Objetivos Introduccinalasmedidasde tendenciacentralymedidasde posicin: Medidasdetendenciacentral: Media,medianaymoda.

Mediasdeposicin: Cuartiles,decilesypercentiles.

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Medidasdeposicin

Definicin: referenciaaunlugar especficodeunadistribucin, expresadoenlaescaladeclases, intervalosovaloresdelavariable considerada. Dos tipos:

Detendenciacentral(otipismo) Detendencianocentral2

MedidasdetendenciacentralModa: valormsfrecuente. Mediana: valorquedejapordebajo(ypor encima)alamitaddelaspuntuacionesde unadistribucin. Media: sumadelasmarcasdivididael totaldecasos.3

ModaUnadistribucinpuedeserunimodal, bimodalomultimodal. Sielniveldemedicinesnominalu ordinal,laclasemodalessimplementela quedetentamscantidaddecasos. Puedenohabermoda(cuandotodaslas clasestienenidnticacantidaddecasos)4

Moda

5

Prctico "a"4 3

Moda3 2 1

Prctico "b"

2 1 0 2 3 4 5 6 7 80 2 3 4 5 6 7 8

Prctico "c"4 3 2 1 0 2 3 4 5 6 7 84 3 2 1 0 2 3

Prctico "d"

4

5

6

7

8

6

ModaEjemplo: ahorasupongamosdosgruposconlas siguientescalificaciones: Prcticoe:3333334;Prcticof:4333333Prctico"e"4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 7

Prctico"f"4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 7

Enelltimoejemplo,losvaloresquetomalaModa son:Moe =4 Mof =47

MedianaNiveldemedicinordinalosuperior. Dosformasdeclculo:Medianaparadatosnoagrupados:Listadoordenado; Puedotrabajarenelniveldelamatriz.

Medianaparadatosagrupados:Datosorganizadosenunadistribucindefrecuencias declasesocategoras. Seestimalamedianaparalocalizarlaclaseyluegose interpolapresumiendouniformidad.8

MedianaCuandoNesimpar,elvalorqueocupala posicinintermediaeslamediana: N +1 Md = kf = 2Dondekf representalacategorak quecontieneelvalordefrecuenciaque dividealadistribucinendospartesiguales.

CuandoNespar,eslamdiaaritmticadelos valorescentrales: kN + kN

Md =

2

2

+1

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DondekN/2 ykN/2+1 representanlosvaloresdefrecuenciadelasclases intermediasK1 yK2.

MedianaEjemplo: Un mismo valor de Mediana para distribuciones diferentes.Grupo a 10 10 Grupo b 3 5 7 Grupo c 2 4 Grupo d 2

1233

1213 13

12 1222 73

M d = 12

1213 14 15

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MediaTipos de media: Aritmtica: es la suma de todos los valores dividida entre el nmero de sumandos. Ponderada: es la media aritmtica de los productos de cada uno de los valores por un valor particular en cada caso, llamado peso. Armnica: para una cantidad finita de valores es el recproco, o inverso, de la media aritmtica de los recprocos de dichos valores. Cuadrtica: es una medida estadstica de la magnitud de una cantidad variable tal, que su cuadrado es igual a la media aritmtica de los cuadrados de los valores.11

MediaaritmticaLamediacomnoaritmticaeslasumade todaslaspuntuacionesdivididaporla cantidaddecasos(unpromedio). Sipodemosanotarcadapuntuacincomo xi,lamediaaritmticapuedeexpresarse n as:

x1 + x2 + ... + xn x= = n

xi =1

i

n12

MediaaritmticaPropiedadesdelamediaaritmtica:AlcontrariodelaMediana,resulta muysensiblealosvaloresextremos. Lasumaalgebraicadelasdesviacionesdecadaxi conrespectoala mediaaritmticaesigualacero. x (x1 x ) = x1 nx = x1 n i = x1 x1 = 0 n Lasumadeloscuadradosdelasdesviacionesdecadaxi conrespecto alamediaaritmticaesmnima. Sin1nmerostienenpormediam1, yninmerostienenpormedia mi,lamediadetodoslosnmeroses:

n1m1 + n2 m2 + ... + ni mi = x= n1 + n2 + ... + ni

n x ni

i i

Lasumaomultiplicacindetodoslosvaloresporunaconstante,implica elincrementoomultiplicacindelamediaporesamismaconstante.13

MediaponderadaCuando se establecen pesos especficos para cada puntuacin, se la conoce como media ponderada y se calcula as:

w1 x1 + w2 x2 + ... + wn xn xp = = w1 + w2 + ... + wn

w x wi

i i

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MediaponderadaEjemplo de Media Ponderada:Media = 4,3 Media Ponderada = 8,1Pas Argentina Brasil Chile Paraguay Uruguayxp =i i i

Poblacin 39.356.386

Analfabetismo 2,6 10,0 1,5 5,4 1,9 4,3

wi 0,15 0,74 0,07 0,02 0,01 =1,00

wixi 0,401 7,438 0,098 0,129 0,025 8,090

w x 189.820.330 w 16.598.0746.119.642 3.323.906

=255.218.338

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Mediaponderadatems puntuados de 0 a 10 en un parcial:Media = 4,8 Media Ponderada = 2,7tem Pregunta1 Pregunta2 Pregunta3 EjercicioI EjercicioII Puntuacin 25 15 5 45 60 =150 Calificacin 2 8 10 4 0 4,8

xp

w x = wiwi w ix i 33,3 80,0 33,3 120,0 0,0 2,7

i i

16,7 10,0 3,3 30,0 40,0 100

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MediaarmnicaDefinicin: es el valor recproco de la media aritmtica de los valores recprocos; es el inverso de la media de los inversos. Ejemplo: para el conjunto de valores 4, 6, 9: Se aplica para promediar velocidades, tiempos, distancias, etc.

xh =

1N

1 N

1 x i =1 i

=

N

1 x i =1 i

N

xh =

N

i =1

N

Es sensible a valores bajos y no aplica a valores nulos.

3 = = 5,68 1 1 1 1 + + 4 6 9 xi

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MediaarmnicaEjemplo: si realiza un viaje en automvil y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los ltimos 100 km a 80 km/h, en esas condiciones, la velocidad media del viaje es:

xA =

N 1 x i =1 iN

xA =

N

i =1

N

3 = = 69 ,04 1 1 1 1 + + 60 70 80 xi

Diferente de la media:

60 + 70 + 80 xA = = 70 318

MediaarmnicaEjemplo: si en cambio, realiza un viaje en automvil y cubre los primeros 300 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los ltimos 100 km a 80 km/h, en esas condiciones, la velocidad media del viaje es:

xA =

N 1 x i =1 iN

5 xA = = 65 ,12 3 1 1 + + 60 70 80

60 + 60 + 60 + 70 + 80 = 66 Diferente de la media: x A = 519

Medidasdeposicin nocentralotipismoDefinicin: medidas que permiten fijar la posicin de datos mayores que una proporcin determinada de casos. Se trata de medidas anlogas a la Mediana. Las ms utilizadas son: Cuartiles, deciles y percentiles

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CuartilesDefinicin de Cuartiles: los tres valores de la variable que dividen el total de observaciones en cuatro partes iguales.1 Cuartil: un cuarto de los datos es de menor magnitud que la suya. 2 Cuartil: la mitad de los datos es de menor magnitud que la suya (se corresponde con la Md) 3 Cuartil: tres cuartos de los datos es de menor magnitud que la suya.

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CuartilesDe forma similar a la Md, el valor de un cuartil cualquiera es:

iq N Qi = k f = 4Donde kf representa la categora k que contiene el valor de frecuencia que divide a la distribucin en tal forma que la iq esima cuarta parte de los casos quedan por debajo de su valor.

Como puede observarse, el segundo cuartil, por simplificacin, se corresponde con la Md.22

Deciles y percentilesSiguiendo el mismo procedimiento, el valor de un decil cualquiera, tanto como el de un percentil cualquiera se define:

id N Di = 10

ip N Pi = 100

Nuevamente, por simplificacin, se observar claramente que el quinto decil, tanto como el quincuagsimo percentil, se corresponden con la Md; as como el dcimo percentil lo hace con el primer decil.23

MatrizparaejemplificarEdad 14 15 f 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 20 f% 15,0 5,0 10,0 5,0 5,0 10,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 10,0 5,0 5,0 5,0 100,024

fa 3 4 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20

F% 15,0 20,0 30,0 35,0 40,0 50,0 55,0 60,0 65,0 70,0 75,0 85,0 90,0 95,0 100,0

M = 14 aos M d = 19 aos x = 20,25 aos Q 3 = 24 aoso

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 Total

P 90 = 26 aosP90 = k f =p

ip N 90 20 = = 18 = 26 aos 4 100 iq N 3 20 Q3 = k f = = = 15 = 24 aos 4 4q