El rigor continúa su andadura

La nueva formulación de los conceptos será todavía más formal y rigurosa, y paralelamente mucho menos intuitiva.

Será necesario concretar el significado de “cantidad variable” y “variable continua”.

Para seguir avanzando será igualmente necesario acabar de una vez con las distinciones entre número y cantidad.

La fundamentación del sistema de números reales será debida a R. Dedekind y G. Cantor

Los números realesA mediados del siglo XIX no era posible demostrar

algunos resultados básicos del cálculo:Toda función creciente y acotada tiene límite, El teorema del valor intermedio para funciones

continuasFaltaba codificar una propiedad fundamental de

los números reales, la que ahora llamamos completitud y entonces se llamaba propiedad de continuidad.

En 1872 se publicaron dos trabajos, uno de Cantor y otro de Dedekind, en los que, a partir del sistema de los números racionales, cada autor desarrollaba una construcción matemática de los números reales.

Julius Wilhelm Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 - 1916), matemático alemán, nació en Brunswick.

En 1848 entró en el Colegium Carolinum de su ciudad natal, y en 1850, con sólidos conocimientos de matemáticas en la Universidad de Gotinga.

J. Richard DedekindFue alumno del matemático Moritz Abraham

Stern, y del físico Wilhelm Weber. Su tesis doctoral (1852), fue supervisada por Gauss, que lo consideró su último alumno.

Estudió la teoría de los números y otras materias con G. Dirichlet, al que le uniría una gran amistad.

Para ampliar sus conocimientos, abordó el estudio de las funciones abelianas y elípticas de la mano del genial Bernhard Riemann.

Su correspondencia con otros matemáticos resultó fructífera y estimulante

Cortaduras de DedekindSus cortaduras zanjan definitivamente el

problema de la fundamentación del análisis al definir el conjunto de los números reales a partir de los racionales.

En su magistral artículo de 1872, titulado “Continuidad y números irracionales “, caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo.

Al comienzo del artículo manifiesta su propósito de reducir los números reales a la aritmética, eliminando así todo contenido geométrico en la idea de número real.

Sustento intuitivoPara explicar lo que él hizo vamos a partir de la

intuición de una recta.Elegido un punto como origen y un segmento como

unidad, podemos hacer corresponder a cada número racional un punto de esa recta.

Cualquier punto que corresponda con un segmento de longitud inconmensurable con la unidad elegida no puede ser representado por un número racional .

Los números racionales no son suficientes para describir numéricamente "el continuo“, ya que dejarían"huecos“.

Idea de DedekindSe preguntaba Dedekind: ¿En qué consiste la

propiedad de la continuidad? “el problema es indicar una característica

precisa de la continuidad que pueda servir como base para deducciones válidas”.

Antes de revelar el secreto previene al lector,Muchos de mis lectores quedarán

grandemente disgustados al saber que con una vulgar observación se revela el secreto de la continuidad.

R. Dedekind¿Cuál es esa vulgar observación'? Todo punto de una recta la divide en dos

partes disjuntas, la parte A, formada por los puntos de la recta

que están a su izquierda, y la parte B, formada por los puntos de la

recta que están a su derecha.El propio punto podemos incluirlo bien en A o

en B.

EstrategiaUna cortadura de Q es un par (A. B), donde A y B son dos

conjuntos no vacíos de números racionales tales que Q = A U B, y todo número de A es menor que todo número de B y A no tiene máximo.

Todo número racional r de Q produce una cortadura dada por A = {x єQ : x < r} , B = {x єQ : x ≥ r}.

Pero en la recta racional hay muchas cortaduras que no están producidas por números racionales.

El par (A,B) A = {x єQ: x² < 2}, B = {x єQ : 2≤x² } define una cortadura de Q que no está producida por ningún número racional

Idea genial¿De dónde sacamos los números reales si todo lo

que tenemos son los racionales'? "Si todos los puntos de la recta se dividen en

dos clases tales que todo punto de la primera clase queda a la izquierda de todo punto de la segunda clase,

Entonces existe uno, y sólo un punto que produce esta división ...“

Un número real es una cortadura de Q . La idea es que la recta es continua porque

entre dos puntos de ella sólo hay puntos de la misma recta.

R. DedekindEn su trabajo ¿Qué son y para qué sirven los

números? publicado en 1888 da la siguiente definición:

Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario, se dice que S es un sistema finito.

Además precisa el significado de las operaciones elementales de la teoría de conjuntos,

y da la definición general de función entre conjuntos abstractos, generalizando así la dada por Dirichlet para funciones reales.

George Cantor

George Cantor (1845 San Petersburgo-1918) fue un matemático alemán, el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales).La relación personal y epistolar con su gran amigo R. Dedekind fue decisiva para el desarrollo de la teoría de conjuntos .

George CantorLa manera en que Cantor llegó a interesarse

por los problemas del infinito es ciertamente curiosa. En 1869 el joven Cantor llega a la pequeña Universidad de Halle para obtener su Habilitación (con una Tesis en Teoría de números) y

Allí conoce a H. Heine (1821-1881), quien le introduce en un problema en el que llevaba tiempo trabajando: la unicidad de la representación de una función por medio de series trigonométricas.

George CantorEn una serie de artículos publicados en 1870 y 1871,

Cantor logró probar la unicidad de representación cuando la serie trigonométrica convergía puntualmente, salvo a lo más en un conjunto finito de puntos de un intervalo de periodicidad.

La pregunta natural era si el resultado sigue siendo cierto para un conjunto infinito de puntos.

Obviamente, la respuesta es negativa para el conjunto formado por todo el intervalo,

luego se trataba de saber qué tipo de conjuntos infinitos (si había alguno) proporcionaban una respuesta afirmativa al problema.

Los números realesEsto llevó a Cantor a plantearse el estudio y posible

clasificación de los subconjuntos infinitos de números reales.

Y para ello tuvo que comenzar estableciendo una noción rigurosa de número real.

En 1872 aparece su famoso trabajo en Mathematische Annalen en el que construye el conjunto de los números reales clasificando las distintas sucesiones de Cauchy de números racionales.

Demuestra las propiedades fundamentales, incluyendo la completitud, y comienza el estudio riguroso de conjuntos arbitrarios de números reales.

De los racionales a los realesEn una carta a Dedekind, de fecha 29 de

noviembre de 1873, Cantor afirmaba, sin incluir prueba alguna, que los racionales positivos y, más generalmente, el conjunto de las sucesiones finitas de enteros positivos, podía ponerse en correspondencia biyectiva con los enteros positivos, y preguntaba si eso mismo se podía hacer con los números reales.

CorrespondenciaDedekind le respondió, a vuelta de correo, que en

su opinión nada se oponía a ello, y añadió, con demostración incluida, que el conjunto de los números algebraicos sí es biyectivo al de los enteros positivos.

Los números algebraicos son números, reales o complejos, que son raíces de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros.

Todo número racional es evidentemente algebraico

Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.

Números trascendentesDemostrar que un número concreto es

trascendente es muy difícil. Era conocida la trascendencia del número e,

demostrada por Charles Hermite en 1 873, Ferdinand Lindemann logró probar la

trascendencia de π en 1882 (demostrando así que el problema de la cuadratura del círculo no tenía solución).

George CantorTras su trabajo sobre los reales, el interés de

Cantor derivó hacia los problemas del infinito y el continuo, con objeto de precisar la idea de tamaño y elaborar una teoría de comparación de conjuntos infinitos.

Su teoría de conjuntos y números transfinitos se encuentra dispersa en muchos trabajos.

En el primero de ellos considera al menos dos clases de infinitos: el de los números naturales y el de números reales.

George CantorHabía logrado demostrar que el conjunto de

números reales no es numerable (no existe una biyección de él con N).

Dado que el conjunto de los números algebraicos sí se puede poner en correspondencia biyectiva con el de los números naturales, dedujo un teorema de Liouville:

la existencia de infinitos números trascendentes

Conjunto infinitoEn el siguiente artículo, Cantor establece ya como

idea central de su teoría la noción de conjunto:Una colección de objetos bien definidos que la

mente puede concebir como un todo y decidir si un objeto dado pertenece o no a ella.

Introduce la idea de equivalencia de conjuntos por medio de la existencia de una biyección entre ellos.

Para Cantor (como para Bolzano y Dedekind), un conjunto es infinito si puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio.

G. CantorCantor prueba que los racionales es el

conjunto infinito con menor potencia, y que la potencia de R y de R^n es la misma para cualquier entero positivo n

(este resultado sorprendió tanto a Cantor que cuando se lo comunicó a su amigo Dedekind en 1877, escribió “¡lo veo, pero no lo creo!”).

Conjuntos transfinitos Cantor introduce los números transfinitos o

cardinales transfinitos con la siguiente idea:

Por el mismo proceso que podemos abstraer la idea de número 5 c0m0 la clase de todos los conjuntos equipotentes a un conjunto cualquiera con cinco elementos.

Dado un conjunto A, por doble abstracción de la naturaleza de sus elementos y del posible orden en que estén dados, podemos asociar a cada conjunto A un objeto matemático, card(A) que se llama su número cardinal potencial

Conjuntos transfinitosEl potencial es el mismo para todos los conjuntos

equipotentes a A. Cuando A es finito, card(A) es el número de elementos

de A.La potencia de los conjuntos numerables (infinitos) la

rcpresentó Cantor por la primera letra del alfabeto hebreo לא.

La potencia de la recta real y de cualquier intervalo no vacío y no reducido a un punto, se representa por c y se llama la potencia del continuo.

No hay parto sin dolorLa novedad de los conceptos y técnicas empleadas y

los sorprendentes resultados obtenidos, que contradecían muchas ideas arraigadas sobre el “tamaño” de distintos conjuntos, hizo que las teorías de Cantor despertaran la oposición e incluso la hostilidad de muchos matemáticos contemporáneos.

Entre ellos destaca la figura de L. Kronecker (1823-1891), muy influyente en la época , que pasó incluso del ataque científico al ataque personal. Lo que le produjo a Cantor una crisis nerviosa y una profunda depresión entre 1884 y 1887,

George CantorEn fin, en 1895 y 1897 aparecieron en

Mathematische Annalen sus dos principales trabajos sobre la teoría de conjuntos, con una exposición sistemática y moderna de la misma.

Al parecer, Cantor retrasó la publicación del segundo artículo, esperando incluir una prueba de la hipótesis del continuo, que él mismo había formulado.

La hipótesis del continuo viene a decir:No existen conjuntos cuyo tamaño esté

comprendido estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales.

George Cantor

Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico. Le reconoce así mismo como el creador de la Teoría de conjuntos.

Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (Trastorno Bipolar) provocada por sus intentos de comprobar matemáticamente la Hipótesis del continuo.

Siglo XXA pesar de las reticencias iniciales, poco a

poco se fue consolidando la idea de que la Teoría de Conjuntos podía ser la base sobre la cual construir toda la Matemática.

Una sólida fundamentación de la Teoría de Conjuntos, proporcionaría la ansiada base firme sobre la que asentar toda la Matemática.

Pero…vuelven las paradojasSi A es un conjunto con n elementos, hay

exactamente 2^n subconjuntos de A (incluyendo el vacío y el total). Esto es, el cardinal del conjunto formado por todos los subconjuntos de A es estrictamente mayor que el de A.

Cantor demostró la validez de este hecho para cualquier conjunto no necesariamente finito: el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto A es estrictamente mayor que el de A.

Si U es el conjunto de todos los conjuntos, el conjunto de sus partes es un subconjunto de U y, por tanto, ¡su cardinal no puede ser mayor que el de U!