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NORMA TÉCNICA NTP-ISO 10725PERUANA 2009Comisión de Normalización y de Fiscalización de Barreras Comerciales no Arancelarias - INDECOPICalle de La Prosa 138, San Borja (Lima 41) Apartado 145 Lima, Perú

PROCEDIMIENTOS Y PLANES DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN PARA LA INSPECCIÓN DE MATERIALES A GRANELAcceptance sampling plans and procedures for the inspection of bulk materials

(EQV. ISO 10725:2000 Acceptance sampling plans and procedures for the inspection of bulk materials)

2009-09-301ª Edición

R.029-2009/INDECOPI-CNB. Publicada el 2009-11-07 Precio basado en 101 páginasI.C.S.: 03.120.30 ESTA NORMA ES RECOMENDABLEDescriptores: Procedimientos, planes, muestreo de aceptación, inspección de materiales a granel

ÍNDICE

página

ÍNDICE i

PREFACIO ii

1. OBJETO 1

2. REFERENCIAS NORMATIVAS 2

3. TÉRMINOS Y DEFINICIONES 3

4. SÍMBOLOS Y TÉRMINOS ABREVIADOS 6

5. PLANES DE MUESTREO 8

5.1 GENERAL 5.2 Aplicabilidad5.3 Procedimientos de muestreo normalizados5.4 Desviaciones estándar5.5 Costos5.6 Límite de calidad de aceptación y límite de calidad de no aceptación5.7 Autoridad responsable

6. PROCEDIMIENTOS DE INSPECCIÓN 19

6.1 General6.2 Evaluación de las desviaciones estándar6.3 Determinación de tamaños de muestra6.4 Selección y preparación de muestras6.5 Determinación del valor de aceptación6.6 Determinación de aceptabilidad de lote

7. EJEMPLOS 46

7.1 Desviación estándar imprecisa con límite de especificación unilateral7.2 Desviación estándar imprecisa con límites de especificación bilaterales7.3 Procedimiento opcional para conocer la desviación estándar con límite de

especificación unilateral7.4 Desviación estándar conocida con límite de especificación unilateral7.5 Desviación estándar conocida con límite de especificación unilateral7.6 Revisión de intervalo de discriminación7.7 Resultados de un lote7.8 Resultados de lotes consecutivos

i

8. ANTECEDENTE 58

ANEXOS

ANEXO A 59ANEXO B 66ANEXO C 73ANEXO D 88

BIBLIOGRAFÍA 101

ii

PREFACIO

A. RESEÑA HISTÓRICA

A.1 La presente Norma Técnica Peruana ha sido elaborada por el Comité Técnico de Normalización de Aplicación de métodos estadísticos, mediante el Sistema 1 o de Adopción, durante los meses de octubre de 2008 a agosto de 2009, utilizando como antecedente a la norma ISO 10725:2000 Acceptance sampling plans and procedures for the inspection of bulk materials.

A.2 El Comité Técnico de Normalización de Aplicación de métodos estadísticos presentó a la Comisión de Normalización y de Fiscalización de Barreras Comerciales No Arancelarias –CNB-, con fecha 2009-08-21, el PNTP-ISO 10725.2009, para su revisión y aprobación, siendo sometido a la etapa de Discusión Pública el 2009-08-28. No habiéndose presentado observaciones fue oficializado como Norma Técnica Peruana NTP-ISO 10725:2009 PROCEDIMIENTOS Y PLANES DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN PARA LA INSPECCIÓN DE MATERIALES A GRANEL, 1ª Edición, el 07 de noviembre de 2009.

A.3 Esta Norma Técnica Peruana es una adopción de la norma ISO 10725:2000. La presente Norma Técnica Peruana presenta cambios editoriales referidos principalmente a terminología empleada propia del idioma español y ha sido estructurada de acuerdo a las Guías Peruanas GP 001:1995 y GP 002:1995.

B. INSTITUCIONES QUE PARTICIPARON EN LA ELABORACIÓN DE LA NORMA TÉCNICA PERUANA

Presidente Humberto Toso - Servicios Industriales Pesqueros

Secretario Celso Gonzales

ENTIDAD REPRESENTANTE

CERPER S.A. José Camero

AENOR PERU Diana García

iii

SAT S.A. Fidel Poma

INSTITUTO PARA LA CALIDAD. PUCP Mónica Puertas

SENASA Cristina Toro

CONSULTORA Nelly Baiocchi

CONSULTOR Oscar Valdizán

CONSULTORA Julia Canchucaja

CONSULTOR Walter Pérez

iv

INTRODUCCIÓN

La aplicación de los métodos estadísticos en el campo del muestreo de materiales a granel ha sido desarrollada desde fines de 1940, principalmente para grandes cantidades de materias primas, tales como el carbón o materiales de hierro, donde el principal interés fue un cálculo estimado del parámetro de distribución con costo razonable, para ajustar el precio y procesarlo debidamente, cuando sea necesario.

Recientemente, la necesidad de aceptación del muestreo de materiales a granel se ha incrementado especialmente para productos industriales (como productos químicos en polvo o gránulos de plástico) donde la determinación de la aceptabilidad de un lote es más importante que adquirir un cálculo exacto del parámetro de distribución. Ésta NTP ha sido desarrollada con este propósito.

El objeto de esta NTP está situado en el límite entre la ISO/TC69/SC 3 basado en el muestreo a granel y ISO/TC 69/SC 5 que desarrolla la aceptación de muestreo. Algunos expertos del SC 5 han colaborado en el proyecto.

---oooOooo---

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NORMA TÉCNICA NTP-ISO 10725PERUANA 1 de 101

PROCEDIMIENTOS Y PLANES DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN PARA LA INSPECCIÓN DE MATERIALES A GRANEL

1. OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN

Esta Norma Técnica Peruana establece planes de muestreo de aceptación mediante la determinación de variables y el uso de procedimientos de inspección de aceptación para materiales a granel. Estos planes de muestreo cumplen con las curvas características operativas específicas a un costo razonable.

Esta NTP es aplicable en la inspección donde el parámetro de distribución de una característica de calidad individual es el principal factor en la determinación de la aceptabilidad del lote, sin embargo también proporciona procedimientos especiales para características de calidad múltiple. Esta NTP es aplicable en los casos en los que valores de las desviaciones estándar, en cada una de las etapas del muestreo, son conocidos o son imprecisos.

Esta NTP es aplicable para varios tipos de materiales a granel, pero no siempre es aplicable en minerales tales como hierro, carbón, petróleo crudo, etc., donde el cálculo exacto del parámetro de distribución es más importante que la determinación de la aceptabilidad del lote.

Para casos especiales, en los que los procedimientos estándar no son siempre adecuados y en los que la desviación estándar de medición es dominante, esta NTP especifica los procedimientos y planes de muestreo de aceptación especial, como en el caso de líquidos.


2. REFERENCIAS NORMATIVAS

Las siguientes normas contienen disposiciones que al ser citadas en este texto, constituyen requisitos de esta Norma Técnica Peruana. Las ediciones indicadas estaban en vigencia en el momento de esta publicación. Como toda norma está sujeta a revisión, se recomienda a aquellos que realicen acuerdos con base en ellas, que analicen la conveniencia de usar las ediciones recientes de las normas citadas seguidamente. El Organismo Peruano de Normalización posee la información de las Normas Técnicas Peruanas en vigencia en todo momento.

2.1 Normas Técnicas Internacionales

2.1.1 ISO 3534-2:1993 Estadística. Vocabulario y Símbolos. Parte 2: Control estadístico de la calidad

2.1.2 ISO 11648-1:2003 Aspectos estadísticos de muestreo para materiales a granel. Parte 1: principios generales. Revisar si esta publicado

2.2 Normas Técnicas Peruanas

2.2.1 NTP ISO 2859-1:2008 Procedimientos de muestreo para la inspección por atributos. Parte 1 esquema de muestreo indexado por límite de calidad aceptable (LCA) para la inspección lote por lote

2.2.2 NTP ISO 3534-1:2003 Estadística. Vocabulario y Símbolos. Parte 1: Probabilidad y estadística general

2.2.3 NTP ISO 5725-1:1994 Exactitud (veracidad y precisión) de métodos y resultado. Parte 1: principios generales y definiciones


3. TÉRMINOS Y DEFINICIONES

Para el propósito de esta NTP se aplican los términos y definiciones dados en NTP ISO 2859-1, NTP ISO 3534-1, ISO 3534-2, NTP ISO 5725-1 y las siguientes.

3.1muestreo de aceptación

Inspección de muestreo en la cual se toman decisiones para aceptar o rechazar un lote basado en los resultados de una muestra o muestras seleccionadas de ese lote.

3.2inspección de aceptación

Inspección para determinar si un ítem o lote entregado u ofrecido para la entrega es aceptable.

3.3sistema de muestreo

Conjunto de planes de muestreo, junto con el criterio mediante el cual se pueden elegir planes de muestreo apropiados.

3.4plan de muestreoCombinación del tamaño de la muestra y sus criterios de aceptación.

3.5tamaño de muestraNúmero total de ensayos o mediciones y sus elementos.

NOTA 1: En esta NTP, el tamaño de muestra es, por ejemplo, el número de incrementos de muestreo en una muestra compósito, el numero de muestras compósito por lote, el numero de muestras para ensayo preparadas a partir de una muestra compósito, el número de mediciones por muestra de ensayo. El número de mediciones es el mismo que el número de porciones de ensayo.

NOTA 2: En esta NTP, este término no debe usarse para la cantidad de muestra como volumen o masa de un incremento de muestreo.

3.6criterios aceptaciónCriterio o elemento del criterio (por ejemplo, un valor de aceptación) para la determinación de aceptabilidad del lote, es decir, aceptar o rechazar un lote.


3.7límite de calidad de AceptaciónCuando se considera una serie continúa de lotes, un nivel del parámetro de distribución para el cual los propósitos de inspección de muestreo son el límite del promedio de proceso satisfactorio.

3.8límite de calidad de no aceptación Cuando se considera una serie continúa de lotes, un nivel del parámetro de distribución para el cual los propósitos de inspección de muestreo son el límite del promedio de proceso no satisfactorio.

3.9límite de especificación de una colaLímite de especificación, inferior o superior de un parámetro de distribución.

3.10límite de especificación bilateral Límite de especificación de los límites inferior y superior de un parámetro de distribución

3.11material a granel Cantidad de material dentro del cual las partes del componente al inicio no son fáciles de distinguir.

NOTA: Esta NTP excluye rollos de papel, bobinas de hilo, la chatarra de hierro o materiales similares, debido a que es difícil aplicar los procedimientos de muestreo específicos.

3.12incremento de muestreoCantidad de material a granel tomado en una acción por un dispositivo de muestreo.

3.13muestra compósitoAgregación de dos o más incrementos de muestreo tomados de un lote para la inspección del mismo.

3.14muestra de ensayoMuestra, preparada para ensayo o análisis, la cantidad total o parte de ella usada para el ensayo o análisis al mismo tiempo.


3.15porción de EnsayoParte de una muestra de ensayo que se utiliza para el ensayo o análisis al mismo tiempo.

3.16valor de aceptación Valor de restricción del promedio de la muestra que permite aceptación del lote.

3.17intervalo de discriminación Intervalo entre el límite de calidad de aceptación y del límite de calidad de no aceptación

3.18intervalo límiteMínimo intervalo entre los límites de calidad de aceptación superior e inferior, cuando se especifican los límites de especificación bilateral.

3.19desviación estándar relativa Razón entre la desviación estándar y el intervalo de discriminación.

3.20repetibilidadPrecisión bajo condiciones de repetibilidad, es decir, cuando los resultados de ensayos independientes son obtenidos con el mismo método en elementos de ensayo idénticos, en el mismo laboratorio, por el mismo operador usando el mismo equipo dentro de intervalos cortos de tiempo.

3.21medición de la precisión intermedia Precisión bajo condiciones de precisión intermedia, es decir, cuando los resultados de ensayo independientes son obtenidos con el mismo método, en elementos de ensayo idénticos, bajo algunas condiciones operativas diferentes (tiempo, calibración, analista y equipo)


4. SÍMBOLOS Y TÉRMINOS ABREVIADOS

Los símbolos y términos abreviados empleados en esta NTP son los siguientes:

C costo variante por lote

CI Suma de costos proporcionales al número total de incrementos de muestreo

CM Suma de costos proporcionales al número total de mediciones

CT Suma de costos proporcionales al número total de muestras de ensayos.

cI Costo de extraer un incremento de muestreo.

cM Costo de una medición

cT Costo de preparar una muestra de ensayo

cTM (Costo de tratar una muestra de ensayo (= cT + nMcM)

D Intervalo de discriminación

DN Intervalo estrecho de discriminación para múltiples características

dI

Desviación estándar relativa entre incrementos de muestreo

dT

Desviación estándar relativa de muestra de ensayo

dO

Desviación estándar total relativa

fD Factor de corrección para características múltiples

fU Factor para obtener límite de control superior

G Número de lotes usados para recalcular desviaciones estándares

J Número de características de calidad

Kp El p- fractil superior de la distribución normal estandarizada

(Ejemplos de p son , y Pa . Para =0,05 K = 1,64485 .Para =0,10,

K =1,28155, etc. ).

LCI Límite de control inferior

LES Límite de especificación inferior para el parámetro de distribución


m parámetro de distribución

mA Límite de calidad de aceptación para el parámetro de distribución

mR Límite de calidad de no aceptación para el parámetro de distribución

nI Número de incrementos de muestreo por muestra compósito

nM Número de mediciones para muestra de prueba

nT Número de muestras de ensayo por muestra compósito

Pa Probabilidad de aceptación

QCR Calidad de riesgo del consumidor

QPR Calidad de riesgo del productor

RC

razón de costo

sc Desviación estándar de la muestra compósito

scT Desviación estándar de la muestra combinada

sM Desviación estándar de medición

sT Desviación estándar de la muestra de ensayo

tp(v) El p –fractil inferior de la distribución t con grados de libertad

LES Límite de especificación superior para el parámetro de distribución

LCS Límite de control superior

xijk Valor medido para el k –ésimo porción de ensayo de la j-ésima muestra de

ensayo de la i-ésima muestra compósito¯̂x .. . Promedio general de muestra

x̄L Valor de aceptación inferior

x̄U Valor de aceptación superior

Riesgo del productor

α* Riesgo del productor individual

β Riesgo del consumidor

β* Riesgo del consumidor individual

Constante para obtener el valor de aceptación


Intervalo entre los límites de calidad de aceptación superior e inferior Constante para obtener el intervalo de restricción Grados de libertad de una desviación estándar

vE Grados de libertad de un cálculo de desviación estándar

σc Desviación estándar de muestra compuesta

σE Cálculo de desviación estándar para un parámetro de distribución

σM Desviación estándar de medición

σo Desviación estándar total

σT Desviación estándar de muestra de ensayo

σ2I Componente de varianza entre incrementos de muestreo

σ2M Componente de varianza entre mediciones

σ2P Componente de varianza entre muestras de ensayo (varianza para la

preparación de muestra de ensayo)

NOTA 1: Los símbolos acompañados por el subíndice “I” y “S”, denotan que son los límites de especificación inferior y superior respectivamente.

NOTA 2: El símbolo σ es usado para denotar una desviación estándar de población, mientras el símbolo s es usado para el valor de muestra.

5. PLANES DE MUESTREO

5.1 Generalidades

Al comenzar los límites de aceptación, los siguientes términos deben ser establecidos para la inspección satisfactoria de un lote de material a granel.


5.2 APLICABILIDAD

5.2.1 Media del lote

Esta NTP es aplicable cuando el parámetro de distribución de una característica de calidad individual, es el principal factor en la determinación de la aceptabilidad del lote.

Cuando el material es homogenizado a través de un procesamiento adicional en la planta del consumidor, éste puede ser el principal interesado en el parámetro de distribución.

Si dos o más características de calidad se especifican para un material, entonces el procedimiento dado en el anexo A debe ser aplicado. El Anexo A también proporciona procedimientos opcionales para características múltiples para prevenir un incremento del riesgo del productor y el riesgo del consumidor.

Esta NTP esta basado en asumir que el parámetro de distribución se mantiene sin cambios durante el muestreo de aceptación para el lote o que los valores esperados del promedio físico y la media aritmética son iguales. Es necesario tener un especial cuidado con algunas características inestables tal como la humedad de un material particular. Podría haber algunos casos excepcionales donde este supuesto no es cierto, tal como se demuestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: El polvo de CMC (Carboximetil celulosa) es usado como un aditivo del cemento, y en esta aplicación una de las más importantes características es la viscosidad de la solución acuosa. Si dos muestras de igual masa, una con un alto valor de viscosidad y la otra con un bajo valor, son mezcladas, la viscosidad de la muestra mezclada es siempre menor a la media aritmética de los dos valores de la muestra original. Esta NTP no es aplicable a tales casos.

5.2.2 Desviación estándar

Esta NTP esta basado en el supuesto de que los valores de la desviación estándar de la característica de calidad especificada son conocidos y estables. Las directrices para verificar la estabilidad de la desviación estándar son las siguientes:

a) En el procedimiento estándar, se encuentra que los gráficos de control para sC y sT no tienen puntos fuera de control, y si no hay otra evidencia que de lugar a dudas sobre la estabilidad, uno puede considerar que todas las desviaciones estándar son estables. Si σM es grande e inestable, entonces este hecho probablemente es detectado por el gráfico de control para sT. Si σM es suficientemente pequeño, su estabilidad puede ser de poca importancia, porque la estimación de su precisión no es necesaria.


b) En el procedimiento especial en el Anexo B, si el grafico de control de sT no tiene puntos fuera de control, y si no hay otra evidencia acerca de la estabilidad, entonces toda la desviación estándar puede ser considerada estable. En este caso la estabilidad de σI y σT puede ser de poca importancia, porque la estimación de su precisión no es necesaria.

Sin embargo, al inicio del muestreo de aceptación, el valor preciso y/o la estabilidad de la desviación estándar individual no puede ser suficientemente conocida. Además pueden ocurrir, menores y transitorias desviaciones de los lineamientos dados por encima de la estabilidad durante la aplicación de este sistema de muestreo de aceptación. En tales casos, los procedimientos usados para desviaciones estándar imprecisas son aplicables cuando se usan los valores asumidos de desviaciones estándar de la característica de calidad especifica.

Si los valores relevantes de la desviación estándar no están todos disponibles en su totalidad, esta NTP no es aplicable.

5.2.3 Lotes de inspección

Estos planes de muestreo se pretender usar, primeramente, para una serie continua de lotes. Sin embargo, si los requisitos para las desviaciones estándar se satisfacen, estos planes podrían también pueden usarse para lotes aislados.

5.3 PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO ESTANDARIZADOS

5.3.1 GENERALIDADES

Esta NTP contiene los siguientes procedimientos para la inspección de un lote individual:

a) Incremento de muestreo; b) Constitución de muestras compósito;c) Preparación de muestras de ensayo; yd) Mediciones


La Figura 1 ilustra el diagrama de flujo de los procedimientos descritos anteriormente. Con el fin de evitar recargar la figura 1, los números de las muestras de ensayo no usadas y las porciones de ensayo dibujadas son mucho más pequeñas que los valores usuales, respectivamente (Véase el Anexo C.2.7)

En el muestreo representativo se usará con rigurosidad los procedimientos mencionados anteriormente. Por ejemplo, se requiere que la muestra compósito individual pueda representar el lote completo. Con el fin de obtener resultados confiables, es importante especificar instrucciones o procedimientos estandarizados. Se recomienda que la referencia se haga para la norma ISO 11648-1, de tal manera que los procedimientos razonables de muestreo puedan ser especificados.

5.3.2 Incremento de muestreos (véase la figura 1)

Tomar incremento de muestreos 2nI de un lote. Se recomienda que sea usado un muestreo dinámico, donde los incrementos de muestreos sean tomados desde un lote en movimiento. Sin embargo, el uso de un muestreo estático, cuando el lote permanece estático.

Se recomienda también que se utilice un dispositivo de muestreo apropiado. Cuando el material contiene granos gruesos, el volumen de incrementos de muestreo individual debe ser suficientemente grande para obtener una muestra representativa.

5.3.3 Constitución de muestras compósito (Véase la figura 1)

Juntar los incrementos de muestreos de nI y formar dos muestras compósito. En esta NTP, se han adoptado dos muestras compósito. Cada muestra compósito debe ser representativa del lote completo. Este requisito debe ser logrado llevando a cabo un muestreo duplicado sistemático, descrito como sigue:

Entre 2nI de incremento de muestreo ordenados, juntar aquellos con números impares ( 1, 3, …,2nI-1) para formar la muestra compósito N° 1, y aquellos con números pares (2,4,…,2nI) para formar la muestra compósito N° 2.

5.3.4 Preparación de las muestras de ensayo (Véase la Figura 1)

Preparar nT muestras de ensayo de cada una de las dos muestras compósitos. Establecer el procedimiento para la preparación de la muestra de ensayo de antemano, tomando en cuenta la naturaleza del material a inspeccionar.


Cuando el material tiene partículas gruesas, asegurar que el procedimiento de preparación de la muestra de ensayo incluya uno o más etapas de reducción de tamaño de partícula (tales como trituración y molienda), homogenización (tal como mezclado) y división de muestra. El procedimiento debería especificar la masa de la muestra de ensayo y, si es necesario, el tamaño de partícula de la misma. Cuando el material es líquido, las muestras de ensayo pueden ser tomadas directamente de la muestra compósito, después de agitarse suficientemente.

NOTA: Si se escoge un procedimiento adecuado para la preparación de la muestra de ensayo, entonces un componente de la varianza entre muestras de ensayo σ2

T puede ser mucho mas pequeño que el componente de la varianza entre incrementos de muestreo, σ2

T. Por otro lado las consideraciones económicas también son importantes. Por ejemplo, la molienda gruesa es efectiva en reducir σ2

T, pero la molienda fina de la cantidad total de muestra compósito es frecuentemente más cara.

Clave incrementos de muestreo de números impares incrementos de muestreo de números pares

usado

sin usar

FIGURA 1 - Modelo esquemático del procedimiento de muestreo de aceptación a granel

5.3.5 Mediciones (Véase la Figura 1)

Dibujar las porciones de ensayo nM para 2nT de muestras de ensayo, respectivamente, y llevar a cabo las mediciones 2nTnM por lote. Es necesario especificar las condiciones de medición en detalle.


5.4 DESVIACIÓN ESTANDAR

5.4.1 Generalidades

En caso de desviaciones estándar imprecisas, determinar la desviación estándar de la muestra en varias etapas, de acuerdo con el apartado 6.2.9. En caso de desviaciones estándar conocidas, determinar las desviaciones estándar de la muestra en varias etapas de acuerdo con el apartado 6.2.3. La información necesaria, común para ambos casos, está dado del apartado 5.4.2 al apartado 5.4.4.

Si se dispone de resultados de inspecciones anteriores, entonces las estimaciones de las desviaciones estándar pueden obtenerse a partir de ellos. Si el conocimiento de las desviaciones estándar en sus respectivas etapas es insuficiente, entonces es necesario obtener valores relevantes. Se recomienda usar una de las técnicas experimentales descritas en la norma ISO 11648-1 y 11648-2. En muchos casos un diseño de experimento anidado es el más apropiado.

5.4.2 Desviación estándar entre incrementos de muestreo

Los valores de las características de calidad de los incrementos de muestreo tomados para un lote, pueden variar debido a diferentes fuentes de variación. La desviación estándar entre incrementos de muestreo I es la raíz cuadrada positiva del componente de varianza entre los incrementos de muestreo 2

I.

NOTA: Si el material en un contenedor es un gas o un líquido de baja viscosidad, la desviación estándar del incremento de muestreo, I puede asumirse como cero. Sin embargo, si el material es un líquido viscoso o sólido, y si se encuentra en dos o más contenedores, la varianza del incremento de muestreo 2

I, usualmente está compuesta de dos componentes, por ejemplo, las varianzas de los incrementos de muestreo dentro del contenedor y entre contenedores.

5.4.3 Desviación estándar entre muestras de ensayo

Las muestras de ensayo provenientes de una muestra compósito, de acuerdo con el procedimiento de preparación de la muestra de ensayo especificada, podría contener variación debido a la división de la muestra compósito. La desviación estándar entre las muestras de ensayo T, es la raíz cuadrada positiva del componente de varianza entre las muestras de ensayo 2

T.

NOTA: la desviación estándar entre las muestras de ensayo σT conformado por sólidos no siempre es significativo, excepto cuando el tamaño de las partículas es suficientemente pequeña. En contraste, en el caso de un líquido de baja viscosidad o gas σT es frecuentemente no significativo


5.4.4 Desviación estándar de medición

Los resultados de mediciones pueden variar debido a las diferentes fuentes de variación, que incluye el procedimiento de medición y la variación de la porción de ensayo dentro de una muestra de ensayo.

Cuando el número total de mediciones es pequeño, la desviación estándar de medición usualmente corresponde a la repetibilidad. Cuando el número total de mediciones es grande, es más difícil mantener las condiciones de repetibilidad., entonces resulta apropiado el uso de la precisión intermedia. Para más información, véase la NTP-ISO 5725-1, NTP-ISO5725-2 y NTP-ISO 5725-3.

NOTA: En esta NTP, la razón aproximada de σM/σT , es más importante que la misma σM. Si σM/σT es suficientemente pequeña (por ejemplo, menor a 0.2) no es necesario conocer el valor exacto de σM

5.5 COSTOS

5.5.1 Generalidades

Esta NTP usa los siguientes valores de costo, para obtener el plan de muestreo económico. Con el conocimiento de estos valores de costo, es también posible obtener un plan de muestreo aplicable. (Véase el apartado 5.5.6)

5.5.2 Componentes de costos

El costo de variación total por lote, C, consiste en la suma de los costos proporcionales al número total de incrementos de muestreo, al número total de muestras de ensayo y al número total de las mediciones, como sigue:

C= CI + CT+ CM

= 2nIcI + 2nTcT + 2nTnMcM

Los valores de los costos unitarios, cI , cT y cM , se utilizan para obtener planes de muestreo económicos


5.5.3 Costo de tomar un incremento de muestreo

La suma de los costos es proporcional al número total de incrementos de muestreo CI y contiene los siguientes elementos:

a) costo de tomar los incrementos de muestreo.b) el costo de homogenizar para formar una muestra compósito.

El costo de tomar un incremento de muestreo, cI , está dado por la siguiente ecuación:

5.5.4 Costo de preparación de una muestra de ensayo

La suma del costo proporcional al número total de muestras de ensayo, CT contiene los siguientes elementos:

a) El costo de la reducción del tamaño y división de la muestra.b) El costo de preparar muestras de ensayo

El costo de preparar una muestra de ensayo, cT, está dado por la siguiente ecuación:

5.5.5 Costo de una medición

El costo de una medición cM esta dado por la siguiente ecuación:

Donde la suma de los costos CM , es proporcional al número total de mediciones.

5.5.6 Procedimientos para casos cuando los valores de costos son conocidos insuficientemente

Al inicio del contrato, el conocimiento de los valores de costo anteriores puede ser insuficiente. En tales casos, los siguientes procedimientos deben ser utilizados con el fin de obtener un plan de muestreo aplicable.


a) Cuando el conocimiento de los valores de costo anteriores es insuficiente, asumir la razón aproximada, cI: cT: cM, y usar cada término de la razón en lugar del valor de costo respectivo.

Ejemplo:Al inicio del contrato, la razón de costo aproximado fue asumida de la siguiente manera:

cI: cT: cM =3:1:0,5

Donde cI =3, cT =1 y cM =0,5 , el plan de muestreo se obtuvo de acuerdo con el procedimiento estandarizado.

Después de formarse los cinco lotes, la razón del costo fue revisado como sigue:

cI: cT: cM =3,5:1:0,4

Usando el nuevo valor de costo (cI =3,5, cT =1 y cM =0,4) el plan de muestreo aplicable se obtuvo nuevamente, pero tanto el nivel de razón del costo como el plan de muestreo permanecen sin cambios.

b) Si es difícil asumir la razón del costo aproximado, usar la siguiente razón:

cI : cT : cM =1:1:1

5.6 LÍMITE DE CALIDAD DE ACEPTACIÓN Y LÍMITE DE CALIDAD DE NO ACEPTACIÓN

5.6.1 Generalidades

Las mediciones de calidad, el límite de calidad de aceptación mA y el límite de calidad de no aceptación mR deberían ser especificadas de acuerdo con los siguientes procedimientos.

5.6.2 Intervalo entre mR y el límite de especificación

Se recomienda que el intervalo entre el límite de calidad no aceptación y el límite de especificación (mRL –LEI o LES - mRU ) se especifique tomando en cuenta el uso actual de un lote aceptado. Por ejemplo, si un lote aceptado es dividido, en sub-lotes en uso actual, entonces la variación entre sub-lotes debe considerarse cuando se determina el intervalo.

Cuando se especifican los límites de especificación de dos colas, los dos intervalos (mR,L- LEI o LES- mR,U ) pueden ser diferentes.


Este intervalo puede ser ajustado al límite de calidad del material suministrado. Si el límite de calidad dista mucho de ser satisfactorio, éste puede ser incrementado de tal manera que pueda reducirse el riesgo del consumidor en el límite de especificación. Para este propósito el anexo D ofrece información importante. Por el contrario, si el límite de calidad es satisfactorio, este intervalo puede ser reducido a cero o incluso puede ser un valor negativo.

5.6.3 Intervalo de discriminación

El Intervalo de discriminación D, es el intervalo entre el límite de calidad de aceptación y el límite de calidad de no aceptación. Se recomienda que el valor D, sea especificado, tomando en cuenta los valores de las desviaciones estándares I, I, y M, .Si el valor del Intervalo de discriminación es muy pequeño, entonces esta NTP puede no dar un plan de muestreo aplicable, y la elección del límite de calidad de aceptación y/o el límite de calidad de no aceptación no necesitará ser reconsiderado.

Cuando se establecen los límites de especificación de dos colas LIE y LSE, los dos intervalos

de discriminación (mA , L- mR , L y mR ,U -mA , U ) deben ser iguales.

El intervalo de discriminación puede ajustarse al límite de calidad del material proporcionado. Si el límite de calidad es satisfactorio, el intervalo de discriminación puede aumentarse para lograr una reducción en los costos.

NOTA: Este intervalo debería determinarse principalmente a partir de aspectos técnicos. La NTP ISO 10576 puede dar información para la determinación de este intervalo.

5.6.4 Intervalo entre los límites de calidad de aceptación

Cuando se especifica límites de la especificación de dos colas , el intervalo entre los límites de calidad de aceptación superior e inferior, , debe ser igual o mayor que el intervalo limitante, x D. Es decir:

Para los procedimientos normalizados de desviaciones estándares conocidas, = 0,636, y para los procedimientos opcionales, = 0,566.


Para los procedimientos de desviaciones estándar imprecisas, el valor de puede obtenerse de la tabla 1, la cual es indexada por E. El valor de E se proporcionará junto los tamaños de muestra. En la etapa preliminar, es conveniente para asumir los siguientes valores internos:

E = 8 y = 0,566.

TABLA 1 - Los Valores de δ para límites de especificación bilaterales(Desviaciones estándar imprecisas)

3,0 a 3,9 0,9294,0 a 4,9 0,7585,0 a 5,9 0,6706,0 a 6,9 0,6177,0 a 7,9 0,582

8,0 0,566TABLA: Los valores son usados para determinar la aplicabilidad de los límites de

especificación de dos colas

5.7 AUTORIDAD RESPONSABLE

5.7.1 Funciones

La autoridad responsable tiene varias funciones tales como:

a) aprobar los valores de desviaciones estándar;

b) juzgar la estabilidad de desviaciones estándar;

c) seleccionar entre desviaciones estándar conocidas e imprecisas;

d) aprobar los valores de mA y mR;

e) decidir si se usa o no procedimientos opcionales;

f) otras funciones especificadas o implícitas.

νE δ

¿δ


Es deseable que la autoridad responsable tenga suficiente conocimiento y habilidad como para mantener la neutralidad de este sistema de muestreo de aceptación y para realizar sin complicaciones los procedimientos de muestreo de aceptación.

5.7.2 Relación contractual

La autoridad responsable puede ser cualquiera de los siguientes:

a) primera parte;b) segunda parte;c) tercera parte; od) cualquiera de la primera, segunda o tercera parte, difiriendo según la función.

La autoridad responsable debe especificarse por adelantado al muestreo de aceptación, en el contrato o cualquier otro documento pertinente. Véase también el apartado 3.1.12 de NTP -ISO 2859-1.

6. PROCEDIMIENTOS DE INSPECCIÓN

6.1 Generalidades

Este apartado ofrece los siguientes procedimientos:

a) Evaluación de las desviaciones estándar; b) Determinación de los tamaños de la muestra; c) Selección y preparación de las muestras; d) Determinación del valor de aceptación; e) Determinación de la aceptabilidad del lote.

6.2 Evaluación de las desviaciones estándar

6.2.1 Generalidades

Si los resultados de inspecciones pasadas están disponibles, los valores necesarios de desviación estándar, I, T y M, pueden obtenerse a través de los procedimientos para la confirmación y re-estimación dados abajo. De lo contrario (véase el apartado 6.2.9) es permitido usar los valores de desviaciones estándar especificados por un acuerdo entre el proveedor y el comprador.


Es especialmente ventajoso usar los valores de desviaciones estándar especificados por un acuerdo en lo siguiente casos:

a) al inicio del contrato, cuando el conocimiento de valores no es siempre suficiente; o

b) el productor tiene mucho más conocimiento sobre las desviaciones estándar que el consumidor; o

c) durante la inspección, cuando la gráfica de control de sc o de sT ha dado un punto fuera de control, pero el proceso se ha mejorado después de esto, y se cree que las desviaciones estándar han sido disminuidas.

6.2.2 Procedimientos de confirmación

Cuando los procedimientos se aplican a una serie continua de lotes, la estabilidad de las desviaciones estándar debe verificarse lote a lote. Para este propósito, es conveniente usar los gráficos de control como las mostradas en el apartado 6.2.4. Si la verificación de resultados indica una falta de estabilidad de las desviaciones estándar, entonces debe tomar acciones apropiadas.

Por otro lado, deben re-estimarse periódicamente valores de la desviación estándar de la población. A menos que por otra parte especificada, las desviaciones estándar deben re-estimarse de los resultados de los 10 lotes inmediatamente precedentes, y después de cada cinco lotes subsecuentes, sin tener en cuenta la aceptabilidad de los lotes. Si la desviación estándar es re-estimada, entonces deben reevaluarse los tamaños de muestra, nM, nI y nT. Si la re-estimación lleva a tamaños de muestra diferentes a los prefijados, entonces el nuevo plan de muestreo debe usarse para el próximo lote, debido que los tamaños de muestra apropiados han cambiado. Para información adicional (véase el Anexo C.2.3).

6.2.3 Desviaciones estándar

La desviación estándar de la muestra compósito (valor de muestra, sc) se obtiene de los promedios de la muestra compósito utilizando la siguiente ecuación más simple:

sC=√( x̄1. .− x̄2. .)2

2


La desviación estándar de la muestra de ensayo (valor de muestra, sT) se obtiene de los promedios de muestra de ensayo, utilizando la siguiente ecuación:

donde νT=2(nT −1)

Si nr =2, entonces la siguiente ecuación simple es aplicable.

sT =√ 12∑i=1

2 ( x̄ i1 .− x̄i 2.)2

2

Si , entonces la desviación estándar de medición (valor de muestra, ) puede obtenerse de manera similar.

Si nM > 1, entonces la desviación estándar de medición (valor de muestra, sM) puede ser obtenida similarmente.

donde νM=2nT (nM−1)

Si nM=2 , entonces es aplicable la siguiente ecuación simple:

sM=√ 1ν M

∑i=1

2

∑j=1

nT ( x̄ ij1− x̄ ij2 )2

2

donde el νM=2nT .

Si el número total de mediciones es suficientemente pequeño, entonces una calculadora convencional puede usarse para el cálculo de los valores anteriores, por otra parte se recomienda el uso de un software apropiado.

21


6.2.4 Gráficas de control

6.2.4.1 Generalidades

Los gráficos de control usadas en esta NTP son de un tipo específico. Ellos tienen un límite de control superior, LCS, pero ellos no tienen un límite de control inferior, LCI (para mayor información véase el Anexo C.2.3 ).

6.2.4.2 Gráfico de control de sc

El límite de control superior LCS, c de una gráfica de control de sc debe obtenerse, para cada uno de los 10 lotes (u otro número de lotes utilizado para la verificación), sin tener en cuenta la aceptabilidad del lote, usando la siguiente ecuación:

donde

fU es un valor dado en la Tabla 2, como una función de grados de libertad (c= 1);

c es una desviación estándar de la población entre las muestras compósito.

Si ninguna de las desviaciones estándar (valor de muestra, sc) excede el LCS,c

correspondiente, entonces el gráfico de control de sc puede considerarse que muestra un estado de control, caso contrario debe ser considerado como que ha mostrado un estado de fuera de control.

NOTA 1: Porque el número de muestras compósito se mantienen para dos, el LCS,c es común para todos los lotes.

NOTA 2: Si un número suficiente de resultados de inspección precedente no está disponible, entonces c está dado por la siguiente ecuación:

σ c=√ σI2

n1+

σT 2

nT


6.2.4.3 Gráfico de control de sT

El límite de control superior, LCS,T, de una gráfica de control de sT debe obtenerse, para cada uno de los 10 lotes, (o el otro número de lotes usados para la verificación), sin tener en cuenta la aceptabilidad del lote, usando la siguiente ecuación:

donde:

fU es un factor dado en la Tabla 2, como una función de grados de libertad para la muestra de ensayo, T; T es una desviación estándar de la población entre las muestras de ensayo.

Si ninguna de las desviaciones estándar (valor de muestra, sT) excede el LCS,T

correspondiente, entonces puede considerarse que el gráfico de control de sT muestra un estado de control, de lo contrario, puede ser considerado como un estado de fuera de control.

NOTA 1: Si nT se mantiene constante, entonces el LCS,T es común a todos los lotes.

NOTA 2: Si un número suficiente de resultados de inspección precedente no está disponible, entonces T está dado por la siguiente ecuación:

23


TABLA 2 - Valores de fU para UCL

ν fU ν fU ν fU ν fU

12345

2,8002,2972,0651,9241,827

3132333435

1,3311,3261,3211,3161,311

6162636465

1,2351,2331,2311,2301,228

104108112116120

1,1801,1761,1731,1701,167

678910

1,7551,7001,6541,6171,585

3637383940

1,3071,3031,2991,2951,291

6667686970

1,2261,2241,2231,2211,219

124128132136140

1,1651,1621,1591,1571,155

1112131415

1,5581,5341,5131,4941,477

4142434445

1,2871,2841,2811,2771,274

7172737475

1,2181,2161,2151,2131,212

144148152156160

1,1531,1501,1481,1471,145

1617181920

1,4621,4481,4351,4241,413

4647484950

1,2711,2681,2651,2631,260

7677787980

1,2111,2091,2081,2061,205

164168172176180

1,1431,1411,1401,1381,136

2122232425

1,4031,3931,3851,3771,369

5152535455

1,2571,2551,2521,2501,248

8284868890

1,2031,2001,1981,1961,193

184188192196200

1,1351,1331,1321,1311,129

2627282930

1,3621,3551,3481,3421,336

5657585960

1,2461,2431,2411,2391,237

92949698100

1,1911,1891,1871,1851,183

220240260280300

1,1231,1181,1131,1091,105

NOTA: Cuando no está dado, puede usarse interpolación lineal.

6.2.4.4 Gráfico de control sM

Si nM > 1, entonces el límite de control superior, LCS,M, para una gráfica de control de sM puede calcularse similarmente.

LCS,M =

24


donde

f U es un factor dado en la Tabla 2, como una función de grados de libertad para la

medición νM ; σ M es una desviación estándar de la población de medición.

Si ninguna de las desviaciones estándar (valor de la muestra, sM ) excede el LCS,M

correspondiente, entonces la gráfica de control de sM , puede considerarse que muestra un estado de control, caso contrario debe ser considerada como mostrando un estado de fuera de control.

NOTA: Si ambos tamaños de muestra, nT y nM , se mantiene constante, entonces el LCS,M es común para todos los lotes.

6.2.5 Re-estimación de las desviaciones estándar de la población


Se hará una re-estimación de las desviaciones estándar de la población para los G lotes inmediatamente precedentes. G será de 10, a menos que la autoridad responsable lo especifique de otra manera,. Se recomienda que la re-estimación se lleve a cabo después de cada cinco lotes consecutivos.

6.2.5.2 Tamaños de muestra constante

Cuando los tamaños de muestra son constantes para i lotes, las desviaciones estándar de la

población, σ c y σ T , son estimados de las desviaciones estándar (los valores de las muestra, sc y sT ) usando la siguiente fórmula:

σ C=√∑I=1

G

S2C , J

G

y

σ T=√∑i=1

G

s2T , i

G


donde G es el número de lotes usado para la re-estimación.

Si nM > 1, entonces la desviación estándar de medición, σ M , puede estimarse de manera similar:

σ M=√∑i=1

G

s2M , i

G

6.2.5.3 Tamaños de muestra variables

Cuando los tamaños de muestra no son constantes para G lotes, las desviaciones estándar

de la población, σ c y σ T , son estimadas de las desviaciones estándar (los valores de las

muestra, sc y sT ) usando las siguientes ecuaciones:

σ c=√∑i=1

G

νc , i×s2c , i

∑i=1

G

νc ,i

y

σ T=√∑i=1

G

νT , i×s2T ,i

∑i=1

G

νT , i

donde

G es el número de lotes usados para el re-estimación;

Si nM > 1, entonces la desviación estándar de medición ,σ M , puede ser estimado similarmente:


σ M=√∑i=1

G

νM , i×sM ,i2

∑i=1

G

ν M ,i

6.2.6 Re-estimación de componentes de varianza


Las desviaciones estándar de la población, σ c y σ T varían si los tamaños de muestra, nM , nT o nI , cambian, si σ c y σ T no son afectadas por el tamaño de la muestra. El

componente de varianza entre incrementos de muestreo, σ

I 2 , y el componente de varianza entre las muestras de ensayo, σ

2I , son algo diferentes de otras varianzas. Es imposible de

obtener un componente de varianza directamente, pero puede ser obtenida como las diferencias de otras varianzas.

6.2.6.2 El componente de varianza entre incrementos de muestreo

El componente de varianza entre incrementos de muestreo, σ

I 2 , se da por la siguiente ecuación:

σ12=n I(σ

c2−σ

T2

nT)

Si σ

I 2 < 0, entonces se asume que σ

I 2 = 0

6.2.6.3 Componentes de varianza entre las muestras de ensayos

Si nM > 1, entonces el componente varianza entre las muestras de, ensayo, σ

P2 , se da por la siguiente ecuación:

σP2=σ

T2−σ

M2

nM

Si σ

P2 < 0, entonces se asume que σ

P2 = 0;

Si nM = 1, entonces no es necesario separar σ

P2 y σ

M2


6.2.7 Desviación estándar estimada

La desviación estándar estimada, σ E , es la desviación estándar del cálculo del parámetro

de la distribución (se usa para obtener la curva de CO) σ E está dado por la siguiente ecuación:

σ E=√ σI 2

2 nI+

σP2

2 nP+

σM2

2nT nM=√ σ

I 2

2nI+

σT2

2 nT

6.2.8 Acción para situaciones de fuera de control

Durante la inspección de una serie continua de lotes, si el sc o la gráfica de control de sT

contiene uno o más puntos fuera de control (incluso después de la re-estimación de σ y UCL), entonces alguna acción es necesaria. Si razones específicas han sido encontradas y acciones correctivas apropiadas son posibles, entonces se realizará la acción correctiva. De lo contrario, si el proveedor y el comprador aceptan, entonces la siguiente acción es aplicable, sujeta a la aprobación de la autoridad responsable:

a) para especificar el valor(es) adecuado(s) de desviación estándar; o

b) cambiar a una inspección opcional aumentada.

Si la autoridad responsable juzga que la desviación estándar de la población se ha convertido en inestable, entonces los procedimientos para las desviaciones estándar conocidas no son más aplicables.

6.2.9 Desviaciones estándar imprecisas

El valor de las desviaciones estándar, σ I , σ P y σ M , debe asumirse con la referencia a los más recientemente datos pertinentes y disponibles y los valores a ser usados deben estar acordados entre el proveedor y el comprador.

NOTA: Si cualquiera de las desviaciones estándar parece ser inestable, entonces un valor grande debe asumirse con referencia a los datos recientemente disponibles.


6.3 Determinación de tamaños de muestra

6.3.1 Procedimientos para obtener tamaños de muestra

Como es difícil obtener todos los tamaños de la muestra al mismo tiempo, los siguientes procedimientos deberían ser seguidos:

a) la determinación del valor económico del número de mediciones, nM ;

b) la determinación de la desviación estándar de muestra de ensayo, σ T ;

c) la determinación de las desviaciones estándar relativas, d I y dT ;

d) la determinación del costo de tratar una muestra de ensayo, cT ;

e) la determinación de la proporción del costo, RC y el nivel de proporción del costo; y f) la selección de tabla conveniente y la determinación de valores económicos

de nI y nT .

6.3.2 Cálculo de nM

6.3.2.1 Uso de desviaciones estándar conocidas

Para las desviaciones estándar conocidas, el primer paso determinando el valor económico

para el número de mediciones por muestra de ensayo, nM , es calcular un valor interino, b, usando la ecuación siguiente:

b=σ M

σ P √ cT

c M

Entonces debe redondearse a un entero, nM , como sigue:

a) Si b < 1,5, entonces nM = 1;

b) Si 1,5 < b < 2,5, entonces nM = 2;

c) Si b > 2,5, entonces nM = 3.

NOTA 1 La ecuación anterior muestra el valor más económico de nM antes de redondear, qué

minimizaría cT .


NOTA 2: La ecuación anterior puede dar un valor notablemente grande de b. En la práctica, un valor

grande de nM no es deseable porque generalmente a los operarios les disgusta tomar muchas medidas en la misma muestra de prueba, y los resultados de la prueba pueden ser menos fiables. Por

consiguiente, se asume que el valor máximo de nM es tres. Si tales factores humanos pueden

desatenderse y un valor grande de nM es tolerable, entonces el valor de b calculado usando la ecuación anterior puede redondearse al entero más cercano.

6.3.2.2 Uso de desviaciones estándar imprecisas

Para las desviaciones estándar imprecisas, el número de mediciones por la muestra de

ensayo, nM , debe determinarse usando la siguiente regla:

NOTA: En la regla anterior el efecto del costo es despreciable.

6.3.3 Desviación estándar de la muestra de ensayo

La desviación estándar de la muestra de ensayo, σ T , debe obtenerse usando la siguiente ecuación:

σ T=√σP2+

σM2

nM

6.3.4 Las desviaciones estándar relativas

Las desviaciones estándar, σ I y σ T , deben convertirse a desviaciones estándar relativas, d I y dT , dividiendo por el intervalo de la discriminación, D, para que puedan simplificarse los procedimientos siguientes. Así,

d I=σ I

D y dT =

σT

D

6.3.5 El costo de tratar una muestra de ensayo

El costo de tratar una muestra de ensayo, cTM , se da por la siguiente ecuación:

cTM=cT+nM c M


6.3.6 Razón del costo y nivel de razón de costo

La razón del costo, Rc se da por la siguiente ecuación:

Rc=CTM

C I

El nivel de razón del costo debe seleccionarse de acuerdo con las siguientes pautas:

a) nivel 1: si Rc <<1 entonces fije Rc = 0,1;

b) nivel 2: si Rc < 1 entonces fije Rc = 0,3;

c) nivel 3: si Rc¿ 1 entonces fije Rc = 1;

d) nivel 4: si Rc > 1 entonces fije Rc = 3;

e) nivel 5: si Rc >> 1 entonces fije Rc = 10.

6.3.7 Determinación de n I y nT

6.3.7.1 La estructura de tablas

Las tablas 3 a la 7 proporcionan los valores por las desviaciones estándar conocidas y se mantienen para la determinación del número de incrementos de muestreo por muestra

compósito, nI , y el número de muestras de ensayo por muestra compósito, nT . Estas están

indexadas por el nivel de razón del costo. Cada tabla tiene dos entradas, la d I preferida

(desviación estándar de muestra de ensayo relativa) y la preferida dT (desviación estándar

relativa entre incrementos de muestreo). La zona del d I actual se muestra al lado del d I

preferido. La zona de dT actual es igual a la que corresponde a d I .

Las tablas de la numero 8 a la 12 proporcionan valores para procedimientos opcionales a un nivel de riesgo de 5 % y tienen la misma estructura como aquéllos en las tablas de la 3 a la 7.

Las tablas de la número 13 a la 22 proporcionan valores para desviaciones estándar

imprecisas a un nivel de riesgo de 5 % para nM = 1 y nM = 2. Estas tablas tienen la misma

estructura esencialmente como las tablas 3 a 7 sólo que los valores para el νE también han sido incluidos.


6.3.7.2 Selección de tablas

Una tabla apropiada debe seleccionarse de acuerdo con el nivel de razón del costo

aplicable o combinación de nM y el nivel de razón del costo.

6.3.7.3 Los valores clasificados leyendo de n I y nT

En la tabla seleccionada, los valores de nI y nT deben leerse como sigue:

a) encuentre una línea de d I preferido cuya zona (mostrado en la columna

adyacente) contiene el d I actual;

b) encuentre una columna de dT preferido cuya zona contiene el dT actual.

Cada zona para el dT preferido es la misma que el d I preferido, respectivamente;

c) lea n I y nT de una celda dónde la línea de d I preferido cruza la columna de dT preferido.

Si cualquiera de lo siguiente ocurre, entonces ir al apartado 6.3.7.4, porque n I onT es demasiado grande para ser recomendado:

- Ninguna línea de d I preferida existe.

- Ninguna columna de dT preferido existe.

- Si" *" se muestra en la celda en lugar de nI y nT , entonces ir directamente al apartado 6.3.7.4 o se busca otras tablas de tamaño de muestra. Si una tabla de tamaño de muestra subsecuente o precedente para el nivel de razón del costo

proporciona de n I y nT para la celda correspondiente, estos tamaños de muestra son aplicables, en cualquier otro caso ir al apartado 6.3.7.4.

6.3.7.4 Reconsideración del intervalo de discriminación

Si es imposible obtener nI y nT, o si los valores obtenidos para nI y nT parecieran ser muy grande, entonces regresar al apartado 5.6.3 para la reconsideración del intervalo de discriminación.

32


6.4 Selección y preparación de muestras

6.4.1 Generalidades

Para la inspección de un lote individual, se deben seguir los siguientes procedimientos (Véase la Figura 1).

6.4.2 Remisión de un lote

Como regla un bach de producción de material a granel presentado una sola vez u ofrecido para su despacho deberá ser remitido como un lote de inspección.

6.4.3 Toma de incrementos de muestreo

De acuerdo al procedimiento especificado en el apartado 5.3.2 para la toma de incrementos de muestreo, se deberán tomar 2nI incrementos de un lote.

6.4.4 Conformación de muestras compósito

De acuerdo con el procedimiento especificado en el apartado 5.3.3 para la conformación de muestra compósito, nI incrementos de muestreo serán agrupados y juntados para formar una muestra compósito, formando dos muestras compósito

6.4.5 Preparación de las muestras de ensayo

De acuerdo al procedimiento de preparación de muestra de ensayo especificado en el apartado 5.3.4, serán preparadas nT muestras de ensayo, respectivamente de cada una de las dos muestras compósito.

6.4.6 Mediciones

De acuerdo al procedimiento de medición especificado en el apartado 5.3.5, serán extraídas nM porciones de ensayo de 2nT muestras de ensayo, respectivamente, y se deberán hacer 2nTnM mediciones por lote.

6.4.7 Determinación de la aceptabilidad del lote

El promedio de la muestra será calculado y se deberá determinar la aceptabilidad del lote de acuerdo al apartado 6.6.


6.4.8 Disposición de un lote no aceptable

Un lote no aceptable será dispuesto en concordancia con un acuerdo previamente establecido en la inspección para aceptación de un lote individual.

TABLA 3 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 10%), razón de costo nivel 1 para RC ≈ 0,10 (0 a 0,17)

dI dT (valor preferido)

Valor preferido

Zona 0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15

nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT

0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 9 2 14 2 20 2 32 2 48

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 10 2 15 2 22 2 32 2 50

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 10 2 16 2 22 2 34 2 50

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 8 2 12 2 17 2 24 2 36 *

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 9 2 13 2 19 2 26 2 40 *

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 8 2 11 2 15 2 22 2 32 3 42 *

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 6 2 8 2 10 3 12 3 17 3 26 3 36 4 48 *

0,800 0,711 a 0,900 3 2 3 2 3 3 3 4 3 6 3 7 3 9 4 11 4 15 4 22 4 30 5 38 * *

1,00 0,901 a 1,12 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 11 5 14 6 24 6 24 6 34 7 44 * *

1,25 1,13 a 1,40 7 3 7 4 7 4 7 6 7 8 8 9 8 12 8 17 8 22 9 26 9 40 10 50 * *

1,60 1,41 a 1,80 11 4 11 5 11 12 7 12 9 12 12 12 16 13 20 13 26 14 32 14 46 * * *

2,00 1,81 a 2,24 18 4 18 6 18 7 18 9 18 12 18 15 19 19 19 26 20 30 20 42 22 50 * * *

2,50 2,25 a 2,80 28 6 28 7 28 9 28 11 28 14 28 18 28 24 30 28 30 40 30 50 * * * *

3,15 2,81 a 3,55 44 7 44 9 44 11 44 14 44 18 44 22 46 28 46 36 46 48 * * * * *

NOTA 1 Cada zona para el dT preferido es igual a la del mismo dI preferido, respectivamente.

NOTA 2 De ocurrir uno de los eventos siguientes, entonces reconsiderar el intervalo de discriminación

a) No existe fila del dI preferido

b) No existe columna del dT preferido

NOTA 3 Si se observa “*” en la celda, entonces reconsiderar el intervalo de discriminación, o busque en otras tablas, que puedan dar tamaños de muestra aplicables.


TABLA 4 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 10%), razón de costo nivel 2 para RC ≈ 0,32 (0,18 a 0,56)


Valor preferido

Zona 0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 8 2 14 2 19 2 28 2 46

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 8 2 15 2 20 2 30 2 46

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 2 9 2 16 2 20 2 30 2 50

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 9 2 17 2 22 2 34 3 50

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 10 2 19 3 22 3 34 4 50

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 2 9 3 11 3 22 3 26 4 36 *

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 4 3 6 3 10 4 12 4 26 5 26 5 40 *

0,800 0,711 a 0,900 3 2 3 2 3 2 4 2 4 3 4 4 4 5 4 8 5 10 5 15 6 30 7 28 8 40 *

1,00 0,901 a 1,12 5 2 5 2 5 2 5 3 5 4 5 5 6 6 6 9 7 11 7 17 8 34 9 32 10 46 *

1,25 1,13 a 1,40 7 2 7 2 7 3 8 3 8 4 8 6 9 8 9 11 10 13 10 19 12 40 13 36 14 50 *

1,60 1,41 a 1,80 12 2 12 3 12 3 12 4 12 6 13 7 14 9 14 12 15 16 16 22 17 46 19 40 * *

2,00 1,81 a 2,24 18 3 18 3 18 4 19 5 19 7 19 9 20 11 20 15 22 20 24 24 24 50 26 48 * *

2,50 2,25 a 2,80 28 3 28 4 28 5 28 6 30 8 30 11 30 14 32 18 32 24 34 30 36 42 * * *

3,15 2,81 a 3,55 44 4 44 5 44 6 44 8 46 10 46 13 48 17 48 22 50 28 50 36 * * * *

NOTA Véase las notas de la Tabla 3



Valor preferido Zona

0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 12 2 18 2 28 2 44

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 12 2 19 2 30 3 46

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 8 2 13 2 20 3 30 4 46

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 5 2 9 3 13 3 20 4 30 5 46

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 3 9 3 14 4 20 5 32 6 48

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 7 4 9 4 15 5 22 6 32 8 50

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 4 4 4 5 4 7 5 10 6 15 7 22 8 34 10 50

0,800 0,711 a 0,900 3 2 3 2 3 2 4 2 4 2 4 3 5 4 6 5 6 8 7 11 8 17 10 24 11 36 *

1,00 0,901 a 1,12 5 2 5 2 5 2 5 2 6 2 7 3 7 4 8 6 8 9 10 12 11 18 13 26 15 38 *

1,25 1,13 a 1,40 7 2 7 2 8 2 9 2 9 3 9 4 10 5 11 7 12 10 14 13 15 20 17 28 20 40 *

1,60 1,41 a 1,80 12 2 12 2 13 2 13 3 14 3 15 4 15 6 17 8 18 11 20 15 22 22 24 32 28 44 *

2,00 1,81 a 2,24 18 2 19 2 20 2 20 3 20 4 22 5 22 7 24 10 26 13 28 17 32 24 34 34 38 48 *

2,50 2,25 a 2,80 28 2 30 2 30 3 30 4 32 5 32 6 34 8 36 11 38 15 40 20 44 28 48 38 * *

3,15 2,81 a 3,55 44 2 46 3 46 4 46 5 48 6 50 8 50 10 * * * * * * *






0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 12 3 18 3 28 4 44

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 3 12 3 18 4 28 5 44

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 3 7 3 12 4 18 5 28 6 44

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 5 3 8 4 12 5 19 6 28 8 44

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 4 5 4 8 6 12 7 19 8 30 10 46

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 5 5 6 8 7 13 9 19 11 30 13 46

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 3 5 4 6 6 8 9 9 14 11 20 14 30 17 48

0,800 0,711 a 0,900 3 2 3 2 4 2 4 2 5 2 6 2 6 3 8 4 9 6 11 9 12 14 15 20 18 32 22 48

1,00 0,901 a 1,12 5 2 5 2 6 2 6 2 7 2 9 2 10 3 10 5 11 7 13 10 16 15 20 22 24 32 28 50

1,25 1,13 a 1,40 8 2 8 2 9 2 9 2 10 2 11 3 12 4 15 5 17 7 19 10 22 16 24 24 30 34 36 50

1,60 1,41 a 1,80 12 2 13 2 14 2 14 2 16 2 17 3 19 4 20 6 24 8 26 12 30 17 36 24 42 36 *

2,00 1,81 a 2,24 19 2 20 2 20 2 22 2 22 3 26 3 26 5 28 7 32 9 36 13 40 19 48 26 * *

2,50 2,25 a 2,80 28 2 30 2 30 2 34 2 34 3 36 4 40 5 40 8 46 10 50 14 * * * *

3,15 2,81 a 3,55 46 2 46 2 50 2 50 3 50 4 * * * * * * * * *


TABLA 7 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 10%), razón de costo nivel 5 para RC ≈ 10 (5,7 ó más)



0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50 3,15


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 3 7 4 11 4 18 6 28 7 44

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 4 7 5 11 6 18 7 28 9 44

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 5 4 7 6 11 7 18 9 28 11 44

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 5 5 6 7 7 12 9 18 11 28 14 44

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 6 3 6 5 8 7 9 12 12 18 14 28 18 44

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 6 2 7 3 7 5 9 8 12 12 15 18 18 28 22 44

0,630 0,561 a 0,710 3 2 3 2 3 2 4 2 5 2 5 2 8 2 9 3 11 5 12 8 16 12 19 19 24 28 28 46

0,800 0,711 a 0,900 4 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 10 2 11 4 14 5 17 8 20 13 26 19 28 30 36 46

1,00 0,901 a 1,12 6 2 6 2 7 2 8 2 9 2 11 2 12 3 15 4 17 6 22 8 26 13 30 20 40 30 48 46

1,25 1,13 a 1,40 9 2 10 2 10 2 12 2 13 2 15 2 17 3 22 4 24 6 26 9 32 14 42 20 50 30 *

1,60 1,41 a 1,80 14 2 15 2 16 2 17 2 19 2 22 2 26 3 30 4 34 6 40 9 46 14 50 22 * *

2,00 1,81 a 2,24 20 2 22 2 22 2 24 2 26 2 32 2 36 5 38 5 44 7 50 10 * * * *

2,50 2,25 a 2,80 32 2 32 2 34 2 36 2 40 2 42 3 48 4 * * * * * * *

3,15 2,81 a 3,55 48 2 50 2 50 2 * * * * * * * * * * *



TABLA 8 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%), razón de costo nivel 1 para RC ≈ 0,10 (0 a 0,17)



0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50

nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT nI nT

0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 8 2 11 2 18 2 26 2 40

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 8 2 12 2 19 2 28 2 42

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 9 2 13 2 20 2 30 2 44

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 7 2 10 2 15 2 22 2 32 2 46

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 8 2 12 2 17 2 24 2 36 3 50

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 7 2 11 2 14 2 20 3 26 3 40 *

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 3 2 4 2 4 3 5 3 6 3 8 3 12 3 17 3 22 4 30 4 44 *

0,800 0,711 a 0,900 4 2 4 3 4 4 4 4 4 6 4 9 4 11 5 14 5 19 5 26 6 34 6 50 *

1,00 0,901 a 1,12 6 3 6 4 6 5 6 6 6 8 6 10 6 13 7 17 7 24 8 28 8 42 * *

1,25 1,13 a 1,40 9 4 9 4 9 6 9 7 9 10 10 12 10 15 10 22 11 26 11 36 12 48 * *

1,60 1,41 a 1,80 14 5 14 6 15 7 15 9 15 12 15 15 16 19 16 26 17 32 17 44 * * *

2,00 1,81 a 2,24 22 6 22 7 22 9 22 11 24 15 24 18 24 24 24 32 26 38 26 50 * * *

2,50 2,25 a 2,80 3 7 34 9 34 11 34 14 36 18 36 22 36 30 38 36 38 50 * * * *





NOTA 3 Si se observa “*” en la celda, entonces reconsiderar el intervalo de discriminación, o buscar en otras tablas, que puedan dar tamaños de muestra aplicables.

TABLA 9 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%), razòn de costo nivel 2 para RC ≈ 0,32 (0,18 a 0,56)



0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 10 2 16 2 24 2 36

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 10 2 16 2 24 2 38

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 2 11 2 17 2 26 2 40

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 5 2 8 2 12 2 19 2 28 3 42

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 2 10 2 14 3 20 3 30 4 44

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 6 3 7 3 10 3 15 4 20 4 32 4 36

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 5 3 6 4 8 4 12 5 16 5 24 6 34 5 40

0,800 0,711 a 0,900 4 2 4 2 4 2 4 3 4 4 5 5 5 7 5 10 6 13 7 18 7 28 8 38 8 40

1,00 0,901 a 1,12 6 2 6 2 6 3 6 4 7 5 7 6 7 9 8 11 8 16 9 22 10 30 11 42 *

1,25 1,13 a 1,40 9 2 9 3 10 3 10 4 10 6 10 7 11 10 11 14 12 18 13 24 15 32 16 46 *

1,60 1,41 a 1,80 15 3 15 3 15 4 16 5 16 7 16 9 17 12 18 16 19 20 20 28 22 38 24 50 *

2,00 1,81 a 2,24 22 3 22 4 24 5 24 7 24 9 24 11 26 14 26 19 28 24 30 32 32 44 * *

2,50 2,25 a 2,80 36 4 36 5 36 6 36 8 38 10 38 13 38 17 40 22 42 30 44 38 46 50 * *






0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 2 9 2 15 2 24 2 36

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 2 10 2 16 2 24 3 36

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 7 2 10 3 16 3 24 4 36

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 7 3 10 3 17 4 26 5 38

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 5 3 8 4 11 4 18 5 26 6 40

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 4 8 5 12 6 18 7 26 8 40

0,630 0,561 a 0,710 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4 3 5 4 5 6 6 8 6 13 8 19 9 28 11 42

0,800 0,711 a 0,900 4 2 4 2 4 2 5 2 5 3 5 4 6 5 7 7 8 10 9 14 10 22 12 30 14 44

1,00 0,901 a 1,12 6 2 6 2 7 2 7 2 8 3 8 4 8 6 10 8 11 11 12 15 14 22 16 32 19 48

1,25 1,13 a 1,40 9 2 10 2 10 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 9 15 12 17 17 19 24 22 36 26 50

1,60 1,41 a 1,80 15 2 16 2 16 3 17 3 18 4 18 6 19 6 22 10 22 14 24 19 28 28 32 38 *

2,00 1,81 a 2,24 24 2 24 2 24 3 26 4 26 5 26 7 28 8 30 12 32 16 36 22 38 32 42 44 *

2,50 2,25 a 2,80 36 2 36 3 36 4 38 5 40 6 40 8 42 9 44 14 48 19 50 26 * * *





0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 2 9 3 15 3 22 4 36

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 3 9 3 15 4 22 5 36

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 6 3 10 4 15 5 24 6 36

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 6 4 10 5 16 7 24 8 36

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 4 4 5 7 6 10 7 16 9 24 10 38

0,500 0,451 a 0,560 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 5 3 5 5 6 7 7 10 9 16 11 24 13 38

0,630 0,561 a 0,710 3 2 3 2 3 2 4 2 4 2 6 2 6 3 7 5 9 7 10 11 12 17 14 26 17 38

0,800 0,711 a 0,900 4 2 5 2 5 2 5 2 6 2 7 3 8 4 10 5 11 8 14 11 16 18 19 26 22 40

1,00 0,901 a 1,12 6 2 7 2 7 2 8 2 10 2 10 3 12 4 13 6 16 8 18 12 20 19 24 28 30 42

1,25 1,13 a 1,40 10 2 10 2 11 2 12 2 14 2 15 3 16 5 18 7 22 9 24 13 28 20 32 30 38 44

1,60 1,41 a 1,80 16 2 16 2 17 2 19 2 20 3 20 4 24 5 28 7 30 10 32 15 38 22 44 32 50 46

2,00 1,81 a 2,24 24 2 24 2 26 2 28 2 30 3 32 4 34 6 38 8 42 11 46 16 50 24 * *

2,50 2,25 a 2,80 36 2 38 2 40 2 42 3 44 4 46 5 48 7 50 10 * * * * *



TABLA 12 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%), razón de costo nivel 5 para RC ≈ 10 (5,7 ó más)



0,160 0,200 0,250 0,315 0,400 0,500 0,630 0,800 1,00 1,25 1,60 2,00 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 6 4 9 5 14 6 22 7 34

0,200 0,181 a 0,224 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 4 6 4 9 6 14 7 22 9 34

0,250 0,225 a 0,280 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 5 6 6 9 7 15 9 22 11 34

0,315 0,281 a 0,355 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 4 4 6 6 7 9 9 15 11 22 14 36

0,400 0,356 a 0,450 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 3 6 4 8 6 10 9 12 15 15 24 18 36

0,500 0,451 a 0,560 2 2 3 2 3 2 4 2 4 2 5 2 6 3 9 4 10 6 12 10 15 15 18 24 22 36

0,630 0,561 a 0,710 3 2 4 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 3 11 4 13 6 15 10 19 16 24 24 30 36

0,800 0,711 a 0,900 5 2 6 2 6 2 7 2 8 2 11 2 12 3 14 5 17 7 22 10 26 16 32 24 36 38

1,00 0,901 a 1,12 8 2 8 2 9 2 10 2 12 2 14 2 17 3 19 5 24 7 26 11 32 17 38 26 50 38

1,25 1,13 a 1,40 11 2 12 2 13 2 15 2 17 2 20 2 22 3 26 5 28 8 36 11 44 17 50 26 *

1,60 1,41 a 1,80 18 2 19 2 20 2 22 2 24 2 26 3 30 4 34 6 42 8 48 12 * * *

2,00 1,81 a 2,24 26 2 28 2 30 2 32 2 36 2 40 3 44 4 50 6 * * * * *

2,50 2,25 a 2,80 40 2 42 2 44 2 46 3 50 3 * * * * * * * *



TABLA 13 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%) y grados de libertad para nM = 1, razón de costo nivel 1 para RC ≈ 0,10 (0 a 0,17)



0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50

nI nT νT nI nT νT nI nT νT nI nT νT nI nT νT nI nT νT nI nT νT

0,160 0,000 a 0,180 2 2 4,0 2 2 3,4 2 3 5,5 2 4 7,3 2 7 13 2 18 35 2 40 72

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,4 2 2 4,0 2 3 6,0 2 4 8,0 2 8 15 2 20 27 2 44 41

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,5 3 2 6,0 3 3 8,0 3 4 9,9 3 10 18 3 24 26 3 55 33

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,3 4 4 7,8 4 6 9,3 4 9 11 4 17 14 5 32 28 5 65 35

1,00 0,711 a 1,12 7 3 13 7 5 14 7 8 15 8 13 20 8 22 24 9 42 36 *

1,60 1,13 a 1,80 15 6 29 16 8 32 16 12 34 17 20 40 18 32 49 19 60 60 *

2,50 1,81 a 2,80 36 7 72 36 12 74 36 19 76 38 30 85 40 48 98 * *





NOTA 3 Si se observa “*” en la celda, entonces reconsiderar el intervalo de discriminación, o buscar en otras tablas, que puedan dar tamaños de muestra aplicables.

NOTA 4 Se usa el valor de νE para límites de especificación bilaterales, características múltiples de calidad, o una curva CO.

TABLA 14 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%) y grados de libertad para nM = 1, razón de costo nivel 2 para RC ≈ 0,32 (0,18 a 0,56)



0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 4,0 2 2 3,4 2 3 5,5 2 4 7,3 2 7 13 2 17 33 2 40 72

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,4 2 2 4,0 2 3 6,0 2 4 8,0 2 8 15 2 18 27 2 44 41

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,5 3 2 6,0 3 3 8,0 3 4 9,9 3 10 18 3 22 27 3 55 33

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,3 4 2 8,0 4 4 10 4 7 12 5 12 23 6 24 43 5 65 35

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 7 4 14 8 5 19 8 9 23 9 16 33 11 30 57 15 55 116

1,60 1,13 a 1,80 16 3 32 16 5 34 17 8 39 18 12 47 20 20 63 22 40 86 26 75 137

2,50 1,81 a 2,80 36 4 74 36 8 75 38 11 85 40 18 97 42 30 114 46 55 147 *






0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 4,0 2 2 3,4 2 3 5,5 2 4 7,3 2 7 13 2 16 31 4 36 74

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,4 2 2 4,0 2 3 6,0 2 4 8,0 3 7 14 3 17 35 4 38 79

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,5 3 2 6,0 3 3 8,0 3 4 9,9 4 8 19 5 18 41 7 40 89

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,3 4 2 8,0 4 3 9,9 5 5 16 7 9 27 8 20 51 12 42 103

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 7 3 14 8 4 19 9 7 27 12 11 41 16 22 70 20 48 131

1,60 1,13 a 1,80 16 2 31 17 3 35 18 5 41 20 8 51 22 16 70 28 28 108 38 55 181

2,50 1,81 a 2,80 36 4 74 38 4 79 40 7 89 42 12 103 48 20 131 55 38 181 70 70 276


TABLA 16 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%) y grados de libertad para nM = 1, razòn de costo nivel 4 para RC ≈ 3,2 (1,8 a 5,6)



0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 4,0 2 2 3,4 2 3 5,5 2 4 7,3 2 7 13 3 16 32 4 36 74

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,4 2 2 4,0 2 3 6,0 2 4 8,0 4 7 14 5 16 34 4 36 75

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,5 3 2 6,0 3 3 8,0 4 4 10 5 8 19 8 17 39 11 38 85

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,3 4 2 8,0 4 3 9,9 7 4 12 9 8 23 12 18 47 18 40 97

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 8 2 15 10 3 18 12 5 23 16 9 33 20 20 63 30 42 114

1,60 1,13 a 1,80 17 2 33 18 2 27 22 3 27 24 6 43 30 11 57 40 22 86 55 46 147

2,50 1,81 a 2,80 38 2 70 40 3 74 46 4 65 48 8 90 55 15 116 75 26 137 *


TABLA 17 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%) y grados de libertad para nM = 1, razón de costo nivel 5 para RC ≈ 10 (5,7 ó más)



0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 4,0 2 2 3,4 2 3 5,5 2 4 7,3 3 7 13 6 15 29 7 36 72

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,4 2 2 4,0 2 3 6,0 4 4 7,8 5 7 14 8 16 32 12 36 74

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,5 3 2 6,0 3 3 8,0 6 4 9,3 8 7 15 12 16 34 19 36 76

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,3 4 2 8,0 5 3 11 9 4 11 13 8 20 20 17 40 30 38 85

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 8 2 15 10 3 18 17 4 14 22 8 24 32 18 49 48 40 98

1,60 1,13 a 1,80 18 2 35 20 2 27 24 3 26 32 5 28 42 9 36 60 19 60 *

2,50 1,81 a 2,80 40 2 72 44 2 41 55 3 33 65 5 35 * * *



TABLA 18 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%) y grados de libertad para nM = 2, razón de costo nivel 1 para RC ≈ 0,10 (0 a 0,17)



0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 5,3 2 2 6,0 2 2 5,1 2 3 9,0 2 7 24 2 17 56 2 40 112

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,7 2 2 5,3 2 2 5,9 2 4 12 2 8 22 2 20 34 2 44 48

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,8 3 2 7,5 3 3 10 3 5 15 3 10 23 3 24 30 3 50 39

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,5 4 4 7,9 4 6 9,4 4 9 12 4 17 14 5 32 30 5 65 37

1,00 0,711 a 1,12 7 3 13 7 5 14 7 8 15 8 13 21 8 22 25 9 42 37 *

1,60 1,13 a 1,80 15 6 29 16 8 32 16 12 35 17 20 40 18 32 49 19 60 61 *

2,50 1,81 a 2,80 36 7 72 36 12 74 36 19 76 38 30 85 40 48 99 * *





0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 5,3 2 2 6,0 2 2 5,1 2 3 9,0 2 7 24 2 17 56 2 38 110

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,7 2 2 5,3 2 2 5,9 2 4 12 2 8 22 2 18 36 3 40 111

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,8 3 2 7,5 3 3 10 3 4 14 3 10 23 3 22 32 4 46 81

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,5 4 2 9,0 4 4 10 4 7 13 5 12 27 6 24 52 8 48 117

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 7 3 15 8 5 20 8 9 24 9 16 35 11 30 64 15 55 144

1,60 1,13 a 1,80 16 3 32 16 5 34 17 8 40 18 12 49 20 20 67 22 40 92 26 75 150

2,50 1,81 a 2,80 36 4 74 36 8 76 38 11 86 40 18 99 42 30 118 46 55 153 *





0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 5,3 2 2 6,0 2 2 5,1 2 3 9,0 2 7 24 2 16 54 3 36 129

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,7 2 2 5,3 2 2 5,9 3 3 9,9 3 7 26 3 17 59 4 38 133

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,8 3 2 7,5 3 2 7,7 3 4 14 4 8 31 5 18 66 7 40 148

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,5 4 2 9,0 4 3 11 5 5 20 6 9 36 8 20 76 12 42 166

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 7 3 15 8 4 21 9 7 30 11 12 51 16 22 103 19 48 189

1,60 1,13 a 1,80 16 2 33 17 3 38 18 5 45 20 8 59 22 16 81 28 28 139 38 55 256

2,50 1,81 a 2,80 36 4 74 36 4 83 40 7 95 42 12 111 48 19 150 55 38 213 70 70 355






0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 5,3 2 2 6,0 2 2 5,1 2 3 9,0 2 7 24 4 15 54 4 36 132

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,7 2 2 5,3 2 2 5,9 3 3 9,9 3 7 26 5 16 61 8 36 135

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,8 3 2 7,5 3 2 7,7 4 4 17 6 7 29 8 16 65 11 38 150

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,5 4 2 9,0 6 2 10 6 4 20 9 8 39 13 17 76 18 40 169

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 8 2 17 10 3 25 12 5 35 16 9 54 22 19 99 30 42 196

1,60 1,13 a 1,80 17 2 35 18 2 35 22 3 41 24 6 61 30 11 88 40 22 141 55 46 249

2,50 1,81 a 2,80 38 2 77 40 3 84 44 4 88 50 7 108 55 15 157 75 26 214 *


TABLA 22 – Tamaños de muestra (α ≈ 5%, β ≈ 5%) y grados de libertad para nM = 2, razón de costo nivel 5 para RC ≈ 10 (5,7 ó más)



0,160 0,250 0,400 0,630 1,00 1,60 2,50


0,160 0,000 a 0,180 2 2 5,3 2 2 6,0 2 2 5,1 2 3 9,0 4 6 19 5 15 53 7 36 131

0,250 0,181 a 0,280 2 2 3,7 2 2 5,3 2 2 5,9 4 3 9,5 5 7 25 8 15 55 12 36 133

0,400 0,281 a 0,450 3 2 5,8 3 2 7,5 4 2 7,7 7 3 10 8 7 28 12 16 63 19 36 138

0,630 0,451 a 0,710 4 2 7,5 4 2 9,0 7 2 10 9 4 20 13 7 31 20 16 67 30 38 154

1,00 0,711 a 1,12 7 2 13 8 2 17 13 2 13 17 4 25 22 8 44 34 17 80 48 40 176

1,60 1,13 a 1,80 17 2 35 20 2 37 24 3 41 34 4 31 42 9 63 55 19 110 *

2,50 1,81 a 2,80 40 2 80 44 2 62 50 3 60 65 5 62 * * *


6.5 Determinación del valor de aceptación

6.5.1 Procedimientos estándar

6.5.1.1 Límite de especificación de una cola

Cuando se especifica un límite de especificación inferior, LEI, se obtiene el valor de aceptación inferior usando la siguiente ecuación:

xL=mA−γ×D=mA−0 , 562×D


Cuando se especifica un límite de especificación superior, LES, se obtiene el valor de aceptación superior usando la siguiente ecuación:

xU=mA+γ×D=mA+0 , 562×D

6.5.1.2 Límites de especificación de dos colasCuando los límites de especificación de dos colas, LEI y LES, los valores más bajos y más altos de aceptación se obtienen usando las siguientes ecuaciones:

_6.5.2 Procedimientos opcionales para el 5% de riesgos y procedimientos para desviaciones estándar imprecisas

a) Configurar los valores de y como sigue:

a) Fijar los valores de y como sigue:

= 0,500 = 0,566

b) Fijar los valores de valores de aceptación inferior y superior como siguen:

xL=0,5(mA ,L+mR , L)xU=0,5(mA ,U +mR ,U )

6.6 Determinación de la aceptabilidad del lote

6.6.1 Obtención de promedios de la muestra

6.6.1.1 Promedios de la muestra de ensayo

Promedios de 2 nT muestras de ensayo, xij, deberían ser obtenidos de los nM resultados de medición, respectivamente, usando la siguiente ecuación:

Donde:xijk es el resultado de k-èsima medicion , de la j-ésima muestra de ensayo e i-ésima muestra compósito.


6.6.1.2 Promedios de muestra compósito

Los promedios de dos muestras compósito x i . . deben ser calculados de los nT promedios de muestras de ensayo, respectivamente, usando la siguiente ecuación:

6.6.1.3 Promedio general de muestra

El promedio general de muestra, , debe ser calculado de los promedios de las dos muestras compósito usando la siguiente ecuación:

x . ..=12∑i=1

2

x̄ i . .

6.6.2 Aceptabilidad de lote

La aceptabilidad del lote deber ser determinada de acuerdo con el siguiente criterio de aceptación.

a) Cuando un límite de especificación inferior de una cola LEI es especificado:

Si ≥ , el lote es aceptable ,y

Si < , el lote es no aceptable

b) Cuando un límite de especificación superior de una cola LES, es especificado:

Si ≤ , el lote es aceptable, y

Si > , el lote es no aceptable

c) Cuando los límites de especificación, de dos colas, LEI y LES son especificados:

Si ≤ ≤ , el lote es aceptable y

Si cualquiera < ó > , el lote es no aceptable.


7. EJEMPLOS

7.1 Desviación estándar imprecisa con límite de especificación de una cola

Un químico industrial consistente de gránulos finos será llevado periódicamente en un contenedor grande como un material a granel, por cada entrega. Este material será procesado además incluyendo la homogenización. Por tanto, es deseable obtener un plan de muestreo económico, teniendo suficiente seguridad para el parámetro de la distribución.

Las características escogidas para probar la aceptabilidad del lote es una propiedad física y un límite de especificación inferior, LEI= 90% es especificado para el parámetro de la distribución. Basado en un experimento preliminar, las desviaciones estándar en sus respectivas etapas son asumidas como sigue:

1 = 4,4 ; P = 1,0 y M = 3,0

Los componentes del costo son como sigue: c1= 25, cT= 20 y cM= 60. Los límites de calidad, mA= 96,0 y mR= 92,0, son especificados de acuerdo con los procedimientos para desviaciones estándar imprecisa, el siguiente plan de muestreo es obtenido:

a) límite de especificación inferior, LEI: 90,0

b) límite de calidad de aceptación, mA: 96,0

c) límite de calidad de no aceptación,mR: 92,0

d) intervalo de discriminación, D: 4,0

e) valor de aceptación inferior,x̄L : x̄L=0,5(mA+mR)=0,5(96 , 0+92 , 0)= 94,0

f) desviación estándar entre incrementos de muestreo,I: 4,4

g) desviación estándar entre muestras de ensayo, P: 1,0

h) desviación estándar de medición, M: 3,0

i) número de muestras compósito, 2

j) costo de tomar un incremento de muestreo, cI: 25

k) costo de preparar una muestra de ensayo, cT: 20

l) costo de una medición, cM: 60

m)número de mediciones por muestra de ensayo, nM :σ M /σ P=3,0/1,0=3→nM=

2

n) desviación estándar de muestra de ensayo, σ

σ T=√σ P2 +

σ M2

nM=√1,02+3,02

2=√5 ,50=

2,35


o) costo de tratar una muestra de ensayo, cTM : cTM=cT +nM cM=20+2 x 60= 140

p) razón del costo, Rc : Rc=cTM /cI=140 /25= 5,60

q) desviación estándar relativa entre incrementos de muestreo,

d I :d I=σ I / D=4 ,40 /4,0=

1,10

r) desviación estándar de muestra de ensayo relativa, dT :dT=σT / D=2, 35/ 4,0= 0,588

s) selección de tabla: (nM=2 nivel de razón del costo 4)

t) tamaños de muestra,

n I y nT :d I=1 ,10→1 , 00 ;dT=0 , 588→0 , 630 :nI=12 , nT= 5

NOTA 1 El costo variable por lote,C , puede calcularse como sigue:

C=2 (nI c I+nT CTM )=2 (12 x 25+5 x 140 )=2 000

NOTA 2 El valor aproximado del cálculo de desviación estándar,E puede calcularse como sigue:

σ E=√ σ I2

2 nI+

σT2

2 nT=√ 4 ,402

2 x 12+ 2 , 352

2 x 5=√1 ,359=1 ,17

7.2 Desviación estándar imprecisa con límites de especificación de dos colas.

Las condiciones son casi las mismas que aquellas dadas para el apartado7.1, excepto que, adicionalmente el límite de especificación superior LES = 110, está también especificado para el parámetro de distribución. En este caso, el límite de especificación superior es técnicamente de menor importancia que el límite de especificación inferior, y de ahí los límites de calidad mA= 106.0 y mR = 110.0 son especificados. De acuerdo con los procedimientos para la desviación estándar imprecisa, el siguiente plan de muestreo es obtenido.

a) límite de especificación inferior, LEI 90,0

b) límite de especificación superior, LES 110,0

c) límite de calidad de aceptación inferior. mA , L :96,0

d) límite de calidad de no aceptación inferior, mR , L :92,0


e) límite de calidad de aceptación superior, mA , U :106,0

f) límite de calidad de no aceptación superior, mR ,U :110,0

g) intervalo de discriminación, D: 4,0

h) valor de aceptación inferior, x̄L : x̄L=0,5(mA, L+mR , L)=0,5(96 ,0+92 ,0 )= 94,0

i) valor de aceptación superior, x̄U : x̄U=0,5 (mA ,U +mR ,U )=0,5 (106 ,0+110 ,0)= 108,0

j) intervalo entre los límites de calidad de aceptación superior e inferior,

Δ : Δ=mA , U−mA , L=106 , 0−96 , 0=10,0

k) intervalo de restricción,δ x D (el valor interino): δ x D=0 ,566 x 4,0=2 ,26 < 10,0

l) desviación estándar entre incrementos de muestreo, σ I : 4,4

m)desviación estándar entre muestras de ensayo, σ P : 1,0

n) desviación estándar de medición, σ M : 3,0

o) número de muestras compósito, 2

p) costo de tomar un incremento de muestreo, cI: 25

q) costo de preparar una muestra de ensayo, cT: 20

r) costo de una medición, cM: 60

s) número de mediciones por muestra de ensayo: nM :σ M /σ P=3,0/1,0=3→nM= 2

t) desviación estándar de la muestra de ensayo,

σ T=√σ P2 +

σ M2

nM=√1,02+3,02

2=√5 ,50=

2,35

u) costo de tratar una muestra de ensayocTM : cTM=cT +nM cM=20+2 x 60= 140

v) razón del costoRC :RC=cTM /cI=140 /25= 5,60

w)desviación estándar relativa entre incrementos de muestreod I :d I=σ I / D=4 ,40 /4,0= 1,10

x) desviación estándar de muestra de ensayo relativadT :dT=σT / D=2,35/ 4,0= 0,588

y) selección de tabla: Tabla 21( nM nivel de razón del costo 4)

z) confirmación de plan de muestreo:

- tamaños de muestra, n I y nT :d I=1 ,10→1 , 00 ;dT=0 ,588→0 , 630 :n I=12, nT =5


-E y (tabla 1);νE=35→δ=0 ,566

- reconfirmación del intervalo de restricción, δ x D :δ x D=0 ,566 x 4,0=2 , 26 <10 , 0NOTA: El costo variable y el cálculo de desviación estándar son los mismos que en el apartado 7.1,

concretamente:

- el costo variable, C =2 000;

- el valor aproximado del cálculo de desviación estándar, E=1,17

7.3 Procedimiento opcional para desviación estándar conocida con límite de especificación de una cola

La condiciones son casi la mismas como la dada para el apartado 7.1 excepto que las desviaciones estándar en las respectivas etapas son conocidos y estables, dado que, 1 = 4,4, P =1,0 y σM = 30

a) límite de especificación inferior, LIE: 90,0


c) límite de calidad de no aceptación, mR: 92,0


e) valor de aceptación inferior, x̄L : x̄L=0,5(mA , L+mR , L)=0,5(96 , 0+92 , 0 )= 94,0

f) desviación estándar entre incrementos de muestreo, σ I : 4,4

g) desviación estándar entre muestras de ensayo, σ P : 1,0

h) desviación estándar de medición, σ M : 3,0


j) costo de tomar un incremento de muestreo, cI: 25

k) costo de preparar una muestra de ensayo, cT: 20

l) costo de una medición, cM: 60

m)número de mediciones por muestra de ensayo:

nM :b=σ M

σ P √ cT

cM= 3,0

1,0 √2060

=1 ,73→nM=2

n) desviación estándar de muestra de ensayo, σ T : 2,35

o) costo de tratar una muestra de ensayo, σ M : 140


p) razón del costo, RC: 5,60

q) desviación estándar relativa entre incrementos de muestreo, dI: 1,10

r) desviación estándar de muestra de ensayo relativa, dT: 0,588

s) selección de tabla: Tabla 11 (nivel de razón del costo 4)

t) tamaños de muestra, n I y nT :d I=1 ,10→1 , 00 ;dT=0 ,588→0 , 630 :n I=12, nT =4 NOTA 1 El costo variable C, puede calcularse como sigue:

c=2 (nI cI+nT cTM )=2 (12 x 25+4 x140 )=1 720

NOTA 2 El cálculo de desviación estándar σ E , puede calcularse usando la siguiente ecuación:

σ E=√ σ I2

2 nI+

σT2

2 nT=√ 4 ,402

2 x 12+ 2 , 352

2 x 4=√1 ,497=1, 22

7.4 Desviación estándar conocida con límite de especificación una cola

Las condiciones son casi las mismas a las dadas en el apartado 7.3 excepto que el riesgo del consumidor para mR es aprox. 10 %.

Las desviaciones estándar en sus respectivas etapas son conocidas y estables, esta dada, σ1 = 4,4; σp = 1.0 y , σM = 3.0. Los componentes del costo son como sigue: c1 = 25, cT = 20 y cM = 60. Los límites de calidad, mA = 9,60 y mR = 92,0 son especificados. De acuerdo con los procedimientos para desviación estándar conocido, el siguiente plan de muestreo es obtenido:

a) límite de especificación inferior, LIE: 90,0




e) valor de aceptación inferior, x̄L : x̄L=mA , L−γ xD=96 , 0−0 , 562 x 4,0= 96,75

f) desviación estándar entre incrementos de muestreo,σ I : 4,4

g) desviación estándar entre muestras de ensayo, σ P : 1,0

h) desviación estándar de medición, σ M : 3,0


j) costo de tomar un incremento de muestreo, c I : 25


k) costo de preparar una muestra de ensayo, cT : 20

l) costo de una medición, c M : 60

m)número de mediciones por muestra de ensayo:

b=σ M

σ P √ cT

c M=3,0

1,0 √2060

=1 , 73→nM=2

n) desviación estándar de la muestra de ensayo,

σ T : σT=√σ P2 +

σ M2

nM=√1,02+ 3,02

2=√5 ,50=

2,35

o) costo de tratar una muestra de ensayo, cTM : cTM=cT+nM cM=20+2 x 60= 140

p) razón del costo, RC :RC=cTM /cI=140 /25= 5,60

q) desviación estándar relativa entre incrementos de muestreo,

d I :d I=σ I / D=4 , 40 /4,0=

1,10

r) desviación estándar de muestra de ensayo relativa, dT :dT=σT /D=2, 35/ 4,0= 0,588

s) selección de tabla: Tabla 6 (nivel de razón del costo 4)

t) tamaños de muestra, n I y nT :d I=1 ,10→1 , 00 ;dT=0 ,588→0 , 630 :nI=10 ,nT=3

NOTA 1 El costo variable C, puede calcularse como sigue:

c=2 (nI cI+nT cTM )=2 (10 x25+3 x140 )=1 340

NOTA 2 El cálculo de desviación estándar σ E , puede calcularse usando la siguiente ecuación:

σ E=√ σ I2

2 nI+

σT2

2 nT=√ 4 ,402

2 x 10+ 2 ,352

2x 3=√1 , 888=1 , 37

7.5 Desviaciones estándar conocida con límites de especificación de dos colas

Las condiciones son casi siempre las mismas que las dadas para el apartado 7.4, excepto que el límite de especificación superior adicional, LES= 110.0, es también especificado para el parámetro de distribución. En este caso, el límite de especificación superior es técnicamente de menos importancia que el límite de especificación inferior. Por lo tanto los

límites de calidad mA , U=106 , 0 y mR ,U=110 ,0 son especificados. De acuerdo con los procedimientos para desviaciones estándar conocidas, el siguiente plan de muestreo es obtenido.



b) límite de especificación superior, LES: 110,0

c) límite de calidad de aceptación superior, mA , L :96,0

d) límite calidad de no aceptación inferior, mR , L :92,0

e) límite de calidad de aceptación superior, mA , U :106,0



h) valor de aceptación inferior, x̄L : x̄L=mA , L−γ xD=96 , 0−0 , 562 x 4,0= 93,75

i) valor de aceptación superior, x̄U : x̄U=mA ,U +γ . D=106 , 0+0 , 562 x 4,0= 108,25


Δ : Δ=mA , U−mA , L=

10

k) intervalo de restricción(limitante), δ x D :δ x D=0 ,566 x 4,0= 2,54<10,0

l) desviación estándar entre incrementos de muestreo,σ I : 4,4

m) desviación estándar entre muestras de ensayo, σ P : 1,0



p) costo de tomar un incremento de muestreo, c I : 25

q) costo de preparar una muestra de ensayo, cT 20

r) costo de una medición, c M : 60

s)número de mediciones por muestra de ensayo (Véase el apartado 7.4): nM : 2

t) desviación estándar de muestra de ensayo, (Véase el apartado 7.2) σ T : 2,35

u) costo de tratar una muestra de ensayo, cTM : cTM=cT +nM cM=20+2 x 60= 140

v) razón del costo, RC :RC=cTM /cI=140 /25= 5,60

w) desviación estándar relativa entre incrementos de muestreo,

d I :d I=σ I / D=4 , 40 /4,0=

1,10


x) desviación estándar de muestra de ensayo relativa, dT :dT=σT /D=2, 35/ 4,0= 0,588

y) selección de tabla: Tabla 6 (nivel de razón del costo 4)

z) tamaños de muestra, n I y nT :d I=1 ,10→1 , 00 ;dT=0 ,588→0 , 630 :n I=10 ,nT=3

NOTA: El costo variable y el cálculo de desviación estándar son los mismos que en el apartado 7,4, a

saber:

a) costo variable, C=1340

b) cálculo de desviación estándar, σ E=1, 37

7.6 Revisión del intervalo de discriminación

La siguiente aplicación muestra como ajustar el intervalo de discriminación para un plan más económico.

En el apartado 7.5, cinco lotes consecutivos han sido aceptables con resultados satisfactorios y la revisión del intervalo de discriminación es investigada además que se podría obtener un plan de muestreo más económico. El procedimiento es como sigue:


b) límite de especificación superior, LES: 110,0

c) límite de calidad de aceptación inferior, mA , L :97,0

d) límite calidad de no aceptación inferior, mR , L :91,0

e) límite de calidad de aceptación superior, mA , U104,0



h) valor de aceptación inferior, x̄L : x̄L=mA , L−γ . D=97 , 0−0 ,562 x 6,0= 93,63

i) valor de aceptación superior, x̄U : x̄U=mA ,U +γ . D=104 , 0+0 ,562 x 6,0= 107,37


Δ : Δ=mA , U−mA , L=

7,0

k) intervalo de restricción, δ x D :δ x D=0 ,636 x 6,0= 3,82<7,0

l) desviación estándar entre incremento de muestreo, σ I : 4,4


m) desviación estándar entre muestras de ensayo, σ P : 1,0



p) costo de tomar un incremento de muestreo, c I : 25,20

q) costo de preparar una muestra de ensayo, cT : 60

r) costo de una medición, c M : 2

s) número de mediciones por muestra de ensayo: nM : 2,35

t) desviación estándar de muestra de ensayo (Véase el apartado 7.4) σ T : 140

u) costo de tratar una muestra de ensayo, cTM : cTM=cT +nM cM=20+2 x 60= 5,60

v) razón del costo, RC :RC=cTM /cI=140 /25= 0,733

w) desviaciones estándar relativa entre incrementos de muestreo,

d I :d I=σ I / D=4 , 40 /4,0=

0,392

x) desviación estándar de muestra de ensayos relativa, dT :dT=σT / D=2,35/6,0=

y) selección de tabla: Tabla 6 (nivel de razón del costo 4)

z) tamaños de muestra, n I y nT :d I=0 ,733→0 ,800 ; dT=0 , 392→0 , 400 :n I=5 ,nT=2

NOTA 1: El costo variable, C, puede calcularse como sigue:

c=2 (nI cI+nT cTM )=2 (5 x25+2 x140 )=810

NOTA 2: Se prevé que el cambio de intervalo de discriminación desde el punto 4,0 hasta el punto 6,0 (un incremento de 1,5 veces) lleva a una reducción de costo de 1/1,52 (¿0 , 444 ) veces. En este caso, la reducción de costo real es desde 1 340 hasta 810 o 0,604 veces.

NOTA 3: El cálculo de desviación estándar, σ E , puede calcularse usando la siguiente ecuación:

σ E=√ σ I2

2 nI+

σT2

2 nT=√ 4 , 402

2 x 5+ 2 , 352

2 x 2=√3 , 317=1 , 82

NOTA 4: Se prevé que un incremento de 1,5 veces en el intervalo de discriminación para un incremento

de 1,5 veces en σ E , también. En este caso, el cambio real del cálculo de desviación estándar es desde 1,39 hasta 1,82 o 1,31 veces.


7.7 Resultados provenientes de un lote

7.7.1 Determinación de la aceptabilidad

De acuerdo al procedimiento dado en el apartado 7.4, el primer lote fue sometido a un muestreo para aceptación. Los resultados de mediciones y promedios de las muestras son dadas en la tabla 23, nI =10, nT =3 y nM = 2. La aceptabilidad del lote fue determinada, y las desviaciones estándar de la muestra fueron calculadas a partir de los resultados y comparadas con la LCS (Véase la Tabla 23)

TABLA 23 – Datos obtenidos provenientes de un lote

i =1 i =2k =1 k =2 x1 j . k =1 k =2 x2 j .

j = 1 103,7 106,1 104,90 102,5 99,0 100,75

j = 2 101,9 99,3 100,60 97,3 102,9 100,10

j = 3 97,9 108,7 103,30 101,5 101,5 101,50

x i . . -- -- 102,93 -- -- 100,78

-- -- -- -- -- 101,86

7.7.2 Aceptabilidad de lote

x . . .=101 , 86 > xL=93 ,75

El lote es aceptable.

7.7.3 Cálculo de las desviaciones estándar (valores de muestra)

Las Desviaciones estándar (valores de muestra) fueron calculadas de los resultados de los promedios de muestra y mediciones. Los grados de libertad y desviaciones estándar (valores de muestra) fueron determinados como sigue:

c = 2-1 = 1

vT=2(nT−1)=2x 2=4

vM=2nT (nM−1)=2 x3 x 1=6

...x


sc=√ ( x1 ..−x2 .. )2

2=√ (100 , 93−100 ,78 )2

2=1,52

sT =√ 1vT

∑i=1

2

∑j=1

nT

( xij .−xi .. )2=√10 ,434

=1 , 61

Donde:

∑i=1

2

∑j=1

3

(x ij .−x i . . )2=(104 , 90−102 , 93 )2+(100 ,60−102 , 93 )2+. .=10 , 43

y

sM=√ 1v M

∑i=1

2

∑j=1

nT (xij1−x ij2)2

2=√ (−2,4 )2+ (2,6 )2+. ..+ (−5,6 )2+(0 )2

6 x 2=3 ,79

7.7.4 Comparación con LCS

Las siguientes desviaciones estándar fueron usadas para obtener LCS

σM = 3.00

σT = 2.35 (Véase el apartado 7.4 n)

y

σ c=√ σ I2

nI+

σT2

nT=√ 4 , 402

10+ 2,352

3=1, 94

Valores del LCS y la comparación de los resultados son como sigue:

LCS , c= f U xσ c =2 ,800 x 1 ,94=5 ,432>1,52LCS , T=f U xσ T =1 ,924 x 2 ,35=4 ,521>1 ,61

yLCS , M=f U xσ M =1 , 755 x 3 , 00=5 ,265>3 , 79


7.8 Resultados provenientes de lotes consecutivos

7.8.1 Determinación de la aceptabilidad

Después que el lote examinado en el apartado 7.7, nueve lotes adicionales fueron sometidos a un muestreo para aceptación. Las desviaciones estándar de la muestra para los 10 lotes están dadas en la tabla 24

7.8.2 Comparación con LCS

LCS, c = 5,432 y LCS, T = 4,521 (Véase el apartado 7.7.4). Ninguno de los sc excede LCS,T. Por lo tanto el número de muestras compósito, dos, se tomarán sin cambio.

7.8.3 Reestimación de desviaciones estándar poblacionales

σ c =1, 825 σ T =2 , 229 y σ M =2 ,940

σ I=√nI(σc2−

σT2

nT)=√10 (1 ,8252−2 ,2292

3 )=4 ,09

σ P=√σ T2−

σ M2

nM=√2 ,2292− 2 ,9402

2=0 , 804

TABLA 24 - Datos de lotes consecutivosLote Nº sc sT sM

1 1,52 1,61 3,792 2,94 2,36 3,383 2,16 3,22 3,024 0,521 1,12 1,865 1,01 1,52 3,446 2,69 2,35 2,457 0,843 3,61 2,538 1,80 2,16 3,329 1,75 1,02 2,8510 1,46 1,83 2,17

∑ s233,29 49,70 86,46

Promedio de s2 3,329 4,970 8,646 1,825 2,229 2,940


7.8. 4 nM

=

2 , 9400 , 804 √20

60=2 ,11→nM=2

7.8.5 dI y dT

d I=σ I /D=4 ,09 /4,0=1 ,02dT =σT /D=2 ,23 /4,0=0 ,558

7.8.6 nI y nT

De la tabla 6 ( nivel 4 de razón costo)d I=1, 02→1 , 00 , dT=0 , 558→0 , 500; n I=9 , nT=2

7.8.7 Nuevo plan de muestreo

Para el siguiente lote, el nuevo plan de muestreo (nI=9, nT =2 y nM =2) debería ser usado.

8. ANTECEDENTE

ISO 10725:2000 Acceptance sampling plans and procedures for the inspection of bulk materials


ANEXO A(NORMATIVA)

Procedimientos especiales para inspeccionar un material de múltiples características

A.1 Introducción

Un material usualmente tiene dos o más características para ser inspeccionadas. Este anexo proporciona los siguientes procedimientos para las características múltiples:

a) procedimientos generales; yb) procedimientos especiales opcionales para prevenir un conjunto de riesgos.

A.2 Procedimientos generales para inspección de múltiples características

A.2.1 Muestras compósito

A no ser de que se cuente con otra especificación, usar la misma muestra compósito para todas las características. Si los procedimientos en esta NTP conducen a diferentes números de incrementos de muestreo por muestra compósito [nI, para diferentes características, entonces la mas grande (nI, máxima)] debería ser usada para el común nI.

A.2.2 Muestras de ensayos

En muchos casos, las mismas muestras de ensayos se pueden utilizar para todas las características. Si los procedimientos en esta Norma Técnica conducen a diferentes números de muestras de ensayo por muestra compósito, (nT) para diferentes características, el mayor número (nT, máximo) de las muestras de ensayo debería ser utilizado para la preparación de la muestra de ensayo. Entonces las muestras de ensayo deberían ser utilizadas para cada característica de las, muestras de ensayo máximas al azar.

A veces, diferentes muestras de ensayo se pueden requerir para diferentes características, por ejemplo, las muestras de ensayo para los tamaños de partícula son diferentes para los análisis químicos. En tales casos, las muestras de ensayo deberían ser preparadas por separado. Si los procedimientos de preparación de las muestras de ensayo son suficientemente simples, las muestras de ensayo también pueden ser preparadas por separado.


A.2.3 Preparación de muestras por separado

Para todas las otras muestras diferentes a las compósitos y las de ensayo, seguir los procedimientos de preparación de muestras para la inspección de una sola característica por separado, excepto cuando se proponga un procedimiento opcional especial.

A.3 Riesgos totales y procedimientos especiales

Los planes de muestreo de esta NTP están basados en asumir que se inspecciona una sola característica de calidad. Si el material tiene dos o más características que serán inspeccionadas, el riesgo del productor y el riesgo del consumidor aumentan. Para dos características, ambos riesgos totales pueden duplicarse. Para cinco características, los riesgos totales pueden ser cerca de cinco veces mayores, y podría resultar que el incremento de riesgo no sea tolerable.

Los procedimientos especiales para conocer las desviaciones estándar se encuentran en A.4 y aquellos para desviaciones estándar imprecisas están en A.5. Estos procedimientos especiales proveen una manera manejable de reducir los riesgos totales a los mismos niveles que los de una sola característica usando un intervalo de discriminación pequeña.

Se debería notar que algunas veces el aumento del riesgo puede ser tolerado, porque las mismas muestras compósitos es usada para diferentes características. Si diferentes nI son necesarios para inspeccionar dos características, entonces la mayor de las dos nI debería ser usada para ambas características, resultado menores riesgos para las otras características.

A.4 Procedimientos especiales para las desviaciones estándar conocidas

A.4.1 Procedimiento general para cada característica

Los procedimientos especiales opcionales para cada uno de las características son casi los mismos que aquellos usados cuando se inspecciona una sola característica. Las diferencias esenciales son las siguientes:

a) antes de determinar los tamaños de muestra, encontrar el factor de la corrección, f D en la tabla A.1 estos usando el número de características, J. La primera fila de valores en la tabla A.1 son usados para los procedimientos estándares (α≈¿ ¿ 5 %, β≈¿ ¿10 %) mientras que en la segunda fila los valores son usados para los procedimientos opcionales (α≈¿ ¿ 5 %, β≈¿ ¿5 %)


TABLA A1 - Factor de Corrección, fD para las J características para desviaciones estándar conocidas.

Nota 1: Los valores de la primera fila son usados para los procedimientos estándar (α≈¿ ¿ 5 %, β≈¿ ¿10 %)Nota 2: Los valores de la segunda fila son usados para los procedimientos opcionales (α≈¿ ¿ 5 %, β≈¿ ¿5 %)

b) Convertir cada intervalo de discriminación, D, para el valor mas pequeño, DN multiplicando D por el factor de corrección, fD:

DN = fD: X D

c) Obtener las desviaciones estándar relativas, dI y dT, usando DN para cada característica;

d) Encontrar muestras de tamaño, nI y nT, para cada característica.

Otros valores, nM,σ T , cT, RC, valores de aceptación y el nivel de razón del costo debería mantenerse sin cambios. El límite del intervalo x D, para simplificar debería mantenerse sin cambios.

El intervalo de discriminación mas pequeño, DN ,conduce a mayores tamaños de muestra, , nI y nT.

El método de convertir cada intervalo de discriminación para el valor pequeño es también aplicable para los procedimientos especiales dados en el Anexo B.

A.4.2 Ajuste total

Después de obtener el plan de muestreo, es necesario el ajuste total para cada característica.

Para las muestras compósitos, reconfirme nI para cada característica, y utilice el mayor, nI

máximo como el común nI.

En cuanto a muestras de ensayo, si nI para alguna característica es altamente remarcado cuando seguimos los procedimientos descritos arriba, entonces puede haber una ocasión de reducir nT El procedimiento es como sigue:


a. mover para la siguiente tabla para el nivel más alto de la razón costo; b. encontrar tamaños de muestra, nI y nT correspondientes a dI y dT

c. si nI > nI máximo entonces este valor de nT no puede ser usado;d. si nI = nI máximo entonces este valor de nT debería ser usado;e. si nI < nI máximo entonces este valor de nT puede ser usado, siendo ésto posible

para usar el valor más pequeño de nT. Regresar a a)

A.4.3 Riesgos individuales y Curvas CO

Los valores del riesgo del productor y del riesgo del consumidor para cada característica son dados en la Tabla A.2. La información en las curvas CO para los Planes de muestreo corregidos esta dado en C.7.2.

TABLA A.2 — Riesgos en la mA (α *) y en la mR (β *) (para cada característica J, en %)

J 2 3 4 5 6 8 10 15 20 10 %

5,13 3,45 2,60 2,09 1,74 1,31 1,05 0,70 0,53

5 % 2,53 1,70 1,27 1,02 0,85 0,64 0,51 0,34 0,26α * es el valor individual del riesgo del productor (Véase el Anexo C7)

β * es el valor individual del riesgo del consumidor (Véase el Anexo C7)

Nota 1: Los valores mas altos de la fila son para β ¿ 10%

Nota 2: Los valores mas bajos de la fila son para α ¿ 5%,y son también aplicables paraβ ¿ 5%

A.4.4 Ejemplo

A.4.4.1 Inspección de tres características

Las condiciones son casi las mismas que aquellas descritas en el apartado7.4, excepto en el material que tiene 3 características para ser inspeccionadas. Las diferencias esenciales son las siguientes:

a) factor de corrección, fD= 0,743 (en la Tabla A.1, J =3, es el mayor valor de la fila)

b) el intervalo de discriminación pequeño, DN: DN = fD x D = 0,743 x 4,0 = 2,97;

c) Desviaciones estándar relativas:

dI= =4,40/2,97 = 1,48; dT = =2,35/2,97 = 0,791


d) Tamaños de muestra, nI y nT.(en la tabla 6):

dI=1,48 1,60, dT=0,791 0,800; nI=20, nT=6.

Nota 1: El costo común : 2nIcI = 2 x 20 x 25= 1000 El costo apropiado: 2nTcTM = 2 x 6 x 140 = 1680Nota 2: La desviación estándar estimada,σ E, es calculada usando la siguiente ecuación:

=

A.4.4.2 Requerido: nI max

Las condiciones son casi las mismas que las que están en el Anexo A.4.4.1, excepto la otra característica que requiere nI max = 32 . Las diferencias esenciales son las siguientes:

a) La Tabla siguiente: Tabla 7;

b) Tamaños de muestra (para dI = 1,60 y dT = 0,800): nI = 30, nT = 4;

c) Como nI < nI, max, nI = 32 y nT = 4 debería ser usado.

Nota 1: El costo común : 2nIcI = 2 x 32 x 25= 1600 El costo apropiado: 2nTcTM = 2 x 4 x 140 = 1120

Nota 2: La desviación estándar estimada,σ E , es calculada usando la siguiente ecuación:

=

A.5 Procedimientos especiales para desviaciones estándar imprecisas:

A.5.1 Para cada característica:

a) Obtener vE para cada característica;

b) En la tabla A.3.,encontrar el factor de corrección, fD, para cada característica, usando vE y el número de características J;


c) Convertir cada intervalo de discriminación, D, para el valor mas ajustado, DN ,multiplicando D por el factor de corrección, fD

d) Obtener las desviaciones estándar relativas, dI y dT, usando DN para cada característica de calidad;

e) Obtener tamaños de muestra ,nI y nT y vE para cada característica;

f) Si vE es muy pequeño, regresar a a), porque cualquier cambio en vE no es insignificante.

A.5.2 Ajuste total:

Para ajuste total, Véase el Anexo A.4.2.

A.5.3 Ejemplo

Las condiciones son casi las mismas que aquellas dadas en el apartado 7.1, excepto si el material tiene tres características a ser inspeccionadas. Las diferencias esenciales son las siguientes:

a) El valor inicial de vE:35:b) El factor de corrección, fD : 0,764 (en la tabla A.3, J =3, vE:=30);c) El intervalo de discriminación ajustado, DN: DN = fD x D = 0,764 x 4,0 = 3,06;d) Desviación estándar relativa:

dI=σ I / DN =4,40/3,06 = 1,44; dT =σ T / DN = 2,35/3,06 = 0,768e) Tamaños de muestra, nI y nT (en la tabla 21):

d I=1, 44→1 ,60 , dT =0 ,768→1 , 00 ; nI=30 , nT=11

Nota 1: El costo común : 2nIcI = 2 x 30 x 25= 1500El costo apropiado: 2nTcTM = 2 x 11 x 140 = 3080

Nota 2: La desviación estándar estimada,σ E , es calculada usando la siguiente ecuación:

=


TABLA A.3 - Factor de corrección, fD, para J características, para desviaciones estándar imprecisas:


ANEXO B(NORMATIVO)

Procedimientos y planes de muestreo de aceptación cuando la desviación estándar de medición es dominante.

B.1 Introducción general

En algunos casos especiales, donde la desviación estándar de medición es dominante, los procedimientos estándar no son siempre adecuados. Este anexo proporciona planes y procedimientos de muestreo de aceptación para tales casos especiales.

Este anexo es aplicable cuando tanto la desviación estándar del incremento de muestreo,σ I , y

la desviación estándar entre muestras de ensayo , σ p son bastantes menores que la

desviación estándar de la medición, σ M ,la cual es conocida y estable.

Ejemplos:

- Un líquido de viscosidad baja en un solo recipiente o sin recipiente,

- Un ensayo físico o biológico para el cual la σ M es extremadamente grande.

B.2 Desviaciones estándar

B.2.1 Desviaciones estándar respectivas

Este anexo es aplicable cuando el valor de la desviación estándar de la medición de una

característica especifica de la calidad, σ M ,es dominante.

No siempre es necesario conocer los valores precisos de σ I y σ p , pero es suficiente que

ambos sean lo mas pequeños que σ M . Las condiciones son las siguientes:

a) σ I <0,1σ M y d I <0,1;

b) σ p <0,1σ M .

Si no se satisface alguna de las condiciones anteriores, en consecuencia este anexo no es aplicable y debería usarse los procedimientos estándar.


B.2.2 Desviación estándar total

Después de obtener los tamaños de muestra la desviación estándar total,. σ O ,esta dada por las siguientes ecuaciones:

a) Cuando nT >1,

σ O=√ nT nM

nIσ I

2+nM σ p2 +σ M

2

b) Cuando nT =1,(y nI =1),

σ O=√nM σ p2+σ M

2

En una investigación preliminar, se puede asumir σ O como 1,2σ M

B.2.3 Desviación estándar total relativa

La desviación estándar total debería convertirse a una relativa al dividirla por D.

dO=σ O

D

B.3 Costos

No debe ser necesario el conocimiento de los costos.

B.4 Tamaños de muestra

B.4.1 Número de muestras compósito

El número de muestras compósito debe ser dos

B.4.2 Determinación de nT y nM

De la tabla B.1,el número de las muestra de ensayo por muestra compósito, nT ,y el número

de mediciones por muestras de ensayo , nM ,se obtienen de la fila correspondiente al valor

calculado de dO .


TABLA B.1 - Procedimientos especiales para tamaños de muestra (desviaciones estándar conocidas; α ¿ 5%,β ¿ 10%)

Si no existe la línea de dO preferido entonces retornar al apartado 5.6.3, ya que el número

total de mediciones ,2 nT nM , es demasiado grande para ser práctico y es necesario reconsiderar el intervalo de discriminación.

NOTA: La Tabla B.1 proporciona una solución económica para el valor de nT nM .Un valor grande de nM no es deseable por razones prácticas. Este anexo asume que el máximo valor de nM es tres. Sin

embargo, para casos especiales donde un valor grande de nM es tolerable, se puede usar otro plan de

muestreo que tenga el mismo valor de nT nM .

Para procedimientos opcionales para α≈β≈5 % , usar la tabla B.2 en lugar de la tabla B.1.En este caso, configurar los valores de γ y δ como sigue:γ = 0,500δ = 0,586

En este caso, cambiar los valores de aceptación superior e inferior como sigue:xL=0,5 (mA , L+mR , L )xU=0,5 (mA ,U +mR ,U )


TABLA B.2 - Procedimiento especial para tamaños de muestras (desviaciones estándar conocidas; α≈β≈5 % )

Para procedimientos especiales para desviaciones especiales imprecisas cuando α≈β≈5 %usar la Tabla B.3.

NOTA: La tabla B.3 también da el valor de νE usado cuando se especifican los límites de especificación bilateral.

TABLA B.3 - Procedimiento especial para tamaños de muestras (desviaciones estándar

imprecisas; α≈β≈5 % )

NOTA: El valor de νE es usado para los límites de especificación bilateral, características de calidad múltiples o una curva CO.


B.4.3 n I

El número de incremento de muestreo por muestra compósito, nI ,es usualmente 2.Si nT=1

,entonces también nI=1 .

B.5 Confirmación de desviaciones estándar

B.5.1 Generalides

Si nT =1 (y nI=1 ), entonces las siguientes disposiciones especiales deberían ser aplicadas.

B.5.2 Desviación estándar de muestra combinada

Si nT =1, entonces la desviación estándar de la muestra,sc y sT , no deben ser separados, y

una desviación estándar de muestra combinada (valor de la muestra, scT ) debería ser obtenida del promedio de muestra de ensayo dado en el apartado 6.2.3, por la siguiente ecuación

simple (para nT=1 , nI=1 y vcT=1 );

scT =√ (x11.−x21 . )2

2

B.5.3 Gráficos de control

Si nT=1 , entonces el grafico de control scT debería ser usado en vez de los gráficos de

control de sc y sT .

B.5.4 Variancias combinadas entre los exámenes de las muestras

Si nT =1, entonces la variancia combinada entre las muestras de ensayo,σ IP2

es dada en la siguiente ecuación:

σ IP2 =σ cT

2 −σ M

2

nM


B.6 Desviación estándar estimada.

La desviación estándar estimada,σ E , es dada por la siguiente ecuación:

σ E=σ O

√2 nT nM

B.7 Ejemplos:

B.7.1 Desviación estándar conocida

Un químico industrial es producido por un proceso por lotes y entregado periódicamente. Se sabe que la variación dentro del proceso por lotes es insignificante, y que la desviación

estándar de medición,σ M ,es relativamente grande. Cada envío corresponde a la producción por lotes. El límite de especificación superior(LIE=90) es especificado por el parámetro de

distribución. La desviación estándar total, σ O ,es conocida y estable, y σ O=3 , 50 . Las

medidas de calidad mA=86 ,0 y mR=90 , 0 están especificados. De acuerdo con los procedimientos de este anexo, se obtiene el plan de muestreo siguiente:

a) límite de especificación superior, LES: 90,0




e)valor de aceptación superior, x̄U : x̄U=mA+γ . D=86 ,0+0 ,562 x 4,0= 88,25

f)desviación estándar total, σ O :3,50

g) desviación estándar total relativa, dO :dO=σO / D=3 , 50/4,0= 0,875

h) número de muestras compósito, 2

i) selección de tabla: tabla B.1

j)tamaños de muestranT y nM :dO=0 , 875→0 , 837 ; nT=1 , nM=3

k) número de incrementos de muestra: 1

NOTA. El cálculo de desviación estándar σ E está dado por la siguiente ecuación:


B.7.2 Desviación estándar imprecisa

Las condiciones son las mismas que en el Anexo B.7.1 excepto que la desviación estándar es imprecisa:a) límite de especificación superior, LEI: 90,0

b) límite de calidad de aceptación, mA : 86,0

c) límite de calidad de no aceptación, mR : 90,0


e) valor de aceptación superior, x̄U : x̄U=0,5 (mA+mR )=0,5 (86 ,0+90 )= 88,0

f) desviación estándar total, σ O :3,50

g) desviación estándar total relativa, dO :dO=σO / D=3 , 50/4,0= 0,875

h) número de muestras compósito; 2

i) tabla de selección: tabla B.3

j) tamaños de muestra, nT y nM :dO=0 ,875→0 , 964 ; nT=2 , nM =3

k) número de incrementos de muestreo nI: 2

NOTA El valor aproximado de la desviación estándar es estimada se calcula mediante la siguiente ecuación:

σ E=σ O

√2 nT nM= 3 , 50

√2 x 2 x 3=1 , 01


ANEXO C(INFORMATIVO)

Base teórica

C.1 Introducción general

Este anexo describe la base teórica de los procedimientos para la inspección de lotes utilizando desviaciones estándar conocidas. Los procedimientos son la base de esta NTP. En C.8 se proporciona información complementaria sobre los procedimientos para desviaciones estándar imprecisas.

C.2 Supuestos básicos

C.2.1 Generalidades

Los procedimientos para desviaciones estándar conocidas se basan en los siguientes supuestos:

a) la característica especificada de calidad x es una variable y es medible en una escala continua;

b) cada desviación estándar de x es conocida y estable;

c) el valor esperado del promedio físico y la media aritmética son iguales;

d) los promedios de x están distribuidos normalmente;

e) cada muestra compósito representa el lote;

f) las mediciones son realizadas en un solo laboratorio;

g) la población es infinita;

h) la población es simple;

i) una sola característica de la calidad se considera en una vez

Los apartados siguientes brindan información adicional sobre estos supuestos.


C.2.2 Desviaciones estándar “conocidas”

Los planes de muestreo de los procedimientos normalizados se basan en el supuesto de desviaciones estándar “conocidas”. Este supuesto está fuertemente satisfecho para lotes aislados. Sin embargo, un lote aislado para inspección por parte del comprador puede ser uno proveniente de una serie continua de batches de producción del proveedor. En tal caso, si el proveedor proporciona al comprador información suficiente incluyendo las cartas de control, puede ser posible asumir desviaciones estándar “conocidas y estables”.

C.2.3 Gráficos de control

La aplicabilidad de los procedimientos para desviaciones estándar conocidas se juzga por medio de gráficas de control de un tipo específico. Ellos tienen un límite superior de control, LSC pero carecen de un límite inferior de control LIC . La razón es la siguiente.

Es deseable hacer esfuerzos para reducir las desviaciones estándar, especialmente cuando se especifican límites de especificación de dos colas. Para apoyar estos esfuerzos, se aplica una versión de la prueba de un lado en esta NTP. La prueba es una prueba de F para las siguientes hipótesis:

Ho:σ2

es estable;

H1:σ2

no es estable (el valor máximo de las variancias se encuentra fuera de la variación aleatoria)

Dado que muchos usuarios no están familiarizados con la prueba F para variancias, ésta se convierte a una prueba equivalente del tipo de gráficos de control donde las variancias pueden ser utilizadas. Se asume el nivel de riesgo de 5 % para cada gráfico de control donde el riesgo es la probabilidad de encontrar uno o más puntos fuera de control en una serie de 10 lotes. El factor fU está dado por las siguientes ecuaciones:

f U=√ Fp (v ,∞ ) (C.1)

p=10√0 , 95=0 ,994 88 (C.2)

donde Fp (v1, v2) es el p-fractil más bajo de la distribución F con v1 y v2 grados de libertad.


C.2.4 Normalidad

Los planes de muestreo se basan en el supuesto de la normalidad. Sin embargo, los usuarios normalmente no necesitan estar tan preocupados por la desviación de la distribución normal ya que la distribución del gran promedio de la muestra generalmente se aproxima a una distribución normal, a menos que los tamaños de muestra sean muy pequeños. Esta es una de las mayores diferencias de otros populares planes de muestreo por variables para porcentaje de no conformes tales como la NTP-ISO 3951, donde la desviación a partir de la distribución normal puede traer un incremento o disminución del riesgo del productor y/o el riesgo del consumidor, por lo que el supuesto de normalidad es importante en la práctica.

C.2.5 Muestreo representativo

Los planes de muestreo se basan en el supuesto del muestreo representativo. Aunque la forma más simple del muestreo representativo es el muestreo aleatorio, esta NTP utiliza el muestreo sistemático duplicado.

El muestreo sistemático mostrado en la mitad superior de la Figura 1 puede brindar una variancia más pequeña entre muestras compósito agrupadas que la del muestreo aleatorio. Sin embargo, si se prefiere un estimador insesgado de X en lugar de un plan de muestreo económico, puede utilizarse el muestreo aleatorio.

Cuando el número de muestras compósito es más de tres, su utiliza un muestreo replicado. Sin embargo, esta NTP proporciona tablas de tamaño de muestra solamente para muestreo duplicado (dos muestras compósito), por simplicidad y economía.

C.2.6 Laboratorio

Se asume que las mediciones son realizadas en un solo laboratorio, y por lo tanto la desviación estándar de la medición es más pequeña que la reproducibilidad. Si los resultados del laboratorio del comprador y del laboratorio del proveedor son significativamente diferentes, entonces la diferencia debería ser tratada con un sesgo en lugar de una variancia (Véase la norma ISO 11648-1)

C.2.7 Población infinita

Los planes de muestreo se basan en el supuesto de una población infinita. Este supuesto es usualmente cumplido porque:

a) un incremento del muestreo es una parte muy pequeña de un lote;


b) una muestra de ensayo es una parte muy pequeña de una muestra compósito; y

c) una porción de ensayo es una parte muy pequeña de una muestra de ensayo.

Incluso si no se satisface el supuesto de una población infinita, los usuarios generalmente

pueden despreciar esto porque los valores de la desviación estándar estimada, σ E , y ambos riesgos, α y β, para la población finita, serían algo más pequeños que para la población infinita, respectivamente.

C.2.8 Población simple

Los planes de muestreo se basan en el supuesto de una población simple. En otras palabras, los incrementos de muestreo pueden tomarse directamente de un lote. Usualmente, este supuesto se satisface. Sin embargo, podrían existir otros casos, por ejemplo, el material se encuentra en dos o más recipientes. Si el componente de la variancia entre incrementos de

muestreo, σ I2

, consta del componente de la variancia entre recipientes, σ B2

, y el

componente de la variancia dentro de los recipientes, σ W2

, y si ambos no son insignificantes, no se aplica esta NTP.

C.2.9 Característica simple de la calidad

Tanto el riesgo del productor como el riesgo del consumidor se calculan para una característica simple de la calidad. Para múltiples características de la calidad ambos riesgos totales se incrementan.

C.3 El modelo más simple

C.3.1 Generalidades

En los procedimientos normalizados de esta NTP, los planes de muestreo económicos son el objetivo pero el modelo supuesto es bastante complicado. Por un fácil entendimiento, el modelo más simple se basa en los siguientes supuestos:

a) se toman n incrementos de muestreo del lote;

b) no se constituyen muestras compósito;

c) se prepara una muestra de ensayo por incremento de muestreo;


d) se realiza una medición por incremento de muestreo;

e) σ P y σ M son insignificantes

C.3.2 Desviación estándar estimada

La desviación estándar estimada, σ E , es la raíz cuadrada positiva de la variancia esperada del parámetro de distribución. Bajo este modelo más simple, la desviación estándar estimada está dada por la siguiente ecuación:

(C.3)

Donde n es tanto el número de incrementos de muestreo como el número de mediciones.

C.3.3 Tamaños de muestra

Bajo el modelo más simple, el tamaño de muestra, n, está dado por la siguiente ecuación:

n=( (K α+K β )σ I

D )2

(C.4)

El valor calculado de n debería ser redondeado al entero más cercano

C.4 Relación entre mA, mR y el valor de aceptación

C.4.1 Generalidades

Bajo el anterior modelo más simple, se proporciona la siguiente relación entre mA, mR y el valor de aceptación. Esta relación también se aplica a los modelos más complejos dados en los anexos C.5 y C.6.

C.4.2 Límite inferior de especificación de una cola

Cuando se especifica un límite inferior de especificación de una cola, se obtiene la siguiente ecuación:

xL=mA−K α σ E=mR+K β σ E (C.5)


(Véase la Figura C.1). Además, se obtienen las siguientes ecuaciones:

D=mA−mR=(Kα +K β) σ E (C.6)

xL=mA−K α

Kα+ KβD

(C.7)

Y dado que se asume que α = 0,05 y β = 0,10 en los procedimientos normalizados, la constante γ está dada por la siguiente ecuación:

γ=K α

Kα+ K β= 1, 644 85

1 ,644 85+1 ,281 55=0 ,562 07→0 , 562

(C.8)

Para procedimientos opcionales donde se asume que α = β, la constante γ está dada por la siguiente ecuación:

γ=K α

Kα+ K β=1

2 (C.9)

C.4.3 Límite superior de especificación de una cola

Cuando se especifica un límite superior de especificación de una cola, se asume la siguiente ecuación:

xU=mA+Kα σ E=mR−K β σ E (C.10)


FIGURA C.1 – Relación entre mA, mR y el valor de aceptación (Distribución de x . .. ; límite inferior de especificación)

Además, se obtienen las siguientes ecuaciones:

D=mR−mA=(Kα +K β) σ E (C.11)

Y

xU=mA+Kα

Kα+K βD

(C.12)

(Véase la Figura C.2). La misma constante está dada por la ecuación (C.8)

C.4.4 Límites de especificación de dos colas

Cuando se especifican límites de especificación de dos colas, las ecuaciones anteriores son aplicables para ambos límites respectivamente, siempre que se cumpla la siguiente relación:

(C.13)


Las Figuras C.3 y C.4 muestran un caso extremo de A = d x D (Véase también Figuras C.1 y C.2). En tal caso, la probabilidad máxima de aceptación es 0,99 en m = 0,5 (mA,U + mA,L), y se obtienen las siguientes ecuaciones:

(C.14)

La constante está dada por la siguiente ecuación:

(C.15)

Para procedimientos opcionales donde se asume que = = 0,05, la constante está dada por la siguiente ecuación:

(C.16)

C.5 Modelo de dos componentes

C.5.1 Generalidades

En la práctica, frecuentemente ocurre que M no es insignificante. En tales casos, la desviación estándar estimada, E, consta de dos componentes. Además, se realizan los siguientes supuestos para este modelo práctico:

a) se toman del lote n1 incrementos de muestreo;

b) no se constituye muestra compósito;

c) se prepara una muestra de ensayo por incremento de muestreo;

d) se realizan n2 mediciones por incremento de muestreo;

e) P es insignificante.

C.5.2 Desviación estándar estimada

Bajo este modelo, mediante reescritura de la ecuación (C.6), la desviación estándar estimada, E, está dada como sigue,


(C.17)

Dibujo

FIGURA C.2 – Relación entre mA, mR y el valor de aceptación (Distribución de ; límite superior de especificación)

DibujoFIGURA C.3 – Relación entre mAs, mRs y los valores de aceptación (Distribución de

; límites de especificación de dos colas)


FIGURA C.4 – Relación entre y D (cuando = x D) (Distribución de ; límites de especificación de dos colas)

C.5.3 Tamaños de muestra

Puede haber muchas combinaciones de n1 y n2, las cuales satisfacen la ecuación (C.17), y el valor más económico para el número de mediciones por incremento de muestreo, n2, está dado por la siguiente ecuación:

(C.18)Donde

c1 es el costo de tomar un incremento de muestreo y preparar una muestra de ensayo;

c2 es el costo de una medición (para el parámetro de distribución)

Las ecuaciones (C.17) y (C.18) proporcionan la siguiente solución para n1:

(C.19)

C.6 Modelo de tres componentes

El modelo utilizado para los procedimientos normalizados de esta NTP es una extensión del modelo de dos componentes anterior al modelo de tres componentes. Sin embargo, se omite la descripción detallada excepto para los procedimientos de diseño.


Las ecuaciones simultáneas (C.20) y (C.21) proporcionan una solución en nI y nT para los procedimientos normalizados. El primero brinda la proporción más económica y el segundo corresponde a la curva CO requerida.

(C.20)

y

(C.21)

Las soluciones matemáticas son dadas por las siguientes ecuaciones:

(C.22)

y

(C.23)

Cuando nI y nT sean muy pequeños, las ecuaciones (C.22) y (C.23) no siempre brindan resultados satisfactorios. En este caso, los valores de nI y nT en las Tablas 3 a 12 pueden obtenerse por los siguientes procedimientos:

a) se obtienen valores intermedios de nI y nT;

b) se fija el más pequeño (si nI < nT entonces nI se fija por redondeo);

c) el otro se obtiene por ensayo y error.

C.7 Características múltiples

C.7.1 Riesgos totales

Los procedimientos especiales opcionales para características múltiples dadas en el anexo A.2 se basan en los supuestos de que todas las características de calidad son independientes unas de las otras y tienen igual importancia.


Si el número de características de calidad es J y todas ellas son independientes unas de las otras, el riesgo total del productor, αO, se obtiene de la siguiente ecuación:

(C.24)

donde

αi es α para la característica individual de calidad

Si α1= α2 = … = αJ = α*, entonces

(C.25)

y

(C.26)

La ecuación similar se obtiene para el riesgo total del consumidor, βO.

Si β1= β2 = … = βJ = β*, entonces

(C.27)

El factor de corrección, fD, se obtiene de la siguiente ecuación:

(C.28)

donde

αO es el riesgo total del productorβO es el riesgo total del consumidorα* es el riesgo individual del productorβ* es el riesgo individual del consumidor

Los valores del factor de corrección, fD, para las desviaciones estándar conocidas se presentan en la Tabla A.1. Los valores de los riesgos individuales, α* y β*, se presentan en la Tabla A.2.


C.7.2 Curva CO

Los procedimientos para calcular las curvas CO se presentan en el Anexo D y también son aplicables a planes de muestreo corregidos, pero típicamente son lo siguiente:

a) si un parámetro de distribución es igual al valor de aceptación, entonces Pa = 50%;

b) si un parámetro de distribución es igual a mA, entonces α = 100 x α*

c) si un parámetro de distribución es igual a mR, entonces β = 100 x β*, expresado como porcentaje;

d) si un parámetro de distribución es igual a QPR, entonces α = 100 x αO, expresado como porcentaje;

e) si un parámetro de distribución es igual a QCR, entonces β = 100 x βO, expresado como porcentaje;

Cuando se establece un límite inferior de especificación, LEI, los valores aproximados de QPR y QCR están dados por las siguientes ecuaciones:

(C.29)

(C.30)

Cuando se establece un límite superior de especificación, LES, los valores aproximados de QPR y QCR están dadas por las siguientes ecuaciones:

(C.31)

(C.32)

C.7.3 Independencia

Los resultados anteriores son verdaderos sólo cuando todas las características de calidad son independientes unas de otras. Si los coeficientes de correlación entre dos o más características de calidad son significativos, entonces

α* ≤ αO ≤ Jα* (C.33)


y

β* ≤ βO ≤ Jβ* (C.34)

Es difícil proporcionar planes de muestreo generales que puedan aplicarse a tales casos.

C.8 Información complementaria para desviaciones estándar imprecisas

C.8.1 Generalidades

Este apartado proporciona información complementaria de los procedimientos para desviaciones estándar imprecisas. Se derivan planes de muestreo para ellas utilizando un modelo similar que se emplea para desviaciones estándar conocidas, excepto que se utilice una distribución t en lugar de una distribución normal. Además, los valores preferidos de dI

y dT se escogen de las Tablas 3 a la 7 para el cálculo del diseño de las Tablas 13 a la 22. El método de Satterthwaite (Véase la referencia [6] en la Bibliografía) se utiliza para obtener valores aproximados de variancia compuesta y grados de libertad, utilizando los anteriores valores preferidos de dI y dT.

C.8.2 Relación entre mA, mR y valor de aceptación

La relación aproximada entre mA, mR y el valor de aceptación puede desarrollarse de la misma forma en la que se describe en el Anexo C.4.

Si se especifican límites de especificación de dos colas, las ecuaciones aproximadas para los límites de especificación de una cola son aplicables a ambos límites, respectivamente, ya que se cumple con la siguiente restricción:

(C.35)

Si = x D y E < 8, y la probabilidad de aceptación máxima se establece que será cerca

de 0,98 en , y el valor aproximado de se obtiene usando la siguiente fórmula:

(C.36)


Si , la formula anterior da un valor menor de que aquel para las desviaciones estándar. Por lo tanto, se elige el mismo valor de al igual que para desviaciones estándar conocidas, de manera que se facilita el cambio de un procedimiento a otro. Cuando = x D y E es suficientemente grande, la probabilidad de aceptación máxima es cerca de 0,99.

C.8.3 Características múltiples

C.8.3.1 Riesgos totales

Ecuaciones aproximadas similares a aquellas dadas en el AnexoC.7.1 pueden obtenerse reemplazando la distribución normal con la distribución. El factor de corrección fD, se obtiene mediante la siguiente ecuación:

(C.37)

Si los símbolos son los mismos que en (C.28).

C.8.3.2 Curva CO

Los procedimientos y relaciones para el cálculo de curvas CO pueden aproximarse y desarrollarse en forma similar a aquella dada en el Anexo C.7.2.


ANEXO D(INFORMATIVO)

Curvas características operativas

D.1 Introducción general

Este anexo describe los procedimientos para calcular los valores de las curvas de característica operativa (CO) usando el método para desviaciones estándar conocidas en los anexos D.2 a D.5. Este anexo también describe los procedimientos para calcular los valores aproximados para curvas CO usando el método para desviaciones estándar imprecisos en D.6.

Este anexo proporciona dos métodos para calcular los valores de las curvas características operativas (CO) para el plan de muestreo:

a) para convertir un parámetro de distribución, m, para la probabilidad de aceptación, Pa (Véase el Anexo D.3);

b) para obtener un parámetro de distribución, m, correspondiente a un valor especificado de probabilidad de aceptación, Pa (Véase el Anexo D.4).

El método b) es más conveniente que el método a) ya que no existe necesidad para una tabla de distribución normal o para hacer interpolaciones.

D.2 Desviaciones estándar conocidas

D.2.1 Necesidad del cálculo de desviación estándar

Antes de calcular los valores de una curva CO de los procedimientos para desviaciones estándar conocidas, es necesario obtener el cálculo de desviación estándar, E.

D.2.2 Procedimientos estándar

En el caso de procedimientos estándar, el cálculo de desviación estándar, E está dado por la siguiente ecuación:

= (D1)


NOTA: Se asume una población infinita en la derivación de la ecuación anterior. Si el tamaño de lote no es suficientemente grande o si el volumen total de las muestras de prueba es una parte importante

de la muestra compuesta entonces el valor actual de se convertirá en algún punto más pequeño que el anterior y tanto el riesgo del productor como el riesgo del consumidor se volverán, en algún punto, más pequeños que los valores calculados.

D.2.3 Procedimientos específicos dados en el anexo A

En el caso de los procedimientos especiales dados en el anexo A, el cálculo de desviación estándar, E es dado por las siguientes ecuaciones:

a) cuando nT >1, entonces

(D.2)

b) cuando nT =1, (y n I = 1), entonces

(D.3)

D.3 Convirtiendo m a Pa

D.3.1 Límite de especificación de una cola

Los valores del fractil- Pa superior de la distribución normal estandarizada que corresponde a valores arbitrarios del parámetro de distribución, m, están dados por las siguientes ecuaciones:

a) cuando el límite de especificación inferior LEI es especificado;

(D.4)

b) cuando el límite de especificación superior LES es especificado;

(D.5)


El valor del fractil- Pa obtenido corresponde a la probabilidad de no aceptación (1-Pa) y puede convertirse, fácilmente, convertirse a la probabilidad de aceptación, Pa, usando una tabla de distribución normal.

D.3.2 Límites de especificación de dos colas

D.3.2.1 Generalidades

En muchos casos, cuando se especifican tanto los valores de aceptación superior como los de aceptación inferior, las ecuaciones (D.4) y (D.5) son aplicables por separado. Si el

intervalo entre ambos valores de está cerca del intervalo de restricción, , entonces las correcciones siguientes deben considerarse.

D.3.2.2 Probabilidad máxima de aceptación

En , la probabilidad de aceptación es máxima. El valor del fractil -

de la distribución normal estandarizada que corresponde al parámetro de distribución, m, está dado por la siguiente ecuación:

(D.6)

El fractil - obtenido puede convertirse a la probabilidad de no aceptación

usando una tabla de distribución normal. El valor de la probabilidad de aceptación está dado por la siguiente ecuación:

(D.7)

Si el Pa máximo está cerca de 1,000 (100,0%) entonces no es necesaria una mayor corrección. Si entonces el Pa máximo será 0,990 (99,0%).

D.3.2.3 Probabilidad de aceptación para valores generales de m

Para valores generales de m, se puede usar el siguiente método:

a) unos pocos valores de m son escogidos entre y


b) el valor de de la distribución normal estandarizada que corresponde al parámetro de distribución, está dado por la siguiente ecuación:

c) el valor de que corresponde a y está dado por la ecuación (D.6);

d) los obtenidos pueden convertirse a probabilidades de no aceptación, y respectivamente, usando una tabla de distribución normal. El valor de probabilidad de aceptación está dado por la siguiente ecuación:

D.4 Convirtiendo Pa a m

D.4.1 Límite de especificación de una cola

Los valores de un parámetro de distribución, m, que corresponde a los valores especificados de la probabilidad de aceptación están dados por las siguientes ecuaciones:

a) cuando el límite de especificación inferior es especificado:

b) cuando el límite de especificación superior es especificado:

NOTA: En la práctica, los nueve valores de Pa dados en las siguientes aplicaciones son suficientes para dibujar una curva CO. Estos valores también se usan en tablas CO de la Normas NTP-ISO 2859-1 e NTP-ISO 3951[5].

D.4.2 Límites de especificación de dos colas

En muchos casos, cuando se especifican tanto los valores de aceptación superior como los de aceptación inferior, las ecuaciones (D.10) y (D.11) son aplicables por separado. Si el

intervalo entre ambos valores de está cerca del intervalo de restricción, x D entonces las correcciones siguientes deben considerarse.


D.5 Ejemplos para calcular curvas CO para desviaciones estándar conocidas

D.5.1 Ejemplo 1: Límite de especificación inferior

La curva CO se calculará para el ejemplo dado en el apartado 7.4, cuando se especifica un límite de especificación inferior.

Los parámetros principales son como sigue:

a) límite de calidad de aceptación, mA: 96,0

b) límite de calidad de no aceptación, mR: 93,75

c) valor de aceptación inferior, : 1,37

d) cálculo de desviación estándar, E:

La figura D.1 muestra la curva CO resultante y la Tabla D.1 presenta los procedimientos y resultados de cálculo. En este ejemplo, el riesgo del productor, , y el riesgo del consumidor, , son como sigue:

- en

- en


TABLA D.1 – Valores CO para el ejemplo 1

FIGURA D.1 – Curva CO para el ejemplo 1

D.5.2 Ejemplo 2: desviación estándar dominante y conocida de medición

La curva CO se calculará para el ejemplo dado en el Anexo B.7.1 y para el límite de especificación superior.





c) valor de aceptación superior, : 88,25

d) cálculo de desviación estándar, E: 1,43

La figura D.2 muestra la curva CO resultante y la Tabla D.2 presenta los procedimientos y resultados de cálculo. En este ejemplo, el riesgo del productor, , y el riesgo del consumidor, son como sigue:

- en ;

- en




D.5.3 Ejemplo 3 – Límites de especificación de dos colas

La curva CO se calculará para el ejemplo dado en el Anexo 7.6 y para los límites de especificación bilaterales.


a) límite de calidad de aceptación, : 97,0

b) límite de calidad de no aceptación, : 91,0

c) límite de calidad de aceptación superior, : 104,0

d) límite de calidad de no aceptación superior, : 110,0

e) valor de aceptación inferior, : 93,63

f) valor de aceptación superior, : 107,37

g) cálculo de desviación estándar, E : 1,82

La figura D.3 muestra la curva CO resultante y la Tabla D.3 y D.4 presentan los procedimientos y resultados de cálculo. En este caso, las curvas CO tanto para valores de aceptación superior como para los valores de aceptación inferior pueden obtenerse por separado. En este ejemplo, el riesgo del productor, , y el riesgo del consumidor, , y el valor máximo de probabilidad de aceptación son como sigue:


- en

- en

- en el valor máximo de Pa, 99,98 % es alcanzado

TABLA D.3 – Valores CO para el ejemplo 3, parte inferior

TABLA D.4 – Valores CO para el ejemplo 3, parte superior


Figura D.3 – Curva CO para el ejemplo 3

D.6 Desviaciones estándar imprecisas

D.6.1 Cálculo de desviación estándar

Antes de calcular los valores de una curva CO usando el método para desviaciones estándar imprecisas, primero es necesario obtener el valor aproximado del cálculo de

desviación estándar, .

En el caso de procedimientos estándar, el valor aproximado del cálculo de desviación

estándar, está dado por la siguiente ecuación:

(D.12)

La ecuación (D.12) se usa en los procedimientos para el método de desviaciones estándar imprecisas.


En el caso de procedimientos especiales en el anexo A para desviaciones estándar

imprecisas, el valor aproximado de cálculo de desviación estándar, está dado por la siguiente ecuación:

(D.13)

D.6.2 Convirtiendo m a Pa

D.6.2.1 Límite de especificación unilateral

Los valores aproximados de fractiles -Pa superior e inferior de la distribución corresponde a valores arbitrarios del parámetro de distribución y están dados por las siguientes ecuaciones:

a) cuando el límite de especificación inferior es especificado;

(D.14)

b) cuando el límite de especificación superior es especificado;

(D.15)

NOTA: Los valores fractil-Pa superior e inferior de la distribución, obtenidos de las ecuaciones (D.14) y (D.15) corresponden a probabilidades aproximadas de aceptación, Pa pero es necesario un software especial para la conversión.

D.6.2.2 Límites de especificación de dos colas

En muchos casos, cuando se especifican tanto los valores de aceptación superior como los de aceptación inferior, las ecuaciones (D.14) y (D.15) son aplicables por separado. Si el intervalo entre ambos valores de mA está cerca del intervalo de restricción, algunas desviaciones son inevitables. Si entonces el Pa máximo es cerca de 0,98 (98%).


D.6.3 Convirtiendo Pa a m

D.6.3.1 Límite de especificación de una cola

Los valores aproximados de m, superior e inferior de la distribución corresponden a valores arbitrarios del parámetro de distribución, Pa están dados por las siguientes ecuaciones:

a) cuando el límite de especificación inferior es especificado;

(D.16)

b) cuando el límite de especificación superior es especificado;

(D17)

NOTA 1: Los valores de están dados en una tabla de distribución. Algunos valores están dados en la referencia [7] de la bibliografía.

NOTA 2: En la práctica, los nueve valores de Pa dados en el ejemplo 4 son suficientes para dibujar una curva CO aproximada.

D.6.3.2 Límites de especificación de dos colas

En muchos casos, cuando se especifican tanto los valores de aceptación superior como los de aceptación inferior, las dos fórmulas anteriores son aplicables por separado. Si el intervalo, , entre ambos valores de mA está cerca del intervalo de restricción, algunas desviaciones son inevitables.

D.6.4 Ejemplo 4: Cálculo de una curva CO para el método que usa un cálculo de desviación estándar

La curva CO se calculará para el ejemplo dado en el apartado 7.1.




c) valor de aceptación inferior, : 94,0

d) cálculo de desviación estándar, E : 1,17

e) grados de libertas del cálculo de desviación estándar, vE: 35


La figura D.4 muestra la curva CO resultante para el apartado 7.1 y la Tabla D.5 presenta los procedimientos y resultados de cálculo. En esta aplicación, los valores aproximados del riesgo del productor , el riesgo del consumidor , son como sigue:

- en

- en




BIBLIOGRAFÍA

[1] ISO 11648-2:—1), Statistical aspects of sampling from bulk materials — Part 2: Sampling of particulate materials.

[2] NTP-ISO 5725-2:1999, Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 2: Basic method for the determination of repeatability and reproducibility of a standard measurement method.

[3] NTP-ISO 5725-3:1999, Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 3: Intermediate measures of the precision of a standard measurement method.

[4] ISO 10576 (all parts)2), Statistical methods — Guidelines for the evaluation of conformity with specified requirements.

[5] NTP ISO 3951:1989, Sampling procedures and charts for inspection by variables for percent nonconforming.

[6] SNEDECOR G.W. and COHRAN W.G. Statistical Methods., Iowa State University Press, 8th edn., 1989, p. 97.

[7] ISO 2854:1976, Statistical interpretation of data — Techniques of estimation and tests relating to means and variances.

[8] NTP-ISO 7870-1:2008, Gráficos de control — Directrices Generales.

[9] ISO 9000-2:1997, Quality management and quality assurance standards — Part 2: Generic guidelines for the application of ISO 9001, ISO 9002 and ISO 9003.

esquema de norma_entp web view... donde la determinación de la aceptabilidad de un lote es...

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