1

ESTADGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL

1. MEDIA ARITMTICA

1.1 Para datos no clasificados:

n

x

XM

n

1ii

Ejemplo: los sueldos en una MIPE son: S/. 850; 1 200; 800; 800 y 25 000. Calcule el sueldo promedio.

1.2 Para datos clasificados:

n

nx

XM

k

1iii

Ejemplo: para la presente distribucin de jornales diarios correspondientes a 32 obreros al destajo, calcule el sueldo promedio:

1ii L;L in

52 61 3

61 -70 5

70 79 9

79 88 7

88 97 5

97 - 100 3

Propiedades:

1. Si a y b son nmeros reales, siendo xi el valor observado i simo considerando yi =axi + b:

M(yi) = M(axi+b) = aM(xi) + b

2. Si xi; yi son dos distribuciones con el mismo nmero de elementos expresados en las mismas unidades:

M(xi + yi) = M(xi) + M(yi)

Caractersticas:

1. La media aritmtica es afectada por los valores extremos.

2. Si el conjunto de datos corresponde a toda la poblacin la media aritmtica se denota con . A tambin se le llama media poblacional mientras que a x (que corresponde a la muestra) se le llama media muestral

3. La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es 0.

0)Xx(ni

1ii

2. MEDIA ARITMTICA PONDERADA O PROMEDIO PONDERADO

Cuando se desea encontrar el promedio de valores (X1, X2, ... Xk ) que ocurren con frecuencias (f1, f2, ... fk ) diferentes se debern ponderar los valores observados

con pesos diferentes ( i ):

ki

1iiixX

Ejemplo: En una agencia de viajes se han vendido 200 pasajes a los precios siguientes:

Precio de Venta (soles)

Xi

Nmero de pasajes

fi

7 48

10 95

12 40

15 12

18 5

ESTADSTICA

2

Calcule el precio promedio de venta de los 200 pasajes.

3. MEDIA ARITMTICA GLOBAL O PROMEDIO TOTAL

Corresponde al valor promedio representativo de grupos de observaciones separadas o diferentes y que podran estar consolidadas en tablas de frecuencia independientes, por tanto:

ki

1ii

ki

1i

ii

T

n

Xn

X

4. MEDIA GEOMTRICA

Corresponde al valor representativo central de observaciones secuenciales y estrechamente relacionadas entre s tales como tasas de: inters, inflacin, devaluacin, variacin, crecimiento, disminucin.

4.1 Para datos no clasificados:

nn

1iiG xMX

4.2 Para datos clasificados:

nk

1i

niG

ixMX

Ejemplo: En la siguiente tabla se detallan los ingresos de una compaa X.

Ao Ingreso (miles)

2 010 500

2 011 550

2 012 660

2 013 600

2 014 780

Se desea determinar la tasa de crecimiento promedio de los ingresos, de manera que si la tasa resulta inferior al promedio del sector, se tomarn medidas extremas.

5. MEDIA ARMNICA

Este promedio se utiliza para que los valores extremos no afecten al valor del promedio. Los valores extremos s afectan cuando se usa el promedio aritmtico o el promedio geomtrico.

5.1 Para datos no clasificados:

n

1i i

H

x

1

nX

5.2 Para datos clasificados:

k

1i i

i

H

x

n

nX

Ejemplo: Calcular el rendimiento promedio para el caso de tres automviles que recorrieron 500 kilmetros y cada auto tuvo el rendimiento siguiente:

Auto A B C

Rendimiento (Km/galn)

50 62,4 77,6

6. MEDIA CUADRTICA

6.1 Para datos no clasificados:

n

1i

2irms n/xX

6.2 Para datos clasificados:

k

1i

2iirms n/xnX

3

ESTADGRAFOS DE POSICIN

1. MEDIANA

Es el valor que ocupa la posicin central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores.

1.1 Para datos no clasificados:

2 n si;2

xx

2 n si;x

XMe2/)2n(n/2

2/)1n(

m

1.2 Para datos clasificados:

m

1mmmm

n

N2/nwLX

mL : Lmite inferior de la clase mediana.

mw : Ancho de la clase mediana.

1mN : Frecuencia absoluta acumulada

hasta el intervalo anterior a la clase mediana.

mn : Frecuencia absoluta de la clase

mediana.

La clase mediana es el intervalo que contiene a la mediana, se localiza observando el intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por primera vez, la mitad de los datos.

2. MODA

Es el valor, clase o categora que ocurre con mayor frecuencia y sus caractersticas son:

- Puede no existir o existir ms de una moda.

- Su valor no se ve afectado por los valores extremos en los datos.

- Se utiliza para analizar tanto la informacin cualitativa como la cuantitativa.

- Es una medida inestable cuando el nmero de datos es reducido.

2.1 Para datos no clasificados:

Se escoge el valor ms frecuente.

2.2 Para datos clasificados:

si

iooo wLM

oL : Lmite inferior de la clase modal.

ow : Ancho de la clase modal.

i : Exceso de la frecuencia modal sobre

la frecuencia de la clase contigua inferior.

s : Exceso de la frecuencia modal sobre

la frecuencia de la clase contigua superior.

La clase modal es aquella que presenta la mayor frecuencia absoluta.

ESTADGRAFOS DE LOCALIZACIN

1. CUARTILES

Son 3 valores: Q1; Q2 y Q3 que dividen a los datos en 4 partes iguales. Se determinan mediante las siguientes frmulas:

i

1i

QiQiin

Nn4

i

wLQ

i : 1; 2; 3

QiL : Lmite inferior de la clase cuartil i.

Qiw : Ancho de la clase cuartil i.

4

1iN : Frecuencia absoluta acumulada

hasta el intervalo anterior a la clase cuartil i.

in : Frecuencia absoluta de la clase cuartil

i.

La clase cuartil i es el intervalo que contiene a iQ , se localiza observando el

intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por

primera vez, al nmero n4

i .

2. DECILES

Son 10 valores: D1; D2 D10 que dividen a los datos en 10 partes iguales. Se determinan mediante las siguientes frmulas:

i

1i

DiDiin

Nn10

i

wLD

i : 1; 2; 10

DiL : Lmite inferior de la clase decil i.

Diw : Ancho de la clase decil i.

1iN : Frecuencia absoluta acumulada

hasta el intervalo anterior a la clase decil i.

in : Frecuencia absoluta de la clase decil i.

La clase decil i es el intervalo que contiene a iD , se localiza observando el intervalo

donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por primera vez, al

nmero n10

i .

3. CENTILES O PERCENTILES

Son 100 valores: P1; P2 P100 que dividen a los datos en 100 partes iguales. Se determinan mediante las siguientes frmulas:

i

1i

PiPiin

Nn100

i

wLP

i : 1; 2; 100

PiL : Lmite inferior de la clase percentil i.

Piw : Ancho de la clase percentil i.

1iN : Frecuencia absoluta acumulada

hasta el intervalo anterior a la clase percentil i.

in : Frecuencia absoluta de la clase

percentil i.

La clase percentil i es el intervalo que contiene a iP , se localiza observando el

intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por

primera vez, al nmero n100

i .

RELACIN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA

1. Si la distribucin de frecuencias es simtrica, entonces:

oe MMM

2. Si la distribucin de frecuencias es asimtrica o sesgada, entonces:

oe MMM

2.1 Si la distribucin de frecuencias es sesgada a la derecha, si:

MMM eo

2.2 Si la distribucin de frecuencias es sesgada a la izquierda, si:

oe MMM