lógica proposicional

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA LÓGICA PROPOSICIONAL ASIGNATURA: MATEMÁTICA DISCRETA CARRERA: INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN Dpto. I.S.I. Prof.: Aguilar, Nancy; Del Valle, Graciela Año 2013

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Apunte de Lógica Proposicional.

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1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

LÓGICA PROPOSICIONAL

ASIGNATURA:

MATEMÁTICA DISCRETA

CARRERA:

INGENIERÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN

Dpto. I.S.I.

Prof.: Aguilar, Nancy; Del Valle, Graciela

Año 2013

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LÓGICA PROPOSICIONAL

Las reglas de la lógica le dan un significado preciso a los enunciados matemáticos o

sentencias matemáticas. Estas reglas se usan para distinguir entre argumentos válidos y no

válidos. Además de su importancia en el razonamiento matemático, la lógica tiene

numerosas aplicaciones en ciencias de la computación. Ejemplos: diseño de circuitos de

ordenadores, construcción de programas informáticos, verificación de que un programa esté

bien construido, etc.

PROPOSICIONES

Una proposición es una oración declarativa que es correcta o falsa, pero no ambas cosas a

la vez.

Ejemplos:

a) Resistencia es la capital del Chaco

b) Oberá es la capital de Misiones

c) 1+1= 2

d) 3+3= 5

Ejemplos:

-Buenas noches

-¿Qué hora es?

Estas dos últimas oraciones no son proposiciones porque no son declarativas.

x + 2 = 7

x + y = 8

Estas ecuaciones no son proposiciones porque no son ni verdaderas ni falsas, ya que no se

les otorgó valor a las variables.

Para denotar proposiciones, por convenio utilizamos letras minúsculas: p, q, r, s, etc.

El área de la lógica que trata proposiciones se llama cálculo proposicional o lógica

proposicional. Fue desarrollada sistemáticamente por primera vez por el filósofo griego

Aristóteles, hace más de 2300 años.

3

MÉTODOS PARA PRODUCIR PROPOSICIONES NUEVAS A PARTIR DE LAS

YA EXISTENTES

Definición: Sea “p” una proposición. El enunciado “No se cumple p” es otra proposición,

llamada negación de “p”. Se denota “-p”.

Tabla:

p -p

V F

F V

La tabla de verdad muestra las relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones.

Ej.: “Hoy es martes”, su negación, “No se cumple que hoy es martes”

CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS

Se usan para formar nuevas proposiciones a partir de dos o más ya creadas.

Conjunción

Definición: Sean “p” y “q” proposiciones. La proposición “p q”, es la proposición que es

verdadera cuando tanto “p” como “q” son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. La

proposición p se llama conjunción de “p” y “q”.

Tabla:

p q p

V V V

V F F

F V F

F F F

Otra forma: V se representa con 1, F se representa con 0

p q p

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

4

Ejemplo: p: “hoy es lunes” q: “hoy llueve”

“hoy es lunes y llueve”

Disyunción inclusiva

Definición: Sean “p” “q” proposiciones. La proposición “p es la proposición que es

falsa cuando tanto “p” como “q” son falsas y verdadera en cualquier otro caso. La

proposición “p q” se llama disyunción de “p” y “q”. Este tipo de disyunción es inclusiva.

Tabla:

p q p

V V V

V F V

F V V

F F F

Otra forma:

p q p

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Ejemplo: p: “hace calor” q: “traspiramos”

“hace calor y traspiramos”

Disyunción exclusiva

Definición: Sean “p” y “q” proposiciones. El conectivo lógico “o” exclusivo de “p” y “q”,

denotado p q, es la proposición que es verdadera cuando exactamente una de las

proposiciones “p” o “q” es verdadera y falsa en cualquier otro caso.

Tabla:

p q p

V V F

V F V

F V V

F F F

5

Otra forma de expresar:

p q p

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Ejemplo: p: “veranearemos en el mar” q: “veranearemos en las sierras”

“veranearemos en el mar o en las sierras”

Implicaciones

Definición: Sean “p” y “q” proposiciones. La implicación p→q es la proposición que es

falsa cuando “p” es verdadera y “q” es falsa y verdadera en cualquier otro caso. En esta

implicación “p” se llama hipótesis (o antecedente o premisa) y “q” se llama tesis o

conclusión (o consecuencia). La implicación a veces se denomina “declaración

condicional”.

Tabla:

p q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

Otra forma:

p q p→q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Existen muchas formas de expresar p→q:

“Si p, entonces q” “p implica q” “Si p,q”

“p soli si q” “p es suficiente para q” “Una condición suficiente para q es p”

“q si p” “q cuando p” “q siempre que p”

“Una condición necesaria para p es q” “q es necesario para p” “q se deduce de p”

6

Ejemplo: “Si hoy es viernes, entonces 2 + 3 = 5

Recíproca, contrarrecíproca e inversa

Hay implicaciones relacionadas con “p→q” que pueden formarse a partir de ella.

Tabla:

p q -p -q p→q q→p -p→-q -q→-p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F V F F V

F F V V V V V V

Las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes porque tienen la misma tabla de

verdad.

Ejemplo:

“p”: “llueve” “q”: “el equipo local gana”

p→q : “si llueve, entonces el equipo local gana”

Bicondicional

Definición: Sean “p” y “q” proposiciones. La bicondicional o doble implicación, p↔q, es

la proposición que es verdadera cuando “p” y “q” tienen los mismos valores de verdad y

falsa en los otros casos.

7

Tabla:

p q p↔q

V V V

V F F

F V F

F F V

La doble implicación es verdadera, cuando las implicaciones “p→q” y “q→p” son

verdaderas. Debido a esto la terminología “p si, y solo si,q”.

Otras formas:

“p es necesario y suficiente para q” “p sii q” “si p, entonces q, y recíprocamente”

Ejemplo:

P: “puedes tomar el vuelo” q: “compras un billete”

“puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras el billete”

Tautología, Contradicción y Contingencia

Definición: Un enunciado compuesto es una “Tautología”, cuando es siempre verdadero,

cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

Definición: Un enunciado compuesto es una “Contradición”, cuando es siempre falso,

cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

Definición: Un enunciado compuesto es una “Contingencia”, cuando a veces es

verdadero, a veces falso.

Ejemplo de una tautología y una contradicción:

p -p p p^-p

V F V F

F V V F

Ejemplo: -( p ) y -p^-q

p q -p -q p -( p -p^-q -( p

V V F F V F F V

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F V V V

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Ejemplo: hacer la tabla

- p y p→q

Tabla de equivalencias lógicas. Leyes lógicas

Equivalencia Nombre

p^V≡p

pv F≡p

L. de Identidad

pvV≡V

p^F≡F

L. de Dominación

pvp≡p

p^p≡p

L. Idempotentes

-(-p) ≡ p L. de la doble negación

Pvq ≡ qvp

p^q ≡ q^p

L. Conmutativas

(pvq)vr ≡ pv(qvr)

(p^q)^r ≡ p^(q^r)

L. Asociativas

pv(q^r) ≡ (pvq)^(pvr)

p^(qvr) ≡ (p^q)v(p^r)

L. Distributivas

-(p^q )≡ -pv-q

-(pvq) ≡ -p^-q

L. de De Morgan

pv(p^q) ≡ p

p^(pvq) ≡ p

L. de Absorción

pv-p ≡ V

p^-p ≡ F

L. de negación o inversas

Equivalencias lógicas relacionadas con implicaciones

p→q ≡ -pvq

p→q ≡ -q→-p

pvq ≡ -p→q

p^q ≡ -(p→-q)

-(p→q) ≡ p^-q

(p→q)^(p→r) ≡ p→(q^r)

9

(p→r)^(q→r) ≡ (pvq)→r

(p→q)v(p→r) ≡ p→(qvr)

(p→r)v(q→r) ≡ (p^q)→r

p↔q ≡ (p→q)^(q→p)

p↔q ≡ -p↔-q

p↔q ≡ (p^q)v(-p^-q)

-(p↔q) ≡ p↔-q

REDES DE CONMUTACIÓN (CIRCUITOS LÓGICOS)

Una red de conmutación está formada por cables e interruptores que conectan terminales

T1 y T2. Cuando un interruptor está abierto, entonces no pasa corriente por él. Lo indicamos

con “0”; mientras que “1” indica que el interruptor está cerrado y por consiguiente pasa la

corriente por él.

pT1 T2

La corriente pasa de T1 a T2 si “p” o “q” están cerrados. Los interruptores están en

paralelo. Lo indicamos “p v q”.

T1 T2q

La red necesita que los dos interruptores estén cerrados para que la corriente circule de T1 a

T2. Los interruptores están en serie y se representan con la proposición “p ^ q”.

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pT1

qT2

Una red de conmutación puede ser simplificada.

Los interruptores de una red no tienen por que actuar independientemente unos de otros.

Estos se acoplan de manera que “p” está abierto (cerrado), si y solo si, “-p” está cerrado

(abierto) simultáneamente.

Ejemplo:

T1 T2-q-p

q

(p^q) v [(-p^-q) v q]

Vamos a simplificar esta proposición compuesta:

(p^q) v [(-p^-q) v q] ≡ (p^q) v [(-p v q) ^ (-q v q)] ≡ (p^q) v [(-p v q) ^ To] ≡ (p ^ q) v (-p v

q) ≡ [(p ^ q) v q] v –p ≡ q v –p

Red simplificada:

T1 T2-p

Puede hacer la tabla para comprobar que los resultados son equivalentes.

Ejemplo:

{(p ^ t) v [r ^ (t v –q)]}^ -t ^ ( -r v t)

11

T1

p t

T2r

t

-q

-t-r

t

Vamos a simplificar:

{(p ^ t) v [r ^ (t v –q)]}^ -t ^ ( -r v t) ≡ {(p ^ t ^ -t) v [r ^ (t v –q) ^ -t]} ≡

≡{(p ^ Fo) v [r ^ ( t v –q) ^ -t]} ^ (-r v t) ≡{Fo v [r ^[(t ^ -t) v (-q ^ -t)]} ^(-r v t) ≡

≡ r ^[Fo v (-q ^ -t) ^ (-r v t) ≡ [r ^ (-q ^ -t)] ^ (-r v t) ≡ (r ^ -q ^ -t) ^ (-r v t) ≡

≡ (r ^ -q ^ -t ^ -r) v (r ^ -q ^ -t ^ t) ≡ r ^ -r ^ -q ^ -t) v (r ^ -q ^ Fo) ≡

≡ (Fo ^ -q ^ -t) v (r ^ -q ^ Fo) ≡ Fo ^ Fo ≡ Fo

T1 T2

El interruptor está abierto. Cuando T1 recibe un estímulo eléctrico, éste nunca llega a T2

{t ^ [(r ^ s) v (r^ s ^ -t)]} v -t

T1 T2

tr s -t

-t

Vamos a simplificar:

{t ^ [(r ^s) v (r ^ s ^ -t)]} v –t ≡ [t ^ ( r ^ s)] v –t ≡ ( t v –t) ^ (r v –t) ≡

≡ To ^ (r v –t) ^ (s v –t) ≡ (r v –t) ^ (s v –t) ≡ (r ^ s) v -t

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Al simplificar me quedan solo 3 interruptores, 4 menos que La red original.

EXPRESIONES RELACIONALES Y CUANTIFICADORES

En matemática y en ciencias de la computación, aparecen expresiones relacionales del tipo

“x ≤ 4”; “y2 ≥9”; “│ x │”; “x < 0 mientras que y > 0”. No son proposiciones ya que no se

puede establecer un valor de verdad. Pero se convierten en proposiciones lógicas, que

tienen valores de verdad 0 y 1 cuando se reemplaza a las variables “x, y” por valores

constantes.

Por ejemplo “x es un número mayor que 5”, no es una proposición, pero la sustitución de

la variable “x” por un valor bien especificado perteneciente a un dominio establecido, la

transforma en una proposición y su valor de verdad depende de la sustitución hecha.

Una “Función Proposicional” es una oración del tipo “P(x); x Є D”, donde “P(x)” es una

expresión relacional en x o la representación de una propiedad relativa al objeto

indeterminado “x”, mientras que “x Є D” es la indicación de la pertenencia de “x” al

dominio “D”.

Ejemplo: La función proposicional “x es un número par, x Є N”

Donde “x es un número par” es una propiedad relativa al objeto y “x Є N” es la variable

en “N” y “N” es su dominio de definición.

Ejemplo: “P(x): “7 es un número par” es una proposición y su valor de verdad es falso.

T1 T2

r s

-t

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EL UNIVERSO O DOMINIO DE LAS VARIABLES EN LAS FUNCIONES

PROPOSICIONALES

Al trabajar con “Funciones Proposicionales”, es importante fijar el universo o dominio al

que pertenece la variable “x”, dado que el valor de verdad de las proposiciones que puedan

obtenerse a partir de ellas puede depender de este universo.

Ejemplo: Consideramos la expresión relacional Q(z): “z es solución de la ecuación x2 +x-

1=0”.

En la función proposicional “z es solución de la ecuación x2 +x-1=0”, z Є Z”, resulta

Q(a): a es solución de la ecuación x2 +x-1=0”, es una propiedad siempre falsa. Por ejemplo:

son proposiciones falsas: “Q(-5)”; “Q(0)”; “Q(3)”.

Pero si el dominio es el conjunto “R” en la función proposicional “z es solución de la

ecuación x2 +x-1=0”, z Є R”, la sustitución “z” por “0” es “Q (0)”: “0 es solución de la

ecuación x2 +x-1=0”, es una proposición falsa; pero si “

” resulta “ (

)”,

una proposición verdadera.

La verdad o falsedad de una proposición, obtenida al reemplazar un valor de la variable “x

en D”, en una Función Proposicional, depende del dominio “D” de la Función

Proposicional.

¿Cómo se obtienen Proposiciones a partir de Funciones Proposicionales?

FORMA 1:

Por sustitución: La variable se reemplaza por una constante perteneciente a un dominio o

universo dado.

Estas nuevas expresiones relacionales también se convierten en proposiciones.

Ejemplo: Sea la función proposicional en 2 variables:

S(x, y):”Los números x-3; y+2; x-y; 2x-y son números positivos, x, y Є Z”. Cuando se

sustituye una de las letras “x” por una constante de nuestro conjunto dominio o universo, se

sustituyen todas las apariciones que hace esta letra “x” en la expresión. Si x=3; S(3, y)

resulta:

S (3, y): “Los números 0; y + 2; 3 – y; 6 – y; son números positivos, y Є z”.

Si x = 3 e y = 5 entonces: S (3, 5): “Los números 0; 7; -2; 1 son números positivos”, siendo

S(3, 5) una proposición falsa.

14

Definición: Si “P(x)” y “Q(x)” son expresiones relacionales, también lo son: -P(x); Q(x) ^

P(x); Q(x) v P(x).

Ejemplo: La negación de R(x): “x es un número que es un cubo perfecto, x Є N”, es la

expresión – R(x): “x es un número que no es un cubo perfecto, x Є N”; o bien, “no es cierto

que el número x sea un cubo perfecto, x Є N”.

Ejemplo: La Función Proposicional U(x): “x es un número mayor que 5 y x es un cubo

perfecto, x Є N”, resulta de la conjunción de las funciones proposicionales:

P(x): “x es un número mayor que 5, x Є N”

R(x): “x es un número que es un cubo perfecto, x Є N”

Entonces, se pueden construir expresiones relacionales de manera que:

- Resulte una proposición verdadera para alguno o todos los valores de sus variables.

- Resulte una proposición falsa para alguno o todos los valores de sus variables.

FORMA 2: Otra forma de obtener proposiciones a partir de expresiones relacionales o

funciones proposicionales es introduciendo el uso de símbolos, denominados

cuantificadores.

Escuchamos oraciones del tipo:

- Todos los ingresantes a la Universidad deben completar una ficha de inscripción.

- Todas las materias tienen cursado anual.

- Algunas materias tienen cursado cuatrimestral.

- Existen alumnos que disfrutan estudiando.

Las frases: “Para algún x”; “Para algunos x, y”; “Para todo x”; “Para todos x, y”,

cuantifican a las Funciones Proposicionales e indican la frecuencia con la cual un sujeto

o varios cumplen una propiedad.

x, que se lee “Para algún x se verifica”; “Existe un x tal

que”; “Para al menos un x se verifica”. La propiedad “Para algún x se cumple T(x) se

expresa como:” x/ T(x).

Cuantificador Universal: x: que se lee “Para todo x se verifica”; “Para cada x se

verifica”; “Para cualquier x se verifica”. La propiedad “Para todo x se verifica R(x) se

expresa como: “ x: R(x).

La expresión x, y/ S(x, y) se interpreta como: “para algunos x,y se cumple S(x,y) y la

expresión x, y: S(x, y) se interpreta: Par todos x, y se verifica S(x, y).

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Las expresiones relacionales cuantificadas (existencial o universalmente) son

“Proposiciones”, es decir expresiones que tienen valores de verdad, 0 o 1.

Consideramos “a Є D”:

x / P(x) es verdadera se existe al menos un “a” tal que “P(a)” es verdadera.

x / P(x) es falsa cuando “P(a)” es falsa para cualquier “a” del dominio.

x: P(x) es verdadera cuando “P(a)” es verdadera para cualquier “a” del

dominio.

x: P(x) es falsa cuando “P(a)” es falsa para al menos un “a” del dominio.

Ejemplo: Sean las expresiones relacionales: P(x); Q(x) y R(x), donde en todos los

casos x Є Z.

P(x): “x es mayor o igual que 2”

Q(x) : | |

R(x): x2

-5x+6=0

x / P(x) es verdadera ya que si “x” se reemplaza por “3”, P (3) / 3 ≥ 2, es una

proposición verdadera. x: P(x) es falsa porque existe una sustitución para “x”, por

ejemplo x = 0 donde, P(0): 0 ≥ 2 es una proposición falsa.

x / [ ] es una proposición verdadera, existe x = 2 que convierte a P(2) / 2 ≥ 2 y

Q(2) / | | = 2 es la conjunción de proposiciones verdaderas.

x / R(x) es verdadera.

NEGACIÓN DE EXPRESIONES RELACIONALES CUANTIFICADAS

Como las expresiones relacionales cuantificadas son proposiciones, se pueden negar y así

obtener nuevas proposiciones.

-[ ] (Se lee: todo x, no se verifica la exp. relac. F(x))

-[ ]

Ejemplo 1: es V

-[ ]

es F

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Ejemplo 2: La proposición “Existen ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros

cuyas soluciones no son enteras” es verdadera, ya que la ecuación 2x – 3 = 0 tiene solución

x = 3/2.

Su negación “Todas las ecuaciones de primer grado con coeficientes enteros tienen

soluciones enteras” es una proposición falsa.

Ejemplo 3: siendo F(x):” x es un entero múltiplo de tres” es falsa. Su negación es

verdadera: [ ].

Ejemplo 4: La negación de [ ] es [ ] que es

lógicamente equivalente a [ ⋀ ] (Falta hacer el desarrollo)

Ejemplo 5: La negación de [ ⋀ ] es [ ⋀ ] y es [

].

EXPRESIONES QUE CONTIENEN MÁS DE UN CUANTIFICADOR

Ejemplo: (Ley conmutativa)

Pero también puede expresarse:

Definición: Si P(x, y) es una expresión relacional en dos variables x, y con el mismo o con

distintos universos, entonces la proposición es lógicamente equivalente a la

proposición . Podemos expresar

.

Simplificando la notación: .

Podemos expresar además

Definición: Si Q(x, y) es una expresión relacional en dos variables “x, y” con el mismo o

con distintos universos, entonces la propiedad es lógicamente equivalente a

la proposición y se puede escribir:

y simplificando:

17

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES DISTINTOS

La proposición hace referencia a que “para cada x seleccionado existe un y

tal que P(x, y). Cada valor seleccionado para la variable “x” produce una elección diferente

de la variable “y”.

La proposición es “existe un valor “x” para todos los “y” que verifica

P(x, y).

Ejemplo 1: Cuando expresamos “para cada número entero x existe un entero y tal que

x + y = 0”; hacemos referencia a que “para cada número entero x existe un valor y que es

y = -x, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0.

Considerando la expresión x + y = y + x = 0, que se lee “existe un entero x tal que

para todos los enteros y, x + y = y + x = 0”, es falsa, porque elegido un entero “x”, por

ejemplo x = 2, el único valor de la variable “y” que satisface la igualdad es -2.

Del ejemplo vemos que, en general, la proposición , no es lógicamente

equivalente a la proposición .

Ejemplo 2: La proposición , se refiere a que “existe un único valor de x para

todos los valores de y tales que P(x, y). La usamos en “existe un elemento 0 tal que

para todo x es 0 + x = x + 0 = x (neutro de la suma en Z)

Ejemplo 3: H(x): “x es impar” y sea A = Z ;

Significa “existe por lo menos un x que es impar”, o lo mismo “algunos números

enteros son impares”. Esto es verdadero.

-[ ]

Significa “todos los x no son impares” o “todos los números enteros son pares”. Esto es

falso.

Ejemplo 4: “Hay alumnos que estudian y trabajan”

Este enunciado sugiere un cuantificador existencial y dos funciones proposicionales.

P(x): “x estudia” ; Q(x): “x trabaja”

[ ]

Negamos - [ ] [ ] P(x) v – Q(x)

Significa “cualquiera sea el alumno no estudia o no trabaja”

18

Ejemplo 5: . Negar.

ALCANCE DE UN CUANTIFICADOR

Para determinar el alcance de un cuantificador aplicamos la siguiente regla:

Si un cuantificador no va seguido por un signo de puntuación (paréntesis, corchete o

llave), su alcance llega hasta la (s) variable (s) correspondiente (s) a la primera

función a su derecha.

Si un cuantificador va seguido de un signo de puntuación izquierdo, su alcance

llegará hasta el signo de puntuación derecho, o sea que su alcance se extenderá a

toda la expresión encerrada dentro de los paréntesis, corchetes o llaves.

Variables ligadas: se llaman así a las variables que caen bajo el alcance de un

cuantificador.

Variables libres: se llaman así a las variables que o bien no tienen un cuantificador

correspondiente o bien no caen bajo el alcance de un cuantificador.

Ejemplos:

, el alcance del cuantificador llega hasta la x de la función F(x).

[ ] , el alcance del cuantificador llega hasta la x de F(x) y de Q(x),

pero no a la de R(x).

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

Frecuentemente nos preguntamos:

¿Cuándo es correcto un argumento matemático?

¿Qué métodos se pueden utilizar para construir argumentos matemáticos?

Para responder estas cuestiones vamos a definir algunos términos:

Un “Teorema” es una sentencia que se puede verificar que es verdadera.

Para demostrar que un teorema es verdadero, debemos llevar a cabo una serie de sentencias

que constituyen un argumento llamado “Demostración”.

Las sentencias que se utilizan en una demostración pueden incluir “axiomas o

postulados”.

Los axiomas o postulados son enunciados o proposiciones que se aceptan sin demostración.

19

Las “Reglas de inferencia”, son los medios usados para deducir conclusiones a partir de

otras afirmaciones, enlazan los pasos de una demostración.

“Falacias”, son razonamientos incorrectos.

“Lema” es un teorema sencillo utilizado en la demostración de otros teoremas.

Demostraciones complicadas son a veces más fáciles de entender haciendo uso de lemas,

los cuales se demuestran por separado.

Un “Corolario” es una proposición que se puede establecer directamente a partir de un

Teorema que ya ha sido demostrado.

Una “Conjetura” es una sentencia cuyo valor de verdad es desconocido. Cuando se

encuentra una demostración para una conjetura, ésta se convierte en teorema.

Se usan para demostrar teoremas matemáticos, y además por sus muchas aplicaciones en

ciencias de la computación.

Reglas de Inferencia

Mediante reglas de inferencia vamos a justificar los pasos de una demostración. Luego de

una serie de hipótesis (o premisas) se llega de forma lógica a una conclusión.

Ejemplo: La siguiente proposición [ ] es una tautología que es la base de la

regla de inferencia llamada “Modus Ponens”.

Se indica:

p o p

Regla de Inferencia Tautología Nombre

p Adición

⋀ ⋀ Simplificación

[ ⋀ ] ⋀ Conjunción o Ley de

combinación

[ ⋀ ] Modus Ponens

20

[ ⋀ ] Modus Tollens

[ ⋀ ] Silogismo Hipotético

[ ⋀ ]

[ ⋀ ]

Silogismo Disyuntivo

[ ⋀ ] Ley de Resolución

Supongamos que son verdaderas las premisas:

Ej.1: Si llueve hoy iremos al cine. Está lloviendo hoy, la conclusión será iremos al cine.

p q p q

1) También podemos indicar:

2)

1) y 2) Modus Ponens 2)

Ej.2: Si n es mayor que 3, entonces n2 es mayor que 9, n es mayor que 3.

p q p

1) y 2) Modus Ponens

Ej.3: Si llueve hoy, entonces hoy no haremos un asado. Si no hacemos un asado hoy,

p -q -q

haremos un asado mañana.

r

21

1)

2)

Silog. Hipotético

Si llueve hoy entonces haremos un asado mañana.

Ej.4: Estamos a más de 400 C hoy o la polución es peligrosa. Estamos a menos de 40

0 C

hoy.

p q -p

1)

2)

1) y 2) Silog. Disyuntivo

Ej.5: Si hoy es feriado, se cerrará la facultad. La facultad no está cerrada hoy. Por lo tanto,

p q

hoy no es feriado.

-p

1)

2)

1) y 2) Modus Tollens

ARGUMENTOS VÁLIDOS

Se dice que un argumento deductivo es correcto si siempre que todas las hipótesis o

premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Mostrar que “q” se deduce

lógicamente de las hipótesis p1, p2,…..,pn es lo mismo que mostrar que la implicación

⋀ ……⋀ ) es verdadera.

Cuando todas las proposiciones utilizadas en un argumento correcto son verdaderas, se

llega a una conclusión correcta.

No obstante un argumento correcto puede conducir a una conclusión incorrecta, si se

utilizan una o más proposiciones falsas en el argumento.

Ej.1: Si √

(√ )2

(

)2

22

por Modus Ponens esto es F porque se partió de una premisa F,

si bien es un argumento correcto.

Ej.2: Mostrar que las siguientes hipótesis conducen a la conclusión: estaremos en casa al

atardecer.

(Cuando hay muchas hipótesis o premisas, se necesitan varias reglas de inferencia para

demostrar que un argumento es correcto).

“Esta tarde no hay sol y hace más frío que ayer”. “Iremos a nadar solo si hay sol”. “Si no

-p q r p

vamos a nadar, daremos un paseo en canoa”. “Si damos un paseo en canoa, estaremos en

-r s s t

casa al atardecer”.

3) -r

4)

5) –p Simplificación en 1)

6) –r en 5) y 2) Modus Tollens

7) s en 6) y 3) Modus Ponens

8) t en 7) y 4) Modus Ponens

Ej.3: “Si me mandas un mensaje por correo electrónico, entonces acabaré de escribir el

p q

programa”. “Si no me mandas un mensaje por correo electrónico, me iré a la cama

- p r

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temprano”. “Si me voy a la cama temprano, me levantaré descansado.

r s

1)

2) –p

3) r

4) –q Contrarresíproco en 1)

5) –q 4) y 2) Silog. Hipotético

6) -q 5) y 6) Silog. Hipotético

Conclusión:” Si no acabo de escribir el programa, me levantaré descansado”.

Ej.4: “Estoy soñando o estoy alucinado”. “No estoy soñando”. Si estoy alucinado, veo elefantes

P q -p q r

corriendo por la ruta.

1)

2) –p

3) q

4) q 1) y 2) Silog. Disyuntivo

5) r 4) y 3) Modus Ponens

Ej.5: “Si juego al futbol, entonces estoy dolorido al día siguiente”. “Uso la bañera de

p q r

hidromasajes si estoy dolorido”. “No usé la bañera de hidromasajes”.

q -r

1)

2) q

3) –r

4) p 1) y 2) Silog. Hipotético

5) –p 4) y 3) Modus Tollens

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MÉTODOS PARA DEMOSTRAR TEOREMAS

Demostraciones directas: La implicación se puede demostrar viendo que si “p” es

verdadera, entonces “q” debe ser verdadera también. Esto indica que la combinación “p”

verdadero y “q” falso no ocurre nunca. Una demostración de este tipo se llama

“demostración directa”. Para realizar este tipo de demostración, se supone que “p” es

verdadera y se utilizan reglas de inferencia y teoremas ya demostrados, para demostrar

que “q” debe ser también verdadera.

Definición: El entero n es par si existe un entero k/ n = 2k y es impar si existe un entero k/

n =2k + 1.

Teorema: “n es un entero impar, entonces n2

es un entero impar

Hip.) n es un entero impar

Tesis) n2 es un entero impar

Dem.) Suponemos que la hip. es V, entonces

n = 2k + 1, donde k es un entero

n2 = (2k + 1)

2 = 4k

2 + 4k + 1 = 2(2k

2 + 2k) + 1

n2 es un número impar(es una unidad mayor que el doble de un entero)

Demostraciones indirectas: La implicación es equivalente a su contrarrecíproca,

, la implicación se puede demostrar viendo que su contrarrecíproca es

verdadera. Un argumento de este tipo se llama demostración indirecta.

Teorema: Si 3n + 2 es impar, entonces n es impar

Suponemos que la conclusión de esta implicación es falsa, es decir n es par, entonces

n = 2k, para algún k.

3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1), por lo que 3n + 2 es par (por ser múltiplo de 2).

Como la negación de la conclusión implica que la hipótesis es falsa, la implicación

original es verdadera.

Demostración trivial: Supongamos que la conclusión “q” de una implicación es

verdadera. Entonces es verdadera, puesto que la sentencia tiene la forma o

, lo cual es cierto.

Por lo tanto, si se puede ver que “q” es verdadera, entonces se puede dar una definición

llamada demostración trivial.

Demostraciones vacuas: Supongamos que la hipótesis “p” de una implicación es

falsa. Entonces es verdadera, porque la sentencia tiene la forma de o ,

y por tanto es verdadera. En consecuencia, si se puede demostrar que “p” es falsa,

entonces se puede dar una demostración llamada demostración vacua, de la implicación

.

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