Download - Estadígrafos de tendencia central
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ESTADGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL
1. MEDIA ARITMTICA
1.1 Para datos no clasificados:
n
x
XM
n
1ii
Ejemplo: los sueldos en una MIPE son: S/. 850; 1 200; 800; 800 y 25 000. Calcule el sueldo promedio.
1.2 Para datos clasificados:
n
nx
XM
k
1iii
Ejemplo: para la presente distribucin de jornales diarios correspondientes a 32 obreros al destajo, calcule el sueldo promedio:
1ii L;L in
52 61 3
61 -70 5
70 79 9
79 88 7
88 97 5
97 - 100 3
Propiedades:
1. Si a y b son nmeros reales, siendo xi el valor observado i simo considerando yi =axi + b:
M(yi) = M(axi+b) = aM(xi) + b
2. Si xi; yi son dos distribuciones con el mismo nmero de elementos expresados en las mismas unidades:
M(xi + yi) = M(xi) + M(yi)
Caractersticas:
1. La media aritmtica es afectada por los valores extremos.
2. Si el conjunto de datos corresponde a toda la poblacin la media aritmtica se denota con . A tambin se le llama media poblacional mientras que a x (que corresponde a la muestra) se le llama media muestral
3. La suma de las desviaciones de los datos respecto de la media es 0.
0)Xx(ni
1ii
2. MEDIA ARITMTICA PONDERADA O PROMEDIO PONDERADO
Cuando se desea encontrar el promedio de valores (X1, X2, ... Xk ) que ocurren con frecuencias (f1, f2, ... fk ) diferentes se debern ponderar los valores observados
con pesos diferentes ( i ):
ki
1iiixX
Ejemplo: En una agencia de viajes se han vendido 200 pasajes a los precios siguientes:
Precio de Venta (soles)
Xi
Nmero de pasajes
fi
7 48
10 95
12 40
15 12
18 5
ESTADSTICA
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2
Calcule el precio promedio de venta de los 200 pasajes.
3. MEDIA ARITMTICA GLOBAL O PROMEDIO TOTAL
Corresponde al valor promedio representativo de grupos de observaciones separadas o diferentes y que podran estar consolidadas en tablas de frecuencia independientes, por tanto:
ki
1ii
ki
1i
ii
T
n
Xn
X
4. MEDIA GEOMTRICA
Corresponde al valor representativo central de observaciones secuenciales y estrechamente relacionadas entre s tales como tasas de: inters, inflacin, devaluacin, variacin, crecimiento, disminucin.
4.1 Para datos no clasificados:
nn
1iiG xMX
4.2 Para datos clasificados:
nk
1i
niG
ixMX
Ejemplo: En la siguiente tabla se detallan los ingresos de una compaa X.
Ao Ingreso (miles)
2 010 500
2 011 550
2 012 660
2 013 600
2 014 780
Se desea determinar la tasa de crecimiento promedio de los ingresos, de manera que si la tasa resulta inferior al promedio del sector, se tomarn medidas extremas.
5. MEDIA ARMNICA
Este promedio se utiliza para que los valores extremos no afecten al valor del promedio. Los valores extremos s afectan cuando se usa el promedio aritmtico o el promedio geomtrico.
5.1 Para datos no clasificados:
n
1i i
H
x
1
nX
5.2 Para datos clasificados:
k
1i i
i
H
x
n
nX
Ejemplo: Calcular el rendimiento promedio para el caso de tres automviles que recorrieron 500 kilmetros y cada auto tuvo el rendimiento siguiente:
Auto A B C
Rendimiento (Km/galn)
50 62,4 77,6
6. MEDIA CUADRTICA
6.1 Para datos no clasificados:
n
1i
2irms n/xX
6.2 Para datos clasificados:
k
1i
2iirms n/xnX
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ESTADGRAFOS DE POSICIN
1. MEDIANA
Es el valor que ocupa la posicin central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores.
1.1 Para datos no clasificados:
2 n si;2
xx
2 n si;x
XMe2/)2n(n/2
2/)1n(
m
1.2 Para datos clasificados:
m
1mmmm
n
N2/nwLX
mL : Lmite inferior de la clase mediana.
mw : Ancho de la clase mediana.
1mN : Frecuencia absoluta acumulada
hasta el intervalo anterior a la clase mediana.
mn : Frecuencia absoluta de la clase
mediana.
La clase mediana es el intervalo que contiene a la mediana, se localiza observando el intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por primera vez, la mitad de los datos.
2. MODA
Es el valor, clase o categora que ocurre con mayor frecuencia y sus caractersticas son:
- Puede no existir o existir ms de una moda.
- Su valor no se ve afectado por los valores extremos en los datos.
- Se utiliza para analizar tanto la informacin cualitativa como la cuantitativa.
- Es una medida inestable cuando el nmero de datos es reducido.
2.1 Para datos no clasificados:
Se escoge el valor ms frecuente.
2.2 Para datos clasificados:
si
iooo wLM
oL : Lmite inferior de la clase modal.
ow : Ancho de la clase modal.
i : Exceso de la frecuencia modal sobre
la frecuencia de la clase contigua inferior.
s : Exceso de la frecuencia modal sobre
la frecuencia de la clase contigua superior.
La clase modal es aquella que presenta la mayor frecuencia absoluta.
ESTADGRAFOS DE LOCALIZACIN
1. CUARTILES
Son 3 valores: Q1; Q2 y Q3 que dividen a los datos en 4 partes iguales. Se determinan mediante las siguientes frmulas:
i
1i
QiQiin
Nn4
i
wLQ
i : 1; 2; 3
QiL : Lmite inferior de la clase cuartil i.
Qiw : Ancho de la clase cuartil i.
-
4
1iN : Frecuencia absoluta acumulada
hasta el intervalo anterior a la clase cuartil i.
in : Frecuencia absoluta de la clase cuartil
i.
La clase cuartil i es el intervalo que contiene a iQ , se localiza observando el
intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por
primera vez, al nmero n4
i .
2. DECILES
Son 10 valores: D1; D2 D10 que dividen a los datos en 10 partes iguales. Se determinan mediante las siguientes frmulas:
i
1i
DiDiin
Nn10
i
wLD
i : 1; 2; 10
DiL : Lmite inferior de la clase decil i.
Diw : Ancho de la clase decil i.
1iN : Frecuencia absoluta acumulada
hasta el intervalo anterior a la clase decil i.
in : Frecuencia absoluta de la clase decil i.
La clase decil i es el intervalo que contiene a iD , se localiza observando el intervalo
donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por primera vez, al
nmero n10
i .
3. CENTILES O PERCENTILES
Son 100 valores: P1; P2 P100 que dividen a los datos en 100 partes iguales. Se determinan mediante las siguientes frmulas:
i
1i
PiPiin
Nn100
i
wLP
i : 1; 2; 100
PiL : Lmite inferior de la clase percentil i.
Piw : Ancho de la clase percentil i.
1iN : Frecuencia absoluta acumulada
hasta el intervalo anterior a la clase percentil i.
in : Frecuencia absoluta de la clase
percentil i.
La clase percentil i es el intervalo que contiene a iP , se localiza observando el
intervalo donde la frecuencia absoluta acumulada alcanza o sobrepasa por
primera vez, al nmero n100
i .
RELACIN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA
1. Si la distribucin de frecuencias es simtrica, entonces:
oe MMM
2. Si la distribucin de frecuencias es asimtrica o sesgada, entonces:
oe MMM
2.1 Si la distribucin de frecuencias es sesgada a la derecha, si:
MMM eo
2.2 Si la distribucin de frecuencias es sesgada a la izquierda, si:
oe MMM