secciÓn de ciencias fÍsicas y matemÁticas posgrado

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POSTGRADO

SECCIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES RESTRINGIDAS MEDIANTE MÉTODO DE

PUNTOS INTERIORES

Trabajo de tesis para obtener el grado de: Maestro en Ciencias

Autor:

PATRICIA EDITH ALVAREZ RODRIGUEZ

Asesor: Dr. EDMUNDO VERGARA MORENO

Trujillo - Perú 2016

Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/

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2

JURADO DICTAMINADOR

---------------------------------------------------------

Dra Jenny Margarita Rojas Jerónimo

PRESIDENTE

---------------------------------------------------------

Ms Nelson Aragonés Salazar

SECRETARIO

---------------------------------------------------------

Dr Edmundo Vergara Moreno

ASESOR



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3

DEDICATORIA

Mi tesis la dedico con todo mi amor y cariño

A DIOS que me dio la

oportunidad de existir y

darme dos hijos hermosos.

A mis hijos Sebastián y Brisa, esperando ser

para ellos un modelo de perseverancia, que

alcanzar y superar en esta vida.

A mis padres Segundo y Rosa que me dieron la vida

y me enseñaron a superarme cada día , con su constante

apoyo incondicional .Gracias Papá y Mamá, por darme una

carrera para mi futuro y por creer en mí, los amo mucho.

A mi esposo Javier por su paciencia y

Compresión, Te amo




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4

AGRADECIMIENTO

A mi madre Rosa por estar conmigo en todo este tiempo donde he vivido

momentos felices y tristes, gracias Mamita por ser mi mejor amiga.

A mi asesor Edmundo Vergara Moreno por confiar en mí, al profesor Nelson

Aragonés y profesora Jenny Rojas por su apoyo constante. Muchas gracias .

Agradezco el haber tenido unos profesores de excelente calidad y ejemplo a

seguir .

A todos mis docentes de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas por

contribuir en mi formación como profesional. Y a todos mis amigos que me

rodean gracias por estar conmigo durante este tiempo, siempre los llevare en

mi corazón.




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5

ÍNDICE

ÍNDICE ............................................................................................................... 2

RESUMEN ......................................................................................................... 6

ABSTRACT ........................................................................................................ 7

I. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 8

II. MATERIALES Y METODOS ..................................................................... 11

III. RESULTADOS ....................................................................................... 12

3.1. El Modelo Básico .................................................................................. 12

3.2. Hipótesis Asumidas ............................................................................. 13

3.3. Problema de Complementariedad ....................................................... 14

3.4. Sistemas KKT ....................................................................................... 19

IV. DISCUSIÓN............................................................................................ 23

4.1. Método de los puntos interiores ......................................................... 23

4.2. Algoritmo de Reducción de la Función Potencial ............................. 27

V. CONCLUSIONES ................................................................................... 33

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................... 35



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6

RESUMEN

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES RESTRINGIDAS MEDIANTE

UN MÉTODO DE PUNTOS INTERIORES

Autor: Lic. Mat. Patricia E. Alvarez Rodríguez

Asesor: Dr. Edmundo Vergara Moreno

En este trabajo se estudia la solución del problema de un Sistema de

Ecuaciones no Lineales Restringidos, mediante la combinación del método de

Newton Amortiguado Clásico para ecuaciones sin restricciones, y el método de

Reducción del Potencial para Puntos Interiores, dado que los sistemas de

ecuaciones Restringidos abarcan una variedad de problemas, como problemas

de complementariedad de varios órdenes y sistemas Karush-Kuhn – Tucker de

desigualdades variacionales, problemas no lineales. En tal sentido se establece

un algoritmo para hallar la solución.

Palabras clave: Sistemas de Ecuaciones Restringidas, Método de Puntos

Interiores, Método de Newton, Desigualdades Variacionales.



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7

ABSTRACT

SOLUTION OF SYSTEMS OF RESTRICTED EQUATIONS THROUGH A

METHOD OF INTERIOR POINTS

In this work the problem of the solution of a System of Restricted Nonlinear

Equations is studied, by means of the combination of Newton's Method of

Classical Damping for unrestricted equations and the Method of Reduction of

the Potential for Inner Points, since the systems of equations Restrictions

encompass a variety of problems, such as complementarity problems of

various orders and Karush-Kuhn-Tucker systems of variational inequalities,

non-linear problems. In this sense an algorithm is established to find the

solution.

Keywords: Restricted Equation Systems, Internal Point Method, Newton's

Method, Variational Inequalities.



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8

I. INTRODUCCIÓN

Los problemas de optimización pueden clasificarse de acuerdo a la naturaleza

de la función objetivo y de las restricciones en: lineales, no lineales, convexos,

no convexos, etc , por el número de variables (de gran escala, mediana o

pequeña escala), por la suavidad de las funciones (diferenciables).

Sin embargo una clasificación importante es la clasificación respecto a la

acotación de las variables:

a. Problemas de optimización restringida (con variables acotadas ó

variables encajonadas).

b. Problemas de optimización no restringida (con variables sin restricciones

ó variables libres).

Los problemas de optimización no restringida tienen muchas aplicaciones

prácticas; así también surgen de reformulaciones de problemas de optimización

restringida, por ejemplo el Lagrangiano, método de Penalización, método de

Barrera.

Los Problemas no restringidos son de la forma:

( )

donde f es una función de varias variables de valor real y S Rn. Cuando

S = Rn, corresponde al caso totalmente sin restricciones.

Los problemas de optimización restringida surgen de modelos que incluyen

restricciones explícitas de las variables. Estas restricciones pueden ser: cotas,

restricciones lineales o desigualdades no lineales que expresan relaciones más

complejas entre las variables [5].

Dentro de los problemas de optimización lineal, el Método Simplex ha sido

considerado como uno de los métodos más importante para resolver dichos

problemas; sin embargo desde el punto de vista teórico, el tiempo del cálculo



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9

requerido por este método crece exponencialmente con el tamaño del

problema, teniendo 2n – 1 iteraciones, en el peor de los casos definido [5. 4].

Muchos investigadores han tratado de desarrollar algoritmos cuyos tiempos de

cálculos tuviesen un crecimiento polinomial con el tamaño del problema [9].

Todos los intentos realizados hasta 1984 fallaron ya fuese desde el punto de

vista teórico o desde el punto de vista práctico. En 1984 Karmarkar propuso un

algoritmo cuya complejidad computacional era polinomial y que resultó

altamente competitivo frente al Método Simplex para resolver problemas de

programación lineal de gran tamaño [2]. A partir del trabajo de Karmarkar se

reactivó la investigación en esta rama matemática, dando origen a una serie de

algoritmos que se denominaron en conjunto “métodos de puntos interiores”.

Esta denominación se debe a que mediante tales algoritmos la aproximación a

la solución óptima es a través de los puntos interiores de la región factible,

mientras que el algoritmo simplex es a través de los puntos de la frontera [5].

Como veremos, las ecuaciones restringidas provienen de una formulación

común para muchos problemas de programación matemática incluyendo los

problemas de complementariedad y el sistema de inecuaciones variacionales

Karush-kuhn- Tucker (KKT) y programas no lineales [11].

Las ecuaciones restringidas provienen aplicando el teorema de Dualidad de la

programación lineal y el teorema de la Dualidad Fuerte de un problema de

programación lineal, es decir:

Min Ct x Max bt y

→

libre

Usando el teorema de Dualidad y Dualidad fuerte, se tiene

Cx = by

Aty = C

Ax = b



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10

El problema de solucionar sistema de ecuaciones no lineales, es un tipo clásico

cuya importancia persiste en la matemática aplicada. La versión tradicional de

este problema es buscar un vector en un espacio Euclidiano de dimensión finita

que satisfaga un sistema de ecuaciones definido por una función vectorial

suave [14]. Así, el Método de Newton es uno de los métodos más usados para

resolver un sistema de ecuaciones lineales y no lineales pero debido a costo

computacional se usaran un Método de Puntos Interiores.

Estos métodos se han utilizado con éxito en la Programación no lineal y

programación lineal, en resumen combinando la simplicidad del Método de

Newton con la eficiencia de los algoritmos de Puntos Interiores es de presumir

que se obtendrá un algoritmo simple eficiente.

En tal sentido en el presente trabajo se estudia el uso de los métodos de los

puntos interiores para solucionar Sistemas de Ecuaciones Restringidas.



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11

II. MATERIALES Y METODOS

Como el tema nuestro del presente trabajo, está en marcada en el área de

optimización con conjuntos no convexos, funciones lineales, funciones no

lineales, sistemas de ecuaciones lineales, sistemas con restricciones.

Los métodos usados corresponden a una familia de métodos llamados

métodos de los puntos interiores.

La técnica consiste en hacer búsquedas al interior de los conjuntos.



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12

III. RESULTADOS

En esta sección se estudiarán los conceptos relacionados a Sistemas de

Ecuaciones con Restricciones. Estos sistemas involucran una variedad de

problemas particulares como problemas de complementariedad, sistemas KKT,

etc.

3.1. El Modelo Básico

Sea un conjunto cerrado con interior

ɸ; y no

necesariamente convexo.

Sea H : , una aplicación continua

( ) ( ( ) ( ))

Ahora, considerar el problema de hallar tal que:

H(w) = 0 (1)

Esto equivale a tener un sistema de ecuaciones, en general no lineal:

{

( )

( )

( )

(2)

w

o.

n

H(w)

o.

..

n

H

Fig. Nº 1. Conjunto de definición de H.



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13

Ahora, considerar una descomposición de , en la forma:

Luego:

( ) [ ( )

( )] (3)

donde:

,

( ) ( )

son las funciones coordenadas de H.

w

n

..

n

H

H(w)

F(w)0

C(w)

n1

Fig. Nº 2. Descomposición del espacio de llegada.

Definición 3.1.1. Sea , el conjunto

* ( ) + (4)

es llamado el conjunto base de (1); donde la desigualdad ( ) ,

indica que ( ) .

3.2. Hipótesis Asumidas

Ahora, enunciamos los supuestos asumidos por Wang y Coworkers,

necesarios para el desarrollo del presente trabajo:



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14

(A1) , y * ( ) +.

(A2) La aplicación ( ).

(A3) La matriz Jacobiana H’(w) es no singular para todo .

El supuesto (A1) es equivalente a decir que es no vacío y abierto.

Los supuestos (A2) y (A3) son necesarios para poder aplicar al método

de Newton en la solución de la ecuación (1).

Definición 3.2.1. La función definida por:

( ) , ( ) ( ) ( )- ∑ ( ( )) (5)

donde:

, e = (1, 1,…,1), es llamada la función de Potencial Asociada al

problema (1).

Esta función de Potencial, es necesaria para determinar las direcciones

en el proceso iterativo para hallar la solución del sistema (1) restringido

al conjunto

En lo que sigue, el problema de hallar tal que

H(w) = 0 (6)

será llamado un sistema de Ecuaciones con restricciones.

3.3. Problema de Complementariedad

Sistemas de Ecuaciones Restringidas (6) se pueden utilizar para

modelar problemas de Complementariedad de varios órdenes.

Ahora, considerar el problema de Complementariedad No Lineal

Estándar:

Sea f: una función continua y de clase C1 en ,



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15

donde:

* +

= *( ) +,

*( )

+

En particular:

* +

0

+

Fig. Nº 3: Caso 1-dimensional

*( ) +

x

2+

0

Fig. Nº 4: Caso 2-dimensional

Luego, el problema de Complementariedad No Lineal Estándar está

dada por:

Hallar un vector , tal que:

x 0, f(x) 0, xT f(x) = 0 (7)

Si n = 2, entonces x = (x1, x2), x1 0 , x2 0.



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16

f:

( ) [ ( )

( )]

Entonces:

( ) ( ) [ ( )

( )]

( ) ( )

Por tanto, el problema es:

Hallar ( ) , tal que

{ ( ) ( )

( ) ( )

Un problema de Complementariedad (7) es análogo al concepto de

Punto Estacionario en problemas de extremos de funciones, es decir, si

el punto x = 0 es un Mínimo Local de una función real diferenciable,

, , la desigualdad F’(x) > 0, junto con la condición de

complementariedad (7): ( ) , es una condición necesaria puesto

que:

( ) ( )

lo cual indica que “x” es un Punto Crítico.



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17

y=F(x)

x

y

Fig. Nº 5: Condición necesaria para Punto Crítico.

Ahora, si x > 0, entonces la condición de Mínimo necesario se reduce a

( ) .

y = F(x)

x

y

Fig. Nº 6: Condición Necesaria

Los dos casos se reducen a:

x 0, F’(x) 0, xF’(x) = 0

En forma general, sea una función diferenciable,

( ) un punto donde F alcanza un Mínimo Local.

Sobre un octante no negativo , las condiciones necesarias para que

esto se cumpla es que:

( ) ,y



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18

( )

Ahora bien, si hacemos:

( )

( )

se tiene:

( ) ∑

( )

Luego, la relación (8) se puede escribir como:

( ) ( )

Ahora, sea ( )

( ) [ ( )

] [ ( )

( )] (9)

donde es el producto de Hadamard de los vectores x e y; es decir si

x = (x1, x2,…, xn), y = (y1, …, yn):

( )

Luego, si ( ) , entonces

( )

( )

Además, si ; entonces

y

(8)



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19

( ) ∑

( )

Por tanto:

( ) ( ) (10)

Análogamente, se prueba que si se verifica (10) se obtiene (7).

Por tanto, un problema de Complementariedad Estándar es equivalente

a solucionar un Sistema de Ecuaciones Restringidas (7).

3.4. Sistemas KKT

Para problemas de optimización no lineal con restricciones de

desigualdad, los óptimos tienen que satisfacer condiciones necesarias,

las cuales fueron publicadas por primera vez (1939) en la tesis de

William Karush; las cuales fueron renombradas tras un artículo en una

conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker en 1951.

Las condiciones de Karush – Kuhn – Tucker (KKT) son una

generalización del método de los multiplicadores de Legrange para

restricciones de desigualdad.

Ejemplo:

Sea

( ) ( )

( )

Considerar el problema de Optimización Restringido

{

( )

( ) (11)



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20

g(x)= 0

1-1

-1

1

x1

x2

Curvas de nivel de f(x)

Fig. Nº 7: Curva de Nivel de f(x)

El punto ( ) es un mínimo global irrestricto de ( ), el cual está

en la región factible.

Una condición necesaria y suficiente para un mínimo local sobre la

restricción, es la misma que para un mínimo local irrestricto:

( ) ( )

Ahora, considerar definida por:

( ) ( ) ( )

, luego el problema es:

{

( )

( ) (12)



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21

g(x)< 0

x2

x1

Curvas de nivel de f(x)

Fig. Nº 8: Región Factible

Observar que en este caso, un óptimo local ocurre cuando ( ) y

( ) son paralelos:

( ) ( ) (13)

x2

x11-1

Fig. Nº 9: Mínimo Local Restringido.



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22

A partir de (13), se define la Lagrangiana por:

( ) ( ) ( ). (14)

Luego, para el problema de optimización:

{

( )

( ) (15)

Entonces, para el problema (15), se tiene:

x* es un mínimo local tal que:

{

) ( ) )

) ( )

) ( )

) ( )

(16)

Las relaciones dadas en (16) son llamadas las condiciones KKT.

En forma general, sea un conjunto cerrado, y una

aplicación.

El problema de Desigualdades Variacionales, denotado por VI(K,f)

consiste en hallar , tal que:

( ) ( ) (17)

Si f es una aplicación gradiente:

( ) ( )

donde es una función diferenciable, VI(K,f) es equivalente al

problema de hallar Puntos Estacionarios para el problema de

minimización:

{ ( )

(18)



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23

IV. DISCUSIÓN

En esta sección enunciamos los conceptos necesarios para el desarrollo del

tema central. Para ello es fundamental analizar el método de los puntos

interiores.

4.1. Método de los puntos interiores

El método de los puntos interiores a estudiar en este trabajo, es el

presentado por Wang y Monteiro en [12 ].

Sea un subconjunto cerrado,

Según (3) ,

( ) [ ( )

( )]

donde:

, y

Además:

* ( ) +

Según la definición (3.2.1) la función Potencial Asociada al problema (6)

está dado por:

definida por:

( ) , ( ) ( ) ( )- ∑ ( ( )) (19)

donde: ( ).

Si , entonces (19) se reduce a:



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24

( ) , ( ) ( )-,

, ( ) ( )-

( )

( ) ( ) ( ) (

( )) ( )

Donde es la función Merit del método de Newton Amortiguado para

resolver el sistema de Ecuaciones Restringidas:

F(w) = 0 (21)

Por tanto, la función ( ) juega un rol análogo a la función de Merit en

el proceso de generación de la iteración wK para determinar un algoritmo

propuesto por Wang, el cual permitirá resolver (6).

Este algoritmo iterativo en cada iteración usa la dirección de Newton

Perturbada para reducir el valor de la función Potencial sobre ++.

Esto permitirá mantener la estructura cerca de la ruta central del

conjunto ++; como lo hace el método del Punto Interior.

La existencia de la ruta central para (6), está dada en [10]

Definición 4.1.1. Sea una Dirección de Newton Perturbada d ,

en w con respecto a la partición (2), es la solución del sistema de

ecuaciones lineales:

( ) [ ( ) ( )

] [ ( )

( ) ( ) ] (22)

donde

( ) ( ( )

,

El parámetro , es llamado parámetro de centro.



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25

En general, la solución “d” si existe, es una disección de decrecimiento

para la función en w. Como se demuestra es el siguiente lema.

Considerar la función definida por:

Definida por:

( ) ( ) ( ) ( ) (23)

Observar que si , entonces ( )

Lema 4.1.2. Sea . Bajo las hipótesis (A1) y (2), y para todo

⟨ ⟩, se tiene:

1) ( ) ( ) ( ) (24)

2) ( ); además:

( )

( ), ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( )

donde ( ) es el vector cuya i-ésima componente es ( )

3) Si d es solución de (22), entonces:

( ) ( )( ), (26)

por tanto existe , tal que ⟨ ],

( ) ( ) ( )( ) ( )

DEMOSTRACIÓN

2) Para cada , se tiene



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26

( )

( )[∑ ( )

( )

∑ ( )

] ∑ ( ) ( )

Entonces:

( )

( ), ( ) ( ) ( ) - ( ) ( )

3) Usando (22) y (23) y parte (2), se tiene:

( )

( ), ( ) ( ) ( ) - ( ( ) ) ( )

( )( ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ) ( )

( )

( )( ( ) ( ) ( ) ( ))

( )

( )

( ) [∏ ( )

]

[∏ ( )

]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

Además, usando (A2), y como es abierto, entonces , tal que

⟨ ], se tiene que ; y además:

( ) ( ) ( ( ) ( )( )( ))

( )( ).

Así, , es el factor en la búsqueda lineal del método de Newton

Amortiguado; donde el lado derecho de la desigualdad es siempre

positivo.



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27

□

A continuación presentamos un algoritmo de reducción de la función de

Potencial, para resolver el problema (6).

4.2. Algoritmo de Reducción de la Función Potencial

En esta sección se enuncia el algoritmo propuesto por Wang, y otros [12]

el cual permitirá resolver iterativamente el problema (6).

Hallar el , tal que:

{ ( )

Paso 1: Inicialización

Sea ⟨ - , ⟩ ⟨ ⟩

Elegir , - , sea k = 0

Paso 2: Generación de Direcciones

Resolver el sistema de ecuaciones lineales (22) en

( ) [ ( )

( ) ] [

( )

( ) ]

donde

( )

para obtener la dirección buscada: dk.

Paso 3: Determinación de la longitud de Paso

Sea mk el entero no negativo más pequeño “m”, tal que las siguientes

indicaciones son ciertas:



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28

, (28)

( ) ( ) ( )( ) (29)

Hacer .

Paso 4: Fin

Observaciones:

1. La dirección determinada en (2), está bien definida en vista de

(A3)

2. Lema 4.1.2. garantiza que el centro mk esté bien definido.

3. La sucesión * ( )+ es estrictamente decreciente.

Ahora, se establecen algunas propiedades de la sucesión * ( )+.

Lema 4.2.1.

Sea una función definida por:

( ) (‖ ‖ ) ∑

entonces , se tiene:

{( ) ‖ ‖ ( ) } (30)

es un conjunto compacto.

Para una demostración ver [34]



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29

Teorema 4.2.2.

Supones que (A1), (A2), (A3) son válidos.

Entonces la sucesión * + generada por el algoritmo de Reducción

Potencial satisface las siguientes propiedades:

a) La sucesión * ( )+ es acotada

b) Cada punto de acumulación de * + si existe, es una solución del

sistema

H(w) = 0

c) Si la sucesión * + es acotada, entonces

( ) (31)

d) Si H es propia con respecto a , entonces (31) es válida.

DEMOSTRACIÓN

a) Según Lema (4.1.2), y el hecho * ( )+ es decreciente, se tiene:

( ) [ ( )

] [

( )

]

para toda . Entonces:

* ( )+ es acotada.

b) Sea , donde { } es una subsucesión de * +

Entonces , pues es cerrado.

Afirmamos que ( ) .

En efecto, suponer que ( ) , entonces para algún >0, se tiene

que:

( )



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30

Como * ( )+ es acotada superiormente por ( ), se sigue a

partir del Lema (4.2.1) que * ( ) ⁄ + está contenido en un

subconjunto compacto de . Así, ( ) , y por (A1), se

sigue que .

Por (A3), la matriz jacobiana ( ) es una singular, entonces la

sucesión:

( ) ( ) .

Además, como , se tiene:

, ⟩.

Como, para cada

( ) ( ( ) [

])

donde ( )

, se concluye que

, verificando

( ) ( ) [

]

donde ( )

Por tanto, por el Lema (4.1.2), y , ⟩, se tiene:

( ) ( )( ) (32)

Además:

Usando la continuidad de , se tiene:

( ) ( )



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31

Como * ( )+ es estrictamente decreciente, tenemos

( ) ( )

Luego:

( ) ( )

Como , -, de Paso (3), del algoritmo se tiene:

Como es abierto conteniendo a , * ⁄ + es acotada, y

como , suficientemente grande:

, para

Por tanto, (29) no se verifica para suficientemente

grande.

Luego:

( ) ( ) ( )( )

suficientemente grande.

Dividiendo la desigualdad por y haciendo se obtiene:

( ) ( )( ),

lo cual contradice (32)

Por tanto ( ) .

c) Si * + es acotada, entonces:

( )



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32

Además, como * + tiene ahora a lo más un punto de acumulación,

se tiene que existe una solución de H(w) = 0.

d) Suponer que para algún conjunto infinito de índices * + la

sucesión * ( ) ⁄ + converge en un límite positivo, entonces

para >0, n >0, se tiene:

* ⁄ + * ( ) ( ) ⁄ +

[{( )

‖ ‖ ( ) }]

el cual es completo.

Entonces la subsucesión * ⁄ + es acotada, y por (b)

( )

Lo cual es una contradicción, en consecuencia el resultado está

probado.



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33

V. CONCLUSIONES

En el presente trabajo se estudió la formulación de un algoritmo basado en el

método del punto interior, para solucionar un Sistema de Ecuaciones

Restringida, obteniendo las siguientes conclusiones:

1. El uso del método del punto interior, permite obtener una sucesión de

puntos * +, en el interior de la región de restricción , de tal manera

que:

donde: H(w*) = 0.

2. Un problema de Complementariedad No Lineal Estándar:

{

( ) ( )

es equivalente al problema de solución de Sistemas de Ecuación

Restringidos:

{ ( )

( ) [ ( )

] .

3. Un sistema KKT de desigualdades variacionales VI(K,f), donde

de C1, * ( ) ( ) ⁄ +,

de clase C2, es equivalente a un Sistema de

Funciones Restringidas:

H(w) = 0



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34

donde:

( ) [ ( )

] ( ) [

( )

( )

( )] ,

( )

( ) ( ) ∑

( ) ∑

( )

es la función Lagrangiana.



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35

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Cambridge University Press, Cambridge 1993.

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Soviet Mathematics Doklady; 20(1979), 191-194

[5] KLEE. V. Y,G.j. Minty, How good is the Simple?. Algorithm. In

Inequalities III. Press, New York, 1972, 159-175

[6] K.O.K.KORTANEK y H.NO, A second order affine, scaling algorithm for

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[7] I.J.LUSTIG, Feasibility issues in a primal-dual interior-point method for

linear programming. Mathematical Programming 49(1990/1991)145-162

[8] M. KOJIMA, T. NOMA y A. YOSHISE, Global convergence in infeasible

interior point algorithms, mathematical programming. 65(1994)43-72

[9] MOKHTAR S. BAZARAA, HANIF D. SHERALI, C. M. SHETTY,

Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, Interscience (2006)

[10] R.D.C.MONTEIRO y J.S.PANG, Properties of an interior point mapping

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[11] ROBERT M. FREUND y MICHAEL J. TODD, Barrier Functions and

Interior-Point Algorithms for Linera Programming with Zero-, One, or Two



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36

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TECA D

E POSGRADO

secciÓn de ciencias fÍsicas y matemÁticas posgrado

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