medida de tendencia central

Notación de Sumatoria

El símbolo del lado indica la suma de todos los Xi desde i=1 hasta i=N.

N

iiX

1

Notación de Sumatoria

Es decir:

Propiedades:

N

iNi XXXX

121 ...

N

innii YXYXYXYX

12211 ...

N

ii

N

ini XaaXaXaXaX

1121 ...

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Media

Media aritmética para datos agrupados: Cuando se cuenta con datos agrupados en una distribución de frecuencia, todos los valores que caen dentro de un intervalo de clase dado se consideran igual a la marca de clase, o punto medio del intervalo.


Con Xj como marca de la clase j y fj como frecuencia de la misma, se tiene que:

Nótese que se asume que hay M clases

N

Xf

X

M

jjj

1


Ejemplo: A partir de la

siguiente tabla de distribución de frecuencia, encuentre la media.

LI LS Marca fi fr

0 150 75 285 0.012

150 300 225 5850 0.244

300 450 375 4655 0.194

450 600 525 7382 0.308

600 750 675 856 0.036

750 900 825 4948 0.206

N 23976


Se puede hacer de dos maneras. La primera suma las frecuencias

multiplicadas por su marca y se divide por N. La segunda simplemente suma la

multiplicación de las marcas por las frecuencias relativas.


LI LS Marca fi fr M*fi

0 150 75 285 0.012 21375

150 300 225 5850 0.244 1316250

300 450 375 4655 0.194 1745625

450 600 525 7382 0.308 3875550

600 750 675 856 0.036 577800

750 900 825 4948 0.206 4082100

N 23976 11618700


60.48423976

11618700 x


LI LS Marca fi fr marca*fr

0 150 75 285 0.012 0.892

150 300 225 5850 0.244 54.899

300 450 375 4655 0.194 72.807

450 600 525 7382 0.308 161.643

600 750 675 856 0.036 24.099

750 900 825 4948 0.206 170.258

N 23976 484.60

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana

La mediana se obtiene por interpolación y está dada por:

mediana clase la de Ancho A

mediana clase la de Frecuencia

mediana la a inferiores clases las de sfrecuencia las de Suma

total)a(frecuenci datos de Número

mediana) la a contiene que (la mediana clase la deinferior Frontera

2

1

1

1

1

mediana

mediana

f

fa

N

L

Af

afN

LMediana


Es una interpolación debido a que en esta fórmula está implícito el supuesto de que los datos se distribuyen de manera lineal en el intervalo.

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Ejemplo

LI LS Marca fi fa

0 150 75 285 285

150 300 225 5850 6135

300 450 375 4655 10790

450 600 525 7382 18172

600 750 675 856 19028

750 900 825 4948 23976

N 23976


Lo primero que se debe hacer es determinar la clase donde está la mediana.

Lo anterior se realiza dividiendo N por 2, es decir:

23976/2=11988 A continuación se debe encontrar la clase

mediana, la cual es la que tiene la frecuencia acumulada mayor a la observación mediana.

En este caso:

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Mediana Ejemplo

LI LS Marca fi fa

0 150 75 285 285

150 300 225 5850 6135

300 450 375 4655 10790

450 600 525 7382 18172

600 750 675 856 19028

750 900 825 4948 23976

N 23976


Luego se debe aplicar la fórmula:

150*

7382

107902

23976

450Mediana

Límite Inferior de la frecuencia mediana

N

Frecuencia acumulada anterior a la frec. mediana

Ancho del Intervalo

Frecuencia Mediana


323.474

323.24450

150*162.0450

150*73821198

450

150*7382

1079011988450

150*7382

107902

23976

450

Mediana

Mediana

Mediana

Mediana

Mediana

Mediana

Medidas de tendencia central para datos agrupados: La Moda

La moda, para datos agrupados es simplemente la marca de la clase con mayor frecuencia.

LI LS Marca fi

0 150 75 285

150 300 225 5850

300 450 375 4655

450 600 525 7382

600 750 675 856

750 900 825 4948

En este caso, la moda es:Moda = 525

medida de tendencia central

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