estÁtica

TEMA 1.- ESTTICA. FUERZA, MOMENTO. COMPOSICIN Y DESCOMPOSICIN DE FUERZAS. EQUILIBRIO.

1. INTRODUCCIN 2. EQUILIBRIO DE FUERZAS 3. ANLISIS Y COMPOSICIN DE FUERZAS. EJERCICIOS 4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO. EJERCICIOS 5. MOMENTOS. EQUILIBRIO. EJERCICIOS 6. AMPLIACION DE EJERCICIOS 7. BIBLIOGRAFA 8. MATERIAL DE APOYO

Ciclos formativo de Grado Superior: CONSTRUCCIONES METLICAS

Prof.: Mara Jos Romn Basanta

DISEO EN CONSTRUCCIONES METLICAS

Prof: Mara Jos Romn Basanta[Escriba texto] Pgina 2

1.- INTRODUCCIN

La mecnica es la parte de la Fsica que estudia el estado de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas. La mecnica se divide en dos partes: la esttica, que estudia el equilibrio de los cuerpos bajo la accin de fuerzas y la dinmica, que hace lo propio para cuerpos en movimiento. En el presente curso nicamente estudiars los fundamentos de la esttica ya que en el diseo instalaciones y de construcciones metlicas el objetivo es, generalmente, conseguir elementos o combinaciones de stos que mantengan su configuracin en el tiempo, es decir, que no sufran grandes deformaciones ni desplazamientos.

2 . EQUILIBRIO DE FUERZAS 201.1. Concepto de fuerza. Representacin grfica. Fuerza es la accin que ocasiona que un cuerpo se ponga en movimiento cuando est parado, se detenga o cambie de direccin cuando est en movimiento o produce deformaciones en el mismo cuando su movimiento est impedido. La Resistencia de Materiales se ocupa de la accin de las fuerzas que actan sobre cuerpos cuyo movimiento est impedido por fijaciones exteriores, determinando los efectos que dichas fuerzas ocasionan sobre los cuerpos: cargas que aparecen en su estructura interior, deformaciones, etc. En relacin con las fuerzas existen los tres siguientes conceptos fundamentales:

A). Magnitud de la fuerza: Es el valor de la intensidad de la misma. Su unidad de medida es el kilogramo (kg). As se habla de que sobre un cuerpo acta una fuerza de 1.000kg, sobre otro de 250kg etc.

B). Punto de aplicacin: Es el lugar en que la fuerza se aplica o acta sobre el cuerpo en cuestin.

C). Lnea de accin: Es una lnea que pasa por el punto de aplicacin en la direccin segn la cual acta la fuerza.

Una fuerza se representa mediante una flecha, tal como se ve en la figura 1.



La magnitud viene dada por la distancia entre su extremo posterior, que representa el punto de aplicacin, y la punta de la misma. Esta longitud vendr determinada por la escala que se haya decidido emplear en la representacin. As, si se ha convenido que 1mm sobre el papel representan 100kg, una fuerza de 1.000kg ser una flecha de 10mm de longitud. La lnea de accin es la recta sobre la cual se halla situada la flecha. Convencionalmente se considera que una fuerza cuya flecha representativa est dirigida hacia la derecha o arriba es positiva, mientras que si lo est hacia abajo o la izquierda es negativa. As, segn lo anterior, la fuerza de la figura 1 es positiva. Regla de los signos (poner los alumnos): Nota importante. De ahora en adelante, por ser ideas sinnimas, diremos siempre fuerza tanto si nos estamos refiriendo a la idea fsica como a la flecha que la representa grficamente.

201.2. Composicin de fuerzas. Mtodo Grfico. 201.2.1. Fuerzas con la misma lnea de accin. Cuando sobre un cuerpo actan dos o ms fuerzas, el resultado de esta accin es similar a que sobre el cuerpo actuase una sola fuerza llamada resultante. A la accin de calcular la resultante de varias fuerzas se denomina composicin de fuerzas. Para calcular la resultante de varias fuerzas que tengan la lnea de accin comn basta con representar una cualquiera de ellas e ir llevando a continuacin de la misma las siguientes, de forma que el punto de aplicacin de cada una vaya coincidiendo con el extremo de la anterior. La representacin de la resultante es la flecha cuyo punto de aplicacin es el de la primera de las fuerzas y su extremo el de la ltima. La figura 2 ilustra el mtodo. Se hace notar que para clarificar la representacin las fuerzas se han representado sobre lneas paralelas; en la realidad todas estarn sobre la misma lnea.



201.2.2. Fuerzas con las lneas de accin que se cruzan. La resultante de dos fuerzas cuyas lneas de accin se cruzan se determina dibujando el paralelogramo que se seala en la figura 3 cuyos lados son las fuerzas a componer. La resultante viene dada por la diagonal del Paralelogramo que pasa por el punto de aplicacin de las fuerzas.



El caso de la suma de ms de dos fuerzas coplanarias (todas sus lneas de accin estn en el mismo plano) se resuelve tal como se ilustra en la figura 4 en donde se determina la resultante de las cuatro fuerzas F1, F2, F3 y F4. Para ello se componen primero las fuerzas F1 y F2, su resultante se compone con F3; la nueva resultante se compone con la F4 y esta ltima resultante es la total del grupo buscada. El orden que se escoja para componer las fuerzas no influye en el resultado.

Otra manera de resolverlo es por el triangulo de fuerzas: Ejemplo 2.1 Se tienen cuatro cables atados a una argolla tal como se indica en la figura 5, habindose tensado cada uno de ellos con la tensin sealada. Todos los cables estn en el mismo plano. Se desea saber la carga total que acta sobre la argolla y su direccin.



Para resolver el problema empezamos posicionando un punto O (ver figura 6) que va a representar el centro de la argolla. A partir de este centro trazamos la lnea (1) con una inclinacin de 20 respecto a la horizontal y que representar la lnea de accin de la tensin de 1.500kg que acta sobre el cable nmero 1.

Igualmente trazaremos la lnea (2) con una inclinacin de 50, lnea de accin de la tensin del cable nmero 2; la lnea (3) con 85o, lnea de accin del cable numero 3 y, por ltimo la (4) con 50, lnea de accin del cable numero 4. Eligiendo ahora una escala de, por ejemplo, 2mm = 100kg, sobre la lnea (1) representaremos con una flecha de 30mm de longitud la tensin de 1.500kg; sobre la



lnea (2) una flecha de 40mm para la tensin de 2.000kg; sobre la (3) una flecha de 20mm para la tensin de 1.000kg y, por ltimo, sobre la (4) representaremos con una flecha de 36mm de longitud la tensin de 1.800kg. Ahora procederemos a componerlas dos a dos sucesivamente:

R1. e 1.000kg tenemos la resultante R2.

Esta resultante total tiene 83mm de longitud representando, por lo tanto, una carga de: R = 83 mm x 100 Kg/2 mm = 4.150 Kg y forma con la horizontal un ngulo (medido con un crculo graduado) de 72,50. En definitiva, que la resultante sobre la argolla debida a la tensin de los cuatro cables es una fuerza de 4.150kg inclinada 72,50 hacia la derecha. 201.3 Proyeccin de una fuerza sobre un eje. En la figura 7 F es una fuerza de magnitud conocida y OB un eje que forma un ngulo con la fuerza anterior y pasa por su punto de aplicacin. Consideremos el tringulo OAB que tiene un ngulo recto en B y la fuerza P tal que tiene su origen en el punto de aplicacin de F y su extremo en el punto B. A esta fuerza P se la denomina Proyeccin de F sobre el eje OB. Por ser el ngulo OAB rectngulo, el valor de P viene dado por: P = F cos . (Frmula 1.3) Si el eje OB no pasa por el punto de aplicacin de F (figura 8), la fuerza proyeccin P se determina tal como se indica en la figura. Por ser OB = OB = F cos tambin es aqu P = F cos .



Anexo I: trigonometra, teorema del seno, del coseno, de Pitgoras, etc.

http://www.youtube.com/watch?v=SIpe683DA9Y teoria de trigonometra y del

teorema Pitgoras con un ejemplo **** http://www.youtube.com/watch?v=_VXkK5sPguU teora trigonometra ** http://www.youtube.com/watch?v=IL8cCsfJpvI problemas resueltos

trigonometra www.julioprofe.net **** 201.4. Componentes de una fuerza en un sistema de ejes coordenados. Se denominan ejes coordenados a un par de rectas XX e YY (figura 9) que se cruzan en ngulo recto y sobre las cuales se ha tomado una unidad de medida comn. Se denominan componentes de una fuerza en un sistema coordenado a las fuerzas proyecciones de dicha fuerza sobre cada uno de los ejes. As, en la figura 9, las componentes de F son Fx, proyeccin de F sobre el eje XX, y Fy, proyeccin de F sobre el eje YY. Los valores de estas componentes son, por la frmula 1.3: Fx = F cos Fy = F cos formula 1.4.1 pero, por ser y ngulos complementarios ( + = 90) tenemos que: cos = sen ; cos = sen ; o tambin : Fx = F x sen Fy = F x cos



y entonces podremos poner que: Fx = F cos Fy = F sen (Frmulas 1.4.1) Si nos fijamos en la figura 9, vemos que si consideramos Fx y Fy como dos fuerzas conocidas y las componemos segn el mtodo del paralelogramo explicado en 1.2.2, su resultante es precisamente F. Esta es la razn de que Fx y Fy se denominen Componentes de F. Si conocemos los valores de Fx y Fy, el valor de F viene dado por el teorema de Pitgoras R = a la raiz cuadrada de Fx al cuadrado + Fy al cuadrado Frmula 1.4.2) Ejemplo 2.2 Determinar las componentes en unos ejes coordenados de una fuerza de 2.500kg que forma con el eje XX un ngulo de 35.



Las componentes pedidas, Fx y Fy, las calculamos (ver figura 10) aplicando las frmulas 1.4.1: As: Fx = F cos = 2.500kg cos 35 = 2.500kg 0,819 = 2.047,8 kg Fy = F sen = 2.500kg sen 35 = 2.500kg 0,574 = 1.433,9 kg 201.5. Composicin de fuerzas. Mtodo analtico. El mtodo grfico explicado en 1.2 tiene la ventaja de su rapidez, pero tiene la desventaja de su falta de precisin cuando se quieren determinar cargas con exactitud (sobre todo cuando hay que componer fuerzas de pequeo valor con otras ms grandes), y que resulta muy engorroso cuando intervienen ms de cuatro fuerzas, pues el papel se llena de lneas entre las que es fcil perderse. El mtodo analtico que se explica a continuacin es el preferido para el clculo. Este mtodo consiste en lo siguiente: 1) Se determinan las componentes de todas las fuerzas presentes sobre un par de ejes coordenados haciendo uso de las frmulas 1.4.1. 2) Se suman las componentes segn cada eje. La suma de todas las componentes segn el eje XX nos da la componente de la resultante segn este eje. La suma de todas las componentes segn el eje YY nos da la componente de la resultante segn el eje YY. 3) Se calcula la resultante total a partir de sus componentes antes determinadas mediante la frmula 1.4.2. Ejemplo 2.3 Determinar la carga sobre la argolla de la figura 5 por el mtodo analtico. Seguiremos paso a paso lo anteriormente dicho: 1). Clculo de las componentes de las fuerzas (tensiones de los cables).

Para el cable 1 (1.500 kg)

Fx1 = 1.500kg cos 20 = 1.500kg 0,940 = 1.409,5 kg Fy1 = 1.500kg sen 20 = 1.500kg 0,342 = 513 kg

Para el cable 2 (2.000kg) Fx2 = 2.500kg cos 50 = 2.500kg 0,643 = 1.285,5 kg Fy2 = 2.500kg sen 50 = 2.500kg 0,766 = 1.532 kg

Para el cable 3 (1.000kg) Fx3 = 1.000kg cos 85 = 1.000kg 0,087 = 87,1 kg



Fy3 = 1.000kg sen 85 = 1.000kg 0,996 = 996,1 kg

Para el cable 4 (1.800kg) Fx4 = 1.800kg cos 30 = 1.800kg 0,866 = 1.558,8 kg Fy4 = 1.800kg sen 30 = 1.800kg 0,500 = 900 kg 2). Suma de las componentes segn los ejes: Ahora se determinan las componentes de la resultante de las cuatro tensiones (que llamaremos R) sumando sus componentes que hemos determinado antes, pero Atencin!! En 1.1. se ha dicho que una fuerza es positiva cuando est dirigida hacia la derecha o arriba y si nos fijamos en las componentes de la tensin del cable 4 (desde el punto de vista de la argolla) la componente Fx4 est dirigida hacia la izquierda, luego es negativa. Por lo tanto las componentes del cable 4 sern: Fx4 = - 1.558,8 kg Fy4 = 900 kg Rx = Fx1 + Fx2 + Fx3 + Fx4 = 1.409,5kg + 1.285,5kg +87,1kg 1.558,8kg = 1.223,3kg Ry = Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4 = 513kg + 1.532kg +996,1kg + 900kg = 3.941,1kg 3). Clculo de la resultante total. Mediante la frmula 1.4.2: R = raiz cuadrada de la Rx al cuadrado + Ry al cuadrado (teorema de Pitgoras) En el ejemplo 1, resuelto grficamente, nos haban salido 4.1 50kg, o sea, cometimos un error de ~ 23kg. El valor de 4.126,59kg es el exacto. Si queremos determinar el valor del ngulo que forma esta resultante con la horizontal, , tenemos que en el tringulo OAB de la figura 11:



Tg = AB/OB = Ry/ Rx = 3941,1 Kg / 1223,4 Kg Si en una tabla de tangentes (o mediante una calculadora trigonomtrica) buscamos qu ngulo es el que su tangente vale 3,2217 encontramos que es 72 45 21 que es muy prximo al valor de 72,5 que habamos podido medir en el mtodo grfico. NOTA IMPORTANTE En la prctica, a fin de evitar posibles errores y facilitarnos la presentacin de los clculos, es muy conveniente realizar estos no la forma que hemos resuelto el ejemplo sino mediante un cuadro como el siguiente en donde se han colocado los valores correspondientes a este ejemplo. 1 2 3 4 5 6 Fuerzas kg Angulos Cos Sen Fx kg Fy kg 1.500 20 0,940 0,342 1.409,5 513 2.000 50 0,643 0,766 1,285,5 1.532 1.000 85 0,087 0,996 87,1 996,1 1.800 30 0,866 0,500 - 1.558,8 900 + + Rx = 1.223,4 Kg

Ry=3.941,1

4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO SOMETIDO A DIVERSAS FUERZAS QUE PASAN POR UN MISMO PUNTO. En la figura 15 se ha representado un taco de madera, que tiene un peso P, que descansa sobre un plano inclinado con un ngulo de inclinacin .

Comentario [p1]: Ojo con el signo



Al taco de madera se le ha atado un cordel del que cuelga un peso K tal que el taco no desliza sobre el plano. Suponiendo que no existe rozamiento entre el taco y la superficie del plano, vamos a considerar las fuerzas que actan sobre el taco: Por un lado tendremos el peso del propio taco P. Esta es una fuerza dirigida verticalmente hacia abajo y que pasa por el centro de gravedad del taco. Luego tendremos la fuerza K con la que el cordel tira del taco y que es igual al peso K que hemos colgado. Esta fuerza es hacia arriba en direccin paralela a la superficie del plano y, suponiendo que hemos fijado adecuadamente el cordel al taco, pasa tambin por el centro de gravedad del taco. Por ltimo tenemos la reaccin R (y es muy importante fijarse en esta fuerza) que es la fuerza ejercida entre la superficie del taco y la del plano y que es perpendicular a stas. Ahora podemos imaginar que hacemos abstraccin del plano inclinado e imaginamos el taco flotando en el espacio tal como lo representamos en la figura 15B. Naturalmente, si quitamos el plano inclinado de debajo del taco este se nos cae, pero si suponemos que sobre el taco acta una fuerza R igual a la reaccin que se ejerca entre plano y taco, al someter el taco a esta fuerza el efecto es como si el plano siguiese existiendo debajo del taco.



Igualmente el taco caera si quitamos el cordel, pero vamos a sustituirlo por una fuerza K igual a la tensin del cordel. Como originalmente el taco no se mova, este taco flotando en el espacio sometido a las fuerzas R, K y P tampoco se mueve. Se dice que el taco est en equilibrio. Pero sabemos que para que un cuerpo pueda estar flotando en el espacio sin moverse es necesario que no acte ninguna fuerza sobre l. Pero como sobre el taco hemos supuesto que estn actuando las fuerzas R, K y P es necesario deducir entonces que la resultante de la combinacin de estas fuerzas ha de ser nula. Nota importante: En este ejemplo hemos supuesto que las tres fuerzas pasan por un mismo punto (el centro de gravedad del taco). Esto no tiene por qu suceder siempre as (y lo normal es que no suceda), pero aqu lo suponemos. El caso de que todas las fuerzas que actan sobre el cuerpo no pasen por el mismo punto lo veremos ms adelante. As pues, de lo dicho anteriormente deducimos la siguiente Regla I: Para que un cuerpo sometido a varias fuerzas que pasan por un mismo

punto est en equilibrio es preciso que sea NULA la resultante de dichas fuerzas.

http://www.youtube.com/watch?v=qU7HRo_l7wc&feature=relmfu www.miprofesordefisica.com ejemplo resuelto: descomposicin de fuerzas

En 1.5. se ha visto cmo se calculan las componentes de la resultante de varias fuerzas sumando las correspondientes componentes segn el eje XX y el YY de las diferentes fuerzas. Como para que una fuerza tenga valor nulo deben de ser nulas sus componentes, de la regla anterior se deduce la: Regla II: Para que un cuerpo sometido a varias fuerzas que pasan por un

mismo punto est en equilibrio es preciso que la suma de las componentes segn ambos ejes XX e YY sea NULA.

Fx = 0 ; Fy = 0

Comentario [p2]: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL)



http://www.youtube.com/watch?v=JvxIjWvewcs&feature=fvwrel Problemas de esttica Video descomposicin de fuerzas. www.julioprofe.net Ejemplo 2.5 El taco de la figura 15 pesa 200gr y para impedir que resbale sobre el plano inclinado 30 es necesario colgar un peso de 100gr. Suponiendo que no hay rozamiento entre taco y plano se pide determinar el valor de la reaccin R entre taco y plano. Para resolver este problema vamos a hacer uso de la Regla II, poniendo que la suma de las componentes de las fuerzas sobre el taco son nulas. Vamos a tomar los ejes que se sealan en la figura 16 y calcular las componentes de las fuerzas mediante las frmulas 1.4.1.

Componentes de P (atencin al signo):

Px = 0 Py = -P = -200gr Componentes de K (atencin al signo):

Kx = - K cos 30 = - 100gr 0,866 = -86,6 gr Ky = k sen 30 = 100gr 0,5 = 50 gr Componentes de R (R es desconocido)

Rx = R cos 60 = 0,5 R Ry = R sen 60 = 0,866 R



Aplicando ahora la Regla II ha de ser: Fx = 0

Px + Kx + Rx = 0 , o sea 0 + (- 86,6gr) + 0,5 R = 0 de aqu obtenemos que: 0,5 R = 86,6gr y, por lo tanto: R= 86,6 gr /0,5 = 173,2 gr Con esto hemos determinado ya el valor de la reaccin pedida. No obstante, para ampliar el ejercicio y a modo de comprobacin, vamos a hacer lo mismo empleando las componentes segn YY. Nos deber salir el mismo valor de R. Tambin, por la misma Regla II, ha de ser: Fy = 0 Py + Ky + Ry = 0 , o sea -200gr + 50gr + 0,866 R = 0, o sea -150gr + 0,866 R = 0 de aqu obtenemos que: 0,866 R = 150gr y, por lo tanto: Nota: hacer ejercicios

5. CONCEPTO DE MOMENTO.

www.cibermatex.com http://www.youtube.com/watch?v=a91wFb4DhVc&feature=related Explica que es un momento o par de fuerzas

En la figura 17 se ha representado un tambor sobre el que est enrollado un cable

cuyas ramas salen horizontalmente. Sabemos que si tiramos de ambos extremos del cable con una fuerza T el tambor no se mover de su sitio pero se

pondr a girar.



Si hacemos la suma de las componentes segn los ejes XX e YY de las fuerzas que actan sobre el tambor (haciendo caso omiso de su peso pues suponemos que el tambor est soportado de alguna forma) vemos que esta suma es nula, pues las tensiones del cable solo tienen componentes segn el eje XX (la proyeccin sobre YY es cero) y estas son iguales y opuestas. As pues, desde el punto de vista de la resultante de las fuerzas (que es nula) se podra decir que el tambor est en equilibrio, pero realmente no lo est, puesto que gira. El quid de la cuestin est en que aunque la resultante de las fuerzas que actan sobre el tambor es nula, estas fuerzas no pasan por el mismo punto. En esta situacin se dice que las tensiones del cable forman UN PAR DE FUERZAS. Sabemos por experiencia que para una misma tensin del cable la accin sobre el tambor es tanto mayor cuanto mayor sea su radio. Esto es, la accin del par de fuerzas depende de la separacin entre las mismas. Para medir el valor del efecto producido por un par de fuerzas se ha creado el concepto de MOMENTO (ms exactamente momento del par de fuerzas). En un caso general se define como momento del par de fuerzas FF (fuerzas iguales, de sentidos opuestos y lneas de accin paralelas) al producto de una de las fuerzas por la distancia entre ellas, o sea:



M = F d (Frmula 1.7.1) En el caso particular de nuestro tambor de la figura 17, el momento que acta sobre l es: M = T 2 R Las unidades en que se acostumbra medir el momento es en metros por kilogramos m kg Se escribe precisamente de esta manera y no al revs (kilos por metro) para evitar confundirlo con la unidad kg/m (kilogramos divididos por metro) y que se acostumbra a leer en la misma forma (kilos por metro) pero que corresponde a una unidad de densidad empleada, por ejemplo, para perfiles de acero. Un momento se suele representar grficamente por una flecha curva sealando un giro en el mismo sentido que girara el cuerpo al que se le aplica. Esto se ilustra en la figura 19 para el caso del tambor.

OJO Por convenio, un momento se dice negativo si tiende a hacer girar al cuerpo en el mismo sentido que las agujas de un reloj (caso de la figura 19). En el caso contrario se dice positivo. 201.8. Momento de una fuerza respecto a un punto. Se define como momento de una fuerza F respecto de un punto O (ver figura 20) al producto de la fuerza por la distancia entre la lnea de accin de la fuerza y dicho punto O.

Comentario [p3]: CONVENIO GRAFICO DEL MOMENTO DE SIGNOS



En el caso del tambor de la figura 17 el momento de cada tensin del cable respecto del centro del tambor es: MC = T X R El momento total que acta sobre el tambor es la suma de los momentos respecto del centro que produce cada tensin T, o sea: M = 2 X MC = 2 X T X R = T X 2 X R Valor que coincide con lo dicho en 1.7 para el momento producido por el par de fuerzas T. A calcular el momento de una fuerza respecto a un punto de denomina tomar momentos respecto a ese punto.

Su valor ser igual a la magnitud de la fuerza multiplicada por la distancia de la fuerza al punto. Esta distancia ser la longitud de la recta trazada desde el punto en cuestin, hasta la recta soporte de la fuerza teniendo en cuenta que ambas deben ser perpendiculares entre s. El sentido de la fuerza y su posicin con respecto al punto definen el sentido de giro del momento Si tomamos como sentido positivo el contrario a las agujas del reloj, para la figura de la izquierda el momento respecto del punto A ser

y para la derecha



Unidades = kilogramo x metro Kgf.m (unidad de trabajo)

Trabajaremos el concepto de momento en los siguientes ejercicios. Tambin estudiaremos el equilibrio de algunos cuerpos. Se dice que un cuerpo est en equilibrio cuando la suma de todas las fuerzas en l aplicadas es nula y la suma de todos los momentos tambin. 201.9. Equilibrio general de un cuerpo sometido a fuerzas cualesquiera. Ya hemos visto en 1.6. (Regla I) que para que un cuerpo sobre el que actan fuerzas concurrentes en un punto est en equilibrio es necesario que la resultante de dichas fuerzas sea nula. En un caso general, las fuerzas que actan sobre un cuerpo no pasan por un punto y as, aunque su resultante fuese nula, podra ser que el cuerpo girase debido a que la suma de los momentos de las fuerzas respecto a algn punto del cuerpo no es nula, esto es, que hay un momento resultante no nulo que hace que el cuerpo gire alrededor de dicho punto. De lo anteriormente expuesto se deduce la siguiente:

Regla III: Para que un cuerpo sometido a varias fuerzas que no pasan por un mismo punto est en equilibrio es preciso que la resultante de dichas fuerzas sea NULA, y que la suma de momentos respecto a cualquier punto del cuerpo de dichas fuerzas sea tambin NULA.

M= 0 Ejemplo 2.6 La viga de la figura 21 est cargada con un peso de 7.500kg tal como se muestra. Despreciando el peso de la propia viga, calcular las reacciones en los apoyos.

Igual que hicimos en el caso del taco, vamos a suponer que la viga se encuentra flotando en el aire sustituyendo el peso por una fuerza P dirigida hacia abajo, la reaccin en el apoyo 1 por una fuerza R1 dirigida hacia arriba y la reaccin en el apoyo 2 por una fuerza R2 dirigida hacia arriba (figura 22).



Aqu vemos que estamos en un caso de fuerzas no concurrentes, por lo que para que la viga est en equilibrio (pueda flotar en el aire) es necesario que se cumpla la Regla III. Aqu, como las fuerzas son paralelas al eje vertical, no nos tenemos que ocupar de la componente horizontal de las mismas. Siguiendo la Regla III tenemos: 1) La resultante de las fuerzas ha de ser nula, luego: R1 + R2 P = 0 (atencin al signo de P) de aqu tenemos que: R1 + R2 = P o sea, que la suma de las dos reacciones en los apoyos ha de ser igual al peso colgado de la viga, cosa que es evidente en este caso. 2) La suma de los momentos respecto a cualquier punto del cuerpo ha de ser cero. Como podemos elegir cualquier punto para tomar momentos, elijamos el punto 1 (extremo izquierdo de la viga). El momento de cada una de las fuerzas (segn la frmula 1.8.1.) es el producto de cada fuerza por la distancia al punto elegido. El signo del momento ser positivo si el sentido es hacia la derecha y negativo si lo es hacia la izquierda. Momento de R1 respecto al punto 1: MR1 = R1 0 = 0 Momento de P respecto al punto 1: Mp = P (2m 0,75m) = 1,25 P Momento de R2 respecto al punto 1: MR2 = - R2 2m = -2 R2 En el ltimo caso hemos puesto signo negativo porque este momento tendera a hacer girar toda la viga alrededor del punto 1 en sentido contrario a las agujas del reloj. Como la suma de momentos ha de ser nula tenemos: MR1 + MP + MR2 = 0 y sustituyendo los valores: 0 + 1,25 P 2 R2 = 0 de donde, 2 R2 = 1,25 P y Como ya sabamos que R1 + R2 = P, de aqu: R1 = P R2 = 7.500kg 4.687,5kg = 2.815,5kg As pues, las reacciones pedidas en los apoyos de la viga son de 2.815,5kg en el de la izquierda y de 4.687,5 kg en el de la derecha.



Ejemplo 2.7 En los aviones son datos necesarios de conocer el peso de los mismos y la posicin de su centro de gravedad. Para ello, una forma normal de proceder es colocar el avin sobre tres bsculas, una debajo de cada rueda, y obtener las reacciones de cada rueda sobre el suelo (que es lo que miden las bsculas). En el avin de la figura esta operacin nos ha dado una reaccin para la rueda de morro de Rm = 100kg y una reaccin para cada rueda principal de Rp = 250kg. Las distancias de los centros de las ruedas al morro del avin (medidas horizontalmente) son las indicadas. Cul es el peso total del avin y la distancia horizontal desde el morro al centro de gravedad?.

Aqu aplicaremos la Regla III. a). Equilibrio de fuerzas: Y de aqu: Luego el avin pesa 600 kg. Nota: Se ha puesto 2Rp por ser dos las ruedas principales. b). Equilibrio de momentos: Vamos a tomar momentos respecto del morro del avin. Vamos a llamar x a la distancia horizontal, desconocida, desde el morro hasta el centro de gravedad del avin: Nota: Los momentos producidos por Rm y Rp se han considerado negativos pues estos tenderan a hacer girar al avin respecto del morro en sentido contrario a las agujas del reloj.



de aqu: luego, As pues, el centro de gravedad del avin est a 2,25m desde el morro.



6 CENTROS DE GRAVEDAD



7. BIBLIOGRAFIA Meriam, J. L. , Estetica, Ed. Revert. Ferdinand P. Beer , Mecanica vectorial para ingenieros. Esttica. Ed Mc Graw Hill Carlos Alonso Prieto, Curso para formacin de delineantes Tecnologa Bachiller Ed Casals 8. MATERIAL DE APOYO

ESTTICA Texto del enlace: introduccin a los vectores

URL: http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/ Ttulo: Introduccin a los vectores en el plano.

Texto del enlace: Esttica

URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Est%C3%A1tica_%28mec%C3%A1nica%29 Ttulo: Acceder al artculo de wikipedia sobre esttica.

Texto del enlace: sistemas de unidades URL: http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades

Ttulo: Visita en wikipedia la pgina dedicada a los Sistemas de unidades

http://www.youtube.com/watch?v=HvCPnkIkbOk&feature=BFp&list=WLkIp9mrkRc56M5KUoZIrSs7BRe2jst5rQ ejercicio de la 2 regla de newton http://books.google.es/books?id=z_hVpS-se6MC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=diagrama+de+solido+libre&source=bl&ots=4y0yud3ACh&sig=6rg_3rCF3CipHRklGxUSAYXpwAg&hl=es#v=onepage&q=diagrama%20de%20solido%20libre&f=false problemas de esttica

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