f encuentre h(s)= v2( ) c1y grafique la respuesta de
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Encuentre H(s)= V2(𝑠)
𝑉1(𝑠) y grafique la respuesta de amplitud y fase
V1(s). Muestre que la amplitud pico y la fase ocurren en W=2 [𝑟𝑎𝑑
𝑠].
Solución
LEYES DE ELEMENTOS
VR= RiR ∑ 𝑎𝑛𝑑𝑛𝑣2
𝑑𝑡𝑛 = ∑ 𝑏𝑛 𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛𝑛𝑛=0
2𝑛=0 𝑣1
iC = 𝐶𝑑𝑉𝐶
𝑑𝑡
LEYES DE CONJUNTO
i1=i2+i3 (1)
V1=2i1 + VC1 (2)
V1
R1
2kΩ
C10.16 F
C2
0.5 F
R2
9kΩ
V2
V1
R1
2kΩ
C10.16 F
C2
0.5 F
R2
9kΩ
V2
I1
I2 I3
+ -
+ +
--
-+
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VC1 = VC2 + 9i3 (3)
V = 9i3 (4)
DERIVANDO A (3)
𝑑𝑉𝐶1
𝑑𝑡 =
𝑑𝑉𝐶2
𝑑𝑡 + 9 𝑑𝑉𝑖𝑑𝑡
⇒ 6𝑖2 = 12𝑖3 + 9 𝑑𝑖3𝑑𝑡
(5)
DE 1 Y 2
i2 +i3 =𝑣1−𝑉𝐶1
2⇒ 𝑖2 = −𝑖 3 +
𝑉1
2−
𝑉𝑐1
2 (6)
DERIVANDO A (5)
6𝑑𝑖2
𝑑𝑡= 12
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+ 9
𝑑𝑖23
𝑑𝑡2 (7)
DERIVANDO A (6)
𝑑𝑖2
𝑑𝑡= −
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡−
1
2
𝑑𝑣𝐶1
𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑖2
𝑑𝑡= −
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡−
1
2(6𝑖2)
⇒
𝑑𝑖2
𝑑𝑡= −
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡− 3𝑖2 (8)
(5) Y (7) EN (8)
12
6
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
9
6
𝑑2𝑖3
𝑑𝑡2 = −𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡− 3 [
12
6𝑖3 +
9
6
𝑑𝑖3
𝑑𝑡]
9
6
𝑑2𝑖3
𝑑𝑡2 + [12
6+ 1 +
3𝑥9
6]
𝑑𝑖3
𝑑𝑡+
3𝑥12
6𝑖3 =
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡𝑖3 =
𝑉2
9
9
9𝑥6
𝑑2𝑉2
𝑑𝑡2 +12+6+27
6𝑥
1
9
𝑑𝑉2
𝑑𝑡 +
3𝑥12 𝑉2
6𝑥9=
1
2
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
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1
6
𝑑2𝑉2
𝑑𝑡2 + 5𝑑𝑉2
𝑑𝑡+
4
6𝑉2 =
1
2
𝑑𝑣1
𝑑𝑡
R= 𝑑2𝑉2
𝑑𝑡2 + 5𝑑𝑉2
𝑑𝑡+ 4𝑉2 = 3
𝑑𝑣1
𝑑𝑡
Obteniendo 𝐻(𝑗𝑤)
𝐻(𝑗𝑤) =3𝑗𝑤
−𝑤2+5𝑗𝑤+4 =
3𝑗𝑤 [90.
√(4−𝑤2)2+(5𝑤)2[tan−1 5𝑤
4−𝑤2
Derivando e igualando a cero para encontrar el máximo
𝑑
𝑑𝑤
3𝑗𝑤
[(4−𝑤2)2+(5𝑤)2]12
= 0
−𝑤4 + 16 = 0 Así 𝑤2 = 𝑍 ⇒ 𝑍2 = 16
𝑍 = ±4 ∴ 𝑤 = ±2 𝑤 = ±𝑗2
𝐻(𝑗𝑤) =6
√0 + 25(4) = 0.6
𝐻(𝑗𝑤) = [90.-tan−1 10
0 = 0
W=2
90.
-90.
FASE
0.6
2
MAGNITU
D
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Encuentre la respuesta en frecuencia del siguiente circuito a si como su W. Empleando fasores
Si R=1Ω , L=1
√2 y C = √2𝐹
Solución
V3(s)= 1
𝑆𝐶 𝐼(𝑠) =
1
𝑆𝐶 𝑉1(𝑠)
𝑍(𝑠)
𝑉3(𝑠)
𝑉1(𝑠)=
1
𝑠𝑐
1
𝐿𝑠 +1𝑠𝑐
+ 𝑅
𝑉3(𝑠)
𝑉1(𝑠)=
1
𝑠2𝐶𝐿 + 1 + 𝑠𝑐𝑅 = 𝐻(𝑠)
𝐻(𝑠) =1
𝑠2 + √2𝑆 + 1
𝐻(𝑗𝑤) =1
1 + (𝑗𝑤)2 + √2𝑗𝑤=
1
1 − 𝑤2 + 𝑗√2𝑤
𝐻(𝑗𝑤) =1
√(1−𝑤2)2+2𝑤2 =
1
√2 ∴ (1 − 𝑤2)2 + 2𝑤2 = 2
𝑤4 = 1 si Z=𝑤2 𝑍2 = 1 ∴ Z=±1
𝑤 = ±1 𝑤 = ±𝑗
Vi
V4
0.7H
V3
1.4F
V2
1Ω
i(S)
+ - +
+
-
-
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Encuentre en estado senosoidal permanente V
Resolviendo
Circuito equivalente
Resolviendo por impedancias
II1 =𝑉𝑠
𝑗𝑤+1
𝑗𝑤
= 𝑗𝑤
1−𝑤2 𝑉𝑠
𝐼𝐼2 =𝑉𝑠
1𝑗𝑤 + 𝑗𝑤
= 1
1 + (𝑗𝑤)2
𝑗𝑤
𝑉𝑠 = 𝑗𝑤
1 − 𝑤2𝑉𝑠
𝑉𝑜𝑐 = 𝑗𝑤𝐼𝐼2 −1
𝑗𝑤𝐼𝐼1 = 𝑗𝑤
𝑗𝑤
1 − 𝑤2𝑉𝑠 −
1
𝑗𝑤𝑥
𝑗𝑤
1 − 𝑤2𝑉𝑠
2cos2tL1
1H
L2
1H
C1
1F
C2
1F
V
1Ω
V1
L1
1H
C1
1F
V
1Ω
C2
1F
L2
1H
V1
+ -
+
+
+
+
-
-
-
-
(a)
(b)
(c) (d)
+
+
+
+
- -
-
- + . . Voc
-
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𝑉𝑜𝑐
𝑉𝑠=
𝑤2
1 − 𝑤2−
1
1 − 𝑤2=
𝑤2 − 1
1 − 𝑤2=
−(1 − 𝑤2)
1 − 𝑤2= −1
Circuito equivalente
Resolviendo
Z(jw)=𝑗𝑤+
1
𝑗𝑤
𝑗𝑤+1
𝑗𝑤
𝑥2 = 2
(𝑗𝑤)2+1
𝑗𝑤
=2𝑗𝑤
1−𝑤2
V = II = 𝑉𝑜𝑐
1+2𝑗𝑤
1−𝑤2
=1−𝑤2
1−𝑤2+2𝑗𝑤𝑉𝑜𝑐
V = 1−4
1−4+𝑗4 𝑥
5
3𝑉𝑠 =
−3
−3+4𝑗𝑥
5
3𝑉𝑠 =
−5
−3+𝑗4𝑉𝑠 =
−5(−3−𝑗4)
(−3+𝑗4)(−3−𝑗4)𝑉𝑠
= −5(3 + 𝑗4)
9 + 16𝑉𝑠 =
1
5𝑥5[53. 1. 𝑥
2
√2
𝑉𝑠 =2
√2[53. 1.
𝑉(𝑡) = 2 cos(2𝑡 + 53. 1.)[𝑉]
L1
1mH
C1
1µF
C2
1µF
L2
1mH(a) (b) (c) (d)
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Encuentre C, tal que la impedancia vista por la fuente sea real. Encuentre la potencia que
absorbe el resistor de 6Ω en este caso.
Solución
Reduciendo el circuito
Z1 = 6 + jwL = 6 + j8(1
4)
Z1 = 6 + j2 Z2 = 4(
1
𝑗8𝐶)
4+1
𝑗8𝐶
= 4
1+𝑗32𝐶
Encontrando C
𝑍(𝑗8) = 6 + 𝑗2 +4
1 + 𝑗32𝐶𝑥
1 − 32𝑗𝐶
1 − 32𝑗𝐶 ⇒ 6 + 𝑗2 +
4 − 𝑗4𝐶32
1 + (32𝐶)2
∴ 2 −4𝐶32
1+(32𝐶)2= 0 ⇒ 2 + 2(32𝐶)2 − 4𝐶 𝑋 32 = 0
(32𝐶)2 − 2(32𝐶) + 1 = 0 ⇒ 32𝐶 =2 ± √4 − 4
2 ∴
𝐶 =1
32𝐹
16cos3t
L1
.25H
R1
6Ω
R2
4Ω C
Z1
Z2 [V]
[V]
+ - +
+ +
- -
I1
I2 I3
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𝑍(𝑗8) = 6 + 𝑗2 +4
1 + 𝑗321
32
⇒ 6 + 𝑗2 +4
1 + 1 𝑋
1 − 𝑗
1 − 𝑗
6 + 𝑗2 +4(1 − 𝑗)
1 + 1 ⇒ 6 + 𝑗2 + 2 − 𝑗2
𝑍(𝑗8) = 8[Ω] ∠ ∴ 𝐼 =𝑉𝑠
8=
16
√2∠0.
8 =
2
√2∠0.
⇒ 𝑖(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠8𝑡 [𝐴]
P (t) = R i 2 (t)
= 6 [ 2 cos 8 t ]2
= 24 ( 𝑐𝑜𝑠 8 𝑡 )2[𝑤]