exponenciales y logaritmos 97 - 2003

EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

Preparado por ALVARO MONSALVE H.

Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1

2

3 Las propiedades de las potencias.

a0 = 1 ·

a1 = a

am · a n = am+n

am : a n = am - n

(am)n = am · n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n

Resolver las ecuaciones exponenciales:



Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos

cuya base es la base de la potencia.



Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada

por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos.

2

3

4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos

nulos o negativos.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3



4

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Resolver las siguientes ecuaciones:



0

2

4log)20

03log4log)19

04log)18

log101log9)17

162)16

0)1(log5

4log)5(log)15

0)3(log)1(log)3(log)32(log)14

12

log5log)13

0)22(loglog)12(log)12

3)15(log)11

063.83)10

0222)9

365.6525)8

7242)7

4824)6

602222)5

653439)4

293

183)3

324)2

014.34)1

3

1

3

2

3

2

2

log

222

2

2

2

2

122

3

321

1

1

1

1

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

x

x

xx

yy

xx

x

xx

xx

xx

xxxxx

xx

xxx

xx



Resolver los siguientes sistemas.

2loglog3

5loglog7)3

42

164)2

0)log(

1)2log()1

2

1

yx

yx

y

y

yx

yx

x

x

FUNCIONES LOGARITMICAS

Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la

notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para

este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la

inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base

b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para

obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces

logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 =

25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la

forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un

logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.



Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales

positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está

definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico,

pero 0 y -5 no lo son.

Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

1 9 2

2 71

2

31

42

3

49

2

) log

) log

) log

Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:

1 27 3

2 61

2

31

92

3

36

3

) log

) log

) log

Ejemplo para discusión: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

1 9

21

33

3 100 10

2

1

1

2

)81

)

)

Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:

1 64 4

2 2 8

31

164

3

3

2

)

)

)



Solución de ecuaciones logarítmicas simples

Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log3 9 = x.

2) Halla el valor de b si logb 8 = 3.

3) Halla el valor de y si log2 y = 7.

Ejercicio de práctica:

1) Halla el valor de y si log3 27 = y.

2) Halla el valor de b si logb 100 = 2.

3) Halla el valor de x si log2 x = -3.

Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es

diferente de uno, y p y x son números reales, entonces:

1) logb 1 = 0

2) logb b = 1

3) logb bx = x

4) logb MN = logb M + logb N

5) log log logb b b

M

NM N

6) logb M

p = p logb M

7) logb M = logb N si y sólo si M = N

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para simplificar:

1) log5 1 =

2) log10 10 =

3) log10 0.01 =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar:

1) log10 1 =

2) log5 25 =

3) log10 10 -5 =

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1) logb 5x =



2) logb x9 =

31

5

45

5 2

2

3

2

3

) log

) log

) log

xy

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión:

1

2

3

4

3

1

5

3

) log

) log

) log

) log

b

b

b

b

uv

uv

r

xy

u

v

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo

logaritmo:

1) log3 (x) + log 3 (6) =

2) log3 (24) - log3 (4) =

3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) =

Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

1) log10 (5) + log10 (3) =

2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) =

3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =

Logaritmos comunes y naturales

Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los

logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla

[log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales.

Notación:

Logaritmo común: log x = log10 x

Logaritmo natural: ln x = loge x

Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar:



1) log 2 =

2) ln .0034 =

3) log (-3.24) =

Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 =

2) ln 28.693 =

3) log (-0.438) =

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular:

1 1

2 1 0

3

4

5

) ln

) ln

) ln( ) ln ln

) ln ln ln

) ln ln

e

uv u v

u

vu v

u n un

Ejemplos:

Usa las propiedades para expandir:

yx

x

x

23ln)2

2

12ln)1

Simplifica como un solo logaritmo:

05.1ln)4

)6(lnln)3

x

xy

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación

Log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos

nos ayudan a resolver estas ecuaciones.



Ejemplo para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones para x:

1 29

2 2 5

3 3 1

4 31

225

5

3

3 2

8 8 8

2 2

)5

)

) log( ) log( )

) log log log

)(ln ) ln

x

x

x x

x

x x

Ejercicio de práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones:

1 35 7

2 2 1

3 15 2

4

1 2

3 3

2 2

)

) log ( ) log ( )

) log( ) log( )

) log (log )

x

x x

x x

x x

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = bx; y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que

la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de

y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al

eje de y como asíntota vertical.

Ejemplo:

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

y = 2x y = log2 x

Las funciones y = 2x ; y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y

= log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el

conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero.

El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el

conjunto de los números reales.

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