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Estática Introducción a la Estática

Ing. Sergio Navarro Hudiel

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Bibliografía Mecánica vectorial para ingeniería (Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnton Jr.) Mecánica vectorial para ingenieros( Harry Nara.) Mecánica vectoria para ingenieros( T. C. Huang) Curso breve de mecánica teórica (S.M. Targ.) Mecánica vectorial para ingenieros – estática (R. C.. Hibbelerr) Que es la Mecánica? La mecánica puede ser definida como la rama de las ciencias físicas que trata del estado de reposo o movimiento de los cuerpos sujetos a la acción de fuerzas. En términos generales, el tema se subdivide en tres ramas:

Mecánica de cuerpos rígidos

Mecánica de cuerpos deformables

Mecánica de fluidos. Esta clase trata solamente de la mecánica de cuerpos rígidos, dado que esta rama es la que se requiere para el diseño y análisis de múltiples tipos de dispositivos estructurales, mecánicos y eléctricos de la ingeniería. Debe agregarse que la mecánica de cuerpos rígidos es parte de la base necesaria en el estudio de la mecánica de cuerpos deforma-bles y la mecánica de fluidos. La mecánica de cuerpos rígidos se divide en dos áreas: estática y dinámica. La estática trata del equilibrio de los cuerpos, es decir, de los que se encuentran en estado de reposo o se mueven con velocidad constante; en tanto que la dinámica se ocupa del Movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la estática puede considerarse como parte de la dinámica en la que la aceleración sea cero. En la estática debe tratarse aparte en los estudios de ingeniería ya que muchos objetos se diseñan con la intención de permanecer en equilibrio. Conceptos fundamentales Cantidades Básicas: longitud, tiempo, masa (propiedad de la materia por medio de la cual podemos comparar la acción de un cuerpo sobre otro) y la fuerza (acción de tirar o empujar ejercida por un cuerpo sobre el otro). Idealizaciones: En la mecánica se usan modelos o idealizaciones para simplificar la aplicación de la teoría. Algunas de las idealizaciones más importantes se definirán ahora; otras idealizaciones notables, por otra parte, se explicarán en el momento oportuno. Partícula: Una partícula tiene masa pero tamaño despreciable. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el de su órbita y, por tanto, la Tierra puede pensarse como si fuera una partícula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un



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cuerpo es idealizado como partícula, los principios de la mecánica se reducen a una forma simplificada porque entonces la geometría del cuerpo quedará fuera del análisis del problema. Cuerpo rígido: Un cuerpo rígido puede considerarse como la combinación de un gran número de partículas en la que todas las partículas permanecen a distancias fijas entre sí antes y después de aplicar una carga. En consecuencia, las propiedades materiales de un cuerpo cualquiera, que se considere como rígido, no tendrán que tomarse en cuenta al analizar las fuerzas que actúan sobre él. En la mayor parte de los casos, las deformaciones que se dan en las estructuras, máquinas, mecanismos y objetos semejantes son relativamente pequeñas, siendo adecuada la hipótesis de cuerpo rígido para efectos del análisis. Carga Concentrada: representa el efecto de una carga que se supone que actúa en un punto del cuerpo. Este efecto se puede representar por medio de una fuerza con-centrada, siempre y cuando el área de aplicación de la carga sea muy pequeña en comparación con el tamaño total del cuerpo. Leyes de Newton: Primera ley: Una partícula inicialmente en reposo o moviéndose en línea recta y a velocidad constante permanecerá en este estado a condición de que la partícula no se sujete a una fuerza desequilibrada. Segunda ley: Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desequilibrada F experimenta una aceleración a que tiene la misma dirección que la fuerza y una magnitud directamente proporcional a la fuerza. Si se aplica F a la partícula de masa m, esta ley puede expresarse matemáticamente como F = m .a Tercera ley: Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales. Ley de la gravitación universal de Newton: Newton postuló una ley que rige la atracción gravitacional entre dos partículas cualesquiera. El enunciado matemático es.

2

21

r

mmGF

F = fuerza de gravitación entre las partículas G = constante de gravitación universal; de acuerdo con la evidencia experimental, G = 66.73 (10-12)m3/ (kg • s2) m1, m2 = masa de cada una de las dos partículas r = distancia entre las dos partículas Peso: la fuerza entre la tierra y la partícula es conocida como peso y es la única fuerza gravitacional a considerar en el estudio de la mecánica. W = mg donde g = 9.81m/ s2. Sistemas de Unidades



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Las cuatro cantidades básicas, longitud, tiempo, masa y fuerza, no son todas independientes entre sí; de hecho se encuentran relacionados por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma. De aquí que las unidades empleadas para definir fuerza, masa, longitud y tiempo no se pueden elegir todas arbitrariamente. La igualdad F = m a conserva su validez sólo si tres de las cuatro unidades, denominadas unidades básicas, se definen arbitrariamente y se deriva la cuarta unidad a partir de la ecuación. Las unidades SI. El Sistema Internacional de unidades, abreviado SI, originalmente en francés Systéme Intemational d'Unités, es una versión moderna del sistema métrico decimal que ha merecido el reconocimiento universal. Este sistema especifica la longitud en metros (m), el tiempo en segundos(s), y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza, llamada newton (N), se deriva de F = ma. Así, un newton es igual a la fuerza que se requiere para dar a un kilogramo de masa una aceleración de 1 m/s2 (N = kg • m/s2). Por lo tanto, un cuerpo cuya masa sea 1 kg tiene un peso de 9.81 N; un cuerpo de 2 kg pesa 19.62 N y así sucesivamente. Las unidades USCS. El Sistema usual de los estados unidos, en ingles U.S. Customary system. Es más conocido como FPS (foot, pound, second). Este sistema especifica la longitud en pies (ft), el tiempo en segundos(s), el peso en libras (lb ; 1 lb = 4.4482 N) , y la masa en Slug. Por lo tanto, un cuerpo que pesa 32.2 lb tiene una masa de 1 slug. (1 slug = 14.5938 kg). Prefijos: utilizados cuando la cantidad a describir es muy grande o pequeña estos son:

Múltiplo Forma Exponencial

Prefijo

Símbolo

Submúltiplo

Forma Exponencial

Prefijo

Símbolo

1000000000 109 Giga G 0.001 10-3 Mili M

1000000 106 Mega M 0.000001 10-6 Micro µ

1000 103 Kilo K 10-9 Ñaño n

Algunas reglas para usar apropiadamene las unidades son: Un símbolo nunca se escribe con la "s" del plural porque podría confundirse con la unidad de segundo (s). Los símbolos siempre se escriben con minúsculas exceptuando los siguientes: los símbolos para los dos prefijos mayores de la tabla 1.3 , giga y mega se escriben con las mayúsculas G y M, respectivamente; los símbolos en honor de una persona también se escriben con mayúscula, por ejemplo, N. Las cantidades definidas por varias unidades que son múltiplos de otras se separaran por medio de un punto para evitar confusión con la notación que usa prefijo, como en el caso de N = kg • m/s2 = kg • m • s-2. Otro ejemplo es m • s, que significa metro por segundo, en tanto que ms significa mili-segundo,



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La potencia exponencial representada para una unidad con prefijo afecta la unidad y el prefijo. Las constantes físicas y los números que tengan varios dígitos a uno y otro lado del punto decimal deberán escribirse con un espacio entre cada grupo de tres dígitos en vez de una coma; por ejemplo, 73 569.213 427. Para el caso de sólo cuatro dígitos a uno u otro lado del punto decimal, el espaciamiento es opcional; por ejemplo 8357 o indistintamente 8 357. Además, conviene usar siempre decimales y evitarlas fracciones. Al efectuar cálculos, se debe representar los números en términos de sus unidades básicas o derivadas, convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El resultado final deberá expresarse usando un solo prefijo. No deben utilizarse prefijos compuestos. A excepción de la unidad básica kilogramo, debe evitarse en general el uso de un prefijo en el denominador de unidades compuestas. No debe escribirse, por ejemplo, N/mm, sino kN/m; así también, m/mg se escribirá como mm/kg.

Algunas unidades básicas: Para Área: 1 Acre = 0.4046863 Ha 1 Ha = 0.01 km2 Longitud 1 yd = 36 in 1 ft = 12 in 1 Vr = 33 in 1mi = 1.609344 km Fuerza 1 N = 9.80665 Kgf Volumen 1 gal = 3.785412 lt 1 m3 = 1000 lt Presion 1cm Hg = 1333.224 Pa 1 Atm = 76 cm Hg 1 PSI = 6894.757 Pa Masa 1 Kg = 2.20462 lb 1 Ton (corta) = 2240 lb Manualmente se podrá realizar cualquier Conversión siempre y cuando se sepan las unidades básicas.



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Algunos ejemplos: (1000 Yd2 = 836.1274m2)( 1000 m2 = 10763.91 ft2 ) (10 Yd = 360 in) (10 N = 1.019716 Kgf) (48 Kg= 105.8218 lb) (90mi = 144.841 km) Vectores de Fuerza Dado que la fuerza es una cantidad vectorial debemos utilizar las reglas del algebra vectorial. La mayor parte de las cantidades físicas se pueden expresar por matemáticamente por vectores y escalares. Un vector es toda cantidad que tiene magnitud, modulo, dirección y sentido. Pueden representar mediante un segmento dirigido de recta, y obedece a la regla de adición llamada regla del paralelogramo. Se denomina magnitud a todo aquello que puede ser medido: la temperatura de un cuerpo, el tiempo de duración de un cierto fenómeno, el volumen de una caja, la longitud de una regla, la velocidad de un auto, la fuerza aplicada a un cierto cuerpo, etc. Las magnitudes físicas se clasifican en magnitudes escalares (el tiempo, la temperatura, el volumen, el área), las cuales quedan determinadas por un número que corresponde a la medida y la unidad utilizada, mientras que las magnitudes vectoriales (velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, desplazamiento), además de un número y unidad de medida, requieren de la especificación de una dirección. De una manera mas practica podremos decir que el módulo de un vector es la medida del punto de origen a la punta del vector, mientras que su dirección está dada por un ángulo medido a partir de una recta de referencia.

El vector A de la figura tiene una magnitud de 4 unidades, una dirección de 20° medidos en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del eje horizontal, y un sentido hacia arriba y a la derecha. El punto O es el punto inicial del vector y P su extremo. En forma escrita, un vector se representa usualmente por medio de una letra sobre la que se dibuja una flecha, como en A. La magnitud se denota |A| o simplemente A. su magnitud siempre es positiva.

Multiplicación y división de un vector por un escalar



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El producto de un vector A y un escalar a, se define como un vector que tiene una magnitud \aA \. El sentido de aA es el mismo que el de A con la condición que a sea positivo; es en sentido opuesto de A si a es negativo. En consecuencia, el negativo de un vector se obtiene al multiplicarlo por el escalar (-1),

Adición de vectores. Dos vectores A y B del mismo tipo a pueden sumarse para obtener el vector "resultante" R = A + B, usando la ley del paralelogramo. Para ello, A y B se po-nen con un punto inicial común, se trazan las líneas paralelas segmentadas a partir del extremo de cada vector formando los lados adyacentes de un paralelogramo. Como en el dibujo, el vector resultante R es la diagonal del paralelogramo, que se extiende del punto inicial común de A y de B hasta la intersección de las líneas segmentadas.

También pueden sumarse A y B utilizando una construcción triangular que es un caso particular de la regla del paralelogramo; en aquella el vector B se suma al vector A, haciendo coincidir el punto inicial de B con el extremo de A El vector resultante R se extiende del punto inicial de A al extremo de B.

Resolución de un vector. Un vector puede resolverse o descomponerse en dos "componentes" que tengan líneas de acción dadas, usando la regla del paralelogramo. Por ejemplo, si R en la figura debe resolverse en componentes que actúen a lo largo de las líneas a y b, se considera el extremo de R y, desde este punto, se traza una paralela a la línea a hasta intersecar la línea b. Asimismo, desde el extremo de R nuevamente se traza una paralela a b hasta encontrar la intersección con a.

Por ejemplo: Fx = 100 (Cos 20) Fy = 100 (Sen 20) Otra manera puede ser: Fx = 4/5 (500 N) FY = 3/5(500 N) Dos problemas comunes en la estática consisten en encontrar la fuerza resultante conociendo sus componentes o resolver una fuerza conocida en dos componentes. Si se van a sumar más de dos fuerzas, para obtener la resultante podrá aplicarse la regla del paralelogramo varias veces sucesivamente.



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SenC

c

SenB

b

SenC

c

SenA

a

SenB

b

SenA

a;;

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Los problemas que resultan de la adición de dos fuerzas y tienen a lo más dos incógnitas pueden resolverse usando el procedimiento siguiente: Ley del paralelogramo. se hace un diagrama de la adición vectorial por la regla del paralelogramo. Si es posible, se determina los ángulos interiores del paralelogramo a partir de la geometría del problema. Recuérdese que el total de la suma de estos ángulos debe ser de 360°. Los ángulos desconocidos, así como las magnitudes de fuerzas conocidas y desconocidas, deberán "etiquetarse" claramente en el diagrama. Dibuje de nuevo una mitad del paralelogramo construido para ilustrar la adición triangular de las componentes. Trigonometría. Mediante la trigonometría, es posible determinar las incógnitas a partir de los datos del triángulo. Si el triángulo no contiene un ángulo de 90°, podrá usarse la ley de los senos y/o de los cósenos para la solución.

α = Cos-1 c2 + b2 - a2 2 cb La adición de vectores es conmutativa, o sea que los vectores se pueden sumar en cualquier orden, es decir R =A + B = B + A. Analíticamente un vector tiene componentes en el Eje de las Y y el Eje de las X. Los vectores pueden así sumarse tal y como sigue. R = F1+F2+F3 Rx + Ry = (F1 xi + F2 xi + F3 xi )+ (F1 yi + F2 yi + F3 yi ) Rx + Ry = (F1x+ F2 x+ F3x )i+ (F1y+ F2yi+ F3y )j ∑ Fx = Rx ∑Fy = Ry R = (Rx 2 + Ry 2) ½ El ángulo será: θ = tan -1 (Ry/Rx)



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Otros Conceptos Vectoriales Se denominan vectores libres a aquellos vectores que pueden trasladarse de una posición a otra, mientras no se altere su magnitud y dirección. Se denominan vectores de posición a aquellos vectores cuyo origen esta en el origen del plano cartesiano y cuya punta está determinada por una pareja de números reales. De manera que a cada pareja de números reales le corresponde la punta de un vector único de posición y viceversa. Los vectores de posición se pueden representar mediante sus componentes rectangulares o bien mediante una combinación de vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados. Antes de definir las principales operaciones con los vectores, primero definiremos algunos conceptos básicos. Vectores equivalentes: Dos vectores son equivalentes si tienen el mismo módulo y la

misma dirección. De esta manera Si 21

, xxx

y 21

, yyy

, entonces,

2211yxyxyx

.

Vector nulo: Se denomina vector nulo a un vector cuyo módulo es 0. Para

representarlo 0,0o

.

Vector opuesto: Si 21

, xxx

entonces el opuesto de x

, denotado como x

es el

vector 21

, xxx

.

Vectores unitarios: Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo es la unidad.

Los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados son: 0,1i y

1,0j .

Notación de los vectores en dos dimensiones.

Si 21, xxx

y además 21, yyy

, entonces podemos representar como una

combinación de los vectores unitarios, o sea: jxixx ˆˆ21

y jyiyy ˆˆ

21

.



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Módulo de un vector. Si 21, xxx

o bien jxixx ˆˆ21

, entonces

2

2

2

1xxx .

Dirección de un vector. Si 21, xxx

o bien jxixx ˆˆ21

, entonces

1

21

x

xtan .

Vector unitario en la dirección de un vector. Si 21, xxx

o bien jxixx ˆˆ21

,

entonces x

xu

x

.

Componentes rectangulares de un vector. Si se conoce el módulo y la dirección de un

vector, sus componentes rectangulares serán: cos1

xx y sen2

xx .

Si ),(111

yxP y ),(222

yxP entonces 121221

, yyxxPP .

Operaciones con vectores en dos dimensiones. Adición de vectores

Si 21, xxx

y 21, yyy

( jxixx ˆˆ21

y jyiyy ˆˆ

21

) entonces:

2211, yxyxyx

o jyxiyxyx ˆ)(ˆ)(

2211

.

Sustracción de vectores

Si 21, xxx

y 21, yyy

( jxixx ˆˆ21

y jyiyy ˆˆ

21

) entonces:

2211, yxyxyx

o jyxiyxyx ˆ)(ˆ)(

2211

.

Producto de un vector por un escalar

Si 21, xxx

y R , entonces 21

, xxx

.

Producto escalar de dos vectores

Si 21, xxx

y 21, yyy

( jxixx ˆˆ21

y jyiyy ˆˆ

21

) entonces:

cos2211

yxyxyxyx

.

Vectores en tres dimensiones. Se denominan vectores de posición en tres dimensiones a aquellos vectores cuyo origen esta en el origen del de un sistema cartesiano de tres dimensiones y cuya punta está determinada por una tripleta ordenada de números reales. De manera que a cada tripleta de números reales le corresponde la punta de un vector único de posición y viceversa.



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Los vectores de posición en tres dimensiones se pueden representar mediante sus componentes rectangulares o bien mediante una combinación de vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados. Antes de definir las principales operaciones con los vectores en tres dimensiones, definiremos algunos conceptos básicos. Vectores equivalentes. Dos vectores son equivalentes si tienen el mismo módulo y la

misma dirección. De esta manera Si 321

,, xxxx

y 321

,, yyyy

, entonces,

332211yxyxyxyx

.

Vector nulo. Se denomina vector nulo en tres dimensiones, a un vector cuyo módulo es

0. Para representarlo 0,0,0o

.

Vector opuesto. Si 321

,, xxxx

entonces el opuesto de x

, denotado como x

es

el vector 321

,, xxxx

.

Vectores unitarios: Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo es la unidad.

Los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados son: 0,0,1i ,

0,1,0j y 1,0,0k

Notación de los vectores en tres dimensiones. Si 321

,, xxxx

y además

321,, yyyy

, entonces podemos representar como una combinación de los

vectores unitarios, o sea: kxjxixx ˆˆˆ321

y kyjyiyy ˆˆˆ

321

.

Módulo de un vector

Si 321

,, xxxx

o bien kxjxixx ˆˆˆ321

, entonces

2

3

2

2

2

1xxxx .

Dirección de un vector: Está dada por los cósenos directores, los que se calculan como:

a) x

xCos 1 , b)

x

xCos 2 , c)

x

xCos 3

Vector unitario en la dirección de un vector.

Si 321

,, xxxx

o bien kxjxixx ˆˆˆ321

, entonces

x

xu

x

.

Componentes rectangulares de un vector. Si se conoce el módulo y la dirección de un

vector, sus componentes rectangulares serán: cos1

xx y cos2

xx ,

cos3

xx .



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Si ),,(1111

zyxP y ),,(2222

zyxP entonces 12121221

,, zzyyxxPP .

Operaciones con vectores en tres dimensiones. Adición de vectores

Si 321

,, xxxx

y 321

,, yyyy

( kxjxixx ˆˆˆ321

y kyjyiyy ˆˆˆ

321

)

entonces: 332211

,, yxyxyxyx

o

kyxjyxiyxyx ˆ)(ˆ)(ˆ)(332211

.

Sustracción de vectores

Si 321

,, xxxx

y 321

,, yyyy

( kxjxixx ˆˆˆ321

y kyjyiyy ˆˆˆ

321

)

entonces: 332211

,, yxyxyxyx

o

kyxjyxiyxyx ˆ)(ˆ)(ˆ)(332211

.

Producto de un vector por un escalar

Si 321

,, xxxx

y R , entonces 321

,, xxxx

.

Producto escalar de dos vectores.

Si 321

,, xxxx

y 321

,, yyyy

( kxjxixx ˆˆˆ321

y kyjyiyy ˆˆˆ

321

)

entonces: cos332211

yxyxyxyxyx

.

Producto vectorial

Si 321

,, xxxx

y 321

,, yyyy

( kxjxixx ˆˆˆ321

y kyjyiyy ˆˆˆ

321

)

entonces:

321

321

ˆˆˆ

yyy

xxx

kji

yx

O bien senˆ yxyx

( yx ˆ

no es conmutativo)

Conceptos complementarios. Vectores ortogonales: Dos vectores x

e y

son ortogonales (perpendiculares) si y

solo si 0yx

.

El vector yx

es ortogonal tanto a x

como a y

.

Vectores paralelos Dos vectores x

e y

son paralelos entre sí, si y solo si oyx

.

Distancia entre dos puntos en el plano.

a) Si ),(111

yxP y ),(222

yxP entonces 2

12

2

1221),( yyxxPPd .



12

b) Si ),,(1111

zyxP y ),,(2222

zyxP entonces

2

12

2

12

2

1221),( yyyyxxPPd .

Ejemplos 1. La armella roscada de la figura esta está sometida a la acción de dos fuerzas, F1, y F2. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante

F = 213 N θ= 54.8º 2. Descomponga la fuerza mostrada en los ejes a) X, Y b) X ’, Y

a) Fx = 153 lb , Fy = 129 lb b) Fx´ = 177 lb Fy = 217 lb

La fuerza F que actúa sobre la estructura mostrada en la figura tiene una magnitud de 500 N y debe resolverse en dos componentes que actúan a lo largo de los puntales AB y AC. Determine el ángulo, medido por abajo de la horizontal, de modo que la componente Fc esté dirigida de A a C y tenga magnitud de 400 N.



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θ = 76.1º. Fab = 161 N

Determine la magnitud de la fuerza resultante y su orientación θ, medida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje u

F = 218 N y θ = 66.6º El anillo está sujeto a dos fuerzas, Fi y F2. Si se requiere que la fuerza resultante tenga una magnitud de 1 kN y sea dirigida verticalmente hacia abajo, determine (a) las magnitudes de F1 y F2 con la condición de que θ= 30°, y (b) las magnitudes de F1 y F2; si F2 debe ser mínima

a) b)

a) F1 = 653 N y F2 = 446 N b) F1 = 1000 sen 70° = 940 N F2 = 1000 sen 20° = 342 N

Determine la magnitud de la fuerza resultante Fr = F1 – F2 y su orientación , medida en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje x



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FR = 474 lb y θ 75.4º Determine la orientación de la fuerza de 500 N de manera que cuando la fuerza se resuelva en dos componentes que actúan a lo largo de los miembro AB y AC, la componente de la fuerza a lo largo de AC sea de 300 N con dirección de A a C. ¿Cuál es la magnitud de la componente de fuerza que actúa a lo largo deAB?

F = 485 N y θ = 24.6º

Un cable ejerce una fuerza de 600 N sobre la estructura. Resuelva la fuerza en componentes que actúan a lo largo de (a) los ejes c y v y (b) los e¡es y, u. ¿Qué magnitud tiene cada componente?

a) Fx= 490 N, Fv = 669 N b) Fu= 179 N, Fy = 490 N La fuerza horizontal F = 500 N actúa hacia la izquierda en A sobre la estructura de dos miembros, Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de los miembros A By AC

Fac= 366 N Fba = 448 N

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