energia de deformaciÓn

ENERGÍA DE

DEFORMACIÓN

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

En la figura se observa una barra de longitud L y sección

transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga

axial P que se incrementa lentamente.

A

B

C

L

B

C

x

P


Graficando la magnitud de la carga

contra la deformación de la barra se

obtiene un diagrama carga-

deformación que es característico de

la barra

El trabajo elemental realizado

por la carga cuando la barra se

alarga una pequeña cantidad es

igual al producto de la magnitud de

la carga y del pequeño alargamiento

. Se tiene:

dU

P

x

BC

P

dx

P

dx

dxPdU *

P

0

P

xdx

1x

ÁreaU

P

x0


El trabajo realizado por la carga cuando se le aplica

lentamente a la barra, debe producir el incremento de

energía asociada con la deformación de la barra. Esta

energía es la energía de deformación de la barra.

Por definición:

P

1

0

x

PdxUEnergía de deformación


El trabajo se transforma parcial o totalmente en energía

potencial de deformación

2

*PU

AE

PL

Ley de Hooke

L

EA

EA

LP

EA

LPPU

222

22

***

Deformación permanente

p

Energía se disipa en forma de

calor

P

0f

Deformación permanente

P

DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Es igual a la relación entre la Energía de deformación y el volumen del elemento y se designará por la letra .

Se tiene entonces:

V

Uu

u

1

1

0

0x

x

AL

Pdx

LA

Pdx

V

Uu

*

0

u

1

0

duDensidad de Energía de

deformación

MÓDULO DE TENACIDAD

Es la densidad de energía del material cuando llega a la

rotura, nos da la idea de la ductilidad de un material.

21 uu

0

RUPTUR

A

0

RUPTUR

A

1u

RUPTUR

A

2u

0

> ductilidad < ductilidad

Módulo

de

Tenacida

d

u

MÓDULO DE RESILIENCIA

Es la densidad de energía de deformación que el material puede absorber sin fluir.

La capacidad de una estructura para soportar una carga de impacto sin deformase en forma permanente depende de la tenacidad y de la resiliencia del material utilizado.

0f

Módulo de

Resiliencia

f

EEu

u

fff

f

22

22

Eu

f

2

2 Módulo de

Resiliencia

ENERGÍA DE DEFORMACION ELÁSTICA PARA

ESFUERZOS NORMALES

En un elemento estructural con distribución de esfuerzos no

uniforme, la densidad se define considerando un

pequeño elemento de material de volumen .

dVU

udVdUdV

dUu

2

u

V

0

Esto se usa para el rango elástico antes de llegar a la

fluencia.

dVE

U 2

2Energía de deformación

elástica bajo esfuerzos

uniaxiales

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA BAJO

ESFUERZOS CORTANTES

Cuando un material está sometido a esfuerzo cortante plano la

densidad de energía de deformación en un punto dado se

expresa:

0

u

G

*

G

HookedeLey

udVdUdV

dUu

Guu

du

2

2

* 2

(En el rango

elástico)

es la deformación

cortante

correspondiente a

V

dVG

U2

2Energía de deformación

elástica bajo esfuerzos

cortantes

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A .

Cargas Axiales

Momentos Flectores

Energía de deformación bajo carga

axial

xP xP

dx

x

x

A

P

dxAdV x

* .........

dx

AE

PU

L

x

x

0

2

2

Si un elemento de longitud L y área transversal se encuentra sujeto a una

carga axial siendo el esfuerzo normal o axial P y se tienen en cuenta las

relaciones entre tensión normal σ = P/A se obtiene:

vv

2P 1P3P

xA

x

dx

L

Energía de deformación bajo carga axial

L A

P

Para una carga constante y sección constante

AE

LPU

xAE

PU

dxAE

PU

L

L

2

2

2

2

0

2

0

2

Sabiendo que también se

puede llegar con la expresión

general (*) Ejemplo

Para una carga constante y sección constante

1P2P

1A

1L 2L

2

2

2

2

1

1

2

21

2

*

2 EA

LP

EA

LPPU

2A

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A

Energía de deformación bajo momentos

flectores

I

yxM *

iP

x

y

xW

x

xM

Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo

normal viene dado por:


flectores

Idx

I

xM

EUdxdAy

I

xM

EU

dAdxI

yxM

EUdV

EU

LL A

I

L AV

*2

1 *

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

22

dxdAdV *

y

x

ydA

xMNE.

y

dx

Esfuerzo varía en cada diferencial de

área

dx

I

xM

EU

L

*2

1

2


flectores

EI

LPU

LLPL

LPL

PEI

U

XLPX

LPX

PEI

U

dxLPPXPLXPEI

U

dxI

PLPX

EU

LLL

L

L

6

22

32

1

22

32

1

22

1

2

1

32

222

23

2

0

22

0

22

0

32

2222

2

*

Problema:

xP

PL

xM

PLPXM x

Solución:

LP

PL P


Torsión

Fuerza Cortante

Energía de deformación bajo

torsión

dVG

UJ

T 2

2

1

*

d

Sección

Circular

Energía de deformación bajo torsión

*

x

x

J

T

dxddV

dA

*2

dxd

J

T

GU

dxdJ

T

GU

x

x

L R

x

x

V

x

3

2

2

2

2

22

1

22

1 2

**

***

1T

v

2T3T

x

L

dx

xTxT

L

x

L xR

xJ

x

x

dxxJ

T

GU

dxdJ

T

GU

2

2

2

2

*2

1

2*2

1

La energía de deformación bajo

torsión se define:

Energía de deformación bajo fuerza cortante


22

33

22

3

22

26

12

1

22

12

1

22

22

1

2

22

yhbh

V

bhb

yhbV

dxbdydVhbIbt

yhb

yAQ

yhyh

yyyhbA

xx

/

**

//*

* , ,

*

//

, /

x

Q

y NE.

x

2/h

2/h

yy

L

h

h

x

L

h

h

x

V

x

V

x

V

x

V

dxyyh

yh

hGb

VU

dxdyyyhh

hGb

VU

dxdybyyhhhGb

VU

dxdybyhhb

V

GU

dVyhbh

V

GUdV

GU

2

2

5324

6

2

2

2

4224

6

2

4224

62

2

222

62

2

2

22

3

2

53216

18

216

18

22218

236

2

1

26

2

1

2

/

/

/

/

*

*

//

/

/

Energía de deformación bajo fuerza

cortante

dxV

Gbhdxh

hGb

VU x

L

x

25

6

260

30

118 .*

Energía de deformación bajo fuerza

cortante

dxxVGbh

dxhhGb

VU

L

x

25

6

26.0

30

1*

18

L

dxxVGA

U26.0 Energía de deformación

elástica bajo fuerza

cortante

Ejemplo 1

Problema: Hallar la Energía de deformación del

sistema

jouleU mNU

xxxx

x

xxxx

xU

EA

LPU

67.6 * 67.6

10150102002

50.1 10000

1090102002

50.1 10000

2

*69

2

69

22

KNFKNFFF , 1010125

3

5

32111

º37

KN12

mL

mmA

.

51

90

1

21

mL

mmA

.

51

150

2

22

m90.

m90. KN12

1F

2F

2121 3737

0

200

FFCosFCosF

F

GPaE

x

Ejemplo 2

Problema: Calcular la Energía de deformación para una carga

puntual.

2

PV x

Primer tramo

2

PV x

Segundo

tramo

2/P

P

2/P

M

V

2/P

2/P

xV

Momentos por tramos:

Primer tramo

2/P

x

xM XPM x 2/ 22 // LXPXPM x

P

2/P

x

xM

2

L

Segundo tramo

Ejemplo 2

La energía debida a :

dxXLP

EI

X

EI

PU

dxLxPxPEI

dxxP

EI

dxMEI

U

L

L

L

L

L

L

L

x

222

2

2

0

32

2

2

22

0

2

42

1

38

222

1

22

1

2

1

/

/

//

Operando

:

EI

LPU

96

32

Esto es debido a

normales

Ejemplo 2

La energía debida a :

GA

LPU

LP

AGU

dxP

AGdx

P

AGUdxV

AGU

L

L

L

x

2

2

2

2

22

0

2

150

224

60

2

60

2

6060

.

****

.

*

.

*

.

*

.

/

/

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA

CARGA

P carga la de dirección la en

P

M momento del dirección la en giro M

T del dirección la en giro de ángulo T

P

P

d

PddW 2

PW


CARGA

UWext

En el problema anterior2

676P

mNU *.

mmmx

NmN

11110111

2

12000676

3 . .

**.

T

2

TW

M

2

MW

Donde ya no es o en las barras, sino la carga externa que produce

deformación

P 1F 2F

KN12


CARGA

EI

PLP

EI

LP

WEI

LPU ext

48296

96

332

32

*

También se tiene que:

TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS

CARGAS

222

212

121

111

PX

PX

PX

PX

2

1

2

1

a debidoen entodesplazami




Las cargas se aplican

lentamenteP

11X 21X

1P 2P

Si luego aplica la carga 2

1P

11X 21X

12X 22X

2P


CARGAS

22222

21212

12121

11111

PX

PX

PX

PX

1 .........

22

222

2

2222

2112

2111

222121

111222

121111

PPP

PW

XPXP

XPW

XPW

XPXP

W

totalext

totalextext

ext

1P

11X 12X

2P

21X 22X


CARGAS

Si cambiamos la secuencia de aplicación de carga ( es decir primero y

luego ) 2P 1P

Reemplazando los

queda:s

2 .........

2121

2222

2111

212222111

22

22

PPPP

W

XPXPXP

W

totalext

totalext

1P

12X 11X

22X 21X

1P

El trabajo total es independiente del orden de secuencia de aplicación de

las cargas. Entonces:

Las dos expresiones son iguales (1) =(2) 2112

TEOREMAS ENERGÉTICOS

Teorema Betti

“El trabajo externo realizado por un conjunto de cargas a lo largo

de los desplazamientos producidos por un segundo conjunto de

cargas es igual al trabajo producido por el segundo grupo de

cargas a lo largo de los desplazamientos producidos por ”.

1P

2P

2P

1P

1P

12X

2P

22X

1P

11X

2P

21X

TEOREMAS ENERGÉTICOS

Teorema de Maxwell - Betti

“La deflexión originada en el punto (2) bajo la aplicación de un

carga unitaria en el punto (1) será igual a la deflexión del punto (1)

debido a una carga unitaria en el punto (2)”.

1P

11X 21X

12X 22X

2P 1P

12X

2P

12

21

PP

PP

Betti Teorema 2112 1

1

2

1

P

P

energia de deformaciÓn

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