CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS

PARTE VIRTUAL O A DISTANCIA

TAREA # 1

TEMA

Actividad 1

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

1) Hallar la solución de un ejercicio sobre ecuaciones diferenciales de primer orden.

2) Hallar la solución de un problema sobre ecuaciones diferenciales

de primer orden.

Actividad 2

Realizar un horario de actividades basados en el cuadrante 1, (importante-no urgente)

ALUMNO: FLORES MARTÍNEZ ROGELIO IGNACIO CATEDRÁTICO: DR. LUIS GERARDO VELA VALDÉS

POSGRADO DE ELECTRÓNICA

CUERNAVACA MOR., A 05 DE DICIEMBRE DE 2015

CONTENIDO Pág.

Introducción 1

Actividad 1 1

Ejercicio y su solución 1

Problema y su solución 2

Actividad 2 3

Horario de actividades 3

Conclusión 4

Bibliografía 4

1

INTRODUCCIÓN. Una ecuación diferencial es una expresión matemática que contiene al menos una derivada por diferencial, de una variable dependiente y de una o más variables independientes. La solución de una ecuación diferencial es una expresión matemática que no contiene derivadas y cumple con una igualdad y puede ser: A) Solución general Contiene al menos una constante de integración. Ejemplo:

𝑋 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠4𝑡 + 𝐶2𝑠𝑒𝑛4𝑡

Es una solución general de la ecuación diferencial 𝑥2 + 16𝑥 = 0. B) Solución particular: Es una expresión matemática que no contiene constantes de integración ya que existen condiciones iniciales de “X” y “Y” que permiten sustituirlas en la solución general para hallar los valores de las constantes de integración. Ejemplo:

𝑌 = 𝑥 − 1 + (2 − 𝑒) 𝑥 − 1

Es una solución particular de la ecuación diferencial 𝑥𝑦 ’ + 𝑦 = 𝑒𝑥 Con condiciones iniciales 𝑌 (−1) = 4. Actividad 1, Realizar un ejercicio y su solución. Hallar la solución particular de la ecuación diferencial separable a las condiciones iniciales que se indican.

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 4(𝑥2 + 1); 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑋 (

𝜋

4) = 1; 𝑥(𝑡) = 1

Solución:

𝑑𝑥 = 4(𝑥2 + 1)𝑑𝑡 → 𝑑𝑥

𝑥2+1= 4𝑑𝑡 → ∫

𝑑𝑥

𝑥2+1 = 4∫ 𝑑𝑡 + 𝑐

La integral está completa, por lo tanto aplicamos la fórmula para obtener la solución

general:

2

∫𝑑𝑢

𝑢2 + 𝑎2=

1

𝑎arctan

𝑢

𝑎+ 𝑐

𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝟒𝒕 + 𝒄 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍.

Ahora para encontrar la solución particular, sustituimos condiciones iniciales en la

solución general.

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (1) = 4𝜋4

+ 𝑐

0 = 𝜋 + 𝑐

𝑐 = −𝜋

Por lo tanto la solución particular es:

𝒂𝒓𝒄 𝒙 = 𝟒𝒕 − 𝝅

1) Problema

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta a una razón proporcional a

la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplico

en 5 años, ¿en cuánto tiempo se triplicara y cuadruplicara?

Solución:

Interpretamos el enunciado y lo definimos como una ecuación diferencial.

𝒅𝒑

𝒅𝒕= 𝒌𝒑; 𝒑(𝟎) = 𝒑𝟎

Resolvemos despejando e integrando ambos lados de la ecuación diferencial.

𝑑𝑝

𝑝= 𝑘𝑑𝑡 → ∫

𝑑𝑝

𝑝= ∫ 𝑘𝑑𝑡 → 𝑙𝑛𝑝 = 𝑘𝑡 + 𝑐

Despejamos P, para encontrar la solución general.

𝒑(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕 𝒆𝒄 → 𝒑(𝒕) = 𝒄𝒆𝒌𝒕 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍

El siguiente paso es sustituir las condiciones iniciales para encontrar la solución de

nuestro sistema de población:

𝑝0=𝑐𝑒𝑘(0)=𝑐→ 𝑝0 = 𝑐; 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑷(𝒕) = 𝒑𝟎𝒆𝒌𝒕

Si la población se duplico en 5 años:

𝑝(5) = 2𝑝0 → 2𝑝0 = 𝑝0𝑒5𝑘 → 2 = 𝑒5𝑘 → 𝑙𝑛2 = 5𝑘 → 𝑘 =𝑙𝑛2

5 ; Entonces

K=0.139

3

Sustituyendo en la solución del sistema:

𝒑(𝒕) = 𝒑𝟎𝒆𝟎.𝟏𝟑𝟗𝒕 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓

En cuanto tiempo se triplicara y en cuanto tiempo se cuadruplicara?

a) t=? 𝑃 = 3𝑝0

b) t=? 𝑃 = 4𝑝0

𝑡 =? 𝑃 = 𝑛𝑝0 → 𝑛𝑝0 = 𝑃0 = 𝑒0.139𝑡 → 𝑛 = 𝑒0.139𝑡

ln(𝑛) = 0.139𝑡 → 𝒕 =𝐥𝐧 (𝒏)

𝟎. 𝟏𝟑𝟗

Para encontrar la solución solo tenemos que sustituir los valores en nuestra

formula:

𝒔𝒊, 𝒏 = 𝟑 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒔 𝒕 = 𝟕. 𝟗 𝒂ñ𝒐𝒔

𝒔𝒊, 𝒏 = 𝟒 𝒆𝒍 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒔 𝒕 = 𝟏𝟎 𝒂ñ𝒐𝒔

ACTIVIDAD 2.

Realizar un horario de actividades basados en el cuadrante 1, (importante-no

urgente) de los archivos proporcionados para el propedéutico de matemáticas

modalidad virtual o a distancia.

4

CONCLUSIÓN.

La dificultad de este tipo de problemas no se basa en resolver la ecuación diferencial, se trata de encontrar la manera de relacionar el enunciado y encontrar la expresión matemática para así aplicar la solución de la ecuación diferencial de acuerdo al problema que estemos resolviendo, entra el razonamiento y el pensamiento para poder plantear una ecuación que nos ayude a determinar el resultado que deseamos obtener.

Con respecto al horario de actividades, es muy interesante el saber que tenemos un orden y una organización de nuestro tiempo, de esta manera podremos aprovechar en un porcentaje más elevado la manera en la que realizamos nuestras tareas, deberes, actividades físicas de recreación, el descansar nos lleva a tener un mejor rendimiento en todo lo que nos propongamos.

BIBLIOGRAFÍA. [1] Ecuaciones diferenciales aplicadas Murray r. spiegel. Prentice Hall, Hispanoamericana, S.A. 3ra edición, Retrieved June 6, 2015. [2] Ecuación Diferencial Ejercicios Resueltos - Resuelve eficazmente ejercicios de ecuaciones diferenciales mediante explicaciones detalladas que te inspiran. Retrieved June 6, 2015, from http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/ [3] Apuntes de matemáticas V de la Carrera de ingeniería Electrónica.