FUNCIÓN

PROPOSICIONAL

Y

CUANTIFICADORES

Autor: Luis Rolando Pacheco Huarotto

FUNCIÓN PROPOSICIONAL

Una función proposicional es un enunciado abiertoP(x), en la que figura la variable “x” como sujeto uobjeto directo; la cual se convierte en unaproposición para cada especificación de “X”.

Ejemplos:a) P (x): X es impar

P ( - 4 ): - 4 es impar ( F ) P ( 5 ): 5 es impar ( V )

b) P ( x, y): X es divisor de Y

P ( -2,6): - 2 es divisor de 6 (V)

p (10,2): 10 es divisor de 2 ( F )

Nota.- Al conjunto de todos los valores convenidos para “x”, se denomina

DOMINIO DE LA VARIABLE.

c) P(x): x+1 < 9. Si x Є Z, entonces p(x) es una función proposicional

cuyo dominio son los Números enteros.

p (-2): -2 + 1 < 9 (V) P(10): 10 + 1 < 9 (F)

CUANTIFICADORES

Son expresiones “PARA TODO” o “ALGUNOS”, etc.; que

se anteponen a un enunciado abierto para convertirlo en

proposición. Estas proposiciones indican dos opciones:

que todos los elementos intervienen o que algunos

elementos intervienen.

Se utilizan en el lenguaje cotidiano y también en el

lenguaje matemático.

Ejemplos:

a) Todos los Iqueños son Peruanos

b) Algunos números enteros son naturales

c) Todas las ciudades son bellas

d) Algunas pruebas se quedaron en casa

Nota.- A través de la Cuantificación, también se pueden

crear proposiciones desde una función proposicional.

CLASES DE CUANTIFICADORESEntre ellos tenemos el Cuantificador Universal y el CuantificadorExistencial.

1.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Es una generalización de laConjunción. Por ello es Verdadero cuando todos los valores de“x” que pertenecen al Dominio de A son Verdaderos.

Se denota:

∀x ; p(x) Se lee: “Para Todo x”, “Para cada x”,

“Todos (as) las x”, “Todo (a) x”; etc.

2.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Es una generalización de laDisyunción Inclusiva. Por ello, es Verdadero cuando al menosun valor de “x” perteneciente al Dominio de A, es Verdadero.

Se denota;

∃ x / P (x) Se lee: “Existe al menos un x”, “Algunos x”,

“ Hay x”, “Existe un x”, etc.

EJEMPLOS:

1.- Formaliza las siguientes proposiciones:

a) Todo número natural , es mayor o igual que uno

R: ∀x Є N; x ≥ 1

b) Existe al menos un número entero, cuya raíz cuadrada es

un número irracional.

R: ∃ x Є Z / Є I

2.- Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes:

a) ∃ x ∈ A/ x+3 =10 ……………. Es ( F )

Porque, ningún número de A es una solución de x + 3 = 10

b) ∀ x ∈ A: x+3 < 10 ………….. Es ( V )

Porque, cualquier número de A cumple que x + 3 < 10.

NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES

La negación de cualquiera de los cuantificadores, se realizanegando la proposición p(x) y cambiando el cuantificadoruniversal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así:

~ [ ∀x ; p(x) ] Ξ ∃ x / ~ P (x)

~ [∃ x / P (x)] Ξ ∀x ; ~ p(x)

Ejemplos:1.- Simboliza y Niega las siguientes proposiciones:

a) Todos los números enteros son impares

Sea el Dominio Z y la función Proposicional p(x): x es un número

impar.

Simbolicamente: ∀x Є Z ; p(x)

Negamos: ~ [ ∀x Є Z ; p(x) ] Ξ ∃ x Є Z / ~ P (x)

Interpretamos: Existe al menos un número entero que no es impar

b) Algunos estudiantes aprobaron el examen

Simbolizamos: ∃ x / P (x)

Negamos: Todos los estudiantes noaprobaron el examen ( ∀x ; ~ p(x) )

c) Todos los gatos maullan : ∀x ; p(x)

Algunos gatos no maulla : ∃ x / ~ P (x)

d) Algunos triángulos son equiláteros

Todos los triángulos no son equiláteros

e) Todo número entero es negativo

Algunos números enteros no son negativos

EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Simboliza las proposiciones considerando como universo el

conjunto de estudiantes de tu aula.

a) Todos llegaron a tiempo

b) Algunos estudian

c) Hay pocos que son aplicados

d) Todos estudian aunque algunos no aprueban

2.- Sea A ⁼ { x/x Є N, x<10} y las funciones proposicionales P(x): x≤9, Q(x): x>9 y R(x): x<5

a) Utiliza Cuantificadores y convierte las funciones en proposiciones.

b) Determina su valor de verdad

3.- Expresa la negación de:

a) Algunos números primos no son impares

b) Todos los metales son buenos conductores de calor

c) El doble de todo número entero positivo es un número par

4.- Decodifica las notaciones y exprésalas en lenguaje verbal

a) ∀ x ∈ N: x+3 < 10 c) ∀ x ∈ Z: x ≥ 0

b) ∃ x ∈ Z/ 2x es par d) ∃ x ∈ N/ x ≤ 0

Docente: Luis Rolando Pacheco Huarotto