teoria de incertidumbre

MEDIDA E INCERTIDUMBRE

CONTENIDOMEDIDA E INCERTIDUMBRE

1.- Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.- Errores que se cometen en el proceso de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.- Precisión, exactitud y sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.- La medida en el laboratorio de física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.- Expresión de las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6.- Medida directa de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7.- Incertidumbre en la medida directa de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.1.- Evaluación tipo B de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7.2.- Evaluación tipo A de la incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7.3.- Evaluación de la incertidumbre combinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7.4.- Incertidumbre expandida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8.- Medida indirecta de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

8.1.- Cantidades de entrada no correlacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9.- Representación gráfica de datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10.- Ajuste de una recta por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

11.- Interpretación y diseño de experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

12.- Ejemplo de toma de datos y su tratamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.1.- Guion de la práctica: Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.2.- Toma de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12.3.- Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Apéndice A. Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Apéndice B. Normas generales para realizar las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . 37

Apéndice C. La presentación del informe de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

JESÚS E. CARRETERO RUBIO 1

1.- Introducción

Antes de iniciar un curso práctico de laboratorio, es necesario aprender a interpretar de forma

satisfactoria los resultados que se obtengan.

Cuando se trata de determinar el valor de una magnitud, el número que se obtiene como resultado

de las medidas no es el valor exacto de dicha magnitud, sino que estará afectado por un cierto error

debido a múltiples factores.

Hablando en términos generales, se llama error de una medida a la diferencia entre el valor

obtenido y el valor real de la magnitud medida. Si, repitiendo la experiencia, medimos varias veces la

misma magnitud, obtendremos cada vez un valor distinto y se nos plantea el problema de decidir cuál de

todos los valores hallados es el que ofrece mayores garantías de exactitud. A la resolución de este

problema se encamina el contenido de este seminario.

Cualquier medida que se haga con un instrumento adecuado está afectada por una incertidumbre

y, por lo tanto, el resultado de la medida no puede ser solo un número y una unidad, sino que es preciso

indicar la incertidumbre asociada a dicha medida. En algunos casos, la incertidumbre será debida al

propio aparato utilizado para medir: por ejemplo, si pretendemos medir la anchura de un folio, no es lo

mismo usar un metro de costurera (que está graduado en medios centímetros) que una regla de dibujo (que

está graduada en milímetros). En otros casos, la incertidumbre tendrá su origen en el propio operador: dos

personas distintas, midiendo la misma magnitud con el mismo aparato, pueden obtener resultados

distintos (esto es fácilmente comprobable, por ejemplo, cuando dos personas miden con el mismo

cronómetro el tiempo que tarda en ocurrir un determinado suceso: es bastante probable que los resultados

no sean idénticos). Incluso, la misma persona con el mismo instrumento de medida obtiene diferentes

resultados si repite la medida varias veces (el ejemplo del cronómetro vuelve a servirnos nuevamente).

Antes de presentar el procedimiento para la evaluación de las incertidumbres, es

conveniente dar algunas definiciones.

C La incertidumbre de una medición es un parámetro asociado con el resultado de esa medición, que

caracteriza la dispersión de los valores que se podrían atribuir razonablemente al mensurando.

C La incertidumbre estándar es la incertidumbre del resultado de una medición expresado como

una desviación estándar.

C La evaluación tipo A es el método de evaluación de la incertidumbre por medio del análisis

estadístico de una serie de observaciones.

C La evaluación tipo B es el método de evaluación de la incertidumbre por medios distintos al análisis

estadístico de una serie de observaciones.

2 PRÁCTICAS DE FÍSICA

C La incertidumbre estándar combinada es la incertidumbre estándar del resultado de una medición

cuando dicho resultado se obtiene de los valores de otras cantidades. Es igual a la raíz cuadrada

positiva de una suma de términos, los cuales son las varianzas o covarianzas de estas otras cantidades

ponderadas de acuerdo a cómo el resultado de la medición varía con cambios en estas cantidades.

C La incertidumbre expandida es una cantidad que define un intervalo alrededor del resultado de una

medición. Se espera que dicho intervalo abarque una fracción grande de la distribución de valores

que se podrían atribuir razonablemente al mensurando.

C El factor de cobertura es un factor numérico utilizado como un multiplicador de la incertidumbre

estándar combinada para obtener la incertidumbre expandida.

C El error (de medición) es el resultado de una medición menos el valor real del mensurando.

Por definición, el error no se puede determinar ya que es imposible conocer el verdadero valor del

mensurando con absoluta certeza.. Por lo tanto, no debe confundirse error con incertidumbre.

La determinación de la incertidumbre es uno de los objetivos principales del trabajo en el

laboratorio. Po ello, hay que establecer un procedimiento de medición que nos permita identificar las

principales fuentes de incertidumbre.

2.- Errores que se cometen en el proceso de medida

Los errores que se cometen al medir una magnitud se clasifican en dos grandes grupos:

sistemáticos y accidentales.

a) Errores sistemáticos

Son aquéllos que se reproducen constantemente y en el mismo sentido. Por ejemplo, si el CERO

de un voltímetro no está ajustado correctamente, el desplazamiento del CERO se propagará, en el mismo

sentido, a todas las medidas que se realicen con él.

Atendiendo a su origen, los errores sistemáticos se clasifican en:

a.1) Errores teóricos

Son los introducidos por la existencia de condiciones distintas a las idealmente supuestas para

la realización del experimento. Un ejemplo de error teórico es el que resulta de la existencia de la fricción

del aire en la medida de g con un péndulo simple.


a.2) Errores instrumentales

Son los inherentes al propio sistema de medida, debido a aparatos mal calibrados, mal reglados

o, simplemente, a las propias limitaciones del instrumento o algún defecto en su construcción. Estos

errores pueden ser atenuados por comparación con otros aparatos "garantizados", cuyo error instrumental

sea más "pequeño" y controlable.

En este grupo de encuentra el error del cero. Como ya hemos indicado, consiste en que, por

defecto de ajuste, una medida que debiera resultar nula (aparato en vacío), da distinta de cero. Algunos

instrumentos poseen un dispositivo de "ajuste de cero", que permite corregir fácilmente este error. Si no

lo tuviera, para determinar este error se efectúa la lectura del aparato en vacío y se corrigen las medidas

que se realicen restándoles (error por exceso) o sumándoles (error por defecto) el error del cero.

a.3) Errores personales

Son los debidos a las peculiaridades del observador que puede, sistemáticamente, responder a

una señal demasiado pronto o demasiado tarde (por ejemplo, el momento en que se pone en marcha o

detiene un cronómetro con el que se pretender medir el tiempo que tarda en realizarse una determinada

acción), estimar una cantidad siempre por defecto, etc. Un error personal típico que se comete al utilizar

instrumentos que llevan una aguja indicadora (por ejemplo, un voltímetro analógico) es el error de

paralaje, originado cuando se observa la aguja con un cierto ángulo de inclinación y no perpendicular-

mente a la misma. Para evitar este error, muchos instrumentos de aguja poseen un espejo debajo de la

misma, debiéndose tomar la medida cuando la aguja y su imagen coincidan, ya que en este momento

estaremos mirando perpendicularmente al aparato.

b) Errores accidentales

Son debidos a causas irregulares y aleatorias en cuanto a presencia y efectos: corrientes de aire,

variaciones de la temperatura durante la experiencia, etc. Así como los errores sistemáticos pueden ser

atenuados, los errores accidentales para un determinado experimento, en unas condiciones dadas, no

pueden ser controlados. Es más, los errores accidentales se producen al azar y no pueden ser determinados

de forma unívoca. Para tratar adecuadamente este tipo de errores es preciso hacer uso de la estadística

y hablar en términos de probabilidad.


3.- Precisión, exactitud y sensibilidad

Decimos que una medida es más exacta (el valor medido está más cerca del valor real) cuanto

más pequeños sean los errores sistemáticos. La medida será más precisa (la incertidumbre de la medida

es más pequeña) cuanto más pequeños sean los errores accidentales.

Cuando se utilizan diferentes métodos experimentales para medir la misma magnitud, la

comparación de los resultados proporciona una idea de la exactitud. Por ello, magnitudes importantes,

como el valor de la velocidad de la luz, número de Avogadro, Constante de Planck, etc., se miden por

métodos diferentes.

Definimos la sensibilidad de un instrumento como el intervalo más pequeño de la magnitud

medible con él.

En un instrumento analógico, la sensibilidad es la diferencia entre las lecturas correspondientes

a dos divisiones consecutivas (por ejemplo, en un regla graduada en milímetros, la sensibilidad es 1 mm;

en un metro de costurera, la sensibilidad es 0,5 cm).

En un instrumento digital, la sensibilidad es el orden decimal de la última cifra que se muestra

en el display. Así, si un cronómetro digital, por ejemplo, indica una medida del tiempo transcurrido de

12,76 s, la sensibilidad de dicho cronómetro es 0,01 s (ya que dicho cronómetro es capaz de medir las

centésimas de segundo).

Hay que hacer notar que un instrumento analógico puede tener distinta sensibilidad en distintas

partes de la escala graduada, por lo que hay que estar muy atentos a las distintas divisiones que existen

en las distintas partes de la escala.

4.- La medida en el laboratorio de física

Cuando se realiza una medida en el laboratorio, hay que tratar de identificar y controlar posibles

magnitudes de influencia en la medida. Por ejemplo, la temperatura puede influir en una medida de

longitud si el material con el que está hecho el instrumento y/o con el que está construido el objeto a

medir tienen un coeficiente de dilatación no despreciable. Otro ejemplo de magnitud de influencia puede

ser la gravedad, que toma valores distintos en distintas partes de la Tierra. Asimismo, hay que conocer

la incertidumbre asociada a los aparatos de medida, tanto la asociada a su calibración (un instrumento de

medida mal calibrado introduce un error sistemático en los resultados de la medida) como la asociada a

la división de escala del aparato, es decir, a la sensibilidad del mismo. Es importante reducir los errores


sistemáticos antes de obtener los datos experimentales que vayamos a tratar. En lo que sigue,

supondremos siempre que los instrumentos de medida están correctamente calibrados y que la

incertidumbre asociada a ellos se calcula a partir de su sensibilidad.

Se dice que se mide en condiciones de repetitividad o de referencia cuando se ha establecido

correctamente el procedimiento de toma de datos experimentales para controlar las magnitudes de

influencia y los errores sistemáticos, de forma que la variabilidad en los resultados se puede tratar

estadísticamente. El resultado de la medida será x ± u, donde x es el valor convencionalmente verdadero

(ya sabemos que el valor real es imposible de medir) y u es su incertidumbre, también llamada

incertidumbre absoluta. Como ya hemos indicado, si la diferencia entre el valor real (al que nos

podríamos aproximar más con una medida mejor o un aparato de mayor calidad) y el valor convencional-

mente verdadero es pequeña, decimos que la medida es exacta; si la incertidumbre es pequeña, decimos

que la medida es precisa.

En realidad, la incertidumbre no expresa el rango de valores que contienen con seguridad al valor

real. Es decir, el valor real no se encuentra siempre entre x + u y x - u. Lo máximo que podemos asegurar

es que se encuentra en ese rango con bastante probabilidad. De hecho, si los resultados de una medición

se ajustan a una distribución normal de probabilidad (distribución gaussiana, a la que se ajustan datos

completamente aleatorios) la probabilidad de que el valor real esté en el intervalo dado por x ± u es de

un 68,2%. Por eso con frecuencia se multiplica por 2 o por 3 (2 y 3 serían valores del factor de cobertura)

la incertidumbre (para obtener una probabilidad del 95,4% o del 99,7% respectivamente). Siempre

debemos conocer el nivel de confianza de la incertidumbre que hayamos determinado, aunque no

mencionemos explícitamente el factor de cobertura empleado.

5.- Expresión de las medidas

Dado el significado de cota de garantía que tiene, la incertidumbre se expresa con una (o a veces

dos, particularmente si la primera es un 1) cifra significativa, aumentando dicha cifra en una unidad si

la primera que se desprecia es mayor o igual que 5. Cuando la primera cifra significativa es 1, resulta más

correcto mantener la segunda cifra de la incertidumbre.

Para el redondeo, lo mejor es escribir el número en la notación científica. Así, por ejemplo, si la

incertidumbre de una medida es 18,375, la escribimos como 1,8375·101 (cinco cifras significativas). Si

queremos expresar esta incertidumbre con una única cifra significativa, debemos quedarnos con el 1

(primera cifra significativa) despreciar el 8 (segunda cifra significativa): como 8 es mayor que 5,

incrementamos en una unidad la cifra con la que nos quedamos (1 + 1 = 2), con lo que la incertidumbre


sería 2·101 = 20 (en definitiva, 18,375 está más cerca de 20 que de 10 y, por eso, el redondeo de 18,375

es 20). Si, dado que la incertidumbre empieza por 1, queremos su expresión con dos cifras significativas,

debemos despreciar el 3 (tercera cifra significativa) con lo que, al ser 3 < 5, las última cifra con la que

nos quedamos (el 8) permanece igual. Así pues, la incertidumbre 18,375 se expresa, con dos cifras

significativas, como 18 (en definitiva, 18,375 está más cerca de 18 que de 19).

Es conveniente resaltar que los ceros a la izquierda no son cifras significativas (aunque si lo son

a la derecha). Así, 0,00001837 tiene cuatro cifras significativas ya que este número, escrito en la notación

científica, es 1,837·10-5. Teniendo en cuenta lo razonado en el párrafo anterior, esta incertidumbre se

expresa, con una cifra significativa, como 2·10-5 (es decir, 0,00002) con una cifra significativa o como

1,8·10-5 con dos cifras significativas.

El valor de la magnitud debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra significativa

sea del mismo orden decimal que la última cifra significativa que se tome para la incertidumbre.

El truncado (o redondeo) del valor de la magnitud debe realizarse solamente en la expresión final

de las medidas, no en las operaciones intermedias que podamos realizar con él, ya que perderíamos

información experimental y el resultado final puede verse afectado ligeramente.

En la tabla I vemos diversos ejemplos de expresión de magnitudes en forma incorrecta (columna

izquierda) y de forma correcta (columna derecha).

TABLA I

Expresión INCORRECTA Expresión CORRECTA

(3,418 ± 0,127) m

(6,3 ± 0,085) kg

(4623 ± 155) s

(27,7683 ± 0,26) V

(107,28 ± 0,3) mA

(3,4 ± 0,1) m o (3,42 ± 0,13) m

(6,30 ± 0,09) kg

(4600 ± 200) s o (4620 ± 160) s

(27,8 ± 0,3) V

(107,3 ± 0,3) mA

Para apreciar más fácilmente la calidad de una medida se puede emplear la incertidumbre relativa,

que se define como el cociente entre la incertidumbre, u, y el valor medido. Así pues:


[1]w 'u

x

Es costumbre expresar la incertidumbre porcentualmente:

[2]w 'u

x·100%

6.- Medida directa de una magnitud

Decimos que una magnitud se mide directamente cuando determinamos su valor a partir de la

lectura de un instrumento de medida adecuado (como, por ejemplo, una regla para medir el ancho de un

folio o un cronómetro para medir las pulsaciones del corazón), sin necesidad de realizar otros cálculos

con el resultado que proporciona ese instrumento.

¿Cuántas veces hay que realizar el proceso de medida directa? Si realizamos una sola medida,

nos cabe la duda de si el resultado es reproducible (¿se repetirá el resultado en la siguiente medida?). Si

realizamos dos, cualquier diferencia entre ambas no nos permite seleccionar entre ellas. Concluimos,

pues, que el número mínimo de medidas a realizar es 3, y éste es el número inicial de medidas con el que

nos contentaremos en las prácticas de laboratorio, aunque sería más seguro realizar algunas más.

Realizadas 3 medidas, calculamos el rango o diferencia, D, entre los valores extremos (es decir,

la diferencia entre el mayor y el menor valor). Se nos pueden presentar dos casos:

1) que D sea cero o igual a la sensibilidad del instrumento de medida usado. En este caso, basta

con las 3 medidas realizadas.

2) que D sea mayor que la sensibilidad del aparato. En este caso, calcularemos el tanto por ciento

del rango mediante la expresión:

[3]gD '

D

x·100%

donde es la media aritmética de los 3 valores encontrados:x


[4]x 'x1 % x2 % x3

3

y, para saber el número total de medidas a realizar, aplicaremos el criterio dado por la tabla II.

TABLA II

ggggD

Número total de medidas a realizar

Bastan las 3 medidas realizadasgD

< 2%

6 medidas2% # gD

< 8%

15 medidas8% # gD

< 15%

Un mínimo de 50 medidasgD$ 15%

Sea cual sea el número de medidas realizadas, tomaremos como valor “convencionalmente

verdadero” de la misma la media aritmética de los valores medidos:

[5]x '1n

jn

i'1

xi

7.- Incertidumbre en la medida directa de una magnitud

7.1.- Evaluación Tipo B de la incertidumbre

Cuando se tiene una única medida directa, x, de una magnitud, la varianza estimada, , o lau 2 x

incertidumbre estándar, , se evalúan mediante un juicio científico basado en toda la informaciónu x

disponible acerca de la variabilidad de la magnitud. En esta variabilidad se puede incluir:

C Datos de mediciones anteriores.

C Experiencia o conocimiento general acerca del comportamiento y propiedades de materiales de

referencia, patrones de medida o instrumentos.

C Especificaciones del fabricante del instrumento de medida usado.


C Datos provistos en certificados de calibración u otros certificados.

C Incertidumbres asignadas a datos de referencia tomados de manuales.

En las medidas que se realizarán en el laboratorio de Física, la única información de la que

dispondremos es la sensibilidad del aparato utilizado y, por lo tanto, la evaluación tipo B de la

incertidumbre de la medida es la asociada a la división de escala del mismo. Dicha incertidumbre es:

[6.1]uS '

S

2 3

siendo S la sensibilidad del instrumento.

La incertidumbre asociada a cada medida individual que hagamos con el instrumento es la que

viene dada por la Ec.[6.1], es decir,

[6.2]uS

xi '

S

2 3

siendo xi el valor de la medida i-ésima.

7.2.- Evaluación Tipo A de la incertidumbre

Como ya hemos indicado, si realizamos 3 medidas del valor de una magnitud en condiciones de

repetitividad, tomaremos como valor convencionalmente verdadero de la medida la media aritmética de

las 3 medidas (Ec.[4]) y como incertidumbre tipo B asociada a dicha media el valor de la incertidumbre

asociada a la sensibilidad del aparato (uS, dada por la Ec.[6.1])

Si se realizan n medidas de un mismo mesurando en condiciones de repetitividad, tomaremos

como resultado de la medida la media aritmética de los valores medidos (Ec.[5]) y como incertidumbre

asociada a la dispersión estadística tomaremos la desviación típica de la media:

[7]uA

x '

jn

i'1

xi! x 2

n n ! 1


Como puede apreciarse, la incertidumbre asociada a la dispersión estadística disminuye al

aumentar el número de medidas. El número de medidas a realizar debe ser tal que la incertidumbre

asociada a la dispersión (Ec.[7]) sea de menor o, a lo sumo, del mismo orden de magnitud que la asociada

a la división de escala (Ec.[6.1]).

7.3.- Evaluación de la incertidumbre combinada

La incertidumbre combinada siempre se calcula en cuadratura, es decir, como la raíz cuadrada

de la suma de los cuadrados de todas las incertidumbres calculadas. Así pues, para una medida directa

realizada n veces, la incertidumbre asociada al resultado de la medida es:

[8]uc ' u

Sx

i2% u

Ax 2

'S 2

12%

jn

i'1

xi! x 2

n n ! 1

7.4.- Incertidumbre expandida

La incertidumbre expandida, U, se obtiene multiplicando la incertidumbre combinada por un

factor de cobertura, k, cuyo valor depende de la fracción p (nivel de confianza o probabilidad) de la

distribución de valores que se atribuyen al mesurando. Así pues,

[9]U ' k ·u

Si admitimos que los valores que puede tomar el mesurando tienen una distribución gaussiana,

k = 1 supone que en el intervalo se encuentran alrededor del 68% de los valores delx ! U , x % U

mesurando (probabilidad o nivel de confianza igual al 68%); si k = 2, la probabilidad es próxima al 95%

y si k = 3 la probabilidad está en torno al 99%. En las medidas del laboratorio, nos conformaremos con

un nivel de confianza del 68% (k = 1, con lo que U = u).

EJEMPLO 1.- Con un cronómetro digital, se mide el tiempo que tarda un móvil en recorrer una

determinada distancia y se obtienen los siguientes valores (expresados en segundos):

{12,05; 12,06; 12,05}. Exprese correctamente el resultado de la medida con su incertidumbre.


El valor de la medida es la media aritmética de los 3 valores:

t 't1 % t2 % t3

3'

12,05 s % 12,06 s % 12,05 s

3' 12,053333 s

De las lecturas dadas deducimos que la sensibilidad del cronómetro es S = 0,01 s (una centésima

de segundo). Comenzamos por calcular el rango de las medidas:

D ' valor máximo ! valor mínimo ' 12,06 s ! 12,05 s ' 0,01 s ' S

Por lo tanto, las 3 medidas realizadas son suficientes y la incertidumbre debida a la sensibilidad

del cronómetro es (Ec.[4.1]):

uS '

S

2 3'

0,01 s

2 3' 2,88675·10 ! 3 s

La incertidumbre debida a la dispersión (Ec.[5]) es:

uA

x '

j3

i'1

xi! x 2

n n ! 1'

'12,05 ! 12,053333 2

% 12,06 ! 12,053333 2% 12,05 ! 12,053333 2

3·2'

' 3,33333·10! 3 s

La incertidumbre combinada es:

uc ' u

2S % u

Ax 2

' 2,88675·10! 3 s 2% 3,33333·10! 3 s 2

' 4,40958·10! 3 s

Teniendo en cuenta que la incertidumbre debe expresarse con una única cifra significativa si ésta

no es la unidad, la incertidumbre final del valor que tomamos como convencionalmente verdadero (la


media aritmética) es (véase el epígrafe 5, dedicado a la expresión de las medidas) 4·10-3 s. Por lo tanto,

el tiempo que tarda el móvil en recorrer la distancia dada es:

t ' 12,053 ± 0,004 s

Con un nivel de confianza del 68%.

EJEMPLO 2.- Con el mismo cronómetro del ejemplo anterior, se han tomado los siguientes tiempos (en

segundos): {8,77; 8,94; 8,95}. a) Compruebe que las 3 medidas son insuficientes. b) En la contestación

del apartado anterior, habrá deducido que es mayor que 2% y menor que 8%, por lo que se precisangD

6 medidas, es decir, 3 medidas más. Dichas medidas son: {8,95; 8,94; 8,95}. Exprese correctamente el

resultado de la medida con su incertidumbre.

a) El valor de la medida es la media aritmética de los 3 valores es:

t 't1 % t2 % t3

3'

8,77 s % 8,94 s % 8,95 s

3' 8,8866667 s

Calculamos el rango de las medidas:

D ' 8,95 s ! 8,77 s ' 0,18 s > S ' 0,01 s

Calculamos gD:

gD '

D

x·100% '

0,188,8866667

·100% ' 2,026%

b) El valor de la medida es la media aritmética de los 6 valores es:

t '16 j

6

i'1

ti '

8,77 s % 8,94 s % 8,95 s % 8,95 s % 8,94 s % 8,95 s

3' 8,9166667 s

La incertidumbre debida a la dispersión (Ec.[5]) es:

uA

x '

j6

i'1

xi! x 2

n n ! 1' 1,3149·10! 2 s

y la incertidumbre asociada a la división de escala, calculada en el ejemplo anterior, es:


uS '

S

2 3'

0,01 s

2 3' 2,88675·10 ! 3 s

Podemos apreciar que la incertidumbre debida a la dispersión es un orden de magnitud mayor que

la debida a la división de escala. Ante esto, podemos adoptar dos actitudes:

C Analizar científica y cuidadosamente el primer dato experimental obtenido (t1 = 8,77 s), porque

su valor se separa considerablemente de los 5 restantes. Si de este estudio concluimos que dicho

dato debe desecharse, lo rechazamos y realizamos una nueva medida para completar las 6 medidas.

Por el contrario, si concluimos que dicho dato no puede rechazarse, debemos seguir tomando

medidas hasta que la incertidumbre debida a la dispersión sea, como mínimo, del mismo orden de

magnitud que la debida a la división de escala.

C No plantearnos nada y seguir tomando medidas hasta que la incertidumbre debida a la dispersión

sea del mismo orden de magnitud que la debida a la división de escala.

En el caso que estamos estudiando, el enunciado del problema no nos suministra más medidas

experimentales, por lo que terminaremos su resolución con los 6 datos de los que disponemos.


uc ' u

2S % u

Ax 2

' 2,88675·10! 3 s 2% 1,3149·10! 2 s 2

' 1,3462·10! 2 s

Teniendo en cuenta que la incertidumbre comienza por 1, tomaremos 2 cifras significativas para

la misma (u = 1,4·10-2 s). Por lo tanto, el tiempo que tarda el móvil en recorrer la distancia es:

t ' 8,917 ± 0,013 s

con un nivel de confianza del 68%.

8.- Medida indirecta de una magnitud

Una medida indirecta es aquella cuyo resultado se obtiene a partir de otras medidas directas

relacionadas mediante una ley física. Por ejemplo, si queremos medir el valor de una resistencia midiendo


la diferencia de potencial entre sus bornes (V - VN) y la intensidad de corriente que circula por ella (I),

usaremos la ecuación R = (V - VN)/I.

Existen diversos procedimientos para calcular la incertidumbre estándar combinada, dependiendo

de si las cantidades de entrada son independientes o no, es decir, de si existe alguna correlación entre ellas

o no. Sólo indicaremos el método cuando las cantidades de entrada no están correlacionadas entre sí.

8.1 Cantidades de entrada no correlacionadas

Cuando no existe correlación entre las cantidades que aparecen en una medición, se debe utilizar

un procedimiento para obtener la incertidumbre estándar combinada basado en las incertidumbres

estándares de las cantidades originales y alguna relación funcional entre ellas, de la cual se obtiene la

nueva cantidad.

Supongamos que existe una ley física que relaciona varias magnitudes. Si una de ellas (y) se

puede expresar en función de las demás en la forma:

y ' f x1 , x2 , ... xn

podremos calcular la incertidumbre en la medida indirecta, uy, conocidas las incertidumbres en las

medidas directas, , mediante la ley de propagación de incertidumbres (cuadratura):uxi

uc

y 'M f

Mx1

2

u 2 x1 %M f

Mx2

2

u 2 x2 % ... %M f

Mxn

2

u 2 xn '

[10]' jn

i'1

M f

Mxi

2

u 2 xi

donde cada una de las u(xi) puede ser una incertidumbre estándar evaluada según el procedimiento tipo

A o el tipo B. Las derivadas parciales que aparecen en la Ec.[10] se denominan coeficientes de

sensibilidad y describen cómo cambia la estimación de salida, y, con los cambios en las estimaciones de

entrada {x1, x2,...,xn}. Así, es posible escribir:

[11]uc

y ' jn

i'1

ciu x

i2' j

n

i'1

ui

y 2


siendo:

[12]ci /

M f

Mxi

[13]ui

y / ci

u xi

Vamos a particularizar la Ec.[10] para el caso de que y sea un producto de potencias, es decir,

para cuando y venga dada por una ecuación del tipo:

[14]y ' m xα 1

1 xα 2

2 xα 3

3 .... xα n

n

siendo {m,α1 , α2, α3, ... αn} constantes reales. Si calculamos las derivadas parciales de y con respecto a

cada una de las variables y sustituimos en la Ec.[10], llegamos a:

[15]uc

y ' y jn

i'1

αi

xi

2

u 2 xi ' y j

n

i'1

α2i

u xi

xi

2

' y jn

i'1

α2i w x

i2

siendo wi la incertidumbre relativa de la variable xi, es decir,

[16]w xi '

u xi

xi

Esencialmente, lo que quiere decir la ley de propagación de incertidumbres así expresada es que

las incertidumbres que más afectan al resultado final son las de aquellas magnitudes que en la ley física

tienen mayor exponente.

Finalizamos el epígrafe resaltando el hecho de que en una medida indirecta nunca podremos tener

una incertidumbre relativa menor que la mayor incertidumbre relativa de las medidas directas. O dicho

de otra manera, el resultado de una medida indirecta nunca podrá tener más cifras significativas que las

de la medida directa que menos tenga.


EJEMPLO 3.- Para medir el volumen de un cilindro se miden su diámetro y su altura con un calibre.

Tras seguir el procedimiento en lo referido al número de medidas y a la evaluación de la incertidumbre

cuando se realiza una medida directa, se llega a la conclusión de que el diámetro mide

D = (18,75 ± 0,01) mm y la altura h = (51,30 ± 0,05) mm. Calcule el volumen del cilindro con su

correspondiente incertidumbre.

El volumen del cilindro es:

h ' π r 2 h '14πD 2 h '

14π 18,752 mm 2 ·51,30 mm ' 14164,812 mm 3

donde hemos utilizado para π el valor 3,1416, lo que quiere decir que la incertidumbre de π es10-4.

Según la Ec.[15], la incertidumbre del volumen es:

uch ' h j

n

i'1

α2i

u xi

xi

2

' h 12 u π

π

2

% 22 u D

D

2

% 12 u h

h

2

'

' 14164,812 mm 3 1·10&4

3,1416

2

% 4·0,01 mm

18,75 mm

2

% 1·0,05 mm

51,30 mm

2

' 20,4717 mm 3

Correctamente expresada, la incertidumbre del volumen es 20 mm3, por lo que el volumen del

cilindro es:

h ' 14160 ± 20 mm 3


NOTA: Podríamos haber despreciado en el cálculo la incertidumbre de π, ya que contribuye muy poco

a la incertidumbre final. Si lo hubiéramos hecho, la incertidumbre final sería 20,4667 mm3 (la

calculada ha sido de 20,4717 mm3) que, redondeada a dos cifras significativas, seguiría siendo

20 mm3.


FIGURA 1

9.- Representación gráfica de datos experimentales

La representación gráfica de datos experimentales es una forma conveniente e intuitiva de obtener

información acerca de la relación existente entre las magnitudes estudiadas. Generalmente, al estudiar

una dependencia cualquiera, los resultados de un ensayo se obtienen en forma de tablas, en las que a cada

valor de un parámetro x le corresponde un valor de otro parámetro y.

Supongamos, por ejemplo, que al estudiar la movilidad electroforética de partículas de cuarzo

en mezclas líquidas binarias metanol-etanol se obtienen los resultados de la tabla III. Si tomamos un

sistema de coordenadas rectangulares, de forma que el eje de ordenadas corresponda a la movilidad

electroforética y el de abscisas a la fracción molar de metanol, se obtienen una serie de puntos en el plano.

Asimismo, también se representa directamente en la gráfica la incertidumbre de las coordenadas del punto

trazando un segmento vertical y otro horizontal de forma que las distancias del punto a los extremos de

dichos segmentos sean las incertidumbres absolutas de las coordenadas (Fig.1).

TABLA III

Fracción molar

metanol (xm)

Movilidad electroforética

del cuarzo !µe@108 m 2/Vs

0,00 ± 0,02 0,64 ± 0,04

0,21 ± 0,02 0,84 ± 0,05

0,43 ± 0,02 1,08 ± 0,07

0,62 ± 0,02 1,21 ± 0,08

0,81 ± 0,02 1,44 ± 0,08


La escala en los ejes se elige de forma que la gráfica ocupe, aproximadamente, un espacio cua-

drado. Se puede prescindir de esta norma cuando lo que se pretende es distinguir una parte concreta de

la gráfica o cuando la incertidumbre relativa con que se ha medido una magnitud es mucho más pequeña

que la incertidumbre relativa con que se ha medido la otra, es decir, la dimensión de la gráfica depende

de la incertidumbre relativa de los datos obtenidos. Así, no conviene construir una gráfica grande si los

datos tienen una incertidumbre relativa muy grande. Por el contrario, si los datos tienen una incertidumbre

relativa pequeña se recomienda elegir la dimensión de la gráfica de modo que la incertidumbre en la

determinación de las coordenadas de un punto corresponda, aproximadamente, a las dimensiones de la

celdilla de papel milimetrado.

Siempre deben indicarse las magnitudes y las unidades usadas en cada eje. Nótese que en la Fig.1

el eje de abscisas no lleva unidades por tratarse de una magnitud adimensional.

La escala hay que tomarla de manera que se pueda trabajar cómodamente. El caso ideal se

presenta cuando cada celdilla del papel milimetrado corresponde a la unidad de la magnitud, a la mitad,

la décima o la centésima parte de ella. Sin embargo, no existe, generalmente, tal posibilidad de elección

de escala (por ello, en el ejemplo propuesto hemos multiplicado por 108 la movilidad electroforética). En

cualquier caso, se recomienda que, al menos, las décimas de las unidades fundamentales de la medida

contengan un número entero de celdillas.

Conviene hacer notar, asimismo, que no es indispensable que el origen de coordenadas en la

gráfica sea el (0,0). En muchos casos conviene trasladar el origen a un punto arbitrario con objeto de

utilizar totalmente el área de la gráfica.

Una vez dibujados los puntos, se unen por una curva suave de forma que pase lo más próxima

posible a todos los puntos. A veces, algunos puntos pueden quedar fuera. En estos casos, se considera que

ello se debe al error del experimento, es decir, se supone que la curva debe ser plana y no contener puntos

singulares. Sin embargo, esto sólo puede hacerse en casos muy estudiados, cuando no hay porqué esperar

la aparición de dichos puntos singulares. Dicho con más rigor: en cada caso particular hay que investigar

si es correcto despreciar el punto. La operación del trazado de la curva por este método se denomina

aplanamiento gráfico de los datos experimentales. Esta operación incluye, inevitablemente, un elemento

subjetivo y, por tanto, da lugar al cambio de la función verdadera (desconocida) por una cierta función

aproximada. Aunque en muchos casos la diferencia entre la función verdadera y la aproximada es mínima,

en otros puede haber notables diferencias, especialmente si la precisión de los datos es pequeña: en tales

situaciones es preferible no dibujar la curva. En la Fig.2.a se muestra la representación gráfica del espacio


FIGURA 2.- (a): Datos experimentales. (b): Aplanamiento gráfico.

recorrido por un móvil (s) en función del tiempo (t) y en la Fig.2.b se ha dibujado, por aplanamiento

gráfico, la curva que pasa por dichos puntos.

En muchas ocasiones se utiliza para el trazado de gráficas el papel semilogarítmico, en el que uno

de los ejes de coordenadas está graduado logarítmicamente, o el papel logarítmico, en el que ambos ejes

lo están. Así, si se sabe que la relación entre dos magnitudes es de la forma:

y ' m a x

siendo m y a constantes reales. Si tomamos logaritmos, obtenemos:

log y ' log m % x log a

Si se usa un papel tal que el eje de abscisas esté graduado en escala lineal y el de ordenadas en

escala logarítmica (papel semilogarítmico), la gráfica de log y frente a x será, en dicho papel, una recta

(de pendiente ) de trazado relativamente cómodo. Si la relación entre las magnitudes es de la forma:log a

y ' m x a

siendo m y a constantes reales. Tomando logaritmos queda:

log y ' log m % a log x

Si se usa papel logarítmico para representar log y frente a log x, la gráfica también será una recta.

Es también ventajoso utilizar papel semilogarítmico cuando un dato varía entre límites mucho mayores


que el otro y papel logarítmico cuando, en una larga serie de medidas, los datos van dispersándose cada

vez más.

10.- Ajuste de una recta por mínimos cuadrados

Como ya hemos señalado, el aplanamiento gráfico de los puntos experimentales incluye un

elemento subjetivo en el cambio de la función verdadera por la función aplanada. En este epígrafe

estudiaremos la forma de encontrar una aproximación analítica, por tanto más exacta, de la función

verdadera.

Cuando el aplanamiento gráfico de los puntos experimentales da como resultado una recta, ello

quiere decir que existe una dependencia lineal entre las dos magnitudes y, por tanto, que existe entre ellas

una relación matemática del tipo:

[17]y ' m x % b

donde x e y representan a las magnitudes. Encontrar analíticamente la ecuación de esta recta consiste en

determinar los valores de m y b. Uno de los métodos de búsqueda es el de los mínimos cuadrados,

mediante el que se determinan m y b imponiendo la condición de que la suma de los cuadrados de las

desviaciones de cada valor medido respecto del valor estimado sea mínima.

Sean las coordenadas del i-ésimo punto experimental. El subíndice i varía desde 1 (primerxi, y

i

valor) hasta n (último valor). Si es el valor medido, será el valor estimado, por lo queyi yi ' m xi % b

la desviación del primero respecto del segundo es . En la deducción que vamosyi! y

i ' yi! mx

i % b

a hacer supondremos que la incertidumbre con que se han medido los valores de x es despreciable,

mientras que la incertidumbre de todos los valores de y es la misma, es decir,

[18]u

cx

i • 0 œ i

uc

yi ' u

cy ' constante œ i

La condición que imponemos es que la función:

[19]χ2 m , b / jn

i'1

yi! y

i

uc

yi

2

'1

u2c y

jn

i'1

yi! m x

i % b2


sea mínima, para lo cual ha de cumplirse:

[20]Mχ2 m , b

Mm' 0 ;

Mχ2 m , b

Mb' 0

Por lo tanto,

[21]Mχ2 m , b

Mm' !

1

u2c y

jn

i'1

2 yi! mx

i! b xi ' 0 Y j

n

i'1

xiy

i ' mjn

i'1

x2i % b j

n

i'1

xi

[22]Mχ2 m , b

Mb' !

1

u2c y

jn

i'1

2 yi! mx

i! b ' 0 Y j

n

i'1

yi ' m j

n

i'1

xi % b n

Las ecuaciones [21] y [22] constituyen un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (m y b) que,

una vez resuelto (por cualquier técnica tradicional), proporciona los siguientes valores de m y b:

[23]m '

jn

i'1

xi j

n

i'1

yi! n j

n

i'1

xiy

i

jn

i'1

xi

2

! n jn

i'1

x2i

'

n x y ! jn

i'1

xiy

i

n x 2! j

n

i'1

x2i

[24]b '

jn

i'1

xi j

n

i'1

xiy

i! j

n

i'1

x2i j

n

i'1

yi

jn

i'1

xi

2

! n jn

i'1

x2i

'

x jn

i'1

xiy

i! y j

n

i'1

x2i

n x 2! j

n

i'1

x2i

También es preciso estimar en qué medida la aproximación realizada es correcta. Es decir, hemos

de saber si realmente las magnitudes x e y están relacionadas en forma lineal o no. Para ello, utilizaremos

el denominado coeficiente de correlación lineal (r), parámetro que da una idea de hasta qué punto las

magnitudes x e y están relacionadas linealmente.

Para determinar r, procedemos de la forma siguiente: si y depende linealmente de x, x también

dependerá linealmente de y. En consecuencia, existirá una relación del tipo:

[25]x ' m )y % b )


Según las Ecs.[23] y [24],

[26]m )'

jn

i'1

xi j

n

i'1

yi! n j

n

i'1

xiy

i

jn

i'1

yi

2

! n jn

i'1

y2i

'

n x y ! jn

i'1

xiy

i

n y 2! j

n

i'1

y2i

[27]b )'

jn

i'1

yi j

n

i'1

xiy

i! j

n

i'1

y2i j

n

i'1

xi

jn

i'1

yi

2

! n jn

i'1

y2i

'

y jn

i'1

xiy

i! x j

n

i'1

y2i

n y 2! j

n

i'1

y2i

Despejando y de la Ec.[25]:

[28]y '1

m )x !

b )

a )

Comparando la Ec.[28] con la Ec.[17], concluimos que:

[29]m '1

m )

[30]b ' !b )

a )

De la Ec.[29] deducimos que la correlación será completa siempre que:

[31]mm )' 1

Definimos el coeficiente de correlación lineal de la forma siguiente:

[32]r / mm )


es decir:

[33]r '

n jn

i'1

xiy

i! j

n

i'1

xi j

n

i'1

yi

n jn

i'1

x2i ! j

n

i'1

xi

2

n jn

i'1

y2i ! j

n

i'1

yi

2

'

jn

i'1

xiy

i! n x y

jn

i'1

x2i ! n x 2 j

n

i'1

y2i ! n y 2

Así definido, r está comprendido entre -1 y 1.

C Si , no existe correlación lineal.r ' 0

C Si , existe total correlación lineal entre x e y.r ' 1

C Cuanto más próximo esté a 1, mejor es la aproximación lineal encontrada. Evidentemente,r

cuanto más próximo esté a 0, peor será.

Al cuadrado del coeficiente de correlación lineal, que se representa como R2, se le denomina

coeficiente de determinación. Expresado en tanto por ciento, indica la proporción o porcentaje en que la

variable dependiente (y) debe su variación a la variable independiente (x) o, dicho de otra forma, el

porcentaje de la variación total de la variable dependiente que se explica por el modelo aplicado (en

nuestro caso, el modelo aplicado es el de la dependencia lineal).

[34]R 2' r 2

Aunque no lo haremos, se puede demostrar que las incertidumbres de la pendiente y de la

ordenada en el origen vienen dadas por:

[35]u m '

n jn

i'1

yi! y

i2

n ! 2 n jn

i'1

x2i ! j

n

i'1

xi

2'

jn

i'1

yi! y

i2

n ! 2 jn

i'1

x2i ! n x 2

[36]u b '

jn

i'1

yi! y

i2 j

n

i'1

x2i

n ! 2 n jn

i'1

x2i ! j

n

i'1

xi

2'

jn

i'1

yi! y

i2 j

n

i'1

x2i

n n ! 2 jn

i'1

x2i ! n x 2


donde e son los valores experimentales e son los valores que se obtienen mediante la ecuaciónxi

yi

yi

de la recta para los valores experimentales , es decir, . Las incertidumbres dadas en lasxi

yi ' m x

i % b

dos últimas ecuaciones tienen un nivel de confianza del 68%. Si queremos aumentar dicho nivel al 95%,

las multiplicaremos por un factor de cobertura k = 2 y si queremos subir el nivel de confianza hasta el

99%, el factor de cobertura es k = 3 (incertidumbre expandida).

Si estamos seguros de que la recta debe pasar por el origen de coordenadas, es decir, de si la recta

debe tener la forma:

[37]y ' m x

los valores de la pendiente y su incertidumbre son:

[38]m '

jn

i'1

xiy

i

jn

i'1

x2i

[39]u m '

jn

i'1

yi! y

i2

n ! 1 jn

i'1

x2i


11.- Interpretación y diseño de experimentos

El planteamiento y desarrollo de los métodos existentes para el correcto análisis de experimentos,

desde el punto de vista de su interpretación y diseño, podría ocuparnos un curso completo. Sin embargo,

la somera teoría de errores hasta aquí expuesta, constituye una base suficiente para poder realizar, en

muchos casos prácticos, el análisis de un experimento.


FIGURA P1

Interpretar un experimento consiste en sacar conclusiones de los resultados del mismo. Estas

conclusiones pueden ser positivas (podemos afirmar que algo se verifica o que no se verifica) o negativas

(no podemos afirmar que algo se verifica ni que deja de verificarse). La teoría de errores nos ayuda a

sacar conclusiones.

12.- Ejemplo de toma de datos y su tratamiento

12.1.- Guion de la práctica: péndulo simple

OBJETIVO

Estudiar el movimiento de un péndulo simple como ejemplo de movimiento armónico simple y

determinar, mediante el mismo, la aceleración de la gravedad.

MATERIAL

Péndulo simple, cinta métrica y cronómetro.

FUNDAMENTO TEÓRICO

El péndulo simple, o péndulo matemático, es un cuerpo ideal que está constituido

por una masa puntual, suspendida de un hilo inextensible y sin masa. El péndulo que

usaremos en nuestro experimento es una aproximación al péndulo simple. Está constituido

por una esfera de gran densidad, suspendida de un hilo cuya masa es despreciable frente

a la de la esfera y cuya longitud es mucho mayor que el radio de la esfera (Fig.P1).

Cuando se separa el péndulo de su posición de equilibrio de modo que el ángulo

del hilo con la vertical sea de unos 10º, y se suelta, (sin empujarlo lateralmente para que

no describa elipses), el peso de la esfera y la tensión del hilo producen una fuerza

resultante que tiende a llevar al péndulo a su posición de equilibrio original. Si el arco

descrito es pequeño, el movimiento es, aproximadamente, armónico simple y el período

T depende sólo de la longitud R del péndulo y de la aceleración de la gravedad g,


[P1]T ' 2 πR

g

MÉTODO EXPERIMENTAL

Por medio de la cinta métrica mida la longitud del péndulo, considerando para ello la distancia

desde el extremo superior del hilo hasta el centro de la esfera.

Separe el péndulo de su posición de equilibrio y déjelo oscilar libremente. Cuando las

oscilaciones sean de amplitud suficientemente pequeña, cronometre la duración de un número

determinado de oscilaciones completas.

Repita el proceso anterior con, al menos, cinco longitudes diferentes, sin que ninguna de ellas sea

demasiado pequeña. De esta forma obtendrá un conjunto de pares de valores (longitud-período).

A partir de los datos obtenidos, determine el valor de la aceleración de la gravedad mediante la

representación gráfica del cuadrado del periodo en función de la longitud del péndulo, realizando un

ajuste por mínimos cuadrados.

Calcule también la aceleración de la gravedad a partir del valor del período obtenido con el

péndulo más grande y compárelo con el obtenido a partir de la gráfica.

CUESTIONES

1.- ¿Por qué las oscilaciones del péndulo han de ser de pequeña amplitud?

2.- ¿Por qué se recomienda que la longitud del hilo no sea demasiado pequeña?

3.- Si en esta práctica comparamos los péndulos de longitud grande con los de longitud

pequeña, ¿cuáles serían más fiables en la determinación de g?


12.2.- Toma de datos

Puesto que la cinta métrica que usamos está graduada en milímetros, la sensibilidad del mismo

es SR = 0,001 m, lo que quiere decir que la incertidumbre de cualquier medida de longitud es:

uSR'

SR

2 3'

0,001 m

2 3' 2,88675·10 ! 4 m 6 3·10! 4 m

El cronómetro tiene una sensibilidad de una centésima de segundo (St), por lo que la

incertidumbre en la medida de tiempos será:

uSt'

St

2 3'

0,01 s

2 3' 2,88675·10 ! 3 s 6 3·10! 3 s

Para determinar el período, contaremos 10 oscilaciones completas (Nosc = 10). Comenzaremos

con una longitud de la cuerda R = 2 m (la medimos una sola vez, porque seguro que siempre obtendremos

la misma medida).

R (m) Nosc t1 (s) t2 (s) t3 (s)

2,0000 ± 0,0003 10 28,720 ± 0,003 28,760 ± 0,003 28,740 ± 0,003

El valor medio del tiempo medido es:

t 't1 % t2 % t3

3'

28,72 s % 28,76 s % 28,74 s

3' 28,74 s

La diferencia entre los valores máximo y mínimo del tiempo medido es:

D ' tmáx ! tmín ' 28,76 s ! 28,72 s ' 0,04 s > S ' 0,01 s

y el rango de los datos es:

gD '

1D

t·100% '

0,04 s28,74 s

·100% ' 0,14% < 2%


Por lo tanto, bastan las tres medidas realizadas. La incertidumbre debida a la dispersión de datos

es:

uA

t '

j3

i'1

ti! t

2

n n ! 1'

'28,72 ! 28,74 2

% 28,76 ! 28,74 2% 28,69 ! 28,74 2

3·2' 0,011547 s


uc

t ' uSt

2% u

At

2' 3·10! 3 s 2

% 0,011547 s 2' 0,0119 s 6 0,012 s

Así pues, el tiempo empleado en las 10 oscilaciones es:

t ' 28,740 ± 0,012 s

El período de oscilación correspondiente a esta longitud es:

T 't

Nosc

'28,74 s

10' 2,874 s

y su incertidumbre, teniendo en cuenta que Nosc es constante, es:

u T 'MT

Mt

2

u2c t ' /000

/000MT

Mtu

ct '

1Nosc

uc

t '0,012 s

10' 1,2 ·10! 3 s

es decir,

T ' 2,8740 ± 0,0012 s

Llamando z al cuadrado del período:


z ' T 2' 2,8742 s 2

' 8,259876 s 2

La incertidumbre de z (que la incertidumbre de ) es:T 2

u T 2'

Mz

MT

2

u 2 T ' /00 /00Mz

MTu T ' 2 T u T ' 2 @ 2,874 s @ 0,0012 s ' 6,9 ·10! 3 s 2

es decir:

u T 2' 0,007 s 2

y, por lo tanto,

T 2' 8,260 ± 0,007 s 2

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Incrementamos la longitud del péndulo en unos 15 cm (aproximadamente).

R (m) Nosc t1 (s) t2 (s) t3 (s)

2,1480 ± 0,0003 10 29,450 ± 0,003 29,940 ± 0,003 29,410 ± 0,003

Procediendo igual que en el caso anterior, llegaríamos a:

t ' 29,60 ± 0,17 s

T ' 2,960 ± 0,017 s


T 2' 8,76 ± 0,10 s 2

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Volvemos a incrementar la longitud del péndulo en otros 15 cm (aproximadamente).

R (m) Nosc t1 (s) t2 (s) t3 (s)

2,3030 ± 0,0003 10 30,520 ± 0,003 31,120 ± 0,003 30,670 ± 0,003


t ' 30,77 ± 0,18 s

T ' 3,077 ± 0,018 s

T 2' 9,47 ± 0,11 s 2

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


R (m) Nosc t1 (s) t2 (s) t3 (s)

2,4450 ± 0,0003 10 31,640 ± 0,003 31,570 ± 0,003 31,710 ± 0,003


t ' 31,64 ± 0,04 s


T ' 3,164 ± 0,004 s

T 2' 10,01 ± 0,03 s 2

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


R (m) Nosc t1 (s) t2 (s) t3 (s)

2,6010 ± 0,0003 10 32,650 ± 0,003 32,540 ± 0,003 32,700 ± 0,003


t ' 32,63 ± 0,05 s

T ' 3,263 ± 0,005 s

T 2' 10,65 ± 0,03 s 2

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Así pues:

R (m)

2,0000

±

0,0003

2,1480

±

0,0003

2,3030

±

0,0003

2,4450

±

0,0003

2,6010

±

0,0003

T2 (s2) 8,260 ± 0,007 8,76 ± 0,10 9,47 ± 0,11 10,01 ± 0,03 10,65 ± 0,03


La representación gráfica de estos datos es:

(Aunque parezcan no estar, las barras de incertidumbre están dibujadas. La razón de que no se vean es

que las incertidumbres son muy pequeñas y el punto oculta las barras)

12.3.- Desarrollo

¿Por qué hemos dibujado en función de R? Si elevamos al cuadrado la ecuación [P1] delT 2

guión, tenemos:

T 2'

4 π 2

gR

por lo que la representación gráfica de en función de R es una recta de la forma:T 2

T 2' m R % b

cuya pendiente es:

[P2]m '4 π 2

g


Vamos a buscar la ecuación de la recta ajustando los datos por el método de mínimos cuadrados.

La pendiente de la recta es:

Pendiente: m '

jn

i'1

xi j

n

i'1

yi! n j

n

i'1

xiy

i

jn

i'1

xi

2

! n jn

i'1

x2i

'

n x y ! jn

i'1

xiy

i

n x 2! j

n

i'1

x2i

' 4,02372 s 2/m

y su incertidumbre:

u m '

n jn

i'1

yi! y

i2

n ! 2 n jn

i'1

x2i ! j

n

i'1

xi

2'

jn

i'1

yi! y

i2

n ! 2 jn

i'1

x2i ! n x 2

' 0,09137 s 2/m

La ordenada en el origen es:

Ordenada: b '

jn

i'1

xi j

n

i'1

xiy

i! j

n

i'1

x2i j

n

i'1

yi

jn

i'1

xi

2

! n jn

i'1

x2i

'

x jn

i'1

xiy

i! y j

n

i'1

x2i

n x 2! j

n

i'1

x2i

' 0,17785 s 2

y su incertidumbre:

u b '

jn

i'1

yi! y

i2 j

n

i'1

x2i

n ! 2 n jn

i'1

x2i ! j

n

i'1

xi

2'

jn

i'1

yi! y

i2 j

n

i'1

x2i

n n ! 2 jn

i'1

x2i ! n x 2

' 0,21099 s 2

Así pues,

m ' 4,02 ± 0,09 s 2/m


b ' 0,2 ± 0,2 s 2

El que la incertidumbre de b (0,2 s2) sea igual que el propio b (0,2 s2) nos permite decir que b no

es significativo. Así pues, la recta ajustada es:

T 2' 4,02 ± 0,09 R

El coeficiente de correlación vale:

r '

jn

i'1

xiy

i! n x y

jn

i'1

x2i ! n x 2 j

n

i'1

y2i ! n y 2

' 0,99923

y la representación gráfica de los datos y la recta es:

Despejando de la Ec.[P2] la gravedad:

m '4 π 2

gY g '

4 π 2

m'

4 @3,14162

4,02 s 2/m' 9,8205478 m/s 2


Para calcular la incertidumbre de g aplicamos la Ec.[15]:

uc

g ' y jn

i'1

α2i

u xi

xi

2

'4π2

m22 u π

π

2

% 12 u m

m

2

'

'4·3,14162

4,024·

0,00013,1416

2

%0,094,02

2

' 0,2199 m/s 2

y, por lo tanto, el resultado final es:

g ' 9,8 ± 0,2 m/s 2

NOTA: Es preciso hacer constar que lo que hemos hecho en este ejemplo NO es un informe de

laboratorio, tan solo es una parte de dicho informe: la toma de datos y su tratamiento.


Apéndice A. Vocabulario

Cantidad (mensurable): atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que se puede distinguir

cualitativamente y determinar cuantitativamente.

Desviación: Valor menos su valor de referencia.

Error relativo: Error de medición dividido entre el valor real del mensurando.

Error aleatorio: resultado de una medición menos la media que resultaría de un número infinito de

mediciones del mismo mensurando efectuadas bajo condiciones de repetitividad.

Error (de medición): Resultado de una medición menos el valor real del mensurando.

Error sistemático: media que resultaría de un número infinito de mediciones del mismo mensurando

efectuadas bajo condiciones de repetitividad menos el valor real del mensurando.

Exactitud de una medición: Cercanía del acuerdo entre el resultado de una medición y el valor real del

mensurando.

Indicación (de un instrumento de medición): valor de una cantidad ofrecido por un instrumento

de medición.

Medición: conjunto de operaciones que tienen el objeto de determinar el valor de una cantidad.

Mensurando: cantidad particular sujeta a medición.

Repetividad (de resultados de mediciones): Cercanía del acuerdo entre los resultados de mediciones

sucesivas del mismo mensurando bajo las mismas condiciones de medición.

Reproducibilidad: Cercanía del acuerdo entre los resultados de mediciones del mismo mensurando

efectuadas bajo distintas condiciones de medición.

Resultado de una medición: Valor atribuido a un mensurando, obtenido por la medición.

Sistema de unidades (de medición): conjunto de unidades básicas, junto con unidades derivadas, definidas

de acuerdo con reglas dadas, para un sistema de cantidades dado.

Unidad (de medición): cantidad particular, definida y adoptada por convención, con la cual otras

cantidades de la misma clase se comparan con el fin de expresar sus magnitudes relativas a esa cantidad.

Valor de una cantidad: magnitud de una cantidad particular, expresada generalmente como una unidad

de medición multiplicada por un número.

Valor real (de una cantidad): valor consistente con la definición de una cantidad particular dada.

Valor convencionalmente real: valor atribuido a una cantidad particular y aceptado, a veces por

convención, que tiene una incertidumbre apropiada para un propósito dado.

Valor numérico (de una cantidad): cociente del valor de una cantidad y la unidad usada en su expresión.


Apéndice B. Normas generales para realizar las prácticas

1.- Sea ordenado. Tenga un plan en la mente antes de comenzar a tomar datos. Léase la descripción

completa del experimento antes de proceder al montaje de la práctica y la toma de datos.

2.- En las prácticas en las que haya que conectar a la red eléctrica algún circuito que usted haya montado,

no realice la conexión sin que el profesor encargado haya revisado el circuito y dé su autorización

para conectar.

3.- Tome los datos con el número apropiado de cifras significativas. Ordénelos en tablas, en las que

deben figurar claramente las magnitudes medidas junto con sus incertidumbres y las unidades en que

están expresadas. Repita cada medida las veces que sean necesarias. (Consulte el epígrafe Medida

directa de una magnitud).

4.- Para cada tipo de cálculo realizado con estos datos, realice con detalle solo un cálculo de muestra en

el informe que ha de presentar sobre el trabajo realizado.

5.- Efectúe los cálculos necesarios para determinar el valor de la magnitud pedida en la práctica.

6.- Realice el correspondiente cálculo de incertidumbres. No olvide expresar el resultado final con su

incertidumbre y su unidad correspondiente.

7.- En la práctica en que así se le pida, realice cuidadosamente las representaciones gráficas pertinentes.

7.1.- Dé a cada gráfico un título informativo. Por ejemplo: Resistencia de la lámpara en función de

la temperatura (y no simplemente R = f(T)).

7.2.- Rotule claramente los ejes de coordenadas con la magnitud que en ellos se representa junto con

la unidad correspondiente, así como el factor de 10 utilizado (si es que representa valores

proporcionales a los reales).

7.3.- Indique los puntos experimentales sobre el gráfico con pequeños círculos y con el margen de

incertidumbre.

7.4.- Escoja la escala más apropiada para que el gráfico presente las máximas ventajas.


Apéndice C. La presentación del informe de laboratorio

El informe de cada práctica realizada (se presentará un único informe por cada grupo de

prácticas) debe incluir, obligatoriamente, los siguientes apartados:

C Título

C Autor(es)

C Resumen

C Objetivo

C Fundamento teórico

C Material utilizado

C Desarrollo experimental

C Datos y su tratamiento

C Resultados

C Discusión

C Conclusiones

C Responda a las cuestiones planteadas (si las hubiere)

C Bibliografía (o Referencias)

Título

El título del informe debe corresponder con el tema del experimento realizado, y ser lo

suficientemente descriptivo como para que el lector pueda entender cuál es dicho tema. Un título

adecuado puede atraer la atención de los lectores hacia el experimento. En los informes presentados por

los estudiantes, es corriente que el título de la práctica ya esté dado en el guion de la misma.

Autores

Es fundamental incluir el nombre de las personas que participaron en la ejecución del

experimento o que contribuyeron al análisis e interpretación de los resultados.


Resumen

El resumen es un párrafo de alrededor de diez renglones, en el cual se menciona cuál es el

objetivo del trabajo, qué método experimental se utilizó, y si los resultados obtenidos fueron buenos o

no, sin llegar a presentar tablas o gráficas. Normalmente, en el resumen no se escriben ecuaciones.

La escritura apropiada del resumen es importante, porque con él un lector puede decidir si la

lectura del resto del informe le será útil o no.

Objetivo

En esta sección se presentará específicamente el objetivo que se persigue al realizar el trabajo.

Fundamento teórico

En esta sección se escribirá la teoría necesaria para describir los resultados o realizar

predicciones. La teoría que se incluya debe ser suficiente para entender el resto del informe y no

contener información que no se utilizará más adelante.

No es aconsejable escribir las ecuaciones dentro de los párrafos, pues esto las hace confusas, sino

en renglones separados, si bien en algunos casos puede hacerse por claridad en la explicación. Cada vez

que se escriba una ecuación es preciso dar el significado de cada uno de los símbolos que aparecen por

primera vez en el escrito. Es conveniente añadir a las figuras un "pie" que las describa apropiadamente.

Las figuras deben aparecer cerca del párrafo en el que se hace referencia a ellas por primera ocasión. Un

detalle útil en la presentación de la teoría es la numeración de las ecuaciones y las figuras, puesto que así

se facilita el referirse a ellas más adelante dentro del mismo informe.

Material utilizado

En la descripción del dispositivo experimental es necesario decir cuáles son las características

de los instrumentos de medición empleados (por ejemplo, "un flexómetro marca Acme con una resolución

de 1 mm"), estableciendo claramente cuál es la incertidumbre con la que contribuye cada uno de ellos.

Es importante también notar que por ninguna razón se han de escribir en esta sección “listas de

material,” correspondiendo éstas a formatos inadecuados para un artículo científico o informe técnico.


Desarrollo experimental

La descripción del dispositivo experimental no implica la forma en que se hicieron las

mediciones. Por tanto, es conveniente explicar este procedimiento. Aquí debe decirse cuáles son los

mensurandos en el experimento, señalando explícitamente las variables independientes y las

dependientes. Ha de mencionarse cómo se cambiaron dichas variables independientes y por qué se hizo

así, sin olvidar mencionar cuántas veces se midió cada uno de los mensurandos.

En esta parte, además, es necesario establecer claramente cuáles son las precauciones

y medidas de seguridad que se siguieron durante la realización del experimento. Si algún lector está

interesado en reproducirlo, sin duda tendrá que adoptar dichas precauciones también.

Datos y su tratamiento

En esta sección se presentarán las mediciones realizadas con sus correspondientes incertidumbres

y unidades. A continuación se explicará el tratamiento que se dará a los datos obtenidos. Por ejemplo,

pueden calcularse medias (con sus respectivas desviaciones típicas), o tal vez será necesario efectuar el

ajuste de una curva a los datos. Siempre habrán de escribirse ecuaciones que describan los modelos

buscados y relacionen sus parámetros con las variables presentadas en la introducción.

Asimismo, debe explicarse cómo se calculan las incertidumbres en los resultados finales, aunque

también es posible hacerlo en un apéndice al final del informe para mantener la secuencia lógica en su

lectura.

Resultados

En esta sección debe pensarse cuidadosamente cuál es la mejor forma de escribir los resultados.

Pueden ser tablas, gráficas, o sólo un resultado numérico. En una artículo científico no debe darse la

información de manera duplicada (por ejemplo, una tabla con los datos que posteriormente aparecen en

una gráfica), aunque en los laboratorios de enseñanza sí es conveniente, pues así el evaluador puede

advertir si el estudiante cometió alguna equivocación al graficar sus datos.

Cuando en el experimento se obtuvieron tablas, si éstas son largas, es mejor escribirlas en un

apéndice al final del informe, para no distraer la atención del lector. Además, debe incluirse en cada dato

la incertidumbre experimental, pues hay que recordar que una medición sin dicha incertidumbre no tiene

sentido alguno. Lo mismo sucede con las unidades de cada dato obtenido y presentado, las cuales además


deben ser las correctas, y congruentes entre ellas. Las tablas, al igual que las ecuaciones y las figuras,

tendrán una numeración, y además un título.

En el caso de las gráficas, no puede olvidarse graficar la incertidumbre, y en caso de que sea muy

pequeña como para apreciarla en la figura, es necesario mencionar este hecho explícitamente en el texto

o el pie de la figura. También hay que revisar la presencia de las escalas, el título de los ejes y las

unidades. Cuando se hagan ajustes de rectas u otro tipo de curvas, es indispensable escribir en el texto

la ecuación obtenida, sin omitir la incertidumbre en los parámetros calculados (como pudiera ser

pendiente y ordenada al origen en una recta). Las gráficas llevan una numeración secuencial y un título

que las describa. En un informe de laboratorio de enseñanza no es apropiado colocar las gráficas hasta

el final.

Finalmente, la escritura de un solo resultado (por ejemplo, la aceleración de la gravedad), se

escribirá en un renglón separado, sin descuidar la presencia de la incertidumbre y las unidades.

En todas estas situaciones hay que recordar que los resultados se escriben con el número de cifras

significativas correcto.

Discusión

Una vez que se han presentado los resultados, debe incluirse la sección correspondiente a la

discusión. En ésta, se habrán de comparar los resultados con lo que se esperaba teóricamente, con datos

de valores aceptados (convencionalmente reales) tomados de tablas o textos, o de otros procedimientos

dentro de la misma práctica. Esta parte es una de las más importantes, pues es aquí donde se interpretan

los resultados del experimento. La evaluación de dichos resultados frecuentemente se basa en cálculos

de los errores porcentuales, que dan una idea más clara de su magnitud.

En este punto cobra gran importancia la incertidumbre experimental. La comparación de un

cálculo teórico o valor convencionalmente real se facilita cuando existe un intervalo dentro del cual puede

caer esta magnitud. También se debe mencionar si realmente las mediciones fueron precisas, es decir, si

la incertidumbre relativa es pequeña o tan grande que realmente no puede llegarse a ninguna conclusión.

Cuando los resultados no corresponden a lo esperado, la explicación de por qué sucedió así

demuestra una comprensión de lo que se efectuó experimentalmente, o bien que pudo haber equivocacio-

nes en el tratamiento de los datos.


Es oportuno hablar aquí sobre la ética de un experimentador. Cuando los resultados no son

buenos, existe indudablemente la "tentación" de modificarlos o manipularlos para que correspondan a las

predicciones teóricas o los valores convencionalmente reales. Esto es cierto tanto para los investigadores

(porque deben presentar un trabajo que pueda publicarse en una revista científica con arbitraje, o de lo

contrario no percibirán estímulos económicos o académicos), como para los estudiantes (pues entonces

no obtienen la calificación que desean o bien no dejan al profesor satisfecho con su trabajo).

Conclusiones

Las conclusiones, finalmente, indicarán si el experimento fue bueno o no, es decir, si se

cumplieron los objetivos planteados originalmente. Puede decirse si el procedimiento experimental es el

más apropiado para alcanzar dichos objetivos, o si existen propuestas para realizarlo mejor. Esta sección

no es un “departamento de quejas,” donde se dice “el experimento no me salió bien porque el equipo está

muy dañado” o cosas similares. Más aún, en el nivel de un estudiante universitario, pueden decirse cosas

más profundas que “la práctica fue muy bonita y aprendí mucho.”

Para las conclusiones de un informe científico no existen reglas en cuanto a su extensión. Podrían

limitarse a una sola frase, o bien a toda una serie de enunciados, dependiendo del tipo de experimento.

Sin embargo, quien escribe el informe debe darse cuenta que no es necesario escribir páginas y páginas

para que se crea en el valor de su trabajo. Por otro lado, no deben escribirse conclusiones sobre algo que

no se hizo en el experimento.

Respuesta a las cuestiones planteadas

En ocasiones, en el guion de la práctica se presentan una serie de cuestiones relacionadas con la

misma para que el profesor que ha de evaluar el informe tenga constancia del grado de comprensión del

trabajo realizado. Responda razonadamente a dichas cuestiones.

Bibliografía (o Referencias)

No debe omitirse la bibliografía (generalmente libros, en este nivel).Muchos de los desarrollos

matemáticos presentados en el trabajo pueden verse con mayor detalle en alguna de las referencias que

se den en la bibliografía.


Típicamente, el formato para dar la referencia de un libro es: Autor (es), título del libro (editorial,

ciudad de publicación, año de publicación), páginas consultadas. Es útil enumerar las referencias, para

poder citarlas en el texto. Para un artículo, se recomienda escribir la cita así: Autor (es), título del artículo,

nombre de la revista, volumen, (año), páginas.

Referencias

[1] ISO/IEC Guide 98-3. Evaluation of measurement data - Part 3: Guide to the expression of

uncertainty in measurement, First edition (International Organization of Standardization, Ginebra,

Suiza, 2008).

[2] International Organization of Standardization, International Vocabulary of Basic and General Terms

in Metrology (Ginebra, Suiza, 2004).

[3] D.C. Baird, Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design, 3ª

Ed. (Prentice Hall, New York, 1995).

[4] John R. Taylor, An Introduction to Error Analysis, 2ª Ed. (University Science Books, Sausalito, CA,

USA, 1997).

[5] Javier Miranda Martín del Campo, Evaluación de la incertidumbre en datos experimentales,

http://depa.pquim.unam.mx/amyd/archivero/eval_incert_6905.pdf

[6] Javier Ablanque Ramírez, Rosa María Benito Zafrilla y Juan Carlos Losada González, Laboratorio

de Física con soporte interactivo en Moodle (Prentice Hall, Madrid, España, 2010.

teoria de incertidumbre

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