ESTIMACION DE LA VIDA UTIL MEDIANTE ELMETODO DE RIESGOS DE WEIBULL

Fundamentos, metodología y aplicación en la estimación de la V.U. en galletas dulces de Coco

Ing. Samuel Silva BaigorriaDocente – Investigador UNICAdocencia_ingenieria@yahoo.com

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA

I SEMINARIO INTERNACIONAL

FUNDAMENTOS

Métodos Probabilisticos

• La esencia de los métodos probabilísticos para la estimación del tiempo de durabilidad consiste en considerar la vida útil del producto como una magnitud aleatoria y describir su comportamiento mediante un modelo probabilístico (distribución de probabilidad de tiempo de vida)

• La distribución de Weibull fue introducida en la práctica por Walodi Weibull en 1951 y se ha hecho muy conocida por su versatilidad o flexibilidad en el estudio de fenómenos aleatorios

xFxXP

x1XF

xnnP1

o

mu

x

xxxn

xnn 1P

o

m

u

x

xx

1xF

DEDUCCION DEL MODELO DE WEIBULL

Donde:

F(X) = Función de busqueda de X

Pn = Prob. de encontrar en n – intentos el valor x

j(x) = Sub función que muestra la distribución x, desde un x inicial (xo) hasta un x final (xu)

*

**

t1ttF

o

m

u

x

xx

1xF

De la expresión original de WeibullEs rearreglada para colocarla en función del tiempo

Donde

a y b son parametros de escala y forma respectivamente

Comentarios

• El modelo se rearregla para darle versatibilidad a cualquier función

• Así cuando b = 1, la distribución se asemeja a una exponencial

• Cuando b = 2, se asemeja al modelo de Rayleigh

• Cuando b > 10, se asemeja a modelos de valores extremos

*

**

t1ttF

• Para 3 < b < 4, la distribución se asemeja a la normal

• La distribución fue muy confiable al predecir la la V.U. de varios alimentos: familias de productos carnicos y embutidos, miel, salsas, mayonesa, caramelos blandos, conservas (IIIA, 1992)

Comentarios

*

**

t1ttF

• La esperanza matemática, o valor esperado, así como la varianza de una población, pueden estimarse a partir de los parámetros de la distribución que describe el comportamiento probabilístico de dicha población.

Comentarios

*

**

t1ttF

• La esperanza matemática, o valor esperado, brinda una medida de la tendencia central de la distribución y puede ser interpretada como el tiempo de vida medio de las unidades ensayadas o durabilidad del producto.

Comentarios

*

**

t1ttF

• Los modelos de probabilidad guardan relación implícita con el mecanismo de deterioro del producto, por lo que existen distribuciones específicas para algunos mecanismos, aunque la de Weibull, por su gran versatilidad es capaz de explicar distintos tipos de deterioro en los productos alimenticios durante su almacenamiento.

Comentarios

*

**

t1ttF

FUNCIÓN DE RIESGO

tF1

tfth

La función de riesgo h(t) de una distribución continua de tiempos de vida

Donde:

h(t) = Distribución continua de tiempos de vida

f(t) = Función de densidad de probabilidad de la distribución

F(t): Función de probabilidad acumulada de la distribución

Comentarios

• El riesgo puede interpretarse como la velocidad instantánea de fallo de las unidades a la edad o tiempo t, o sea, la proporción de la población que falla o "muere" en el período de tiempo infinitesimal t + Δt.

• La función de riesgo también se conoce como velocidad de fallo, velocidad de mortalidad o fuerza de mortalidad.

Propiedades de la Función Riesgo   

      

t

t

t

t

dtth

0dtth

t0th

Lím

Lím

- para

tH

t

1tF

ó

tF1LntH

dttF1

tftH

H(t) es el Riesgo acumulado

Comentarios

• Estas expresiones constituyen la base matemática de las técnicas de riesgo.

• Desde un punto de vista matemático riguroso, las expresiones de riesgo no son más que otras formas de expresar funcionalmente las distribuciones de probabilidad.

Comentarios

• A tiempo cero (t0) el alimento (producto terminado) se distribuye para su consumo. Durante el período comprendido entre t0 y t1, pueden ocurrir fallas tempranas que obedecen a desperfectos del envase, "abusos de procesamiento" y condiciones ambientales (almacenamiento) inadecuadas. Este período se conoce como de velocidad de fallo decreciente y corresponde a defectos atípicos del producto.

Comentarios

• El intervalo de tiempo entre t1 y t2 representa el período de estabilidad; la velocidad de fallos durante este tiempo permanece constante. A partir del tiempo t2, la velocidad de fallos se incrementa y comienza a manifestarse debido a los procesos de deterioro que ocurren durante el almacenamiento.

Relación entre la Distribución Weibull y Función Riesgo

tHLog1

LogtHtLog

*

**

t1ttF

tH

t

1tF

dttF1

tftH

Weibull Riesgo Acumulado

tHLnLntLn

36950P

1100P

1Fallo

1

c

100

tH

c

t

*

%.%@

*

%

tH

tHLog1

LogtHtLog

MODELO ADAPTADO DE WEIBULL

METODOLOGIA PARA TRABAJAR CON DATOS

EXPERIMENTALES

MET0D0LOGIA EN LA OBTENCION DE DATOS DE VIDA UTIL EN PRODUCTOS

1. Se tabulan los días, t (en orden creciente), en que se ha detectado alguna muestra inaceptable. Si éstas fueron varias se repite en tal tabulación el número de dias correspondiente

2. Se le adjudica a cada t un rango K en orden inverso a su magnitud, esto son las observaciones experimentales

Metodología

3. Se calcula la función de fallo h (t) por la expresión:

4. Se determina la función de fallos acumulados H(t):

K

100th

ti

0i

thtH

tF1

tfth

t

dttF1

tftH

Metodología

5. Si se supone un modelo de Weibull para los fallos la representación gráfica de (t, H(t)) en un diagrama de Weibull permite, después de obtener la recta de ajuste, concluir preguntas como:

• Vida util nominal (V.U.N)50 cuyo significado es la vida util que tiene la probabilidad 0.5 de ser alcanzada por el producto.

• Proporción de unidades del producto que alcanzará una vida “t”.

• Probabilidad de que la vida útil de un producto sobrepase un cierto valor.

APLICACIONESCASO: VIDA UTIL DE

GALLETAS DULCES DE COCO

Formulación de Galletas d CocoInsumo PorcentajeHarina Galletera 100.00

Azúcar Blanca 48.57Suero de Leche 1.00Huevos 14.29Manteca Vegetal 22.86Sal 1.00Esencia de Coco 0.17Coco rallado 7.14Bicarbonato de Na 0.86Agua 20.00

Arreglo del Experimento

Tiempo A B C D E F G H I J K L - +0 + 0 1

15 + + 0 230 + + - 1 245 - + - + 2 255 - + - - + - + 4 360 - - - - + - - + - - + + 8 4

K t h(t) H (t)15 30 6.667 6.66714 45 7.143 13.81013 45 7.692 21.50212 55 8.333 29.83511 55 9.091 38.92610 55 10.000 48.9269 55 11.111 60.0378 60 12.500 72.5377 60 14.286 86.8236 60 16.667 103.4905 60 20.000 123.4904 60 25.000 148.4903 60 33.333 181.8232 60 50.000 231.8231 60 100.000 331.823

K

100th

ti

0i

thtH

10

100

1000

1 10 100 1000

Vida en anaquel, días

H (t)

69.3

124118

tHLnLntLn

36950P

1100P

1Fallo

1

c

100

tH

c

t

*

%.%@

*

%

tH

El modelo experimental encontrado

18231tH14231t ./*.

tHLnLntLn

36950P

1100P

1Fallo

1

c

100

tH

c

t

*

%.%@

*

%

tH

a = 31.142

b = 3.182

Parametro de Escala

Parametro de Forma

Consideraciones

• Se recomienda el ploteo a H(t) mayores a valores de 110.

• Usar papel de ploteo, o regresión lineal (Ln t vs Ln (H(t))

• Una forma practica de saber si es un modelo confiable es evaluando el parametro de forma b, cuando b > 2, es un buen modelo

MUCHAS GRACIAS POR SU PACIENCIA