de la mermelada. En dichas figuras se puede observar que a medida

que la proporción de pulpa aguaymanto/berenjena aumenta hasta un valor de 3.5aumenta también la

consistencia, sin embargo, con valores superiores a 3.5 la consistencia tiende a bajar. Por otro lado,

a medida que aumenta el porcentaje de pectina, agregada en la mermelada, los valores de

consistencia van disminuyendo.

Según el análisis de varianza la variable porcentaje de pectina lineal afecta significativamente a la

variable consistencia debido a que la probabilidad es menor que 0.05.

Se puede distinguir valores entre 5.5 y 6,5 con respecto a la proporción d e p u l p a

aguaymanto/berenjena y valores entre 0.2 y 0.6 % con respecto al porcentaje de pectina, se

obtienen altos valores de aceptabilidad con respecto al sabor y a la vez una consistencia

estadísticamente adecuada. Por lo cual, se puede producir en esos rangos si es que uno desea

obtener mermelada de dichas características. Además, cabe mencionar que otras variables pueden

afectar el proceso.




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Y MATEMÁTICAS

29

CAPÍTULO VI

CONCLUSIONES Y

RECOMENDACIONES




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Y MATEMÁTICAS

30

CONCLUSIONES

Se resumió el análisis de superficie de respuesta para la optimización de la consistencia y el sabor de la

mermelada de aguaymanto y berenjena en 4 pasos en los cuales se usaros comandos y operaciones

algebraicas y matriciales.

Se determinó la influencia de la proporción aguaymanto/berenjena (1/1 - 5/1) y porcentaje de pectina (0.05

-0.8%) en el sabor y consistencia de una mermelada de aguaymanto y berenjena concluyendo que a mayor

proporción aguaymanto/berenjena mayor será el valor de sabor y que un porcentaje de pectina bajo tanto

como un porcentaje de pectina alto causan una consistencia que no es adecuada para la mermelada de

aguaymanto y berenjena.

La metodología de superficie de respuesta permitió obtener los modelos que definen el comportamiento

de las variables para las respuestas, el modelo fue s i g n i f i c a t i v o (p < 0.05, R2 elevados) para las

respuestas sabor y consistencia, siendo posible construir las superficies de respuesta y definir las regiones

de interés para ambas respuestas.

A través de la metodología de superficie de respuesta se determinaron los parámetros adecuados de

proporción aguaymanto/berenjena y porcentaje de pectina para obtener una mermelada con sabor

agradable y consistencia adecuada, los cuales fueron en proporción aguaymanto/berenjena berenjena

entre 5.5/1 y 6.5/1 y porcentaje de pectina entre 0.2 y 0.6%. Obteniéndose valores de 7,05 para el sabor

y de 5,85 de consistencia para la mermelada de aguaymanto y berenjena.




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Y MATEMÁTICAS

31

RECOMENDACIONES

Utilizar los valores de proporción de pulpa de aguaymanto/berenjena y porcentaje de pectina

adecuado para obtener los valores óptimos del sabor y consistencia.

Utilizar el modelo de segundo orden propuesto para que los resultados se puedan expresar lo más

cercano a la realidad.

Realizar las gráficas de contorno y de superficie en algún otro software estadístico, puesto que el

Lenguaje R no nos brinda con exactitud este tipo de gráficas.




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Y MATEMÁTICAS

32

CAPÍTULO VII

REFERENCIAS

BIBLIOGRÁFICAS




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Y MATEMÁTICAS

33

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Arriaza, A. (2008) Estadística Básica con R y R-Commander, Servicio de Publicaciones de la Universidad

de Cadiz.

Bouso, J. (2013) El Paquete Estadístico R. Centro de Investigaciones Socialogicas, Madrid.

Cornell, J. 2011. “Experiments with mixtures”. Design, Models and the analysis of mixture data New

York, third edition.

Dalgaard, P. (2002) Introductory Statistics with R, Springer Science & Business Media

Guisande, C. (2012) Gutierrez, C.V.(2011) “EFECTO DE LA PROPORCIÓN DE PULPA DE

AGUAYMANTO/BERENJENA Y PORCENTAJE DE PECTINA EN LA CONSISTENCIA Y SABOR DE LA

MERMELADA OBTENIDA A PARTIR DEL AGUAYMANTO (Physalis peruviana) Y BERENJENA (Solanum

melangena) UTILIZANDO EL MÉTODO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA”. Universidad Nacional de Trujillo.

Trujillo Gráficos estadísticos y mapas con R, Ediciones Díaz de Santos, S.A.

Kuehl, R. (2001) Diseños de Experimentos. Principios Estadísticos para el Diseño y Análisis de

Investigaciones. University of Arizona, , Ed. International Thomson - 2da Edición, México.

Montgomery, D. (2004) Diseño y Analisis de Experimentos, Ed. “Limusa- 2da edicion, EE.UU.

Redondo, C. (2017) El Programa R, Herramienta clave en investigación, Ed. “Universidad Cantabria,

España.

Rodriguez, M. y Iemma. (2005) Planeamientos de Experimentos y Optimización de Procesos, Ed.

Casa do Pao. Brasil.




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Y MATEMÁTICAS

https://www.google.com.pe/search?sa=G&hl=es&tbm=bks&tbm=bks&q=inauthor:%22A.+J.+Arriaza+G%C3%B3mez%22&ei=4RlYVP_lJMzesATDwIDADw&ved=0CB4Q9AgwAA

https://www.google.com.pe/search?sa=X&hl=es&biw=1366&bih=667&tbm=bks&tbm=bks&q=inauthor:%22Castor+Guisande+Gonz%C3%A1lez%22&ei=fBRZVM_ZJ4aiNvevg5AB&ved=0CBwQ9AgwAA

34

CAPÍTULO VII

ANEXOS




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ANEXO 01: Datos utilizados para obtener la consistencia promedio de mermelada

C1 C2 C3 Consistencia

1 6,1 6,3 6.8 6,2

2 8,5 8,1 7.8 8,3

3 5 5,1 4,5 4,9

4 6,5 6,9 6.2 6,7

5 6,2 5,9 6 6,0

6 7 7,5 7,1 7,2

7 5,5 5 5,1 5,2

8 9,9 10,1 10,3 10,1

9 6,2 6,9 5,9 6,3

10 7,9 6,5 7,2 7,2

11 6,1 8,8 6,9 7,3




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36

ANEXO 02: Resultados de la evaluación sensorial para el sabor de mermelada

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11

1 7,1 9,3 6.8 4,5 8,5 7,9 7,2 5,1 8,4 8,1 8,9

2 8,1 8,9 7.8 5,2 8,2 8,4 6,9 4,9 7,2 6,9 8,1

3 9 6,1 6,1 6,1 8,4 7,5 8,1 4,6 6,2 7,1 7,8

4 6,5 6,9 5.2 5,9 8,1 9,2 7,2 5,8 7,4 7,5 8,5

5 7,2 7,9 8 6,9 7,9 9,1 5,2 6,1 6,8 6,6 8,1

6 7,8 9,5 7,1 4,1 8,6 8,9 5,8 5,4 8,1 6,3 9,1

7 7,5 6,5 5,6 3,9 6,9 9,6 6,2 6,4 6,9 6,5 8,3

8 7,9 8,1 6,3 5,3 7,9 7,8 6,5 5,2 7,1 6,2 7,1

9 6,2 7,9 4,9 5,9 8,2 8,6 5,4 4,4 7,5 7,5 6,9

10 7,9 6,5 7,2 5,8 8,5 8,1 6,9 5,6 6,6 5,9 7,8

11 6,1 8,8 6,9 6,1 9,2 7,8 7,2 6,3 6,3 6,9 8,1

12 5,5 8,1 6,2 6,2 8,1 8,6 6,5 7,1 7,6 7,6 7,9

13 8,9 7,4 7,4 6,1 8,4 9,1 6,2 5 8,8 6,3 7,5

14 6,3 7,3 6,3 7,5 9,7 6,9 7,5 5,1 7,2 7,1 7,9

15 7,6 5,9 5,2 6,1 8,9 7,9 5,9 6,2 8,3 5,7 6,1

16 6,6 7,8 8,5 5,7 8,1 8,6 6,9 4,2 6,8 5,1 6,2

17 5,9 9,5 8,2 5,6 7,8 8,9 7,6 4,1 7,2 6,2 6,1

18 6,3 9,1 7,2 6,2 8,5 9,6 6,4 4,7 6,2 7,6 7,5

19 7,1 6,9 7,6 5,1 8,1 7 6,1 5,2 6,5 7,3 6,1

20 8,9 8,6 7,3 6,5 9,1 8,6 5,6 5,7 5,9 7,5 6,6

21 6,3 8,1 7,5 6,7 8,3 8,4 5,9 5,9 7,7 7,2 5,9

22 7,5 6,2 7,2 5,6 7,1 8,3 6,4 6,1 6,2 8,1 6,3

23 8,5 8,9 8,1 5,7 6,9 9,1 5,7 5,4 7,2 8,2 7,1

24 7,8 7,2 8,1 6,7 7,8 8,5 6,1 5,5 6,9 6,7 8,9

25 8,6 6,5 6,9 5,8 8,1 7,9 5,7 6,3 7,5 6,9 6,3

26 6,5 8,5 6,5 6,5 7,9 7,6 6,3 4,8 6,6 7,2 7,5

27 6,1 7,9 6,1 7,1 7,5 9,1 7,5 5,2 5,7 6,7 7,4

28 5,6 8,9 7,1 5,9 7,9 8,2 7,1 4,6 7,9 6,8 8,1

29 8,5 7,2 6,5 6,1 6,1 8,6 6,1 7,6 7,4 7,6 6,9

30 6,9 6,3 6,8 6,2 8,5 8,5 6,6 4,6 6,9 6,3 7,2

Promedio 7,2 7,8 6,9 5,9 8,1 8,4 6,5 5,4 7,1 6,9 7,4




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37

ANEXO 03: Resultados experimentales de los ensayos realizados

Ensayos

Variables Reales Variables Respuesta

Proporción pulpa de

Aguaymanto / % de pectina consistencia sabor

Berenjena

X1 X2 Y1 Y2

1 4.4 0.7 6.2 7.2

2 4.4 0.2 8.3 7.8

3 1.6 0.7 4.9 6.9

4 1.6 0.2 6.7 5.9

5 5 0.4 6 8.1

6 5 0.4 7.2 8.4

7 3 0.8 5.2 6.5

8 3 0.05 10.1 5.4

9 3 0.4 6.3 7.1

10 3 0.4 7.2 6.9

11 3 0.4 7.3 7.4




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Y MATEMÁTICAS

38

ANEXO 04: Grafica de Superficie

ANEXO 05: Grafica de contorno




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Y MATEMÁTICAS

39

ANEXO 06: Grafica de Superficie

ANEXO 07: Grafica de contorno




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40

ANEXO 08:Ficha de evaluación para el sabor de mermelada




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Y MATEMÁTICAS

facultad de ciencias fÍsicas y matemÁticas escuela de

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