UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Esttica

La Esttica estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos sometidos a diversas fuerzas. Al tratar la Tercera Ley de Newton, se menciona la palabra reaccin al resumirse esa Ley en la expresin: A toda accin corresponde una reaccin igual y opuesta. Se dice que no se trata de dos fuerzas que se equilibran porque no son fuerzas que obren sobre el mismo cuerpo, sin embargo, hay ocasiones en que las fuerzas efectivamente estn en equilibrio. En Esttica se usa con frecuencia la palabra reaccin al hablar de cuerpos en equilibrio, como cuando se coloca un peso en una viga puesta horizontalmente. Pero adems de tener en consideracin en este factor, hay que tomar en cuenta que el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rgido de pende tambin de su punto de aplicacin, esto se refiere a los momentos de las fuerzas con respecto a un punto, considerando que la suma de todos estos debe de ser igual a cero, deben de estar en equilibrio para que se cumpla lo antes mencionado.La Esttica es la parte de la fsica que estudia los cuerpos sobre los que actan fuerzas y momentos cuyas resultantes son nulas, de forma que permanecen en reposo o en movimiento no acelerado. El objeto de la esttica es determinar la fuerza resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que actan sobre un cuerpo para poder establecer sus condiciones de equilibrio.Un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo puede ser reemplazado por una fuerza resultante y por un momento resultante que produzcan sobre el cuerpo el mismo efecto que todas las fuerzas y todos los momentos actuando conjuntamente. Como la fuerza resultante provoca un movimiento de traslacin en el cuerpo y el momento resultante un movimiento de rotacin, para que el cuerpo se encuentre en equilibrio debe cumplirse, simultneamente, que la fuerza resultante y el momento resultante sean nulos. No obstante, equilibrio no es sinnimo de reposo, ya que una fuerza resultante nula y un momento resultante nulo implican una aceleracin lineal y angular nulas, respectivamente, pero el cuerpo puede encontrarse en reposo o tener un movimiento rectilneo y uniforme. As, un cuerpo est en equilibrio cuando se encuentra en reposo o cuando se mueve con movimiento rectilneo y uniforme. Vase Mecnica.Esta condicin de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no puede producir por s sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de todas las dems. As, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre la misma lnea de accin, s producen equilibrio.El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo est suspendido, el equilibrio ser estable si el centro de gravedad est por debajo del punto de suspensin; inestable si est por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un cuerpo est apoyado, el equilibrio ser estable cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentacin; inestable cuando pase por el lmite de dicha base, e indiferente cuando la base de sustentacin sea tal que la vertical del centro de gravedad pase siempre por ellaEsttica del PuntoEn ausencia de movimiento la aceleracin de un punto material es nula y la Segunda Ley de Newton establece entonces que la condicin necesaria y suficiente para el equilibrio de un punto material es:F = 0 (1)Siendo F la resultante de las fuerzas que actan sobre el punto. La aplicacin de la condicin (1) se complica a veces porque no se conocen de antemano todas las fuerzas que estn actuando. Este es el caso cuando existen vnculos, es decir condiciones materiales que limitan el movimiento. Los vnculos ejercen reacciones, que obligan al mvil a respetar las condiciones que imponen.Consideremos por ejemplo un objeto apoyado sobre un plano inclinado (1). En este caso el vnculo es la condicin de que el cuerpo no puede penetrar el plano. Siendo as el plano debe ejercer una reaccin que compense exactamente a la componente normal del peso:R = -Pn = mgcos.n (2)Siendo n la direccin normal del plano:

Fig. 1Objeto puntiforme sobre un plano inclinado.

Si llamamos F a las fuerzas conocidas de antemano (llamadas fuerzas activas) y f a las reacciones de los vnculos, la condicin de equilibrio se expresaF + f = 0 (3)y determina f. En el plano inclinado de la figura:Pn + f = 0 f = -Pn (4)

Por lo tanto para equilibrar el cuerpo es necesario introducir una fuerza adicional que compense la componente de P tangencial al plano:

Pt = Psen (5)

Que no est siendo equilibrada por el vnculo. Corresponde aclarar que todo vnculo es un objeto material y su capacidad de reaccionar tiene lmites. Si el plano inclinado de la figura es un tabln, est claro que la carga que se le ponga encima no debe superar la resistencia del mismo, de lo contrario se doblar y finalmente se romper. Si fuese una rampa de tierra, un objeto demasiadoPesado se hundira, etc. Debe quedar claro que en toda aplicacin de los principios de la esttica hay que controlar que las reacciones requeridas no superen los lmites de resistencia de los vnculos, que habr que conocer en cada caso.Al discutir vnculos es preciso distinguir: Vnculos sin rozamiento (tambin llamados vnculos lisos). En este caso el vnculo no opone reaccin a las fuerzas transversales (esto es, tangentes al vnculo) y por lo tanto f es siempre normal al vnculo:f = fn n (6)

siendo n la normal al vnculo.

Vnculos con rozamiento (llamados tambin vnculos rugosos). Aqu debido al rozamiento el vnculo opone una reaccin a fuerzas tangenciales, de modo quef = fn n + ft t (7)

donde ft es la componente tangencial de f. Para la reaccin normal vale lo dicho antes: es la necesaria para compensar la componente normal de la resultante de las fuerzas activas. En cuanto a la componente tangencial de la reaccin, se debe como se ha dicho al rozamiento.

Esttica con rozamientoLa fuerza de rozamiento esttica tiene las siguientes caractersticas: es igual y opuesta a la fuerza activa tangencial, siempre y cuando esta ltima no supere el lmite de rozamiento esttico; si la fuerza activa tangencial supera el lmite de rozamiento esttico, la fuerza de rozamiento no alcanza a equilibrarlo; el valor mximo de la fuerza de rozamiento esttico es proporcional a la componente normal de la fuerza activa.Resumiendo, la componente tangencial de la reaccin est dada por las dos condiciones siguientes:ft uFn , ft = -Ft (8)

es decir:ft = Min(Ft ,u,Fn ) (9)

donde u es el coeficiente de rozamiento esttico (omitimos el suscrito pues no puede haber confusin).Por lo tanto:

(10)

En el primer caso la fuerza de rozamiento alcanza para establecer el equilibrio (2). En el segundo caso la fuerza de rozamiento es insuficiente para el equilibrio y para lograr ste es necesario agregar una fuerza externa. Estamos en el primer caso cuando Ft u Fn, o sea si:

(11)

Fig. 2 Equilibrio en presencia de rozamiento:

Habr pues un ngulo mximo m dado por:

tanm = (12)

tal que si F forma con la normal al vnculo un ngulo tal que:

(13)

Fig.3 El cono de rozamiento: (a) definicin; (b) equilibrio; (c) no hay equilibrio

Las condiciones que estamos discutiendo se visualizan cmodamente introduciendo el concepto de cono de rozamiento: dibujamos un cono cuyo vrtice es el punto de aplicacin de la fuerza, cuyo eje es la normal al vnculo y cuya abertura es m (13). Si F est dentro del cono el rozamiento permite el equilibrio. Si en cambio F cae fuera del cono el rozamiento no es suficiente para el equilibrio. Podemos aplicar estas ideas para discutir el equilibrio de un objeto situado sobre un plano inclinado con rozamiento. Observando (13) vemos que en el caso(b) hay equilibrio y en el caso (c) no hay equilibrio.

Esttica del cuerpo rgidoLa esttica de cuerpos extensos es mucho ms complicada que la del punto, dado que bajo la accin de fuerzas el cuerpo no slo se puede trasladar sino tambin puede rotar y deformarse.Consideraremos aqu la esttica de cuerpos rgidos, es decir indeformables. En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones. Por lo tanto en el equilibrio se deben cumplir las condiciones: (14)

y(15)

es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta el punto de aplicacin de cada fuerza. Supondremos ahora que se conocen F y M y dejamos para ms adelante el problema de cmo calcularlos.

Equilibrio de Un Cuerpo Rgido

En primer lugar veremos que las condiciones (14) y (15) se pueden pedir para un punto cualquiera, porque si valen para P valen tambin para todo otro punto Q del cuerpo. En efecto, consideremos el punto Q situado en R respecto de P (Fig. 14). La condicin (11.14) no depende de qu punto se est considerando, luego vale para cualquier punto. Por otra parte si la (15) se cumple para P, tambin se cumple para Q, porque como ri = R + ri entonces:

(16)

En consecuencia la (15) se cumple tambin para Q.

En conclusin las condiciones de equilibrio para un cuerpo rgido son que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (suma de los momentos de todas las fuerzas) tomado respecto de un punto cualquiera sea nulo.

Cuerpo rgido vinculadoUn cuerpo rgido puede estar sometido a varias clases de vnculos. Por ejemplo puede tener un punto fijo, un eje fijo, puede estar apoyado sobre una superficie, etc. Los vnculos reaccionan con fuerzas, que tienen una resultante f y un momento m. Para el equilibrio se debe cumplir entonces que:

F + f = 0 (17)YM + m = 0 (18)

donde M y m se deben tomar respecto del mismo punto.

Equilibrio de un cuerpo rgido con un punto fijoSi hay un punto fijo est claro que la reaccin debe equilibrar a la resultante, o sea f = F. Esta reaccin est aplicada en el punto fijo (el vnculo). Pero entonces, tomando momentos respecto del punto fijo, m = 0. Luego la condicin (17) se cumple siempre y determina f. En cuanto a la condicin 18) se reduce aM = 0 (19)

donde M se debe tomar respecto del punto fijo.

Equilibrio de un cuerpo rgido con un eje fijo.Equilibrio de un cuerpo rgido con un eje fijoEsta claro que en este caso la condicin (11.17) se cumple y determina las reacciones. Estas reacciones estn aplicadas sobre el eje. Tomando momentos respecto de un punto P cualquiera del eje mi = ri fi y vemos que es siempre perpendicular al eje. En cuanto al momento de las fuerzas activas, Dnde: es la componente de M perpendicular al eje y n la direccin del eje. Ahora bien, tiende a girar el eje y como ste est fijo, se cumple siempre que:

(20)

Luego la condicin de equilibrio (18) se reduce a:

Equilibrio de un cuerpo rgido con un eje fijo Fig(6)

Cuerpo rgido con vnculos rugososCuando hay fuerzas de rozamiento entre el cuerpo y los vnculos las reacciones tienen una componente tangencial que debe ser tenida en cuenta. Veamos esto por medio de un ejemplo. Sea una escalera que est apoyada a una pared, mientras un hombre sube por la misma (Fig. 11.7).Sea l la longitud de la escalera, m la masa de la escalera ms la del hombre y x la posicin del centro de masa del hombre ms la escalera. Evidentemente el rozamiento contra el piso es lo que impide que la escalera se venga abajo. Sea Am el ngulo de roce en A, dado portan Am = A

Siendo A el coeficiente de roce esttico entre la escalera y el piso. La reaccin fA est contenida en el cono de roce y formar un ngulo A con la vertical (normal al piso). La reaccin fBh en B la supondremos horizontal, lo que equivale a suponer que en B no hay roce.Las condiciones de equilibrio son mg fA fBh 0 cuyas componentes horizontal y vertical son:

fA sen A fBh = 0 (23)

y

fA cos A mg = 0 (24)

Tomando momentos respecto de A obtenemos

xmgsen lfBh cos=0

Equilibrio de una escalera apoyada contra una pared Fig. 7

La ecuacin (24) determina fA

(26)

Sustituyendo en (23) encontramos:

(27)

Sustituyendo fBh en (11.25), obtenemos A

(28)

Con esto queda resuelto el problema. Para el equilibrio se debe verificar que tan A tan Am, lo que implica que se debe cumplir la condicin:

(29)

Qu nos dice esta condicin? Est claro que x, la posicin del centro de masa de la escalera con el hombre encima, crece a medida que ste sube y alcanza su valor mximo cuando el hombre llega al tope. Luego x l (el signo = vale si la masa de la escalera es despreciable). Entonces:

(30)

En este caso el hombre no debe subir pues se vendr abajo con escalera y todo.

Sistemas de fuerzas equivalentesComo vimos, el equilibrio de un cuerpo rgido est determinado solamente por la resultante de las fuerzas y la suma de los momentos respecto de un punto cualquiera. Vamos a ocuparnos ahora del problema de calcular la resultante F y el momento total M de un sistema de fuerzas que acta sobre un cuerpo rgido, que haba quedado pendiente.Cuando dos sistemas de fuerzas tienen igual resultante e igual momento total son equivalentes en lo que hace a sus efectos sobre el equilibrio. Entonces cuando se tiene un cuerpo rgido sometido a un sistema complicado de fuerzas, conviene reemplazarlo por un sistema equivalente ms simple. Hay varias reglas prcticas para este fin y las presentamos a continuacin.

Deslizamiento de las fuerzasToda fuerza se puede trasladar a lo largo de su recta de accin sin cambiar sus efectos. Efectivamente, este traslado no afecta el valor de las resultantes. Tampoco afecta el momento respecto de un punto cualquiera, pues: depende slo de la distancia desde el punto a la recta de accin (Fig. 8)

El momento depende solamente de la distancia entre la recta de accin de lafuerza y el punto respecto del cual se lo calcula. Fig.8

Fuerzas concurrentesSe llaman as aquellas cuyas rectas de accin se cruzan. Por lo dicho se les puede trasladar hasta el punto de cruce y reemplazar por su resultante, cuya recta de accin pasa por el punto de cruce (Fig. 9).

Resultante de fuerzas concurrentes. Fig. 9

Fuerzas cuyas rectas de accin son paralelas son concurrentes en el infinito. Para hallar la resultante y su recta de accin podemos agregar dos fuerzas ficticias F y F (Fig.10). El sistema F1 (= F1 + F), F2 (= F2 F) es equivalente al anterior pero ahora F1 y F2 se pueden sumar porque sus rectas de accin se cruzan a distancia finita. Por geometra F1d1 = F2d2.

Resultante de fuerzas cuyas rectas de accin son paralelas. Fig. 10

Cupla o par de fuerzasCuando dos fuerzas son iguales y opuestas y sus rectas de accin son paralelas forman una cupla (Fig. 11). Para toda cupla se cumple que la resultante es nula ( F1 + F2 = 0) y el momento es independiente del punto respecto del cual se lo calcula:

(31)

Luego el momento depende slo de F y de la separacin de las rectas de accin de las fuerzas:

Cupla Fig. 11

Reduccin del sistema de fuerzas y momentosTodo sistema de fuerzas se puede reemplazar por un sistema equivalente constituido por una resultante y una cupla. En efecto, sean F1, F2,, FN las fuerzas que actan sobre un rgido, aplicadas en los puntos P1, P2, PN1, 2,, y sea P un punto cualquiera. Si en P imagino aplicadas, paracada fuerza Fi , dos fuerzas, una igual a Fi y otra a Fi tendr un sistema equivalente (Fig. 12). Pero ahora la fuerza Fi aplicada en Pi y la Fi aplicada en P forman una cupla cuyo momento vale

Mi = ri Fi (33)

Est claro pues que el sistema primitivo equivale a una resultante:

F = Fi (34)

y un momento respecto del punto P dado por:

Reduccin del sistema de fuerzas y momentos aplicados a un cuerpo rgido. Fig. 12Estabilidad del equilibrioLa aplicacin de las condiciones de equilibrio permite averiguar si puede o no haber equilibrio para un dado sistema. Sin embargo la observacin muestra que algunas situaciones de equilibrio no se dan en la prctica. Veamos un ejemplo simple: la Fig.13 muestra una esfera ubicada en el vrtice de una superficie, donde el plano tangente es horizontal. Esta posicin es de equilibrio, pero no es posible en la prctica lograr que la esfera quede en esa posicin, porque se cae.El motivo de esto es que si la esfera est colocada en la forma indicada, basta que una pequea perturbacin la aparte de la posicin de equilibrio, aunque sea muy poco, para que la reaccin deje de compensar por completo el peso de la esfera y quede una componente tangencial no equilibrada, que tiende a apartar ms a la esfera de la posicin de equilibrio (Fig.13b). Como en la prctica es imposible evitar perturbaciones infinitesimales, este equilibrio no se realiza. En este caso se dice que el equilibrio es inestable (frente a pequeas perturbaciones).

Equilibrio inestable Fig. 13

En la Fig. 14 se muestra una esfera que descansa en el fondo de un valle. Este es un equilibrio que se da en la prctica, porque es estable frente a pequeas perturbaciones: si un golpe aparta la esfera de su posicin inicial llevndola a una posicin como la indicada en (b), la reaccin de la superficie no compensa al peso igual que en el caso anterior, pero ahora la componente tangencial del peso tiende a devolver a la esfera a la posicin de equilibrio. Se produce entonces un movimiento oscilatorio que eventualmente se amortigua y finalmente la esfera queda en la posicin inicial de equilibrio.

Equilibrio estable Fig. 14

Entre estos casos extremos se puede dar un caso intermedio: si la esfera descansa sobre un plano (Fig. 15a), cualquier posicin (en cualquier punto del plano) es de equilibrio. Si inicialmente la esfera est en la posicin A y una perturbacin la desplaza hasta B quedando all en reposo, se mantendr en B hasta ser perturbada nuevamente: tanto A como B son posiciones de equilibrio yse dice que el equilibrio es indiferente.

(a) Equilibrio indiferente. (b) Equilibrio meta estable: la posicin B es estable para pequeas perturbaciones, pero no frente a perturbaciones de gran amplitud. Fig. 15

De estos ejemplos se desprende que todos los equilibrios deben ser examinados en lo referente a su estabilidad, puesto que los que se observan en la prctica son solamente aquellos que son estables o indiferentes. Un equilibrio inestable se rompe espontneamente y slo se puede mantener si se interviene activamente aplicando fuerzas que estabilicen al sistema (como cuando se sostiene una escoba apoyando la punta del palo en un dedo).En la prctica no slo interesa la estabilidad del equilibrio frente a perturbaciones infinitesimales, sino tambin la estabilidad frente a perturbaciones de amplitud finita. La Fig. 15b muestra una esfera apoyada sobre una superficie con dos valles. Tanto A como B son posiciones de equilibrio estable frente a pequeas perturbaciones: una pequea perturbacin produce oscilaciones alrededor de B (o de A) que finalmente se amortiguan, recuperndose la posicin de equilibrio inicial. Pero si la perturbacin es grande el resultado puede ser diferente: si la esfera Brecibe un empujn que la lleva hasta la cresta C de la loma entre B y A, puede caer hacia A y nunca volver espontneamente a B. En este caso se dice que el equilibrio en B es meta estable.

Estabilidad del equilibrio de un objeto extenso apoyadoConsideremos el equilibrio de una roca de forma irregular, apoyada sobre un sustrato rgido (pueden ser otras rocas). En general la roca est en contacto con el sustrato en no ms de tres puntos3 . Sean 1, 2 y 3 estos puntos. En 1, 2 y 3 el sustrato ejerce las reacciones f1, f2, f3 que equilibran al peso P de la roca (Fig. 11.16a). En general esas reacciones tienen tanto componentes horizontales como verticales. Las componentes horizontales (no dibujadas en la figura) se cancelan entre s. Las componentes verticales compensan el peso.

Una roca apoyada sobre un sustrato de forma irregular: (a) la condicin de equilibrio; (b) el agregado de una fuerza adicional puede romper el equilibrio.Fig. 16

En el equilibrio el momento neto calculado respecto de cualquier punto debe ser nulo. En particular debe ser nulo el momento calculado respecto del punto 1 y por lo tanto la componente de ese momento en la direccin de la lnea 1-2. Es evidente entonces que f3 y la interseccin A de la lnea de accin de P con el plano 1, 2, 3 se deben encontrar del mismo lado de la lnea 1-2. En efecto, si estuviesen en lados opuestos los momentos de f3 y P tendran el mismo sentido de giro alrededor de 1-2 y no habra equilibrio. Repitiendo el argumento para los puntos 2 y 3 se ve que A debe estar dentro del tringulo (1 2 3).Este equilibrio es meta estable porque si se perturba la roca aplicndole una fuerza adicional, por ejemplo si la pisamos al caminar, el equilibrio se puede romper. Si P es la fuerza adicional, las fuerzas P y P se pueden combinar en una nica resultante R. Si B es la interseccin de la lnea de accin de P con el plano 1, 2, 3, lo que sucede depende de si B cae dentro o fuera del tringulo (1 2 3):

Si B est dentro del tringulo, cualquiera sea B el punto A donde la recta de accin de R intercepta el plano 1, 2, 3 estar tambin dentro del tringulo (1 2 3). En este caso las reacciones establecen siempre el equilibrio.

Si B cae fuera del tringulo entonces A podr estar o no dentro del tringulo, dependiendo de P y de la posicin de B. Si A se encuentra dentro del tringulo hay equilibrio. Si A est fuera del tringulo (Fig. 11.16b), no hay equilibrio y la roca se da vuelta. Si la piedra se da vuelta encontrar eventualmente otra posicin de equilibrio anloga a la anterior. Por ejemplo, si pivot alrededor de la lnea 1-2, encontrar en algn momento un nuevo punto de apoyo como el 4 y se equilibrar bajo la accin de R apoyndose en 1, 2 y 4 si la lnea de accin de R cae dentro del tringulo (1 2 4).

Equilibrio en presencia de fuerzas conservativasSi un objeto puntual se encuentra sometido a un campo de fuerzas conservativas F = F(r) (36)

es posible definir una energa potencial V(r) tal queF = V (37)

La condicin de equilibrio es puesV = 0 (38)

o sea:

(39)

Sea r0 un punto de equilibrio. Para ver si el equilibrio es estable o inestable tenemos que examinar en que direccin se dirige la fuerza cuando nos apartamos un poco del equilibrio. Cerca de r0, donde las derivadas primeras de V se anulan,

(40)

El equilibrio es estable si V es positivo para cualquier desplazamiento r desde r0. Luego V debe ser un mnimo para que el equilibrio sea estable.En general un cuerpo de forma irregular como una roca tendr muchas posiciones de equilibrio estable (en realidad meta estable) como se muestra en la Fig. 11.17. Entre ellas la ms estable ser la que corresponde a que el centro de masa est ms bajo. En efecto la energa potencial gravitatoria de la roca es una funcin complicada de la posicin de la roca sobre el sustrato y de su orientacin. Por lo tanto V depende de 5 parmetros. Cada posicin de equilibrio como las que hemos descripto corresponde a un mnimo (local) de la energa potencial. Pero la energa potencial est dada simplemente por V = Ph, siendo h la altura del baricentro de la roca respecto de un nivel de referencia. Por ejemplo las posiciones 1, 2, 3, 4 de la Fig. 17 son todas posiciones de equilibrio estables. Como h3 < h2 < h4 < h1 , la posicin h3 es la ms estable porque es el ms bajo de los mnimos de V.

Posiciones de equilibrio de un cuerpo rgido apoyado sobre una superficie irregular. Fig. 17

Comentario sobre las condiciones de equilibrio de un cuerpo rgido vinculado

Las condiciones de equilibrio de un cuerpo rgido vinculado (ecuaciones (17) y (18)) no son siempre suficientes para determinar las reacciones de los vnculos. Consideremos por ejemplo el problema de la escalera apoyada contra la pared. Si tomamos en cuenta el rozamiento de la escalera contra la pared (que supusimos nulo en nuestro anterior anlisis) hay que agregar la componente vertical fBv de la reaccin de la pared en las ecuaciones (24) y (25). Pero entonces el problema tiene 4 incgnitas ( fA, A , fBh y fBv) y seguimos teniendo las tres ecuaciones(23)-(25), que no alcanzan para determinar por completo las reacciones de los vnculos.En estos casos se dice que el problema es indeterminado. Otro ejemplo de problema indeterminado es el equilibrio de una mesa de cuatro patas apoyada sobre un piso horizontal, como el lector puede verificar fcilmente.La indeterminacin proviene de que el concepto de cuerpo (perfectamente) rgido es el caso lmite de un cuerpo deformable, cuando las deformaciones tienden a cero. El pasaje a este lmite es singular, en el sentido que si de movida se supone que no hay deformaciones se excluyen del problema las condiciones adicionales que hacen falta para encontrar las reacciones de los vnculos.En efecto, si se toman en cuenta las deformaciones, que a su vez dependen de la forma como se aplicaron las fuerzas activas, es posible determinar las reacciones.

Problemas resueltosEjemplo 1. La barra de la figura de masa m y largo 2a est en equilibrio apoyada sobre una pared vertical lisa y sostenida por un extremo mediante un hilo de largo b. Determine los posibles ngulos de equilibrio.

Solucin:Tenemos N T sin = 0, T cos mg = 0, mga sen T 2a sen ( ) = 0,Adems de una relacin geomtrica De la segunda y la tercera Sen 2= 0, Sen cos + 2cos sen = 0, Sen cos = 2cosde donde una solucin es sen = 0 = 0, = . La otra sigue de Cos =cos ,eliminando esta solucin existe si b > 2a y < , b < 4a.

Ejemplo 2. La barra de la figura de longitud L est articulada en O, apoyada en A, tiene un peso total W y est cargada por una fuerza distribuida uniforme de magnitud w(x) = qN desde a hasta b. Determine las reacciones en O y en A.

Solucin. El sistema equivalente de fuerzas es como en la figura siguiente

de modo que tenemos Fy = R + S W q(b a) = 0

Y momentando respecto a O O = SL W q(b a)de donde despejamos S = q(b a)y de la primera R = W + q(b a) ( q(b a))

R = q(b a)

PROBLEMAS PROPUESTOSProblema 1. Un cuerpo homogneo de masa M altura H y base de largo 2a, es empujado por una fuerza horizontal F aplicada en un costado a la altura h del suelo. Si el coeficiente de roce esttico entre el suelo y el cuerpo es S , determine la condicin para que al romperse el equilibrio debido al aumento de F el cuerpo deslice o vuelque.

Problema 2. Una barra de masa M y de largo L se equilibra como se indica en la figura. No hay roce. Determine el ngulo que hace la barra con la horizontal cuando hay equilibrio.

Problema 3. Una barra de largo L = 6m y de peso W = 20N est articulada en su extremo izquierdo a un punto fijo O, apoyada en un soporte liso en A y cargada por dos fuerzas como se indica en la figura

a) Determine la reaccin vertical en la articulacin.b) Determine la reaccin vertical en el soporte.Problema 4. Una lmina de peso W en forma de tringulo equiltero de lado a, puede moverse en un plano vertical estando el vrtice A articulado a un punto fijo. Si al vrtice C se le aplica una fuerza vertical hacia arriba de magnitud F, determine el ngulo que hace la arista AC con la vertical en la situacin de equilibrio.

Problema 5. Considere el sistema de la figura sin roce, determine la fuerza F necesaria para sostener el peso W.

Problema 6. Para el sistema de la figura sin roce, determine la fuerza F necesaria para sostener el peso W.

Problema 7. En el sistema indicado en la figura, no hay roce y las poleas son livianas. Determine la magnitud de la fuerza F necesaria para sostener el peso W.

Problema 8. La barra OP de masa m y largo 2a est articulada en un punto fijo O, sostenida por una cuerda amarrada al punto fijo Q a distancia a de O, y al extremo P de la barra, como se indica en la figura. En el extremo P, cuelga una masa M.

Determine la tensin en la cuerda QP y la reaccin en O.

Problema 9. Dos barras de masa M y largo 2a estn articuladas en puntos fijos O y Q separados una distancia 2b a la vez que estn articuladas en P. Determine las reacciones en las articulaciones O, P y Q.

Problema 10. Dos barras de masa M y largo 2a estn articuladas en puntos fijos O y Q a la vez que estn articuladas entre s en P, como se indica en la figura. Determine las reacciones en O y en Q.

Problema 11. La barra de la figura de masa M y largo 2a est en equilibrio apoyada sobre una pared vertical lisa y sostenida por un extremo mediante un hilo de largo b. Determine los posibles ngulos de equilibrio.

Problema 12. La figura muestra una barra homognea OC de largo L =1m y masa M= 12kg, pivoteada en O y en el otro extremo ligada a una cuerda BC. En el extremo C de la barra cuelga un peso W = 60N por medio de una cuerda CD. Determinar (a) La tensin en la cuerda CD. (b) La tensin en la cuerda BC. (c) La reaccin R en el extremo O de la barra. (R:(a) 60N, (b) 120N, (c) (103,9;120)N)

Problema 13. La figura nuestra una barra delgada y homognea AB de largo L = 2m y de masa M = 12kg, la cual se encuentra pivoteada (articulada) en el extremo A. Sobre la barra en el punto C, se encuentra adherida una partcula de masa m=1kg. La barra se encuentra en equilibrio esttico cuando se le aplica una fuerza de magnitud F en el extremo B perpendicular a la barra. Determine (a) La magnitud de la fuerza aplicada. (b)La reaccin que ejerce la articulacin sobre la barra. (c) La reaccin que ejerce la barra sobre la articulacin.

Problema 14. Las cinco cuerdas del sistema de la figura pueden soportar una tensin mxima de 1500N sin cortarse. Determine el peso mximo de la placa que puede ser soportada. (respuesta W = 2625N)

Problema 15. La placa liviana de la figura de longitud 9m est soportando una fuerza distribuida en forma lineal con un mximo de 600Nm1. Determine las reacciones verticales en los soportes A y B.

Problema 16. Tres cuerpos de masa mA = 3kg, mB = 2kg y mC = 1kg se encuentran en reposo como muestra la figura, de tal forma que cualquier pequea perturbacin hara que el cuerpo A subiera por el plano. Las cuerdas que unen los cuerpos son inextensibles y de masa despreciable. Se pide

a) El diagrama de fuerzas que actan sobre mA.b) El coeficiente de roce esttico entre mA y la superficie.c) Las tensiones en las cuerdas.

Problema 17. Se tiene un sistema formado por una barra uniforme de 6m de longitud, de masa 100 kg articulada en el punto A a un mstil vertical. En el extremo B de la barra cuelga un cuerpo de masa 400 kg. La barra est sostenida por un cable inextensible atado a los puntos C sobre la barra a distancia 1,5m del extremo B y D sobre el mstil, de tal modo que el tringulo ACD es equiltero. Determine

a) La magnitud de la tensin del cable CD.b) Las componentes de la fuerza que hace el pivote en A sobre la barra.c) El torque ejercido por la tensin del cable sobre el mstil, respecto al punto A.

FISICA I4