elección bajo incertidumbre - ejercicios

Microeconoma II Gua de ejercicios 2

Eleccion bajo incertidumbre

Hector Martinovic

19 de agosto de 2015

1. Diversificacion

En las proximas semanas el Congreso de Estados Unidos va a decidir sidesarrollar o no un nuevo programa de armamento muy costoso. Si elprograma se aprueba, devengara muchos beneficios para la industria quetrabaja para el Ministerio de Defensa, la General Statics. En efecto, si elnuevo programa es aprobado, el valor de una accion de la General Staticsaumentara de 10 dolares a 15 dolares, y si el programa no es aprobado,el valor de una accion descendera a 5 dolares. Buzz Condor, en calidadde portavoz del congresista Kickback, ha descubierto que este programaarmamentstico tiene muchas mas probabilidades de ser aprobado de loque generalmente se piensa. Basandose en sus conocimientos, Condor haresuelto que la probabilidad de que el programa se apruebe es de 3/4 yla probabilidad de que no se apruebe es 1/4. Representemos con ca elconsumo de Condor en el caso de que el programa se apruebe y con cna suconsumo en caso de que el programa no se apruebe. Su funcion de utilidadde Von Neumann-Morgenstern es u(ca, cna) = 0,75 ln ca + 0,25 ln cna. Lariqueza total de Condor asciende a 50.000 dolares, toda ella invertida enactivos completamente seguros. Condor esta a punto de comprar accionesde General Statics .

a) Si Condor adquiere x acciones y el programa de armamento es apro-bado, conseguira un beneficio de 5 dolares por accion. Entonces, lacantidad que puede consumir, contingente con la aprobacion del pro-grama es ca = 50.000 dolares + 5x. Si condor compra x acciones yel programa de armamento no es aprobado, sufrira una perdida de

dolares por cada accion. Por lo tanto, su consumocontingente sera en este caso cna = .

b) Podemos determinar la ecuacion presupuestaria de Condor relativaa las combinaciones de consumo contingente (ca, cna) despejando lax en las dos ecuaciones anteriores. Su restriccion presupuestaria sepuede expresar como ca+ cna =50000.

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Microeconoma II Eleccion bajo incertidumbre

c) Buzz Condor carece de escrupulos morales sobre el empleo de es-ta informacion reservada y no tiene ninguna preocupacion sobre laeventualidad de ser detenido y castigado. Para decidir cuantas accio-nes adquirir, simplemente maximiza su funcion de utilidad de VonNeumann-Morgenstern dada su restriccion presupuestaria. Si igualasu relacion marginal de sustitucion entre los dos bienes contingentescon la relacion de precios y simplifica esta ecuacion, se encuentra conque ca/cna = .

d) Condor calcula que la combinacion optima de consumo contingentees (ca, cna) = . Para adquirir esta combinacion tieneque comprar acciones de General Statics.

Respuesta:

a) Buzz Condor compra las acciones a un precio de 10 dolares cadauna. Si el programa es aprobado podra venderlas a 15 dolares, ga-nando 5 dolares por accion. En cambio, si el programa no es aprobadopodra venderlas solamente a 5 dolares, perdiendo 5 dolares por ac-cion. Pro esto, los consumos contingentes en caso de aprobarse y noaprobarse el proyecto seran:

ca = 50000 + 5x

cna = 50000 5xb) De la primera ecuacion podemos despejar x como x = (ca50000)/5,

y de la segunda como x = (50000 cna)/5. Igualando, se tiene que:ca 50000

5=

50000 cna5

ca 50000 = 50000 cnaca + cna = 100000

0,5ca + 0,5cna = 50000

c) La ecuacion anterior representa una restriccion presupuestaria enel espacio de canastas de consumo contingente (ca, cna). Su pendien-te es 0,5/0,5 = 1. La funcion de utilidad de Von Neumman-Mortenstern definida sobre estas canastas de bienes es:

u(ca, cna) = 0,75 ln ca + 0,25 ln cna

Por lo tanto, la relacion marginal de sustitucion se puede calcularcomo:

RMS(ca, cna) = u/cau/cna

= 0,75/ca0,25/cna

= 3cnaca

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Para la canasta optima de consumo, se cumple la condicion de tan-gencia:

RMS(ca, cna) = 13cna

ca= 1

cacna

= 3

d) De la ecuacion anterior, tenemos que ca = 3cna. Reemplazando en laecuacion de la recta presupuestaria, se tiene que:

ca + cna = 100000

3cna + cna = 100000

cna = 25000

Por lo tanto, ca = 3cna = 75000, y la cantidad optima de acciones a

comprar se puede calcular como:

x =50000 cna

5

=50000 25000

5

=25000

5= 5000

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2. Seguros

Guillermo es propietario de una pequena fabrica de chocolate situada juntoa un ro que se desborda ocasionalmente en primavera con consecuenciasdesastrosas. El verano proximo Guillermo tiene la intencion de vender lafabrica y jubilarse. Su unica renta provendra de la venta de la fabrica. Si nohay inundaciones, la fabrica puede ser vendida por 500.000 pesos y si hayinundaciones, lo que quede de la fabrica valdra solamente 50.000 pesos.Guillermo puede asegurarse contra los danos a un costo de 0,1 pesos porcada peso de valor asegurado. Guillermo cree que la probabilidad de queesta primavera se produzca un desbordamiento es de 1/10. Representemoscon ci el bien contingente pesos si hay una inundacion y con cni el biencontingente pesos si no hay una inundacion. Su funcion de utilidad de VonNeumann-Morgenstern es de u(ci, cni) = 0,1

ci + 0,9

cni.

a) Si no contrata ningun seguro, entonces en cada una de las circuns-tancias, el consumo de Guillermo sera igual al valor de la fabrica y,por lo tanto, la combinacion de consumo contingente sera (ci, cni) =

.

b) Para contratar un seguro que le proporcione x pesos en caso de inun-dacion, Guillermo tiene que pagar una prima de 0,1x. (La prima delseguro se tiene que pagar tanto si hay inundacion como si no.) Si Gui-llermo se asegura por x pesos y se produce una inundacion, consiguex pesos como compensacion por parte del seguro. Supongamos queGuillermo ha contratado un seguro que le cubre con x pesos en el casode producirse una inundacion. Entonces, despues de haber satisfechola prima del seguro, si se verifica la inundacion, podra disponer deci = . Si Guillermo esta asegurado por esta cantidady no se produce inundacion alguna, entonces podra disponer de cni =

.

c) Si despejamos x de las dos ecuaciones anteriores, podemos obtener laecuacion presupuestaria de Guillermo. Por supuesto hay muchas ma-neras equivalentes de expresar la misma ecuacion presupuestaria, yaque si multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por una constan-te positiva, obtenemos una ecuacion equivalente. Si asignamos a cniel precio 1, la ecuacion se puede escribir 0,9cni+ci = .

d) La relacion marginal de sustitucion de Guillermo entre los dos bie-nes contingentes, pesos si hay una inundacion y pesos si no hay una

inundacion es RMS(cni, ci) =0,9ci

0,1cni

. Para determinar su eleccion

optima de los bienes contingentes tenemos que igualar la relacionmarginal de sustitucion con el numero . Resolvien-do esta ecuacion, obtenemos que Guillermo elegira consumir los dosbienes contingentes en la proporcion .

e) Como conocemos la proporcion en la cual los dos bienes cni y ciseran consumidos y conocemos la ecuacion presupuestaria, podemos

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determinar su combinacion optima de consumo, que es (cni, ci) =. Guillermo contratara una poliza de seguros que le

pague pesos si se produce una inundacion. La primadel seguro que tendra que abonar sera de pesos.

Respuesta:

a) Si no contrata ningun seguro, su consumo contingente sera (ci, cni) =(50000, 500000).

b) En caso de que contrate un seguro pagando una prima 0,1x, la com-pana de seguros le pagara una cantidad x en caso de que ocurra unainundacion, por lo tanto los consumos contingentes seran:

ci = 50000 0,1x+ x = 50000 + 0,9xcni = 500000 0,1x

c) Si multiplicamos la segunda ecuacion por 9 y la sumamos a la prime-ra, podemos eliminar la incognita x, quedando la siguiente ecuacion:

9cni + ci = 4550000

0,9cni + 0,1ci = 455000

d) La ecuacion anterior representa una restriccion presupuestaria enel espacio de canastas de consumo contingente (cni, ci). Su pendien-te es 0,9/0,1 = 9. La funcion de utilidad de Von Neumman-Mortenstern definida sobre estas canastas de bienes es:

u(cni, ci) = 0,9cni + 0,1

ci

Por lo tanto, la relacion marginal de sustitucion se puede calcularcomo:

RMS(cni, ci) = u/cniu/ci

= 0,9/(2cni)

0,1/(2ci)

= 0,9ci

0,1cni

Para encontrar la canasta optima de consumo contingente, igualamosla RMS con la pendiente de la restriccion presupuestaria, que es 9:

RMS(cni, ci) = 9

0,9ci

0,1cni

= 9cicni

= 1

cicni

= 1

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Por lo tanto, ci = cni. Esto quiere decir que esta persona contra-

tara un seguro de manera de eliminar completamente el riesgo de verreducido su consumo debido a la inundacion, esto es, para consumirla misma cantidad tanto si hay inundacion, como si no la hay.

e) Reemplazando ci = cni en la restriccion presupuestaria, se tiene que:

0,9cni + 0,1ci = 455000

0,9cni + 0,1cni = 455000

cni = 455000

Por lo tanto, la canasta optima de consumo contingente sera (ci , cni) =

(455000, 455000), y el monto optimo x a asegurar sera:

x =500000 cni

0,1

=500000 455000

0,1

=45000

0,1= 450000

Esto quiere decir que el monto a asegurar es igual a la perdida que leocasionara la inundacion en caso de no tener el seguro. Usando losconsumos contingentes determinados en la parte a) de este ejercicio:

x = cni ci= 500000 50000= 450000

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3. Actitud amante del riesgo

A Ernesto le gustan los juegos de azar. Sus preferencias relativas a lascanastas de bienes contingentes estan representadas por la funcion

u(c1, c2, pi1, pi2) = pi1c2

1+ pi2c

2

2

a) Justamente el otro da, cuando sus amigos se encontraban en la ta-berna de Saul, Ernesto paso por all. Estaban comentando que serancapaces de hacerle aceptar una apuesta por mala que fuera. En esemomento Ernesto tena 100 pesos. Conrado Olmos barajo unas car-tas y le propuso apostar 20 pesos a que no poda extraer una cartade espadas. Suponiendo que Conrado no hiciera trampas, la proba-bilidad de Ernesto de ganar la apuesta era de 1/4 y la probabilidadde perder era de 3/4. Si ganara la apuesta Ernesto dispondra de

pesos y si la perdiera le quedaranpesos. La utilidad esperada en caso de que aceptase la apuesta serade y la utilidad esperada en caso de que no aceptasela apuesta sera de . Por lo tanto, Ernesto rechazo laapuesta.

b) Cuando estaban comenzando a comentar que quizas Ernesto habacambiado su manera de ser, Conrado le propuso jugar la mismaapuesta con la excepcion de que esta vez apostaran 100 pesos enlugar de 20. Cual es la utilidad esperada de Ernesto si acepta estaapuesta? Estara dispuesto Ernesto a aceptar esta apuesta?

c) Llamamos acontecimiento 1 al hecho de que una carta extrada deuna baraja no trucada sea de espadas y llamamos acontecimiento 2al hecho de que no sea de espadas. Las preferencias de Ernesto rela-tivas al ingreso contingente en el acontecimiento 1 es c1 y al ingresocontingente en el acontecimiento 2 es c2 y se pueden representar porla ecuacion . Dibuja con color azul la curva de indi-ferencia de Ernesto que atraviesa el punto (100, 100).

d) Dibujemos en el mismo grafico las curvas de indiferencia de Ernes-to en el caso de que las probabilidades entre los bienes contingentessean distintas. Supongamos que se extrae una carta de una bara-ja no trucada. Llamamos acontecimiento 1 al hecho de que la cartasea de color negro y llamamos acontecimiento 2 al hecho de que lacarta sea de color rojo. Supongamos que la probabilidad de cadaacontecimiento sea de 1/2. En este caso las preferencias de Ernestorelativas al ingreso contingente del acontecimiento 1 y al ingreso con-tingente en el acontecimiento 2 estan representadas por la formula

. Dibuja con color rojo en el grafico dos de las curvasde indiferencia de Ernesto en este caso, incluyendo la que atraviesael punto (100, 100).

Respuesta:

A continuacion se indican los resultados de cada parte.

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0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Ingreso en el acontecimiento 1

Ingreso en el acontecimiento 2

a) (c1, c2) = (120, 80). Si acepta la apuesta, la utilidad esperada es 8.400y si la rechaza es 10.000.

b) 10.000. Esta indiferente entre aceptar la apuesta y no hacerlo.

c) La utilidad esperada es

u(c1, c2) =1

4c21+

3

4c22

La ecuacion de la curva de indiferencia que pasa por la canasta deconsumo contingente cuando no se apuesta (100, 100) es

1

4c21+

3

4c22= 10000

Si se grafica, se puede apreciar que corresponde a curvas de indife-rencia concavas.

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4. Diversificacion

Samuel Sendero se gana la vida vendiendo gafas de sol en el paseo marti-mo de Vina del Mar. Si el sol esta radiante, Samuel gana 30 pesos, y siesta lloviendo, gana solamente 10 pesos. Para simplificar, supongamos quehay unicamente dos tipos de da, los soleados y los lluviosos.

a) El casino de Vina anuncia que aceptaran apuestas sobre si el dasiguiente va a ser un da soleado o uno lluvioso. Venden cupones delluvia a un precio de 1 peso. Si al da siguiente esta lloviendo, entrega2 pesos por cada cupon de lluvia adquirido el da anterior, y si nollueve, el cupon no tiene ningun valor. En el grafico de abajo senalacon la letra D la dotacion de consumo contingente de Samuel enel caso de que no compre ningun cupon. (cs es el consumo en el casode sol y cl es el consumo en el caso de lluvia.)

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

En el mismo grafico, traza con color azul la recta presupuestaria querepresenta todas las demas combinaciones de consumo que Samuelpuede adquirir comprando cupones de lluvia. (Suponemos que puedecomprar fracciones de cupon, pero no cantidades negativas de cupon.)Cual es la pendiente de la recta presupuestaria de Samuel corres-pondiente a los puntos situados por encima y a la izquierda de sudotacion inicial?

b) Si la funcion de utilidad de Manuel con respecto al dinero seguro esu(c) = ln(c), y la probabilidad de lluvia es 0,5 cuantos cupones delluvia comprara Manuel?

c) Supongamos que en vez de cupones de lluvia, el casino vende cu-pones de sol Estos cupones cuestan tambien 1 peso y el casino en-trega 2 pesos si al da siguiente no esta lloviendo y 0 pesos si llueve.

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En el grafico anterior, traza con color rojo la recta presupuestaria re-lativa a las combinaciones de consumo contingente que Samuel puedeadquirir si compra los cupones de sol.

d) Cuantos cupones de sol comprara Samuel?

Respuesta:

a) Si Samuel compra x cupones de lluvia, los consumos contingentesseran:

cs = 30 x+ 0 = 30 xcl = 10 x+ 2x = 10 + x

Por lo tanto:

x = 30 csx = cl 10

Igualando las ecuaciones anteriores:

cl 10 = 30 cscs + cl = 40

Esta recta presupuestaria se muestra en la figura 1. No se extiendehasta (40, 0) pues Samuel solamente puede comprar cupones de lluvia(x 0).

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

b

D

Figura 1: Restriccion presupuestaria con cupones de lluvia

10


b) La funcion de utilidad de von Neumann-Morgenstern es:

uvnm(cs, cl, pis, pil) = pisu(cs) + pilu(cl)

= 0,5 ln(cs) + 0,5 ln(cl)

RMS = uvnm/csuvnm/cl

= 0,5/cs0,5/cl

= clcs

Como la pendiente de la recta presupuestaria es 1/1, la condicionde tangencia de la canasta optima se puede expresar como:

RMS = clcs

= 1

cs = cl

Reemplazando en la recta presupuestaria:

cs + cs = 40

cs = 20

Por lo tanto, cs = cl = 20, por lo tanto x

= 10. Como esto corres-ponde a comprar cupones (x 0), la canasta de consumo contin-gente calculada s se encuentra dentro del conjunto presupuestario.

c) Procediendo de manera analoga, pero ahora llamando y a los cuponesde sol comprados:

cs = 30 y + 2y = 30 + ycl = 10 y + 0 = 10 y

Por lo tanto:

y = cs 30y = 10 cl

Igualando las ecuaciones anteriores:

cs 30 = 10 clcs + cl = 40

Esta recta presupuestaria se muestra en la figura 2 en la pagina si-guiente. No se extiende hasta (0, 40) pues Samuel solamente puedencomprar cupones de sol (y 0).

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0

10

20

30

40

0 10 20 30 40cs

cl

b

A

b

D

Figura 2: Restriccion presupuestaria con cupones de sol

d) Como la recta presupuestaria cs+cl = 40 es la misma que con cuponesde lluvia, la condicion de tangencia conducira a la misma canastaoptima A = (20, 20) de la parte b). Pero esta canasta no se puedealcanzar comprando cupones de sol, pues sera necesario que y = 10.As que la mejor canasta que se puede alcanzar en estas condiciones esD = (30, 10) que corresponde a no comprar cupones. (En la figura 2se muestran las curvas de indiferencia que reflejan este hecho.)

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5. Pregunta 3, prueba 3, semestre 2010-2Una persona aversa al riesgo contrata un seguro con una empresa neutral

al riesgo

Una persona ha comprado un auto en $16 y desea asegurarlo durante unano contra robos: en caso de que se lo roben, la empresa aseguradora lecompra un auto igual. (El precio del auto sigue siendo $16 durante todoel ano.) Se sabe que la probabilidad de que le roben el auto durante elano es 0,05. Si el nivel de riqueza de esta persona es de $80 (los queya incluyen el valor del auto) y su funcion de utilidad v(m) = m1/3,cuanto estara dispuesto a pagar por este seguro? Para responder, primerorepresenta la decision de contratar el seguro el arbol apropiado.

Cuanto cobrara la empresa aseguradora por este seguro? (Asume que laempresa en neutral ante el riesgo.) Para responder, representa la decisionde la empresa mediante el arbol apropiado.

Respuesta:

La persona tiene una riqueza de $80 y puede contratar el seguro del au-to (CS) o no hacerlo y quedarse sin seguro (SS). Al asegurar el autopaga un monto x a la empresa aseguradora. En cada caso, puede que leroben (R) o que no le roben el auto (N). Si le roban el auto, su riquezadisminuye en $16, pero en caso de estar asegurado, la empresa aseguradorale restituye el auto (le devuelve los $16 robados). El arbol es el siguiente:

801/3

(80 16)1/3

(80 x)1/3

(80 x 16 + 16)1/3

SS

CS

N

0,95

R

0,05

N

0,95

R

0,05

Por lo tanto, para que sea mejor asegurarse, se requiere que su valor es-

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perado sea mayor que el no asegurarse:

0,95 (80 x)1/3 + 0,05 (80 x)1/3 0,95 801/3 + 0,05 (80 16)1/3

(80 x)1/3 0,95 801/3 + 0,05 641/3

80 x (0,95 801/3 + 0,05 641/3)3

x 80 (0,95 801/3 + 0,05 641/3)3 0, 857

La empresa aseguradora puede no ofrecer el seguro (NOS) u ofrecerlo(OS) a un precio x. Si lo vende, entonces con una probabilidad de 0,95 nopaga nada, pero con una probabilidad 0,05 debe pagar $16 al aseguradopor el auto que le robaron. El arbol es el siguiente:

0

x

x 16

NOS

OS

N

0,95

R

0,05

Por lo tanto, para que este dispuesto a ofrecer el seguro:

0,95x+ 0,05(x 16) 0x 0,05 16 0

x 0,05 16x 0,8

Los calculos anteriores permiten concluir que la persona esta dispuesta acontratar el seguro y la empresa a ofrecerlo, si 0,8 x 0,857, as queesta transaccion es posible.

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6. Pregunta 4, prueba 3, semestre 2010-2Una persona amante del riesgo participa en una lotera injusta para el

Supon que Bernnie Madoff te propone el siguiente negocio: invierte $10en mi hedge fund y al cabo de un tres meses tendras una rentabilidad del20% (podras retirar $12) Tu sabes que Bernnie tiene fama de estafador,as que lo mas probable es que no te devuelva nada: tu estimas que estaprobabilidad es 0,85. Cuanto tiene que ser tu riqueza para que estesdispuesto a invertir $10 en este negocio, si tu funcion de utilidad es u(m) =m2? Para responder, representa la decision de invertir mediante el arbolapropiado. (Asume que no te puedes endeudar, es decir, debes tener los$10 que estas considerando invertir.)

Respuesta:

Tu puedes no invertir (NI) en el negocio de Bernnie Madoff y mantenertu nivel de riqueza m0 o bien invertir $10 en el (I). Si inviertes, entoncescon una probabilidad de 0,85 el no te devuelve nada (tu nivel de riquezadisminuye en $10), pero con una probabilidad 0,15 de devuelve los $10mas el 20% (tu nivel de riqueza aumenta en $2). El arbol es el siguiente:

m20

(m0 10)2

(m0 + 2)2

NI

I

N

0,85

R

0,15

Por lo tanto, para estar dispuesto a invertir:

0,85(m0 10)2 + 0,15(m0 + 2)2 m200,85(m2

0 20m0 + 100) + 0,15(m20 + 4m0 + 4) m20

0,85m20 17m0 + 85 + 0,15m20 + 0,6m0 + 0,6 m20

m20 16,4m0 + 85,6 m20

m0 85,6

16,4 5,21

Por lo tanto, para estar dispuesto a invertir, tu nivel de riqueza debe sermenor a 5,21, pero en ese caso no tendras los $10 que te pide Bernnie(recuerda que no te puedes endeudar). As que nunca estaras dispuesto ainvertir si es que tienes los $10 para hacerlo.

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7. Equivalente de certidumbre

El equivalente de certidumbre de una lotera es la cantidad de dinero queuna persona tendra que recibir con certeza para que su satisfaccion fueraidentica a aquella que obtendra si realmente participara en esa lotera.Supongamos que tu funcion de utilidad de Von Neumann-Morgensternrelativa a una lotera que te proporcionara la cantidad x si el aconteci-miento 1 tiene lugar y la cantidad y si este acontecimiento no tiene lugares u(x, y, pi) = pi

x + (1 pi)y, donde pi es la probabilidad de que el

acontecimiento 1 tenga lugar y 1 pi es la probabilidad de que no tengalugar.

a) Si pi = 0,5, calcula la utilidad de una lotera cuyo premio es de10.000 pesos si el acontecimiento 1 se produce y de 100 pesos si nose produce.

b) Si estuvieras seguro de que ganaras 4.900 pesos, cual sera tu utili-dad? (Pista: si recibieras 4.900 pesos con seguridad, entonces perci-biras 4.900 pesos en los dos acontecimientos.)

c) Dada esta funcion de utilidad y pi = 0,5, escribe una expresion generalpara el equivalente de certidumbre de una lotera cuyo premio seax pesos si el acontecimiento ocurre e y pesos si no ocurre.

d) Calcula el equivalente de certidumbre de una lotera cuyo premio sea10.000 pesos si el acontecimiento 1 ocurre y de 100 pesos si no ocurre.

Respuesta:

a) Si x = 10000, y = 100 y pi = 0,5, entonces la utilidad es:

u(10000; 100; 0,5) = 0,5 10000 + 0,5

100

= 0,5 100 + 0,5 10= 50 + 5 = 55

b) Si x = 4900, y = 4900 y pi cualquier valor entre 0 y 1, entonces lautilidad es:

u(4900; 4900;pi) = pi 4900 + (1 pi)

4900

= pi 70 + (1 pi) 70= 70pi + 70 70pi = 70

c) El equivalente de certidumbre (ec) es la cantidad de dinero que, cuan-do es recibida con certeza, entrega la misma utilidad que la lotera,por lo tanto:

u(ec; ec; 0,5) = u(x; y; 0,5)

0,5ec + 0,5

ec = 0,5

x+ 0,5

y

ec = 0,5(

x+

y)

ec = 0,25(

x+y)2

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d) Si x = 10000, y = 100 y pi = 0,5, entonces el equivalente de certi-dumbre es:

ec = 0,25(

10000 +100

)2

= 0,25 (100 + 10)2 = 0,25 1102= 0,25 12100 = 3025

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