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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Introduccion.

La trigonometrıa fue desarrollada hace mas de 2000 anos, siendo los griegos sus gestores y elmatematico y astronomo Hiparco ( Siglo II A. de C.) uno de sus representantes. Sus inicios fueronmotivados por la necesidad de predecir rutas y posiciones de cuerpos celestes, para mejorar lanavegacion y para el calculo de tiempos.

El estudio de la trigonometrıa se centro en el conocimiento de los triangulos. la palabra sederiva de los griegos Trigonom que significa triangulo y metron de medicion.

Sabemos que todo triangulo tiene tres lados y tres angulos; ademas, los triangulos rectangulostienen un angulo conocido, luego el estudio de centra en analizar solo dos angulos y sus lados.

La trigonometrıa posee numerosas aplicaciones: las tecnicas de triangulacion, por ejemplo,son usadas en astronomıa para medir distancias a estrellas proximas, en la medicion de distanciasentre puntos geograficos y en la construccion.

Objetivo.

El alumno aprendera a resolver problemas donde se emplean triangulos mediante el uso delas funciones trigonometricas.

Desarrollo del tema.

Recordemos que las relaciones son interacciones entre dos conjuntos, para el caso de lastrigonometricas, la relacion es de cociente entre dos longitudes; tomando como referencia eltriangulo rectangulo, con un angulo del mismo.

Figura 1.

Existen 6 relaciones trigonometricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y consecan-

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te, las cuales estan dadas por

sen(ϕ) =y

h, csc(ϕ) =

h

y,

cos(ϕ) =x

h, sec(ϕ) =

h

x,

tan(ϕ) =y

x, cot(ϕ) =

x

y.

Las funciones trigonometricas se emplean en la arquitectura para la elaboracion y trazado deplanos donde se utilizan lineas, terminadas en longitud, latitud y profundidad. A continuacionmostramos un ejemplo sencillo donde estas funciones son primordiales.

Ejemplo 1. Se requiere disenar un tobogan segun la grafica, calcular la longitud del tobogan,que cumple las especificaciones dadas.

Figura 2.

Solucion: dividimos el problema en 3 partes, comencemos con la parte mas alta.

sen(35o) =20

h=⇒ h =

20

sen(35o)=

20

0,57357= 34,869m

La longitud de la primera parte es de 34,869 m. Calculamos

x = h cos(35o) = (34,869)(cos(35o)) = 28,563 m.

Ahora resolvamos la parte mas baja

sen(25o) =15

h′ =⇒ h′ =15

sen(25o)=

15

0,4226= 35,494 m.

La ultima caıda del tobogan mide 35,494 m. Calculamos

x = h cos(25o) = 35,494cos(25o) = 32,168 m.

Finalmente, la parte horizontal del tobogan es

100− (32, 168 + 28,563) = 39,269 m.

Luego la longitud del tobogan es

L = 35,494 m + 39,269 m + 34,869 m = 109,632 m.

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Existen muchas situaciones que se describen con triangulos que no son rectangulos, es decir,triangulos oblicuos. Para estos no podemos definir las funciones trigonometricas, sin embargose tienen formulas que las utilizan.

Ley del seno. Para un trianngulo con lados a, b, c y angulos opuestos A, B, C, respectivamente(ver figura 3), se cumple:

sen(A)

a=

sen(B)

b=

sen(C)

c

Figura 3.

Existen situaciones donde el teorema del seno no se puede aplicar de forma directa, en casoscomo tener dos lados y el angulo entre ellos o cuando se tienen los tres lados. Para estos casosse aplica

Ley del coseno. Sea un triangulo cuyos lados son a, b, c y angulos A, B, C, respectivamenteopuestos (ver figura 3), se cumple:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A),

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B),

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C).

Ejemplo 2. Un topografo quiere determinar la distancia entre dos casas A y B. Del punto deobservacion el angulo entre las dos casas y este es de 60o. La distancia del punto de observaciona la casa A es de 120 m y a la casa B es de 100 m. ¿Que distancia separa las dos casas?

Solucion: el problema se representa graficamente como

Figura 4.

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Necesitamos encontrar el valor de x, para esto aplicamos la ley del coseno

x2 = (120)2 + (100)2 − 2(120)(100) cos(60o)

= 14 400 + 10 000− 24 000(0,5)

= 24 000− 12 000

= 12 400

Ası x = 111,35 m. Por lo tanto las casas se separan 111,35 m.

Conclusiones.

La trigonometrıa es una herramienta importante en la arquitectura, ya que se emplea enel trazado de planos para resolver problemas concernientes a triangulos. La funciones trigo-nometricas se emplean para la resolucion de triangulos rectangulos; sin embargo en la practicase utilizan triangulos no rectangulos, para los cuales se emplean las leyes del seno y coseno.

Bibliografıa.

[L] Litvinenko V., Mordkovich A. Algebra y Trigonometrıa. Editorial Mir Moscu, 1989, URSS.

[R] Rondon J. Algebra, Trigonometrıa y Geometrıa Analıtica. Primera edicion. Editorial UNAD,2005, Bogota, D.C.