MATEMÁTICA4° año 2016

Estadística

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A CURVAS DE FRECUENCIASACUMULADAS

La frecuencia acumulada es la suma de todas las

frecuencias hasta el último valor inclusive. Para

dibujar con precisión una curva de frecuencias

acumuladas, tenemos que elaborar una tabla de

frecuencias acumuladas, con el límite superior de

cada intervalo de clase en una columna y la

correspondiente frecuencia acumulada en otra. Luego

situar el límite superior de cada clase sobre el eje x y

la frecuencia acumulada sobre el eje y.

Ejemplo

Un supermercado está abierto las 24 horas del día y

tiene un estacionamiento gratuito. Se controla

durante algunos días, la cantidad de automóviles

estacionados por hora. Se muestran los resultados en

la tabla. Organice esta información en una tabla de

frecuencias acumuladas y luego dibuje con precisión

un gráfico de frecuencias acumuladas.

Cantidad de automóviles

estacionados por horaFrecuencia

0 – 49 6

50 – 99 23

100 – 149 41

150 – 199 42

200 – 249 30

250 – 299 24

300 – 349 9

350 – 399 5

Para organizar la información hay que agregar una

tercera columna rotulada “Límite superior” calculando

cada uno como el promedio entre el extremo superior

de ese intervalo y el inferior del siguiente. Para el

primero de los intervalos:

49 50Límite superior 49,5

2

Además se debe agregar una cuarta columna y

rotularla “Frecuencia acumulada”.

Cantidad deautomóviles

estacionados por horaFrecuencia

Límitesuperior

Frecuenciaacumulada

0 – 49 6 49,5 6

50 – 99 23 99,5 29

100 – 149 41 149,5 70

150 – 199 42 199,5 112

200 – 249 30 249,5 142

250 – 299 24 299,5 166

300 – 349 9 349,5 175

350 – 399 5 399,5 180

B INTERPRETACIÓN DE CURVAS DEFRECUENCIAS ACUMULADAS

Podemos utilizar la curva de frecuencias acumuladas

para hallar estimaciones de percentiles y cuartiles.

Los percentiles dividen en centésimos una gran

cantidad de datos ordenados. Los cuartiles la dividen

en cuartos. Cuando los datos están ordenados por

tamaño, el primer cuartil es el percentil 25, la

mediana es el percentil 50 y el tercer cuartil es el

percentil 75.

Para hallar el primer cuartil, Q1, se lee el valor

correspondiente al valorn 1

4

sobre el eje de las

frecuencias acumuladas, donde n es el total de las

frecuencias.

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Para hallar la mediana, Q2, se lee el valor

correspondiente al valorn 1

2

sobre el eje de las

frecuencias acumuladas.

Para hallar el tercer cuartil, Q3, se lee el valor

correspondiente al valor 3 n 1

4

sobre el eje de las

frecuencias acumuladas.

Para hallar el rango intercuartil, RIC, se calcula la

diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil:

3 1RIC Q Q

Para cualquier conjunto de datos:

25% o un cuarto de los valores se encuentran

entre el valor mínimo y el primer cuartil.

25% de los valores se encuentran entre el

primer cuartil y la mediana.

25% de los valores se encuentran entre la

mediana y el tercer cuartil.

25% de los valores se encuentran entre el tercer

cuartil y el valor máximo.

50% de los valores se encuentran en el rango

intercuartil.

Ejercicios(1) Una muestra aleatoria de 200 mujeres mide la

longitud de su pelo en cm. Los resultados semuestran en la curva de frecuencia acumulada acontinuación.

(a) Determinar la longitud mediana de pelo en lamuestra.

(b) Calcular el rango intercuartil de la longituddel pelo en la muestra.

(2) El diagrama muestra el gráfico de frecuenciaacumulada para el tiempo necesario para realizaruna tarea determinada por un grupo de 2000hombres.(a) Usar el diagrama para estimar:

(i) la mediana del tiempo;(ii) el cuartil superior y el cuartil inferior;(iii) el rango intercuartil.

(b) Encontrar el número de hombres que tomanmás de 11 segundos para realizar la tarea.

(c) El 55% de los hombres tomó menos de psegundos para realizar la tarea. Encuentra p.

(d) Los tiempos tomados para los 2000 hombresse agruparon como se muestra en la siguientetabla.

Tiempo Frecuencia

5 ≤ t < 10 500

10 ≤ t < 15 850

15 ≤ t < 20 a

20 ≤ t < 25 b

(e) Escribir el valor de:(i) a

(ii) b.

200

175

150

125

100

75

50

25

050454035302520151050

Cum

ulat

ive

freq

uenc

y

length (cm)

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C DIAGRAMAS DE CAJA Y BIGOTES

Otra forma útil de representar datos es un diagrama

de caja y bigotes. Un diagrama de este tipo luce de la

siguiente manera:

Para dibujar un diagrama de caja y bigotes, se

necesitan cinco medidas: el valor mínimo, el máximo,

el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil.

Ejercicios(3) Los pesos en kg, de 80 varones adultos, se

recogieron y se resumen en el diagrama de caja

y bigotes que se muestra a continuación.

(a) Determinar el peso promedio de los hombres.

(b) Calcular el rango intercuartil.

(c) Estimar el número de hombres que pesan

entre 61 kg y 66 kg.

(d) Calcular el peso medio de los 40 hombres

más livianos.

(4) Se pidió a 31 alumnos de una clase estimar el

número de caramelos en un frasco. El siguiente

diagrama de tallo y hojas da sus estimaciones.

Tallo Hoja4 2, 4, 7, 8, 95 1, 1, 2, 3, 8, 96 0, 2, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 87 0, 0, 1, 3, 4, 5, 5, 78 1, 2, 2

Clave: 4 | 2 significa 42 caramelos

(a) Para las estimaciones de los alumnos, escriba:

(i) la mediana;(ii) el cuartil inferior;(iii) el cuartil superior.

(b) Dibuje un diagrama de caja y bigotes de las

estimaciones de los alumnos utilizando la

siguiente cuadrícula.

D MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos muestran cuán

esparcido se encuentra un conjunto de datos. La

medida de dispersión más simple es el rango.

EL RANGOEl rango se obtiene calculando la diferencia entre el

valor máximo y el valor mínimo.

LA DESVIACIÓN ESTÁNDARLa desviación estándar es una medida de dispersión

que da una idea de la posición de los datos con

relación a la media.

La fórmula para encontrar la desviación estándar es:

2ix x

n

Para datos agrupados:

2i ix x f

n

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Ejemplo

Calcular la desviación típica de la distribución de la

tabla:

x if

[10, 20) 1

[20, 30) 8

[30,40) 10

[40, 50) 9

[50, 60) 8

[60,70) 4

[70, 80) 2

Para calcularla ampliamos la tabla, con las columnas

que figuran a continuación y luego aplicamos la

fórmula.

ix if 2ix x 2i ix x f

[10, 20) 15 1 802,78 802,778

[20, 30) 25 8 336,11 2688,89

[30,40) 35 10 69,44 694,444

[40, 50) 45 9 2,78 25

[50, 60) 55 8 136,11 1088,89

[60,70) 65 4 469,44 1877,78

[70, 80) 75 2 1002,78 2005,56

9183,33

2i ix x f 9183,3314,79

n 42

Ejercicios(5) La siguiente tabla muestra la distribución de

frecuencias del número de empastes dentales

para un grupo de 25 niños.

Número (x) 0 1 2 3 4 5

Frecuencia (f ) 4 3 8 q 4 1

(a) Encontrar el valor de q.

(b) Determinar:

(i) la media;(ii) la mediana;(iii) la desviación estándar.

(6) Se registraron los pesos de 90 alumnos de un

colegio. La información se muestra en la

siguiente tabla.

Peso (kg) Número de estudiantes

40 ≤ w < 50 7

50 ≤ w < 60 28

60 ≤ w < 70 35

70 ≤ w < 80 20

(a) Anotar el valor de la marca de clase para el

intervalo 50 ≤ w < 60.

(b) Usa la calculadora para encontrar una

estimación de

(i) el peso medio;(ii) la desviación estándar.

(7) En una región de montaña parece haber una

relación entre el número de árboles que crecen

en la región y la profundidad de la nieve en

invierno. Se eligió un conjunto de 10 áreas, y en

cada área se contó el número de árboles y se

midió la profundidad de la nieve. Los resultados

se dan en la siguiente tabla.

Número de árboles

(x)Profundidad de la

nieve (y)

45 30

75 50

66 40

27 25

44 30

28 5

60 35

35 20

73 45

47 25

Usa la calculadora para encontrar

(a) el número medio de árboles;

(b) la desviación estándar del número de árboles;

(c) la profundidad media de la nieve;

(d) la desviación estándar de la profundidad de

la nieve.