lógica proposicional

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Apunte de Lógica Proposicional.

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  • 1

    UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL

    FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA

    LGICA PROPOSICIONAL

    ASIGNATURA:

    MATEMTICA DISCRETA

    CARRERA:

    INGENIERA EN SISTEMAS DE INFORMACIN

    Dpto. I.S.I.

    Prof.: Aguilar, Nancy; Del Valle, Graciela

    Ao 2013

  • 2

    LGICA PROPOSICIONAL

    Las reglas de la lgica le dan un significado preciso a los enunciados matemticos o

    sentencias matemticas. Estas reglas se usan para distinguir entre argumentos vlidos y no

    vlidos. Adems de su importancia en el razonamiento matemtico, la lgica tiene

    numerosas aplicaciones en ciencias de la computacin. Ejemplos: diseo de circuitos de

    ordenadores, construccin de programas informticos, verificacin de que un programa est

    bien construido, etc.

    PROPOSICIONES

    Una proposicin es una oracin declarativa que es correcta o falsa, pero no ambas cosas a

    la vez.

    Ejemplos:

    a) Resistencia es la capital del Chaco

    b) Ober es la capital de Misiones

    c) 1+1= 2

    d) 3+3= 5

    Ejemplos:

    -Buenas noches

    -Qu hora es?

    Estas dos ltimas oraciones no son proposiciones porque no son declarativas.

    x + 2 = 7

    x + y = 8

    Estas ecuaciones no son proposiciones porque no son ni verdaderas ni falsas, ya que no se

    les otorg valor a las variables.

    Para denotar proposiciones, por convenio utilizamos letras minsculas: p, q, r, s, etc.

    El rea de la lgica que trata proposiciones se llama clculo proposicional o lgica

    proposicional. Fue desarrollada sistemticamente por primera vez por el filsofo griego

    Aristteles, hace ms de 2300 aos.

  • 3

    MTODOS PARA PRODUCIR PROPOSICIONES NUEVAS A PARTIR DE LAS

    YA EXISTENTES

    Definicin: Sea p una proposicin. El enunciado No se cumple p es otra proposicin,

    llamada negacin de p. Se denota -p.

    Tabla:

    p -p

    V F

    F V

    La tabla de verdad muestra las relaciones entre los valores de verdad de las proposiciones.

    Ej.: Hoy es martes, su negacin, No se cumple que hoy es martes

    CONECTIVOS U OPERADORES LGICOS

    Se usan para formar nuevas proposiciones a partir de dos o ms ya creadas.

    Conjuncin

    Definicin: Sean p y q proposiciones. La proposicin p q, es la proposicin que es

    verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. La

    proposicin p se llama conjuncin de p y q.

    Tabla:

    p q p V V V

    V F F

    F V F

    F F F

    Otra forma: V se representa con 1, F se representa con 0

    p q p 0 0 0

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 1

  • 4

    Ejemplo: p: hoy es lunes q: hoy llueve

    hoy es lunes y llueve

    Disyuncin inclusiva

    Definicin: Sean p q proposiciones. La proposicin p es la proposicin que es

    falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. La

    proposicin p q se llama disyuncin de p y q. Este tipo de disyuncin es inclusiva.

    Tabla:

    p q p V V V

    V F V

    F V V

    F F F

    Otra forma:

    p q p 0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 1

    Ejemplo: p: hace calor q: traspiramos

    hace calor y traspiramos

    Disyuncin exclusiva

    Definicin: Sean p y q proposiciones. El conectivo lgico o exclusivo de p y q,

    denotado p q, es la proposicin que es verdadera cuando exactamente una de las

    proposiciones p o q es verdadera y falsa en cualquier otro caso.

    Tabla:

    p q p V V F

    V F V

    F V V

    F F F

  • 5

    Otra forma de expresar:

    p q p 0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 0

    Ejemplo: p: veranearemos en el mar q: veranearemos en las sierras

    veranearemos en el mar o en las sierras

    Implicaciones

    Definicin: Sean p y q proposiciones. La implicacin pq es la proposicin que es

    falsa cuando p es verdadera y q es falsa y verdadera en cualquier otro caso. En esta

    implicacin p se llama hiptesis (o antecedente o premisa) y q se llama tesis o

    conclusin (o consecuencia). La implicacin a veces se denomina declaracin

    condicional.

    Tabla:

    p q pq

    V V V

    V F F

    F V V

    F F V

    Otra forma:

    p q pq

    0 0 1

    0 1 1

    1 0 0

    1 1 1

    Existen muchas formas de expresar pq:

    Si p, entonces q p implica q Si p,q

    p soli si q p es suficiente para q Una condicin suficiente para q es p

    q si p q cuando p q siempre que p

    Una condicin necesaria para p es q q es necesario para p q se deduce de p

  • 6

    Ejemplo: Si hoy es viernes, entonces 2 + 3 = 5

    Recproca, contrarrecproca e inversa

    Hay implicaciones relacionadas con pq que pueden formarse a partir de ella.

    Tabla:

    p q -p -q pq qp -p-q -q-p

    V V F F V V V V

    V F F V F V V F

    F V V F V F F V

    F F V V V V V V

    Las implicaciones contrarrecprocas son equivalentes porque tienen la misma tabla de

    verdad.

    Ejemplo:

    p: llueve q: el equipo local gana

    pq : si llueve, entonces el equipo local gana

    Bicondicional

    Definicin: Sean p y q proposiciones. La bicondicional o doble implicacin, pq, es

    la proposicin que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y

    falsa en los otros casos.

  • 7

    Tabla:

    p q pq

    V V V

    V F F

    F V F

    F F V

    La doble implicacin es verdadera, cuando las implicaciones pq y qp son

    verdaderas. Debido a esto la terminologa p si, y solo si,q.

    Otras formas:

    p es necesario y suficiente para q p sii q si p, entonces q, y recprocamente

    Ejemplo:

    P: puedes tomar el vuelo q: compras un billete

    puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras el billete

    Tautologa, Contradiccin y Contingencia

    Definicin: Un enunciado compuesto es una Tautologa, cuando es siempre verdadero,

    cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

    Definicin: Un enunciado compuesto es una Contradicin, cuando es siempre falso,

    cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que lo componen.

    Definicin: Un enunciado compuesto es una Contingencia, cuando a veces es

    verdadero, a veces falso.

    Ejemplo de una tautologa y una contradiccin:

    p -p p p^-p V F V F

    F V V F

    Ejemplo: -( p ) y -p^-q

    p q -p -q p -( p -p^-q -( p V V F F V F F V

    V F F V V F F V

    F V V F V F F V

    F F V V F V V V

  • 8

    Ejemplo: hacer la tabla

    - p y pq

    Tabla de equivalencias lgicas. Leyes lgicas

    Equivalencia Nombre

    p^Vp pv Fp

    L. de Identidad

    pvVV p^FF

    L. de Dominacin

    pvpp p^pp

    L. Idempotentes

    -(-p) p L. de la doble negacin

    Pvq qvp p^q q^p

    L. Conmutativas

    (pvq)vr pv(qvr) (p^q)^r p^(q^r)

    L. Asociativas

    pv(q^r) (pvq)^(pvr) p^(qvr) (p^q)v(p^r)

    L. Distributivas

    -(p^q ) -pv-q -(pvq) -p^-q

    L. de De Morgan

    pv(p^q) p p^(pvq) p

    L. de Absorcin

    pv-p V p^-p F

    L. de negacin o inversas

    Equivalencias lgicas relacionadas con implicaciones

    pq -pvq

    pq -q-p

    pvq -pq

    p^q -(p-q)

    -(pq) p^-q

    (pq)^(pr) p(q^r)

  • 9

    (pr)^(qr) (pvq)r

    (pq)v(pr) p(qvr)

    (pr)v(qr) (p^q)r

    pq (pq)^(qp)

    pq -p-q

    pq (p^q)v(-p^-q)

    -(pq) p-q

    REDES DE CONMUTACIN (CIRCUITOS LGICOS)

    Una red de conmutacin est formada por cables e interruptores que conectan terminales

    T1 y T2. Cuando un interruptor est abierto, entonces no pasa corriente por l. Lo indicamos

    con 0; mientras que 1 indica que el interruptor est cerrado y por consiguiente pasa la

    corriente por l.

    pT1 T2

    La corriente pasa de T1 a T2 si p o q estn cerrados. Los interruptores estn en

    paralelo. Lo indicamos p v q.

    T1 T2q

    La red necesita que los dos interruptores estn cerrados para que la corriente circule de T1 a

    T2. Los interruptores estn en serie y se representan con la proposicin p ^ q.

  • 10

    pT1

    qT2

    Una red de conmutacin puede ser simplificada.

    Los interruptores de una red no tienen por que actuar independientemente unos de otros.

    Estos se acoplan de manera que p est abierto (cerrado), si y solo si, -p est cerrado

    (abierto) simultneamente.

    Ejemplo:

    T1 T2-q-p

    q

    (p^q) v [(-p^-q) v q]

    Vamos a simplificar esta proposicin compuesta:

    (p^q) v [(-p^-q) v q] (p^q) v [(-p v q) ^ (-q v q)] (p^q) v [(-p v q) ^ To] (p ^ q) v (-p v

    q) [(p ^ q) v q] v p q v p

    Red simplificada:

    T1 T2-p

    Puede hacer la tabla para comprobar que los resultados son equivalentes.

    Ejemplo:

    {(p ^ t) v [r ^ (t v q)]}^ -t ^ ( -r v t)

  • 11

    T1

    p t

    T2r

    t

    -q

    -t-r

    t

    Vamos a simplificar:

    {(p ^ t) v [r ^ (t v q)]}^ -t ^ ( -r v t) {(p ^ t ^ -t) v [r ^ (t v q) ^ -t]}

    {(p ^ Fo) v [r ^ ( t v q) ^ -t]} ^ (-r v t) {Fo v [r ^[(t ^ -t) v (-q ^ -t)]} ^(-r v t)

    r ^[Fo v (-q ^ -t) ^ (-r v t) [r ^ (-q ^ -t)] ^ (-r v t)