ESTADÍSTICA BÁSICA

2016

COMISIÓN 2

“

TEORÍA: JUEVES 13-15

PRÁCTICA: 15-17

Mg. Stella Figueroa -Dr. Juan I. Pastore- Prof. Jimena Padín- Ing. Juan Marrocchi

Moore(1999) define la estadística como la ciencia de los datos.

Es una disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos

específicos de razonamiento.

Aunque es una ciencia matemática, no es una rama de la

matemática.

Aunque es una disciplina metodológica, no es una colección

de métodos”. .

El objeto de la estadística es el razonamiento a partir de

datos empíricos.

Descriptiva

Estadística

Auxilia en

Inferencial

incluye la recopilación, organización, presentación,

análisis e interpretación de

la información

el proceso de toma de

decisiones

el análisis de datos

-describe -visualiza -resume la información

Parte del análisis de datos y lo extiende a un

grupo más amplio, obteniendo

conclusiones sobre estimaciones y

pruebas de hiótesis

¿POR QUÉ TIENE TAN MALA PRENSA LA ESTADÍSTICA?

Si definimos las variables y sus

categorías, esa

categorización no es única

y

depende de la manera en que simplificamos la

realidad.

Esto significa que un mismo problema estadístico

puede tener

muchas resoluciones

posibles y

distintas interpretaciones.

Y eso dependerá esencialmente

de:

Cómo definimos y clasificamos las variables.

y

Dónde focalizamos

nuestra atención.

¿DE QUÉ SE OCUPA LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA?

La estadística descriptiva se ocupa de la organización, presentación y análisis e interpretación de la información.

¿Cuál es la información que organiza, de dónde surge, cómo se obtiene, cómo se la presenta y cómo se la analiza?

¿Qué medidas calculamos? ¿Para qué? ¿Qué significado tienen? ¿Elegimos las medidas adecuadamente en cada caso? ¿Nos ayudan a resumir la información? ¿Son medidas que representan los datos? ¿Son confiables?

ESTADÍSTICA CON PROYECTOS

Un proyecto de análisis de datos comienza con un problema que se resuelve aplicando el método estadístico.

Planteo del

Problema.

Planteo de las

preguntas.

Identificación de

las variables y de

los objetivos del

proyecto.

Descripción de la

población, de la

muestra y de la

técnica de

recolección

utilizada.

Recopilación de la

información

muestral

Presentación de

los datos: Tablas

de frecuencias.

Gráficos.

Medidas de

tendencia central

y de variabilidad.

Análisis e

interpretación de los

datos,

coherencia entre el

problema y los

objetivos

¿SE

RESUELVE

EL

PROBLEMA

?

NO

SI

Presentación del

informe con los

resultados y las

conclusiones

Problema

Un ingeniero es responsable de la producción de rulemanes y tiene dos

máquinas distintas para medirlos. Le interesa que los rulemanes

producidos tengan diámetros similares, independientemente de la

máquina que los produce, pero tiene sospechas de que se está

produciendo algún problema de falta de calibración entre ellas.

¿Qué características consideramos para analizar el

problema ?

Algunas características surgen por simple observación. Otras surgen de una medición. Otras características surgen de una encuesta

Estas características deben ser “medidas” de alguna manera.

Toda característica de la que se requiera su medición, es una

variable estadística.

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES

Variables: Cualitativas y Cuantitativas.

Las variables cualitativas son aquellas que se refieren a categorías o atributos de los elementos de estudio.

Las variables cuantitativas son aquellas cuyos datos son de tipo numérico.

Discretas Continuas

TIPOS DE GRÁFICOS

Variables cualitativas Barras Simples (UNA SOLA VARIABLE) Diagramas Sectoriales (UNA SOLA VARIABLE) Barras Proporcionales (DOS VARIABLES) Barras Agrupadas (DOS VARIABLES)

Variables cuantitativas Discretas Bastones

Continuas Histograma Polígono de Frecuencias Simples Polígono de Frecuencias Acumuladas

VOLVIENDO AL PROBLEMA

Un ingeniero es responsable de la producción de rulemanes y

tiene dos máquinas distintas para ello. Le interesa que los

rulemanes producidos tengan diámetros similares,

independientemente de la máquina que los produce, pero tiene

sospechas de que existe una falta de calibración entre ellas.

¿Qué elementos le proporciona la estadística al

ingeniero para poder concluir que los rulemanes tienen

diámetros significativamente diferentes?

Diámetros producidos

por la máquina A

Diámetros

producidos por la

máquina B

Simulación de las mediciones. Población y Muestra

La población se refiere al conjunto de

unidades elementales con

características comunes observables.

Una muestra es un subconjunto de

unidades elementales tomadas de la

población.

Una unidad elemental es cada objeto o

sujeto que observamos de la

población.

Datos sin agrupar

Serie simple

¿CÓMO AGRUPAR LOS DATOS? .

Si contamos el número de veces que se repite un dato,

registramos en una tabla, la frecuencia de ese dato.

Si los datos se agrupan por frecuencias, presentamos una

serie de frecuencias en una tabla. Por ejemplo:

xi fi Fa fr Fa%

4.5

4.6

5.1

5.2

¿CÓMO ORGANIZAR LOS DATOS?

Serie simple

Serie de Frecuencias

Intervalos

¿CÓMO AGRUPAR Y GRAFICAR LOS DATOS POR INTERVALOS?

1. Es conveniente utilizar los intervalos de clase cuando se tienen más de 20 datos (n>20) de una variable continua.

2. Calculamos el rango de la variable R = Xmáx – Xmín

3. Calculamos la cantidad de intervalos, K = 1 + 3.3 log n (Fórmula de Sturges)

4. Calculamos la amplitud del intervalo: a = R/K

5. Construimos los intervalos a partir del Xmín o de algún valor “redondeado” que lo

contenga, de amplitud “a”, con sus frecuencias correspondientes.

6. Construimos el histograma. Consiste en una serie de rectángulos cuyas bases, de

longitud igual al tamaño de los intervalos de clase, se ubican sobre el eje

horizontal (x). En el eje (y) se ubican las frecuencias respectivas.

(Pueden ser frecuencias absolutas, frecuencias relativas, porcentajes o altura tal,

que el área de cada rectángulo represente la frecuencia relativa de cada

intervalo).

¿CÓMO AGRUPAR Y GRAFICAR DATOS POR INTERVALOS CON GEOGEBRA?

1. Siimular las mediciones con el comando UniformeAleatorio.

2. Crear una lista1 para cada serie simple.

3. Utilizar la fórmula de Sturges para determinar k, (cantidad de intervalos).

4. Utilizar el comando Clases, que con la lista1 y k , crea otra lista2 con los extremos de los intervalos de clase.

5. Utilizar el comando TablaFrecuencias para tabular los intervalos de clase entre lista2 y lista1. (El comando Frecuencias devuelve una lista de frecuencias)

6. Utilizar el comando Histograma para graficar la distribución de las mediciones.

Polígono de

frecuencias

POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS (0JIVA)

Son medidas descriptivas que representan las

propiedades de tendencia central, de dispersión y

de forma

ESTADÍSTICOS

1

n

i

i

x

Xn

4.87 4.76 4.63 4.62 5.49 4.67 5.40 5.20 4.51 5.26

4.82 5.35 4.70 5.21 4.97 5.34 4.79 5.40 4.51 4.88

5.39 4.66 5.22 4.69 5.43 4.92 4.86 4.73 5.06 4.72

Las mediciones de los diámetros

producidos por la máquina A tienen un

promedio de 4.97 cm

¿Qué es?

¿Cómo se

calcula?

¿Qué

significado

tiene?

Serie Simple:

La media es el promedio aritmético de un grupo de datos.

4.5 1 1 8

4.6 6 3 2 9 7

4.7 6 0 9 3 2

4.8 7 2 6

4.9 7 2

5.0 6

5.1

5.2 2 1 0 6

5.3 9 5 4

5.4 9 3 0 0

Diámetros

en cm

fi

4.51 2

4.58 1

4.62 1

4.63 1

4.66 1

4.67 1

4.69 1

4.70 1

4.72 1

4.73 1

4,76 1

4.79 1

4.82 1

4,86 1

4.87 1

4.92 1

4.97 1

5.06 1

4.87 4.76 4.63 4.62 5.49 4.67 5.40 5.20 4.51 5.26

4.82 5.35 4.70 5.21 4.97 5.34 4.79 5.40 4.51 4.88

5.39 4.66 5.22 4.69 5.43 4.92 4.86 4.73 5.06 4.72

Diámetros

en cm

fi

5.20 1

5.21 1

5.22 1

5.26 1

5.34 1

5.35 1

5.39 1

5.40 2

5.43 1

5.49 1

¿Cómo calcular la Media Aritmética en una

serie de frecuencias?

1

k

i i

i

x f

Xn

Diagrama de Tallo-

hoja

1

k

mi i

i

x f

Xn

4.6 5 4.76 3 4.92 3 5.09 2 5.25 7 5.42 8

30

5.07

X

X

Marca de clase

Ejemplo 1

Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por ocho

estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos:

6,2 6,0 6,0 6,3 6,1 6,23 6,15 6,2

¿Cuál sería el valor que resuma mejor los datos del peso real del objeto?

(Significado estimativo)

Distintos Significados que puede tener la media muestral

Ejemplo2

Una empresa produce cierto tipo de dispositivos según la producción de

5 comercios. El comercio A recibió 5, el B recibió 8, el C, 6, el D, 1 y al

E no le llegó ninguno. ¿Qué debe hacer la empresa para repartir los

dispositivos en forma proporcional según la producción de cada

comercio? (Significado equitativo)

.

Ejemplo 3

Al medir la altura en cm que pueden saltar un grupo de estudiantes, antes y

después de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron

los valores siguientes. ¿Piensas que el entrenamiento es efectivo?

Altura saltada en cm.

Antes del entrenamiento 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115

Después del entrenamiento 128 115 106 128 122 145 132 109 102 117

( significado que ayuda a decidir el planteo de hipótesis)

Ejemplo 4

La altura media de los alumnos de un colegio es 1,40. Si extraemos una

muestra aleatoria de 5 estudiantes y resulta que la altura de los 4 primeros es

de 1,38 1,42 1,60 1,40. ¿Cuál sería la altura más probable del quinto

estudiante? (significado predictivo).

Distintos Significados que puede tener la media muestral

Es el valor de variable que se presenta con mayor frecuencia en la muestra.

En una serie simple:

En una serie de frecuencias:

Mo= 4.51 y 5.40 cm En una serie de frecuencias, es el valor de variable con mayor frecuencia.

4.51 4.51 4.58 4.62 4.63 4.66 4.67 4.69 4.70 4.72

4.73 4.76 4.79 4.82 4.86 4.87 4.92 4.97 5.06 5.20

5.21 5.22 5.26 5.34 5.35 5.39 5.40 5.40 5.43 5.49

En datos agrupados por intervalos:

add

dLMo *

21

1inf

64.53 0.15 4.6586

6 1

25.16 0.15 5.26

2 1

Mo

Mo

a

D1

D2

M

o Li

Es el valor de variable donde la muestra se divide en dos partes iguales

Serie simple

¿Cómo calcularla en la Serie Simple de las edades?

La ventaja de la mediana es que los valores extremos no tienen influencia sobre ella.

4.97X

4.51 4.51 4.58 4.62 4.63 4.66 4.67 4.69 4.70 4.72

4.73 4.76 4.79 4.82 4.86 4.87 4.92 4.97 5.06 5.20

5.21 5.22 5.26 5.34 5.35 5.39 5.40 5.40 5.43 5.49

Posición de la mediana: (n+1)/2

=31/2=15.5 Significa que la

mediana se encuentra entre la posición 15 y 16.

Comparamos

con la media

obtenida en la

serie simple

Análisis de la simetría

Coeficiente

de asimetría

As <0 As =0 As >0

3015

2 2

n

Me

Diámetros

en cm fi Fa

4.51 2 2

4.58 1 3

4.62 1 4

4.63 1 5

4.66 1 6

4.67 1 7

4.69 1 8

4.70 1 9

4.72 1 10

4.73 1 11

4,76 1 12

4.79 1 13

4.82 1 14

4,86 1 15

4.87 1 16

4.92 1 17

siguen los 30

datos……

Frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones

inf2 *

aa

i

nF

Me L af

Cálculo de la Mediana para datos agrupados por intervalos (agrupados con GeoGebra)

Frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones

3015

2 2

n

3015

25 *0.16 54

Me

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles.

Mínimo Máximo Cuartil 1

Q1 Cuartil 3

Q3 Mediana Cuartil 2

Q2

25% 25% 25% 25%

25% 75%

25% 75%

Me=

4.865 Q3=5.26

4.51 4.51 4.58 4.62 4.63 4.66 4.67 4.69 4.70 4.72

4.73 4.76 4.79 4.82 4.86 4.87 4.92 4.97 5.06 5.20

5.21 5.22 5.26 5.34 5.35 5.39 5.40 5.40 5.43 5.49

Posición de la mediana: (n+1)/2

=31/2=15.5 Significa que la

mediana se encuentra entre la posición 15 y 16.

Posición de la mediana de la 1era

parte: (n+1)/2

=16/2=8 Significa que el 1er cuartil se encuentra

en la posición 8

Q1=4.69

Posición de la mediana de la 2da parte: (n+1)/2

=16/2=8 Significa que el 1er cuartil se encuentra

en la posición 8

307.5

4 4

n

Q1

Diámetro

s

en cm

fi Fa

5.20 1 20

5.21 1 21

5.22 1 22

5.26 1 23

5.34 1 24

5.35 1 25

5.39 1 26

5.40 2 28

5.43 1 29

5.49 1 30

Diámetros

en cm

fi Fa

4.51 2 2

4.58 1 3

4.62 1 4

4.63 1 5

4.66 1 6

4.67 1 7

4.69 1 8

4.70 1 9

4.72 1 10

4.73 1 11

4,76 1 12

4.79 1 13

4.82 1 14

4,86 1 15

4.87 1 16

4.92 1 17

4.97 1 18

5.06 1 19

3 9022.5

4 4

n

Q3

¿Cómo se interpretan estas medidas? (en términos del problema)

inf4 *

aa

i

i nF

Qi L af

CÁLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS (AGRUPADOS CON GeoGebra)

Frecuencia absoluta acumulada inmediatamente mayor en cada caso

307.5

4 4

n

1

306

44.68 *0.16 4.7285

Q

3 9022.5

4 4

n

3

9019

45.16 *0.16 5.2266

Q

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CUARTILES

Q3=5.226

Q1=4.728

Me= 5

GRÁFICO DE CAJA Y BIGOTES (EN GEOGEBRA: DIAGRAMA DE CAJA)

Este gráfico permite visualizar rápidamente la simetría y la variabilidad de los datos. El largo de la caja, es q3-q1 (rango intercuartílico), que

comprende el 50% central de los datos.

Q1=4.728

Me= 5

Q3=5.226

Mínimo 4.53 Q1=4.53 Me= 5 Q3=5.226 Máximo 5.47

ANÁLISIS DEL GRADO DE CURTOSIS

Coeficiente

de curtosis

K>0 K=0 K<0

Con esta medida se cuantifica la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a los valores centrales

Medidas

de Dispersión

Absolutas

Rango

Varianza

Desviación

estandar

Rango

intercuartílico

Relativas Coeficiente de

variación

El rango de la muestra se define como la diferencia entre la

observación más grande y la más pequeña :

max minr x x Rango intercuartílico

El rango intercuartílico de la muestra se define como la

diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1. Allí se encuentra la

distribución del 50% central de los datos.

Para el conjunto de datos x1, x2,….,xn de una población de tamaño N

Las diferencias de cada dato y la media, determinan los desvíos o desviaciones.

Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utilizan como medidas de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desvíos.

2

2 1

( )

1

n

i

i

x x

sn

Varianza Poblacional

siendo N el tamaño de la población.

Para datos sin agrupar (1) y agrupados (2)

Varianza muestral

siendo n el tamaño de la muestra. Para datos sin

agrupar (3) y agrupados (4)

(1) (2) (3) (4)

Si los datos se agrupan por intervalos, usamos Xmi en lugar de Xi

2

2 1

( )m

i i

i

x x f

N

2

2 1

( ) .

1

m

i i

i

x x f

sn

2

2 1

( )N

i

i

x x

N

Para datos agrupados por frecuencias

2

1

)(1

1

n

i

i Xxn

S

i

n

i

i fXxn

S 2

1

)(1

1

2

1

1( )

1

k

mi i

i

S x X fn

Para datos sin agrupar

Para datos agrupados por Intervalos

Desviación estándar

• Mide el grado de variabilidad en una muestra o población.

• Compara la variabilidad entre distintas variables y poblaciones.

• Está desprovisto de unidades.

• El valor expresado en términos porcentuales, se llama coeficiente de variación porcentual.

SCV

X

% 100%S

CVX

Consideraremos poca variabilidad, si el CV% es a lo sumo del 30 %

ALGUNOS RESULTADOS

Distribución A asimétrica negativa:

Moda < me < media

El desvío Estandar muestral para las mediciones de los

diámetros de los rulemanes producidos por

la máquina A es 0.31 El Coeficiente de variación

porcentual es del 6%

RESULTADOS PARA COMENZAR A RESPONDER A LA PREGUNTA INICIAL

Ejercicio: Efectuar todo el análisis con calculadora por un lado, y también con GeoGebra.

¿Qué elementos le proporciona la estadística al ingeniero para poder concluir que los rulemanes tienen diámetros

significativamente diferentes?

• El análisis de datos: además del cálculo de las medidas de tendencia central, sus interpretaciones en el contexto del problema.

• El análisis de la forma de la distribución, para decidir sobre las medidas calculadas junto al

• Análisis de la variabilidad, al calcular e interpretar el coeficiente de variación. • La comparación de las dos distribuciones a través de sus medidas descriptivas,

de su forma y de su variabilidad • El planteo de alguna hipótesis según los resultados obtenidos, que permitan ser

contrastados más adelante con pruebas de hipótesis, para poder concluir si los rulemanes producidos por cadamáquina tiene diámetros significativamente diferentes.