universidad de san martin de porres · este tipo de ejercicios se resuelve aplicando factores de...

UNIVERSIDAD DE UNIVERSIDAD DE SAN MARTIN DE PORRESSAN MARTIN DE PORRES

FÍSICAFÍSICAFÍSICAFÍSICA

MÉDICAMÉDICAMÉDICAMÉDICA

FÍSICA MÉDICAFÍSICA MÉDICA- Sistema Internacional de SEMANA Nº 1 Sistema Internacional de unidades (S.I.).

- Notación científicaSEMANA Nº 1

- Constantes físicas- Conversión de unidades. Factores de conversión Factores de conversión. Problemas de aplicación

- Análisis dimensional. Principio de homogeneidad. Problemas de aplicación

- Análisis vectorial. Análisis vectorial. Suma y Resta de vectores. Componentes rectangulares de un vector. Problemas de de un vector. Problemas de aplicación.

SISTEMA INTERNACIONAL DE SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S I )UNIDADES (S I )UNIDADES (S.I.)UNIDADES (S.I.)

El S.I. está formado porEl S.I. está formado porcantidades de base (o funda-

t l ) l t imentales), suplementarias yderivadasderivadas.Se pueden formar múltiplos ySe pueden formar múltiplos ysubmúltiplos decimales de cadaunidad mediante el uso de prefijosunidad mediante el uso de prefijos.

SISTEMA INTERNACIONALSISTEMA INTERNACIONALDE UNIDADES (S.I.)DE UNIDADES (S.I.)

CANTIDADES DE BASE (O FUNDAMENTALES)CANTIDADES DE BASE (O FUNDAMENTALES)

Longitud metro mCANTIDAD FÍSICA UNIDAD SIMBOLO

Longitud metro mMasa kilogramo KgTi dTiempo segundo sTemperatura termodinámica Kelvin KIntensidad de corriente eléctrica amperio AIntensidad luminosa candela cdCantidad de sustancia mol mol

SISTEMA INTERNACIONAL DE SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)UNIDADES (S.I.)UNIDADES (S.I.)UNIDADES (S.I.)

CANTIDADES SUPLEMENTARIASCANTIDADES SUPLEMENTARIAS

CANTIDAD FÍSICACANTIDAD FÍSICA UNIDADUNIDAD SIMBOLOSIMBOLO

CANTIDADES SUPLEMENTARIASCANTIDADES SUPLEMENTARIAS

CANTIDAD FÍSICACANTIDAD FÍSICA UNIDADUNIDAD SIMBOLOSIMBOLO

Ángulo PlanoÁngulo Plano radiánradián radrad

Ángulo SólidoÁngulo Sólido estereorradiánestereorradián srsr

SISTEMA INTERNACIONAL DE SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S I )UNIDADES (S I )

CANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADASCANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS

UNIDADES (S.I.)UNIDADES (S.I.)

CANTIDAD FISICA UNIDAD SIMBOLOCANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADASCANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS

Superficie metro cuadrado m2

V l t úbi 3Volumen metro cúbico mDensidad kilogramo por metro cúbico kg/m3gvelocidad metro por segundo m/svelocidad Angular radián por segundo rad/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

A l ió l diá d d d d/ 2Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2

Fuerza newton N

SISTEMA INTERNACIONAL DE SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S I )UNIDADES (S I )UNIDADES (S.I.)UNIDADES (S.I.)

CANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADASCANTIDADES DERIVADAS MAS UTILIZADAS

CANTIDAD FISICA UNIDAD SIMBOLOTrabajo o energía joule Jpotencia watt Wpresión pascal Pap pfrecuencia hertz Hzcantidad de electricidad coulombio Cpotencial eléctrico volt Vcapacitancia eléctrica farad Fresistencia eléctrica ohm

MÚLTIPLOS DEL S IMÚLTIPLOS DEL S IMÚLTIPLOS DEL S.I.MÚLTIPLOS DEL S.I.

PREFIJOPREFIJO SIMBOLOSIMBOLO FACTORFACTORExa E 1018Exa E 1018

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109Giga G 10Mega M 106

Kilo K 103Kilo K 103

Hecto h 102

Deca da 101

SUBMÚLTIPLOS DEL S ISUBMÚLTIPLOS DEL S ISUBMÚLTIPLOS DEL S.I.SUBMÚLTIPLOS DEL S.I.

PREFIJOPREFIJO SIMBOLOSIMBOLO FACTORFACTORDeci d 10-1Deci d 10-1

Centi c 10-2

Mili m 10-3

Micro 10-6Micro 10Nano n 10-9

Pico p 10 12Pico p 10-12

Femto f 10-15

atto a 10-18

NOTACINOTACIÓÓN CIENTN CIENTÍÍFICAFICASe emplea Notación Científica cuando tratamos connúmeros muy grandes y/o muy pequeñosnúmeros muy grandes y/o muy pequeños,expresándolos en función a otro con base 10.

602 000 000 000 = 6 02 x 1011

Ejemplos:602 000 000 000 6,02 x 10

0,000000000254 = 2,54 x 10-10, ,

- 0,00000000165 = -1,65 x 10-9

C = Velocidad de la luz = 3x108 m/s

e = Carga del electrón = -1,6x10-19 C

h = Constante de Planck = 6,626x10-34 J.sh Constante de Planck 6,626x10 J.s

G = Constante gravitatoria = 6,67x10-11 N.m2/kg2

ó 3Masa del electrón = 9,1x10-31 kg

Masa del protón = 1,67x10-27 kg

NA (Número de Avogadro) = 6,023x1023 partículas/mol

1 i ( ) 10 6 10 4 1 l 2 54 1 micra ()= 10-6 m = 10-4 cm 1 pulg = 2,54 cm

1 Amstrong ( ) = 10-10m = 10-8cm 1 m = 100 cm = 3,281 pie

1 10 2 1 ill t t 1609

0A

1 cm = 10-2 m 1 milla terrestre =1609 m

1 milla marítima = 1853 m 1 yarda = 3 pie = 0,9144 m

1 i 30 48 12 l 1 ñ l 9 461 10151 pie = 30,48 cm = 12 pulg 1 año luz = 9,461 x 1015 m

1 b = 16 onzas = 454 g1 b 16 onzas 454 g

1 onza = 28,36 g

1 tonelada métrica = 103 kg = 2 205 b

1 kg = 1000 g = 2,205 b

g g ,

1 N = 0,2245 bf = 105 dinas ; 1 bf = 4,448 N , ,

1 kgf = 1 000 gf = 9,81 N = 2,205 bf

1 barril = 42 galones1 dm3 = 103 cm3 = 1

1 galón = 3 7853 ( EEUU) = 4 546 (Inglés)

1 galón = 3,7853 ( EEUU) = 4,546 (Inglés)

1 pie3 = 28,316

1 m3 = 1 000

1 1 3

1 m = 1 cm3

1 atm = 101 300 Pa = 760 mm Hg1 atm = 101 300 Pa = 760 mm Hg1 atm = 10,33 m de H2O1 atm = 1 033 gf/cm2 = 14,7 lbf/pulg2

h f / 1 hp = 550 bf.pie/s = 756 W1 W = 1 J/s = 0,738 bf.pie/s

p

1 Btu/h = 0,293 W

1 J = 107 ergios = 0,24 cal

1 l 4 184 J1 cal = 4,184 J

1 eV = 1 602 x 10-19 J1 eV = 1,602 x 10 J

1 Kwh = 3,6 x 106 J, J

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Ó

Pr bl m No 1:

TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADES

Problema No 1:Si el calor específico a presión constante de 1 atm para el etanol es 0,581 cal/g.ºC, su equivalente en J/kg.ºC es: (1 cal = 4,184 J)a) 243 b) 0,243 c) 24,3 d) 2 430,9 e) 24 309) )

Resolución:Este tipo de ejercicios se resuelve aplicandofactores de conversión o factores unidad. Ennuestro caso los factores de conversión autilizar son dos: 1 cal = 4 184 J y 1 kg = 103 gutilizar son dos: 1 cal = 4,184 J y 1 kg = 103 g

JgJcalC 9243010184,458103

CKgkggx

calx

CgC oleP .º

9,243011

,.º

581,0)tan(


TEMA: CONVERSIÓN DE UNIDADESProblema No 2:El fémur en la pierna tiene un área mínima de sección


transversal, aproximada, de 3 cm2. Esta área equivale a:(1 pulgada = 2,54 cm)a) 3 x 10-4 m2 ó 4,65 x 10-2 pulg2a) 3 0 ó ,65 0 pu gb) 3 x 10-4 m2 ó 4,65 x 10-1 pulg2

c) 3 x 10-4 m2 ó 4,65 x 10-3 pulg2

d) 3 x 104 m2 ó 4 65 x 10-2 pulg2d) 3 x 10 m ó 4,65 x 10 pulge) 3 x 10-2 m2 ó 4,65 x 10-1 pulg2

Resolución:En este caso los factores de conversión a utilizar sonEn este caso los factores de conversión a utilizar sonlos siguientes: 1 pulgada = 2,54 cm y 1 cm2 = 10-4 m2

2424

103103 2 mA

242

).(secmin 103

13 2 mx

cmxcmA

femurdeltransvcion

2l )1( 212

2

).(secmin lg1065,4

)54,2(lg)1(3 2 puxcm

puxcmAfemurdel

transvcion


ÓProblema No 3:Si l ió ét i l d


Si la presión manométrica pulmonar de unapersona equivale a 31 mm Hg ¿Cuál es su valoren kPa?en kPa?1 atm = 760 mm Hg = 105 Paa)2 b) 4 c) 6 ) ) )d) 8 e) 10Resolución:E l f d ió iliEn este caso los factores de conversión a utilizarson los siguientes: 760 mm Hg = 105 Pa y 1 kPa =103 Pa10 Pa

5

3

10 131 4mPa kPaP mmHg kPa 3760 10m g

mmHg Pa



Problema No 4:La masa promedio del corazón de un bebé es de aproxi-

d t 1 E é t i lmadamente 1 onza. En mg ésta masa equivale a:a) 28,36 b) 283,6 c) 2836 d) 2,836x103 e) 2,836x104) , ) ,

Resolución:En este caso los factores de conversión (o factoresEn este caso los factores de conversión (o factoresunidad) a utilizar son los siguientes: 1 onza = 28,36 gy 1 mg = 10-3 g.

43

28,36 11 2,836 10corazóng mgm onza x mg

y g g

3 ,1 10corazón gonza g


Ó

Problema No 5:


Una gragea de andantol contiene 12 mg del agenteactivo. Si este medicamento se suministra dosveces al día a un paciente ¿cuántos μg ingirió elveces al día a un paciente, ¿cuántos μg ingirió elpaciente en cuatro días de tratamiento?a) 4,8.104 b) 2,4.104 c) 9,6.105 ) ) )d) 9,6.103 e) 9,6.104

Resolución:ResoluciónSea “m” la masa del medicamento ingerida por el paciente durante los cuatro días (total 8 dosis). E

3

410 1(12 ) 8 9 6 10g g

Entonces, tenemos que:

46

10 1(12 ) 8 9,6 101 10

g gm mg gmg g



Problema No 6:El VOLTAREN ti i fl t i d ifi ió


El VOLTAREN es un anti inflamatorio cuya dosificaciónen niños mayores de un año es de 0,5 a 2 mg/kgf depeso corporal al día repartido en dos tomas Si elpeso corporal al día, repartido en dos tomas. Si elniño pesa 25 kgf, ¿cuántos gramos como mínimo ingirióel niño en una semana?a) 87,5 b) 175 c) 350 d) 8,75x10-2 e) 3,5x10-1

Resolución:“ ” íSea “m” la masa mínima del medicamento ingerida

por el niño durante una semana (total 7 días).Entonces tenemos que:

3

210(0 5 25 ) 7 8 75 10mg gk f

Entonces, tenemos que:

2(0,5 25 ) 7 8,75 101

g gm kgf gkgf mg

TEMA TEMA ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONALTEMA TEMA ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONALTEMA: TEMA: ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONALTEMA: TEMA: ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONAL

- Inquietud, explicación, respuesta

- Ecuación Dimensional.- Principales Ecuaciones p

Dimensionales en el S.I.- Reglas para las Operaciones eg as pa a as Ope ac o es

Dimensionales.- Principio de HomogeneidadPrincipio de Homogeneidad

Dimensional.

InquietudInquietudInquietudInquietud• ¿Cómo se establece un tratamiento

terapéutico con amoxicilina a un niño de 6 meses que pesa 8 5Kgf?niño de 6 meses que pesa 8,5Kgf?

• ¿Qué parte de la física nos permite ¿ p panalizar y resolver este problema?

EXPLICACIÓNEXPLICACIÓNEXPLICACIÓNEXPLICACIÓN

• Se requiere establecer unal ió t l lrelación entre el peso corporal

del paciente y la dosificación deldel paciente y la dosificación delagente activo del medicamento.

• Determinamos así la cantidadete a os as a ca t dadpor día y el número de dosis aldídía.

RESPUESTARESPUESTARESPUESTARESPUESTA• La dosificación del medicamento seLa dosificación del medicamento se

podrá dar en “ml”, “cucharaditas” o“gotas”. ¿Qué podría ocasionar unagotas . ¿Qué podría ocasionar una“equivocación” en la cantidad?... Elriesgo es una vida humanariesgo es una vida humana....

• La física nos permitirá emplear las“unidades” apropiadas para evitarerrores fatales.Ese campo de la física se llama:

“ANÁLISIS DIMENSIONAL”“ANÁLISIS DIMENSIONAL”“ANÁLISIS DIMENSIONAL”“ANÁLISIS DIMENSIONAL”

TEMA TEMA ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONALTEMA TEMA ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONALTEMA: TEMA: ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONALTEMA: TEMA: ANÁLISISANÁLISIS DIMENSIONALDIMENSIONAL

ECUACIÓN DIMENSIONALECUACIÓN DIMENSIONALECUACIÓN DIMENSIONALECUACIÓN DIMENSIONALIgualdad matemática que muestra la relaciónentre las cantidades derivadas y lasentre las cantidades derivadas y lascantidades de base o fundamentales.

Notación:Notación: [ ][ ]

Ejm:Ejm:[longitud] se lee: “Ecuación dimensional del l it d” “di i d l l it d”la longitud” o “dimensiones de la longitud”

ANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALPrincipales Ecuaciones Dimensionales en el S.I.PARA LAS CANTIDADES FUNDAMENTALES DEL S.I.PARA LAS CANTIDADES FUNDAMENTALES DEL S.I.

CANTIDAD FISICA UNIDAD SIMBOLO DIMENSION

L it d t LLongitud metro m LMasa kilogramo kg MTiempo segundo s TTemperatura Termodinámica kelvin k Temperatura Termodinámica kelvin kIntensidad de corriente Ampere A IIntensidad Luminosa candela cd J

Intensidad Luminosa candela cd JCantidad de sustancia mol mol N

ANÁLISIS DIMENSIONALANÁLISIS DIMENSIONALPrincipales Ecuaciones Dimensionales en el S.I.PARA ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL S IPARA ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL S I

CANTIDAD FISICA NOTACION DIMENSION

PARA ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL S.I.PARA ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL S.I.

CANTIDAD FISICA NOTACION DIMENSIONVelocidad lineal [ V] LT -1

2Aceleración lineal [ a ] LT -2

Fuerza [ F ] MLT -2[ ]Trabajo o energía [ W ] ML2T -2

Potencia [ P ] ML2T -3Potencia [ P ] ML T Presión [ P ] ML-1T -2

3Densidad [ D ] ML-3

Periodo [ T ] T

REGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALESREGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALES

1. La suma o resta de dimensiones igualesda como resultado la misma dimensión. Esda como resultado la misma dimensión. Esdecir, no se cumplen la suma y restaaritméticas. Ejemplo:aritméticas. Ejemplo:

L + L = LLMT LMT LMTLMT - LMT = LMT

2 Las dimensiones cumplen con las2. Las dimensiones cumplen con lasoperaciones de multiplicación, división,potenciación y radicación. Ejemplo:potenciación y radicación. Ejemplo:

L2 . L3 = L5

M7 / M3 = M4M / M M(( T )2) 3 = T 2x3 = T 6

REGLAS PARA LAS OPERACIONES REGLAS PARA LAS OPERACIONES DIMENSIONALESDIMENSIONALES

3. La dimensión de todo número, ángulo,función trigonométrica y logaritmofunción trigonométrica y logaritmo(constantes adimensionales) se consideraigual a uno Ejemplo:igual a uno. Ejemplo:[ 2 010 ] = 1 ; [ 37º ] = 1[ Cos 45º ] 1 ; [ Log 3 246 ] 1[ Cos 45º ] = 1 ; [ Log 3 246 ]= 1

NOTA.- Si un exponente tiene una variable, suecuación dimensional se iguala a 1 , y luego se hallala variable.Ejemplo: Si Q = V.a.e kt , donde t es tiempo, es unaecuación física correcta, entonces se cumple:

Ttkkt 111

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (P H D )DIMENSIONAL (P.H.D.)

“ ió h é í“Una ecuación es homogénea o correcta, sí ysólo sí todos sus términos sondimensionalmente iguales”dimensionalmente iguales”

Ej l l ió 2 1/ 2A X B Y C Z DEjemplo: sea la ecuación: 2 1/ 2. . .A X B Y C Z D

E t ió h é i lEsta ecuación es homogénea, si se cumple que:[ A.X2 ] = [ B.Y ] = [ C.Z ] = [ D½ ]

También se cumple que:[ A.X2 + B.Y ] = [ C.Z - D½ ]

POBLEMAS DE APLICACIÓN

ÁTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONALPROBLEMA Nº 1La tensión superficial ( ) de la sangre a latemperatura normal de 37ºC es 0,058 N/m,

ál l di i S d ?

¿cuáles son las dimensiones S.I. de ?a) MT-2 b) MT2 c) MLT-2

d) MLT-1 d) MLT-3

d) MLT 1 d) MLT 3

Resolución

Si la tensión superficial de la sangre es 0,058 N/m, entonces susdimensiones están dadas por el cociente entre las dimensionesde la fuerza y las dimensiones de la longitud Es decir:de la fuerza y las dimensiones de la longitud. Es decir:

22058,00580

MTMLTNN

2)()(

,058,0 MTLmm SANGRESANGRE

POBLEMAS DE APLICACIÓN

ÁTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL

PROBLEMA Nº 2

La ley de Pouseuille establece que : Q = π r4 (P1 – P2)/8 η LLa ley de Pouseuille establece que : Q π r (P1 P2)/8 η L

Donde: Q = flujo del fluido, r = radio , P1 - P2 = caída odisminución de la presión η = viscosidad y L = longituddisminución de la presión , η = viscosidad y L = longitud.¿Cuáles son las dimensiones SI de la viscosidad?

Resolución

Como nos piden las dimensiones de η , primero despejamos η.

Se obtiene: η = π r4 (P1 – P2)/8 Q L . . . (1)

[ ]Aplicando el operador dimensional [ ] a la ecuación (1), esta se convierte en: [ η ] = [π][r4] [(P1 – P2)] / [8] [Q] [L] . . . (2)

PROBLEMAS DE APLICACIÓNTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL

Donde:4 4 1 2[π] = 1 ; [r4] = L4 ; [(P1 – P2)] = ML-1T-2 ; [8] = 1;

[Q] = L3T-1 ; [L] = L

Reemplazando en la ecuación (2) tenemos:

[ η ] = 1. L4 ML-1.T-2 / 1. L3T-1. L

Simplificando se obtiene:Simplificando se obtiene:

[ η ] = M L-1 T -1

PROBLEMAS DE APLICACIÓNÁTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL

PROBLEMA Nº 3

Al estudiar el transporte de la sangre se deduce que lafuerza F que ejerce el fluido depende de la densidadfuerza F que ejerce el fluido depende de la densidadabsoluta D, del flujo de la sangre Q y del diámetro d dela aorta. Halle la fórmula empírica para dicha fuerza.p pConsidere: K = constante de proporcionalidad.Resolución

Según el enunciado, F depende (es una función) de D, Q y d. Matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación:

F = K Dx Qy dz . . . (1)

En la ecuación (1) se debe hallar los exponentes x y y z para luegoEn la ecuación (1) se debe hallar los exponentes x, y y z, para luegoreemplazarlos en dicha ecuación (1) y de esa forma hallar la fórmulaempírica solicitada.

PROBLEMAS DE APLICACIÓNTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL

Aplicando el operador dimensional [ ] a la ecuación, ésta se convierte en:

[F] = [K][D]x [Q]y [d]z . . . (2)

Donde:

[F] = MLT-2; [K] = 1; [D] = ML-3; [Q] = L3T-1; [d] = L

Reemplazando en la ecuación (2) tenemos:

MLT 2 = 1 (ML 3)x (L3T 1)y (L)z l l i lMLT-2 = 1 (ML-3)x (L3T-1)y (L)z, la cual equivale a:

MLT-2 = Mx L-3x+3y+z T-y . Aplicando la propiedad del álgebra que señala que p p p g q qa bases iguales los exponentes también deben ser iguales, tenemos que:

1 = x; 1 = -3x + 3y + z; -2 = -y. Resolviendo se obtiene: x = 1; y = 2; z = -2

Reemplazando finalmente en (1) tenemos: F = K D Q2 d-2

PROBLEMAS DE APLICACIÓNPROBLEMAS DE APLICACIÓNTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONALTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL

PROBLEMA Nº 4PROBLEMA N 4

En los experimentos con líquidos en movimiento secomprueba que la presión P ejercida sobre un cuerpocomprueba que la presión P ejercida sobre un cuerpototalmente sumergido en la corriente del líquidodepende de la densidad ρ y de la velocidad V ¿Cuál esdepende de la densidad ρ y de la velocidad V. ¿Cuál esla fórmula empírica para la presión, si se considera quela constante de proporcionalidad K es adimensional?la constante de proporcionalidad K es adimensional?RESOLUCIÓN

x ( )Según el enunciado: P = K ρx Vy . . . (1)

Luego: [P] = [K] [ρ]x [V]y . . . (2)

Sabemos: [P] = M L-1 T-2 ; [K] = 1 ; [ρ] = M L-3 ; [V] = LT-1

PROBLEMAS DE APLICACIÓNPROBLEMAS DE APLICACIÓNTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONALTEMA: ANÁLISIS DIMENSIONAL

Reemplazando en la ecuación (2) tenemos:ML-1T-2 = 1 (ML-3)x (LT-1)y

ML-1T-2 = Mx L-3x+y T-y

Aplicando la propiedad del álgebra que señala que a bases iguales los exponentes también deben ser iguales, g p g ,tenemos que:

1 = x ; -1 = -3x + y ; -2 = -yy y

De estas últimas ecuaciones, obtenemos: x = 1 ; y = 2

2Reemplazando x e y en la ecuación (1) tenemos: P = K ρ V2

TEMA: ANÁLISIS VECTORIALTEMA: ANÁLISIS VECTORIALTEMA: ANÁLISIS VECTORIALTEMA: ANÁLISIS VECTORIAL

- Inquietud, explicación, respuesta.- Vector, concepto, elementos de un , p ,

vector.- Notación gráfica de un vectorNotación gráfica de un vector- Operaciones con vectores: suma y

resta de vectoresresta de vectores.- Métodos para hallar la resultante

d d á t lde dos o más vectores coplanares.- Componentes rectangulares de un

vector.

InquietudInquietudInquietudInquietud• ¿Cómo se establece una apropiadap p

terapia de rehabilitación de unapierna o brazo fracturado?pierna o brazo fracturado?

• ¿Qué parte de la física nos permiteli l t bl ?analizar y resolver este problema?

EXPLICACIÓNEXPLICACIÓNEXPLICACIÓNEXPLICACIÓNL d ió d l l• La graduación del peso para recuperar lafuerza muscular tiene estrecha relacióncon la masa muscular. Cualquier excesopodría dañar a los tendones.podría dañar a los tendones.

• Esto nos obliga a relacionar cantidades (oit d ) di iómagnitudes) que poseen una dirección

determinada.• La física estudia esas cantidades en el:

“ Á S S C O ”“ANÁLISIS VECTORIAL”

RESPUESTARESPUESTARESPUESTARESPUESTA• Se requiere establecer un

peso para someter alp pmúsculo a un esfuerzo yrecuperar así la fuerzapmuscular perdida por lainactividad del músculo.inactividad del músculo.

• El peso se aumentará depmanera gradual, a fin deevitar un daño a lostendones.

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIAL

VECTOR.-

Representación matemática de una cantidadvectorial que se grafica mediante un segmento derecta orientadorecta orientado.

ELEMENTOS DE UN VECTOR:

1. MAGNITUD O MÓDULO.- es la longitud del vector.1. MAGNITUD O MÓDULO. es la longitud del vector.

2. DIRECCIÓN.- es la orientación del vector conrespecto a un sistema de coordenadas referencialesrespecto a un sistema de coordenadas referenciales.

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIAL

Notación gráfica de un vector en el plano cartesianoplano cartesiano

El módulo o magnitud

yMÓDULO g

del vector es:A

A

xDIRECCIÓN AA

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIAL

OPERACIONES CON VECTORESOPERACIONES CON VECTORES

Sean los vectores A y B mostrados en lafigura:

A BA

Utilizando estos vectores, cuyos módulos ydirecciones son conocidos, definimos lasdirecciones son conocidos, definimos lassiguientes operaciones:

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALOPERACIONES CON VECTORESOPERACIONES CON VECTORES

1. Suma o adición de Vectores.Operación cuya finalidad es hallar un único vectorOperación cuya finalidad es hallar un único vector,denominado vector suma o vector resultante, el cual esigual a la suma de todos los vectores. Ejemplo:

Si A y B son vectores, entonces: S = A + B = vector suma

A B BS=+ B

A

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALOPERACIONES CON VECTORESOPERACIONES CON VECTORES

1. Resta o sustracción de Vectores.Operación cuya finalidad es hallar un único vectorOperación cuya finalidad es hallar un único vector,denominado vector diferencia, el cual es igual a la resta delos vectores. Ejemplo:

Si A y B son vectores, entonces: D = A - B = vector diferencia

AA

B =

A

BB

-BD

* En este caso, primero se halló el vector opuesto del vector B y luego se procedió como en la suma de vectores.

ANÁLISIS VECTORIALVector Resultante para dos vectores coplanares:

1° caso: vectores colineales o paralelos

ABR = A + B = RmaxR max

B A

Rmin

B AR = A - B = RminRmin

ANÁLISIS VECTORIALVector resultante para dos vectores concurrentes

2° caso: vectores no colineales ni paralelos. a) Método del Paralelogramo

El vector resultante es:Aa) Método del Paralelogramo

A + B = RR

BEl módulo del vector resultante es:

B

cos222 ABBAR

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALResultante para dos vectores concurrentesResultante para dos vectores concurrentes

b) Método del triángulob) Método del triánguloEl vector resultante es:El vector resultante es:

R = A + BR

2 2

El módulo del vector resultante es:

R A BB

cosAB2BA 2R 2A

Además se cumple:

A B RA B R

Sen Sen Sen = =


Resultante para más de dos vectores coplanares

c) Método del Polígono) g

B BC

B

C

C

A

C AR

R = A + B + CR = A + B + C

ANÁLISIS VECTORIALANÁLISIS VECTORIALComponentes Rectangulares de un VectorT d t l l d d dTodo vector en el plano se puede descomponer en doscomponentes mutuamente perpendiculares, tal comose muestra en la figura

Yse muestra en la figura.

Se cumple que:AAy Ax = A Cos

X

Ay = A Sen Módulo del vector A:

XAx

22yx AAA


Resultante para más de dos vectores coplanaresResultante para más de dos vectores coplanares

Método de las Componentes Rectangulares

Pasos a seguir:Pasos a seguir:

1. Se hallan las componentes rectangulares de losp gvectores que forman ángulo con los ejescoordenados.

2. Se calcula las resultantes parciales en los ejes“x” e “y” (R y R )“x” e “y” (Rx y Ry).

3. Se calcula la resultante total aplicando Pitágoras.p g

Resultante para más de dos vectores

Método de las componentes rectangularesEjemplo: sean los vectores A B y C mostrados en la figura

La resultante de estos tresY

C

Ejemplo: sean los vectores A, B y C, mostrados en la figura.

vectores se obtiene hallandoprimero:Cy

C

n

ix RR

Rx Vx iBx Axi

ix1Rx Vx i

XBx

Ay

Ax

Cx

n

iy RR

Ry Vy iByA

iy

1Ry Vy iB

Resultante para más de dos vectores

Método de las componentes rectangulares

Y

Después de hallar Rx y Ry hallo el módulo de Rtotal aplicando el Teorema de Pitágoras. La dirección de “R” se halla aplicando la función tangente

Módulo de la resultante:

22 RRR R

YRx

22yx RRR R X

RRRtg R

Ry Dirección de la resultante:

xy RRtg R

xy RRtg 1

PROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORES1. Un nadador posee una rapidez resultante de 3 m/s

d d l f d l i tcuando se desplaza a favor de la corriente y posee unarapidez de 1 m/s cuando nada en contra de la corriente.Calcular la rapidez del nadador y la rapidez de laCalcular la rapidez del nadador y la rapidez de lacorriente.

RESOLUCIÓN

A favor de la corriente, las velocidades del nadador (VN) y de la, ( ) ycorriente (VC) se suman porque están en la misma dirección. Encontra de la corriente, las velocidades se restan porque están endirecciones contrarias. Es decir:direcciones contrarias. Es decir:

VN + VC = 3 m/s

VN – VC = 1 m/sVN – VC = 1 m/s

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: VN = 2 m/s ; VC = 1 m/s

2. El freno de alambre quese ve en la figura tiene

ió T i l 2una tensión T igual a 2N a lo largo de él. Porlo tanto ejerce fuerzas,lo tanto ejerce fuerzasde 2 N en los dientes alos que se fija, en lasq j ,dos direcciones que seindican. Calcular laf lt t bfuerza resultante sobreel diente, debida alfrenofreno.

RESOLUCIÓN

Como se trata de dos fuerzas que tienen el mismo punto de origen paraComo se trata de dos fuerzas que tienen el mismo punto de origen, paracalcular la resultante se aplica el método del paralelogramo.

2 N2N

140o

R

i óLa magnitud o módulo de la resultante se halla con la siguiente ecuación:

22 o22 14022222R cos))((Reemplazando cos 140o = -0,766, y simplificando obtenemos:ee p do cos 0 0,766, y s p c do ob e e os

R = 1,368 N

PROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORES

3. Las partes posterior yanterior del músculodeltoides elevan elbrazo al ejercer lasfuerzas Fp (4 kgf) y Fa (6kgf) que muestra lafigura ¿cuál es lafigura, ¿cuál es lamagnitud de la fuerzatotal sobre el brazo yyqué ángulo forma con lavertical?

PROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORES

RESOLUCIÓN:

Este problema se resuelve por elé

y6 kgf

4 kgf6 40ºmétodo de las componentes

rectangulares (en la figura semuestran las componentes de las 40º30º

6 cos 40º4 cos 30º

fuerzas Fp = 4 kgf y Fa = 6 kgf).

De la figura: x

4030º

4 sen 30º 6 sen 40ºRx = 6 sen 40º - 4 sen 30º = 1,86 kgf

Ry = 6 cos 40º + 4 cos 30º = 8,06 kgf

4 sen 30 6 sen 40

y

2 2 8, 27x yR R R kgf Luego:

1 86R k f

Ryθ

R

Además: 1,86 13º8,06

x

y

R kgftgR kgf

Rx

θ

x

PROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORES

4. ¿Cuánta fuerza debe4. ¿Cuánta fuerza debeejercer el bíceps cuandose sostiene una masa de5 k l5 kg en la mano, comomuestra la figura?Suponga que la masa del

FM

p g qantebrazo y la manojuntos es de 2 kg y quesu centro de gravedad

5 kg

su centro de gravedadestá como se indica en lafigura.

Considere que el sistemase halla en equilibrio y

FC = 330 N(2 kg) (g) (5 kg) (g)

que g = 10 m/s2.

PROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESPROBLEMAS DE VECTORESRESOLUCIÓN:

Si el sistema se halla en equilibrio, entonces la resultante detodas las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero. Es decir, lasuma de fuerzas hacia arriba es igual a la suma de fuerzas haciaabajo.

Matemáticamente sería:

F F Matemáticamente sería:

F F w w Es decir:

5M C ANTEBRAZO M ANO DE LA M ASA DE kgF F w w

330 20 50 400F N N N F N 330 20 50 400M MF N N N F N

PROBLEMAS PROPUESTOSa)

1. Un grupo de unidades que representa la medicióndel trabajo reali ado por na f er a esd)

del trabajo realizado por una fuerza es:a) b) c) 22 .. spieb 2.. smkg 2/. smkgd) e)2/. spieb 22 /. spieb

2. Si el calor específico a presión constante de1 atm para el plomo es 129 J/kg K su equivalente en1 atm para el plomo es 129 J/kg.K, su equivalente encal/g.ºC es: (1 cal = 4,184 J)a) b) c)3080 03080 06080a) b) c)d) e)

308,0 0308,0 0608,0

608,0 10,0

PROBLEMAS PROPUESTOS

3. Las dimensiones del torque y un grupo denidades S I eq i alente al N m sonunidades S.I. equivalente al N.m, son:

a) ML2 T -2 ; kg m2 s-2 b) ML2 T -2 ; kg m s-2

c) ML3 T 2 ; kg m3 s 2 d) ML 2 T 2 ; kg m 2 s 2c) ML3 T -2 ; kg m3 s-2 d) ML-2 T -2 ; kg m-2 s-2

e) ML-1 T -3 ; kg m-1 s-3

4. Si el módulo de Young (E) de un hueso cuandoes sometido a tracción es 1,6x1010 N/m2. Suses sometido a tracción es 1,6x10 N/m . Susequivalentes en kgf/cm2 y en lbf/pulg2 son:(1 kgf = 2,205 lbf = 9,81 N ; 1 pulg = 2,54 cm)(1 kgf 2,205 lbf 9,81 N ; 1 pulg 2,54 cm)a) 1,63 x 105 ; 2,32 x 106 b)1,63 x 104 ; 2,32 x 106

c) 1 63 x 106 ; 2 32 x 106 d)1 36 x 105 ; 3 22 x 106c) 1,63 x 106 ; 2,32 x 106 d)1,36 x 105 ; 3,22 x 106

e) 1,43 x 105 ; 3,22 x 106


5. El número de Reynolds es una cantidaddi i l i di i fl jadimensional que nos indica si un flujo es

turbulento o laminar, dentro de un tubo. Elú d R ld “R” l l di t lnúmero de Reynolds “R”, se calcula mediante la

siguiente ecuación

D d l d id d l l id d l

/dVR V dDonde es la densidad, la velocidad y el

diámetro del tubo. Determinar las dimensiones del i id d

V d

la viscosidad .a) M2 L1 T 1 b) M3 L1 T 1 c) M L1 T 1

d) M L 2 T 1 ) M L 1 T 2

d) M L2 T 1 e) M L1 T 2


6 El desplazamiento s de un objeto que se mueve6. El desplazamiento s de un objeto que se muevesujeto a una aceleración uniforme a es ciertafunción del tiempo t y de la aceleración a Si lafunción del tiempo t y de la aceleración a. Si laconstante de proporcionalidad K es adimensional,¿cuál de las siguientes es la fórmula correcta¿cuál de las siguientes es la fórmula correctapara hallar s?a) s = kat2a) s katb) s = kat3

c) s = katc) s katd) s = ka/t2

e) s = ka/t3e) s ka/t


7. Halle la fórmula física que nos permite expresar elvolumen de agua por unidad de tiempo (Q) que salepor un agujero, sabiendo que depende de ladensidad D, la presión P y del diámetro d del orificio.Considere:K = constante adimensional.

a) Q = K D P2 db) Q = K D-1/2 P1/2 d-2

c) Q = K D3/2 P3/2 d-2

d) Q = K D-3/2 P-3/2 d-2

e) Q = K D-3/2 P3/2 d2

PROBLEMAS PROPUESTOS8. Suponiendo que un riñón humano es aproximadamenteuna esfera de 4 cm de radio y que su densidad es

31,01 g/cm3 ¿cuál es la masa del riñón?a) 0,027 kg b) 0,072 kg c) 0,037 kgd) 0 37 kg e) 0 27 kgd) 0,37 kg e) 0,27 kg

9. Las unidades SI de la temperatura, la velocidad y laf ti tfuerza, respectivamente, son:a) ºC ; km/h ; kgf b) ºC ; m/s ; kgf c) ºC ; m/s ; Nd) K ; m/s ; N e) ºF ; m/s ; Nd) K ; m/s ; N e) F ; m/s ; N

10. BEROTEC es un medicamento de alta eficacia contra ladisnea en el asma bronquial Cada gota contiene 0 25 mgdisnea en el asma bronquial. Cada gota contiene 0,25 mgdel elemento activo y 20 gotas equivale a 1 ml. Si a loslactantes se les administra 0,75 mg dos veces al día,, g ,¿Cuántos ml se le administrará en una semana?a) 4 b) 21 c) 1 d) 4,2 e) 2,1

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS11. La dosis de eritromicina en niños es de 30 mg/kgf depeso corporal al día, la que deberá suministrarse en dosisfraccionadas cada 8 horas. Si un niño pesa 27 kgf,¿cuántos gramos ingirió en 10 dosis?a) 8 1 b) 0 81 c) 81 d) 2 7 e) 0 27a) 8,1 b) 0,81 c) 81 d) 2,7 e) 0,27

12. El LINCOCIN es un antibiótico con acción contragérmenes aerobios grampositivos. En adultos, parainfecciones serias debido a organismos susceptibles sesuministra 500 mg cada 8h y para infecciones mássuministra 500 mg cada 8h y para infecciones másseveras cada 6h. Un paciente se encontró en tratamientocon infección severa por tres días y al responder alcon infección severa por tres días y al responder altratamiento el médico lo trato por otros cuatro días coninfección seria. ¿Cuántos gramos de Lincocin fueronsuministrados al paciente?a) 12 b) 10,5 c) 21 d) 25 e) 12,5

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

13 U i t i f ió d l t t i i13. Una paciente con infección del tracto urinariocausado por microorganismos gramnegativos estratado con WINTOMYLON Para tratamientostratado con WINTOMYLON. Para tratamientosprolongados en niños menores de 12 años deedad su administración es de 11 mg por kgf deedad su administración es de 11 mg por kgf depeso por dosis, suministrada cada 8 h. Si el niñopesa 50 kgf ¿cuántos gramos ingirió en unpesa 50 kgf, ¿cuántos gramos ingirió en untratamiento de diez días?a) 5 5 b) 55 c) 165a) 5,5 b) 55 c) 165d) 16,5 e) 44

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS14. PAIDOVIT es un medicamento empleado en laprofilaxis y tratamiento de los estados carencialesclínicos y subclínicos de vitámina A, D y C en lactantesy niños pequeños Cada 10 gotas contiene:y niños pequeños . Cada 10 gotas contiene:Retinol palmitato ................ 1,375 mgErgocalciferol . ................... 0,0125 mgErgocalciferol . ................... 0,0125 mgÁcido ascórbico .................. 37,5 mgSi la dosis preventiva en lactantes es de 8 gotas al día,¿cuántos mg de ácido ascórbico ingirió en 5 días detratamiento?

a) 7,4 b) 74 c) 14,8 d) 148 e) 0,148


15. Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie eldispositivo de tracción de la figura mostradadispositivo de tracción de la figura mostrada.

a) 4 6 kgfa) 4,6 kgf

b) 6 4 kgf55º

b) 6,4 kgf

c) 2 6 kgf25º

c) 2,6 kgf

d) 3 7 kgf

3 k f

d) 3,7 kgf

e) 5 2 kgf 3 kgfe) 5,2 kgf

universidad de san martin de porres · este tipo de ejercicios se resuelve aplicando factores de...

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