rigor y demostraciÓn en matemÁticas

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 104, Nº. 1, pp 61-79, 2010XI Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

RIGOR Y DEMOSTRACIÓN EN MATEMÁTICASFERNANDO BOMBAL GORDÓN *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid. Facultad de Matemáticas. Universidad Complutense. 28040 Madrid.

1. INTRODUCCIÓN

Todo texto matemático que se precie contiene unaserie de palabras significativas, como Teorema, Lema,Proposición o Corolario, que preceden una serie deenunciados más o menos ininteligibles. Despuésaparece la palabra mágica: Demostración, encabe-zando una serie de argumentos más o menos miste-riosos, que suelen terminar en un rotundo Q.E.D.

Si estamos examinando un trabajo de investigaciónmuy especializado, los lectores que no pertenezcan aesa especialidad (que puede ser toda la Humanidad,salvo 10 o 12 personas), no entenderán prácticamentenada. Para poner un ejemplo de lo que digo, conside-remos el siguiente texto:

Teorema.1 Sea Y un espacio de cotipo 2 y Xj

espacios para . Todo operador multi-linear es múltiplemente 2-sumante y

donde y es la constante decotipo 2 de Y.

Para no tener que ir muy lejos, he optado por elegirun resultado incluido en uno de mis trabajos que, por

supuesto, no es tan especializado como los casosextremos mencionados anteriormente. Sin embargo,muchos matemáticos profesionales tendrán la mismaimpresión ante este texto que la mayoría de los lectoresno matemáticos: algunas palabras reconocibles entreuna mayoría de términos y signos incomprensibles ycuyo significado se nos escapa completamente.

Pero no hay que pensar que la dificultad paraentender un resultado matemático radica sólo en lacantidad de información previa necesaria para su com-prensión. Hay enunciados tremendamente sencillos,que todo el mundo puede entender pero que hasta elmomento nadie ha sabido responder. Uno de ellos es elsiguiente:

Todo número par mayor que 2 es suma de dosnúmeros primos.2

Por ejemplo, 4 3 1, 8 5 3 7 1, 20 13 719 1, etc. Hasta hoy, nadie ha encontrado un contrae-jemplo a la afirmación anterior. ¡Pero tampoco unaprueba de su validez para cualquier número par mayorque 2!

Y esto nos lleva al siguiente elemento esencial deun texto de matemáticas: la Demostración del resul-tado enunciado. En el ejemplo que hemos consideradoal principio, comenzaba así:

1 Theorem 3.1 en Multilinear extensions of Grothendieck’s theorem, por F. Bombal, D. Pérez, e I. Villanueva. Quat. J. Math. (2004), 441-150.2 Se trata de la famosa Conjetura de Goldbach, aparecida por primera vez en una carta enviada por Christian Goldbach en 1742 al brillantematemático suizo Leonhard Euler.

, jL 1 j n1 2: ... nT X X X Y

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Demostración: Procederemos por inducción sobren. Para n 1 el resultado es conocido (véase [7.;Theorem 11.14] y [10]). Sea entonces ...(a con-tinuación aparece una serie de argumentos más omenos ininteligibles para el no experto y, finalmente,las esperadas iniciales Q.E.D.).

Como su propio nombre indica, la demostraciónincluye una serie de argumentos con los que el autortrata de convencer al lector de la veracidad delresultado enunciado. La inteligibilidad de los razona-mientos que aparecen en ella dependerá de nuestra for-mación y del contenido matemático del enunciado. Engeneral, abundan frases como “por tanto” o “en conse-cuencia”, que parecen indicar que las afirmacionesque siguen tienen un grado de certeza irrefutable.Incluso a veces da la sensación de que los argumentosse deducen infaliblemente, por un procedimiento pura-mente mecánico, de los datos del enunciado, ypudieran ser producidos por una máquina. En realidad,jamás se ha construido una máquina capaz de repro-ducir todas las demostraciones que puedan aparecer enun libro de texto elemental de aritmética. Más aún, esimposible construir una máquina3 que pudiera obtenertodos los resultados verdaderos de la aritmética.¡Yesto es un Teorema demostrado! Volveremos más ade-lante sobre el tema.

Pero quizá, antes de seguir adelante, lo mejor es darun ejemplo concreto de una Demostración típica; ynada mejor, sin duda, que utilizar el teorema másconocido de las matemáticas, con la demostración queaparece en uno de los libros más famosos de la his-toria: el Teorema dePitágoras en la versión queaparece en el libro I de Los Elementos de Euclides(alrededor del 300 a. de C.):

Proposición I.47 (Teorema de Pitágoras): En untriángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre ellado que subtiende el ángulo recto (hipotenusa) esigual a los dos cuadrados construidos sobre los ladosque contienen el ángulo recto (catetos).

La numeración “I.47” hace referencia a que se tratadel resultado número 47 del primero de los 13 “libros”en los que se dividen Los Elementos.

Como puede verse, se trata de un enunciado pura-mente geométrico, sin ninguna referencia a la versiónalgebraica que aparece en los libros de texto elemen-tales de hoy en día: (véase la figura1). Lo que afirma el teorema es que los cuadradosACDE y ABPQ de la figura pueden dividirse ade-cuadamente y recombinarse para obtener el cuadradoCBNM.

La Demostración comienza con una estrategiatotalmente novedosa, que no se deduce en absoluto delos datos del enunciado: Construir la paralela a BMque pasa por A (posibilidad desarrollada en un enun-ciado anterior: Proposición I.31) y considerar lostriángulos ABM y CBP.

Los triángulos ABM y CPB tienen dos ladosiguales (AB BP y CB BM) y el mismo ángulo com-prendido entre ellos (un recto más el ángulo t, como seve en la figura). Por tanto, por la Proposición I.4, losdos triángulos son iguales.

Como el ángulo CAB es recto, y también lo es (porconstrucción) el ángulo BAQ, la Proposición I.14permite afirmar que los puntos CAQ están alineados(y, por la misma razón, lo están los EAB).

Por tanto ABM tiene la misma base y altura queel BMA´A´´ y CBP tiene también la misma base yaltura que el ABPQ. En consecuencia, la Proposi-

2n

3 En el sentido de cualquier artilugio concebible que funcionara de manera análoga a nuestros ordenadores, pero sin limitaciones de memo-ria o velocidad. En términos más técnicos, me refiero a lo que se conoce como una máquina de Turing.

2 2 2CB CA AB

Figura 1

ción I.41 permite afirmar que área( ABPQ)área( BMA´A´´).

Un razonamiento totalmente análogo prueba queárea( ACDE) área( CNA´A´´), lo que termina lademostración.

Como vemos, la demostración contiene una seriede elementos característicos: un considerable grado deabstracción, con la aparición de conceptos comotriángulo, líneas rectas, ángulos, que el lector debedecodificar por informaciones previas; un lenguajeformalizado, que no es el lenguaje ordinario, ni el delteatro o la novela; una continua llamada a resultadosanteriores. Y finalmente, la idea brillante o truco de lademostración. En este caso, la consideración de laslíneas auxiliares, como la AA’ o la CP, que noaparecían en el problema original, pero que hanresultado esenciales para completar el procesodeductivo.

La idea de demostración rigurosa depende, obvia-mente, del contexto y del entorno cultural. En losescritos matemáticos ordinarios (incluso los de hoy endía), sólo se detallan los pasos no puramente mecá-nicos; aquellos que suponen una idea nueva, una cons-trucción original o la introducción de algún elementonuevo (los análogos a las líneas auxiliares de lademostración del Teorema de Pitágoras). Pero el con-senso sobre lo que es o no un paso obvio o trivial, haido cambiando a lo largo de la historia.

Nuestro objetivo es mostrar, con algunos ejemplostomados de la historia, la evolución de la noción dedemostración correcta, y, por tanto, la evolución de lanoción de rigor matemático.

2. EL PRINCIPIO

La primera civilización en la que aparecen signosde desarrollo matemático es la egipcia, pero exclusiva-mente dirigidos a facilitar los aspectos de la vidacotidiana, como son el comercio o la agrimensura. Porejemplo, los arquitectos egipcios usaban el siguientetruco para dibujar ángulos rectos (para construirángulos de pirámides, templos, etc.): (véase figura 2)

Ataban 12 segmentos iguales de cuerda en unacurva cerrada. El triángulo de lados 3, 4 y 5 segmentos

es recto. No hay ninguna evidencia de que supieran,por ejemplo que los triángulos de longitudes 5-12-13 o65-72-97 son también rectos. Ni en este caso ni enningún otro que nos haya llegado, los egipcios dan lamenor indicación de cómo demostrar lo afirmado.Simplemente, se trataba de un hecho aceptado. Engeneral, los resultados matemáticos que se han encon-trado de la civilización egipcia aparecen siempre comorecetas autoritarias para resolver un problema: HagaVd. esto primero; después esto otro, etc. Algo, por otrolado, típico de una sociedad totalmente jerarquizada.

Los babilonios tenían una aritmética mucho másdesarrollada que la egipcia, y eran capaces de hacercálculos más sofisticados. Pero, de nuevo, lo que nosha llegado son una serie de instrucciones para resolverlos problemas, sin ningún intento de explicar cómo sehabía llegado a la solución.

Es en Grecia donde se produce el cambio cuali-tativo que conduce a la creación del método científicoen sentido moderno. Entre los siglos IX y VII antes deCristo las más importantes polis continentales organi-zaron una serie de grandes migraciones, que dieronlugar a la colonización griega de las costas delMediterráneo y del Mar Negro. Como consecuencia,se fue desarrollando una cultura más abierta e indepen-diente que, con el desarrollo de la democracia comosistema político de algunas ciudades independientes,propició la aparición de una clase de ciudadanosabiertos al debate y al análisis, con una tremendacuriosidad por cuanto les rodeaba.

Los escépticos pensadores griegos de alrededor delsiglo VII a. de C. asumieron tácitamente que el serhumano podía llegar a comprender la Naturaleza pormedio de la penetrante luz de la razón, y se pusieron a

Fernando Bombal Gordón Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp), 2010; 104 63

Figura 2

ello. Y así surgen la Filosofía, las Matemáticas y laCiencia en sentido moderno del término.

Se suelen atribuir a Tales de Mileto (640-546 a. deC.), uno de los siete sabios de la antigüedad, la pater-nidad de las primeras demostraciones en Matemáticas.No se sabe mucho de su vida ni han quedado cons-tancia de sus escritos originales, pero sus biógrafoscoinciden en su insistencia en que los resultadosgeométricos, por intuitivos que parecieran, debíansometerse a un riguroso análisis lógico para ser acep-tados. La tradición atribuye a Tales la demostración,entre otros, de los siguientes resultados:

Un diámetro divide al círculo en dos partesiguales.

Los ángulos de un triángulo suman dos rectos.

Un ángulo inscrito en un semicírculo, es recto.

No conocemos las demostraciones originales deTales, pero, como las primeras de las que nos hallegado constancia, consistirían en tratar de hacer ver oponer en evidencia los resultados, de modo queadquirieran un carácter de certeza irrefutable. Porejemplo, algunas de las demostraciones de propie-dades aritméticas de los números naturales que nos hanllegado son las siguientes:

Recuérdese que m n representa la suma de mcolecciones de n elementos cada una, mientras quen m es la suma de n grupos de m elementos cada uno.El diagrama anterior (dibujado aquí para m 4 y n 3)muestra de modo irrefutable la conmutatividad delproducto de cualquier par de números naturales.

Del mismo modo el gráfico siguiente prueba, sinlugar a dudas, que la suma de dos números impares esun número par:

Pitágoras de Samos, nacido alrededor del 572 a.de C. fue uno de los mejores discípulos de Tales y fun-dador de la sociedad secreta de los Pitagóricos, dedi-cados a la búsqueda de la verdad. La constatación de laexistencia de relaciones matemáticas precisas enmuchos fenómenos naturales (Astronomía, música,etc.) hizo que la Filosofía pitagórica diera gran impor-tancia al estudio de los números naturales y sus rela-ciones, lo que les llevó a desarrollar una parte sus-tancial de la aritmética. La asunción de que todo objetoestaba formado por una colección de átomos indivi-duales e indivisibles (recuérdese la afirmación de quetodo es número) hace que, en particular, dos magni-tudes geométricas análogas sean siempre conmensu-rables, es decir, exista una unidad de medida comúnpara ambas. De este modo, las dos magnitudes están enla misma relación que los correspondientes múltiplosde la unidad de medida común. Estos argumentos per-mitían visualizar fácilmente los razonamientos


Tales de Mileto

Figura 3

Figura 4

geométricos, convirtiéndolos en muchos casos enproblemas aritméticos. De este modo, los pitagóricosformularon y desarrollaron una gran cantidad de resul-tados sobre la geometría del plano.

Pero hete aquí que a mediados del siglo V a. de C.tiene lugar un descubrimiento fundamental: ¡existensegmentos inconmensurables! (por ejemplo, el lado yla diagonal del cuadrado o el lado y la diagonal delpentágono regular).4 Por tanto, todos los resultadosbasados en la hipótesis de conmensurabilidad de seg-mentos deben ser puestos en duda. La geometría no esaritmética y los objetos matemáticos, no eran tansimples como se pensaba. A este cataclismo vino aunirse el producido por los distintos argumentos(paradojas) de Zenón de Elea (hacia 500 a. de C.)contra la pluralidad y el movimiento. A través de unaserie de brillantes experimentos mentales, Zenónmuestra la inconsistencia lógica del movimiento. Elpunto crucial de los argumentos de Zenón estriba en lautilización de procesos infinitos en sus razonamientos,lo que llevó a los matemáticos griegos a excluircualquier traza del infinito en sus matemáticas(incluyendo el concepto de límite), lo que supuso unafuerte limitación a su desarrollo y crecimiento.

Esta crisis de fundamentos hizo cuestionar laseguridad del método seguido hasta entonces en losrazonamientos matemáticos, lo que llevó a los pen-sadores griegos de la segunda mitad del siglo V a. deC. al establecimiento de un nuevo método: elaxiomático-deductivo, uno de cuyos ejemplos paradig-máticos es, precisamente, el tratado de Los Elementosde Euclides. Se trata de partir de una pocas asevera-ciones evidentes (o axiomas; en el caso de LosElementos se trata de 23 definiciones, 5 postulados y 5nociones comunes) y, utilizando exclusivamente lasleyes de la lógica deductiva (algunas recogidas en lasnociones comunes, aunque la mayoría están implícitasen Los Elementos5) ir obteniendo, a través de etapassimples, nuevos resultados que, a su vez, pueden serusados en los razonamientos posteriores, evitandoargumentos circulares. Esencialmente, éste siguesiendo el método que se utiliza en los escritos

matemáticos actuales, aunque los puntos de partidapueden estar muy alejados de las verdades evidentesiniciales de la teoría.

Pero incluso en los aparentemente sólidos Elemen-tos de Euclides se pueden encontrar construcciones noclaramente justificadas con la sola asunción de losaxiomas establecidos por el autor. Ya en la ProposiciónI.1 (¡la primera del libro!), en que se prueba que sobrecualquier segmento AB se puede construir untriángulo equilátero, aparece una dificultad. Lademostración discurre así: Se trazan circunferencias decentros en A y en B, de radio la longitud del segmento,y el punto de corte C es el otro vértice del triángulobuscado (véase figura 5).

Pero ¿por qué las dos circunferencias se cortan?Nada en las definiciones, los postulados o las nocionescomunes permite asegurarlo. Hace falta un nuevoaxioma de continuidad, como advirtió el gran D.Hilbert (1862-1943).

Otro ejemplo: supongamos cuatro puntos sobre larecta, A, B, C, D; supongamos que B se halle entre A yC y que C esté situado entre B y D (véase figura 6).Parece razonable deducir que, necesariamente, B está


4 A veces se atribuye el descubrimiento de los inconmensurables al pitagórico Hipaso de Metaponte. La leyenda dice que sus compañerosde hermandad, al percatarse de las consecuencias del descubrimiento, llevaron a Hipasos mar adentro y lo arrojaron por la borda para quemuriese.5 La primera recopilación de las leyes lógicas se encuentra en la obra de Aristóteles El Organon (“El útil”).

Figura 5

ente A y D, ¿no?. Pues, sorprendentemente, no esposible demostrar este resultado a partir de losaxiomas de Euclides (Este hecho fue detectado por M.Pasch nada menos que en 1882). La revisión crítica deLos Elementos fue llevada a cabo por Hilbert,alrededor de 1900, quien tuvo que elevar la lista de lospostulados hasta 20 para desarrollar correctamente laGeometría euclídea.

En todo caso, Euclides cometió a lo más un pecadode omisión, percibido solamente tras más de 2200 añosde evolución en las Matemáticas. Ninguna de las 465proposiciones contenidas en Los Elementos es falsa, loque contrasta con los textos de la misma época sobrecualquier otro aspecto de la Ciencia, llenos de erroresy falsedades desde el punto de vista actual.

Tras la edad de oro de los siglos IV y III antes deCristo, el desarrollo teórico de la matemática griegacomenzó a declinar. Arquímedes (287-212 a. de C.)significó la cúspide del pensamiento matemático de laantigüedad y hubieron de transcurrir más de 18 siglospara que la Matemática llegara a su altura.

3. EL RENACIMIENTO Y LA APARICIÓNDE LOS INDIVISIBLES

El colapso del Imperio Romano de Occidente en elsiglo V de nuestra Era llevó a Europa a un largoperíodo de oscuridad en el aspecto cultural y cien-tífico. La herencia cultural griega fue conservada enparte y finalmente transmitida a Europa a través delImperio Bizantino primero y, sobre todo, de losÁrabes, quienes la enriquecieron con la incorporación

de las ideas sobre aritmética y álgebra de las civiliza-ciones orientales, especialmente con la notación posi-cional y la introducción del 0. La asimilación yaceptación de la cultura griega y en particular del pen-samiento Aristotélico por parte de la Iglesia Católica apartir del siglo XIII, sentó las bases para elrenacimiento intelectual en la cultura Occidental.

A partir del siglo XIV, algunos filósofos (muchosde ellos pertenecientes al Merton College de Oxford)inician el estudio cuantitativo del movimiento, lo queimplica cuantificar la variación de magnitudes con-tinuas (las que son “infinitamente divisibles”, segúnAristóteles). En particular, comienzan a estudiar elmovimiento uniformemente acelerado6, esto es, aquelen el que la velocidad experimenta incrementosiguales en intervalos iguales de tiempo. Esta definiciónnecesita la noción de velocidad instantánea que, porsupuesto, se utilizaba de manera intuitiva y pocoprecisa, pero permitió obtener resultados correctos.

El parisino N. de Oresme (1323-1382) realizó unaaportación fundamental al introducir representacionesgráficas para estudiar el movimiento. Su idea fue re-presentar una magnitud variable (temperatura, velo-cidad, densidad, etc.) por medio de un segmento ver-tical cuya longitud en cada instante era (proporcionala) el valor de la cantidad. Esta técnica anticipa clara-mente la idea de dependencia funcional y repre-sentación gráfica.

Por ejemplo, representa la velocidad de un puntomóvil uniformemente acelerado en el intervalo detiempo construyendo sobre cada punto del


6 Algo completamente extraño al pensamiento griego, que sólo consideraba movimientos uniformes.

Figura 6

Figura 7

intervalo un segmento igual a la velocidad del móvilen ese punto (véase figura 7). La definición demovimiento uniformemente acelerado implica que losextremos de esas líneas estén alineados. Por definiciónde velocidad instantánea, cada línea vertical estambién el espacio recorrido en ese instante, luego elespacio total recorrido es la suma de esos indivisibles,es decir, el área del trapecio: (regla deMerton).

Por otro lado, la aparición de una nueva clase deartesanos libres despertó el interés en la búsqueda denuevos materiales y, en general, por el desarrollo de latecnología. Las exploraciones geográficas a través demiles de kilómetros de mar abierto demandabannuevos y más precisos métodos para determinar laposición; el incremento del comercio exigía nuevos ymás rápidos mecanismos de cálculo; la introducciónde la pólvora significó la aparición de nuevos proble-mas militares, como el movimiento y trayectoria de losproyectiles. Al mismo tiempo, el conocimiento deextrañas civilizaciones provocó un sentimiento deapertura en la cultura europea y la invención de laimprenta permitió la diseminación del conocimiento,hasta entonces controlado férreamente por la Iglesia.Todo, en fin, contribuyó a que la idea de la búsquedadel conocimiento y el desarrollo científico para domi-nar la Naturaleza se convirtiera en un rasgo dominantede la civilización Europea moderna, preparando elterreno a la revolución científica que tuvo lugar a partirdel siglo XVII.

La nueva mentalidad de los matemáticos delRenacimiento hace que estuvieran más interesados enla obtención de nuevos métodos y resultados que en elrigor de las pruebas. Este hecho, junto con la apariciónde una escritura simbólica adecuada, facilitó el desa-rrollo de técnicas formales de cálculo y de los métodosinfinitesimales.

Así, J. Kepler (1571-1630) utilizó razonamientosde este tipo para tratar de demostrar sus leyes delmovimiento planetario. Más significativo para el temafue la publicación en 1615 de su obra sobre la determi-nación exacta de los volúmenes de barricas de vino(muy importante para el comercio de la época). Enella, se considera un cuerpo sólido como unión de unacantidad infinita de piezas sólidas infinitesimales oindivisibles, de forma y tamaño conveniente para

resolver el problema estudiado. Por ejemplo, considerala esfera de radio R compuesta por una infinidad depirámides de vértice en el centro y base en la superficiede la esfera, todas ellas de altura R. Como el volumende una pirámide es un tercio del área de su base por laaltura, al sumar todos los indivisibles se obtiene que elvolumen de la esfera es , con A superficiede la esfera ( ). Con este tipo de técnicas,Kepler determina los volúmenes de más de 90 sólidosde revolución.

El uso sistemático de las técnicas de indivisibles sepopularizó sobre todo por la obra del alumno deGalileo B. Cavalieri (1598-1647). A diferencia deKepler, Cavalieri consideraba las figuras geométricasformadas por indivisibles de dimensión menor. Así, lasáreas estaban formadas por infinitos segmentos para-lelos a una recta fija o regula (como en el caso deOresme); los volúmenes estaban constituidos porinfinitos trozos de áreas planas equidistantes, etc.Cavalieri procedía después a establecer una biyecciónentre los indivisibles de dos figuras geométricas dadas,de modo que si entre los indivisibles correspondientesexistía una cierta relación constante, se podía concluirque la misma relación existía entre las magnitudes delas figuras en cuestión. En general, la medida de unade las figuras era conocida y así se podía calcular la dela otra. En particular, resulta inmediatamente lo quetodavía hoy se conoce hoy como Principio deCavalieri:

Si dos sólidos tienen la misma altura y si las sec-ciones por planos paralelos a las bases a la misma dis-tancia de ellas tienen áreas en una razón dada, entonceslos volúmenes de los sólidos están en la misma razón.


3V AR24 R

Figura 8

Por ejemplo si comparamos un cono circular C conbase de radio r y altura h con una pirámide P de lamisma altura y de base cuadrada, de lado 1, y conside-ramos una sección por un plano paralelo a la base, adistancia x de los vértices, un simple argumento desemejanza de triángulos nos permite obtener las fór-mulas paras las áreas correspondientes Cx y Px:

Es decir, .Por tanto, según elPrincipio de Cavalieri,

El mismo Cavalieri y, por supuesto, sus contem-poráneos, eran conscientes de la falta de rigor delmétodo de los indivisibles. Para Cavalieri, los espec-taculares resultados obtenidos bastaban para justificarel método, mientras que el sentido común era sufi-ciente para evitar las falacias como las siguientes:

Consideremos en primer lugar dos círculos concén-tricos, de modo que el mayor C tenga un radio K dobleque el menor, c. Si consideramos como indivisibles deC la colección de sus radios, y hacemos lo mismo conc, de acuerdo con el método de los indivisibles el áreade C debería ser el doble del área de c, pues es esta larelación entre sus indivisibles. ¡Sin embargo, sabemosque el área de C es 4 veces el área de c!

Como segundo ejemplo, consideremos un triángulocuya altura h lo divide en dos triángulos rectángulosdesiguales, A y B. Consideremos A como la suma desus líneas paralelas a h, y lo mismo B. Como semuestra en la figura, a cada indivisible de A le corres-ponde un único indivisible de B de la misma longitud,

y recíprocamente. Siendo los indivisibles correspondi-entes iguales, su suma debería serlo también y, portanto, ¡A y B tendrían la misma área!

Al fin y al cabo, como escribió más tarde Cavalieri,El rigor es asunto de los filósofos, más que de losmatemáticos (¡!)

La aplicación de los métodos de los indivisibles alestudio del movimiento proporciona claras evidenciasde las relaciones entre los problemas de determinaciónde la tangente a una curva y la del área encerrada bajoella. Por ejemplo, la representación del espacio reco-rrido por un punto en el plano en función del tiempo(Figura 10), permite visualizar la noción de velocidadinstantánea en un instante e identificarla con la pen-diente de la tangente a la curva en el punto .En efecto, la velocidad media entre y (e.d.,aquella con la se movería el punto para recorrer elmismo espacio, si fuera a velocidad uniforme) es

, y, según se ve en la figura, es pre-cisamente la pendiente de la secante que une los dospuntos de la cuerva en cuestión. Si el intervalo detiempo considerado se hace “infinitesimal”, la secantese confundirá con la tangente y la velocidad media conla que, intuitivamente, debería considerarse velocidadinstantánea del punto en .

Por otro lado, si representamos ahora la gráfica dela velocidad del punto en función del tiempo (Figura11), el argumento de Oresmes sigue siendo válido:

es, por definición de velocidad instantánea, elespacio recorrido por el móvil en un elemento infini-tesimal de tiempo. La suma de estos indivisibles entre


Figura 10

0t0t 0t t

0t

0t

Figura 9

0 y es, por tanto, el área bajo la curva y coincide conel espacio recorrido por el punto hasta el instante .

Estos resultados, implícitamente aceptados desdelos tiempos de Oresme, adquieren confirmación“matemática”, y como tal se explicitan en El Discursode Galileo (1638), y son formulaciones embrionariasdel Teorema Fundamental del Cálculo7.

4. LOS INFINITÉSIMOS Y ELDESARROLLO DEL CÁLCULO

Poco a poco los métodos geométricos para expresaruna magnitud como “suma de indivisibles” se van con-virtiendo en técnicas aritméticas para la sumación deseries infinitas. A este cambio de mentalidad con-tribuyeron no poco los trabajos de R. Descartes y P.Fermat que sentaron las bases de la GeometríaAnalítica, cuyo objetivo era la aplicación de losmétodos del álgebra a la resolución de problemasgeométricos. El proceso de aritmetización de los indi-visibles culmina con la obra de J. Wallis (1616-1703),quien en su Arithmetica infinitorum abandona elmarco geométrico y asigna valores numéricos a losindivisibles y los somete a manipulaciones aritméticasformales8

Y así, a lo largo de este proceso de aritmetización,los indivisibles geométricos van dando paso a unnuevo ente, el infinitésimo. Se trata de un objeto idealcon propiedades asombrosas: Se puede operar con élcomo si fuera un número; aunque no es 0, es menor envalor absoluto que cualquier cantidad positiva, y lomismo sucede con cualquiera de sus múltiplos; sinembargo, una cantidad infinita de estos elementos,puede ocasionar un efecto o magnitud finita. A lo largodel siglo XVII estos objetos infinitesimales se vanintroduciendo como elementos auxiliares de cálculopara, tras una manipulación formal, hacerlos desa-parecer igualándolos a 0.

Pero es en manos de Isaac Newton (1642-1727) yde Gottfried W. Leibniz (1646-1716) cuando estastécnicas alcanzan su madurez, hasta convertirse en unanueva y potente rama de las matemáticas: el Cálculo,que iba a ser la herramienta fundamental para llevar acabo el programa de Galileo de matematización de laNaturaleza. Los métodos utilizados por Newton yLeibniz no difieren esencialmente de los empleadospor sus predecesores. Pero lo que en Fermat, Descarteso Roverbal eran una serie de reglas particulares pararesolver unos problemas concretos, se transforma enmanos de Newton y Leibniz en un método muygeneral para la determinación de tangentes y cuadra-turas, junto con el desarrollo de algoritmos formalespara el cálculo con magnitudes infinitesimales.


Figura 11

0t0t

7 I. Barrow, en la Lección X de sus Lectiones Geometricae (1670), enuncia y demuestra un teorema geométrico, independiente de cualquierinterpretación física, que muestra claramente la relación inversa que existe entre el cálculo de tangentes y el de cuadraturas. Véase, p. ej., [Ed;págs. 138-140].8 Es aquí donde aparece por primera vez el signo para denotar el infinito.

Figura 12

Así, por ejemplo, para el cálculo del área entre el eje de abscisas y la curva hasta elpunto de abscisa x Newton calcula primero suvelocidad de cambio, esto es, la razón

de la variación del área entre dospuntos infinitamente próximos y x la variación(infinitesimal) de la abscisa. Es decir, la altura del“rectángulo” infinitesimal limitado por la curva

y el eje de abscisas entre los puntos y xque se confunde con la ordenada y (véase figura 12).De esta forma Newton establece explícitamente elTeorema Fundamental del Cálculo

Aunque, como sabemos, esta relación era conocidaen casos particulares (relación velocidad-espaciorecorrido, etc.), lo importante es que Newton “da lavuelta” a esta fórmula, lo que le permite obtener unprocedimiento algorítmico de cálculo de áreas (si seposee un algoritmo para el cálculo de derivadas, claro).Esta idea de considerar el cálculo de áreas (la“integral”) como el proceso inverso a la derivación vaa imponerse hasta el primer tercio del siglo XIX.

Para el cálculo de derivadas Newton emplea sis-temáticamente los infinitésimos. Por ejemplo, si

entonces, utilizando su fórmula del binomio, resulta

Por tanto,

Dividiendo por o e igualando a 0 todos los términosque contenga el infinitésimo o, resulta que, en estecaso, , lo que permite a Newton calcular elárea bajo todas las curvas de la forma . En elopúsculo De Analysi per Aequationes numero termi-norum infinitas (1669), Newton establece 3 reglas parael cálculo del área bajo la curva :

1. Si , se aplica la fórmula ya obteni-da.

2. Si es una suma finita de términos del tipoanterior, el área es la suma de las áreas limitadapor cada uno de los términos (linealidad de laintegración).

3. Finalmente, en el caso general se desarrollaen serie de potencias y se integra término

a término.

Ante las dificultades para la fundamentación rigu-rosa del cálculo con infinitésimos, Newton destaca quelo que realmente importa es la razón de cantidadesinfinitesimales, que puede ser finita independiente-mente de la naturaleza de los factores. Este método de

x o

x o


Isaac Newton Gottfried W.Leibniz

m ndA axdx m ny ax

últimas razones de cantidades evanescentes está muycerca de la noción actual de límite de un cocienteincremental, pero los problemas de cálculo práctico y,sobre todo, su aplicación a magnitudes que depende dedos o más variables, hizo que pronto fuera sustituidopor el método de las fluxiones, de clara inspiraciónfísica: Para ello, Newton considera que las cantidadesvariables a estudiar están generadas por el movimien-to continuo de puntos, líneas y planos. Por ejemplo, lacurva plana se considera como el lugar geo-métrico de los puntos de intersección de dos rectasmóviles, una horizontal y otra vertical.

De este modo, las coordenadas x e y de cada puntoque describe la curva son funciones del tiempo, y lagráfica de la curva es composición de un movimientohorizontal con velocidad instantánea y un movi-miento vertical con velocidad instantánea (nocionesque Newton no define y considera intuitivamente evi-dentes por razones físicas). Por la regla del paralelo-gramo, la pendiente de la tangente a la curva (que coin-cide con la “velocidad de cambio” de la ordenada yrespecto a la abscisa x) es

Las cantidades x e y que varían con el flujo del tiempofueron llamadas por Newton fluentes y su velocidad decambio, sus fluxiones. A su vez, las fluxiones puedenconsiderarse como fluentes, con fluxiones , etc.

Newton plantea inmediatamente el problema fun-damental: dada una relación entre cantidades varia-bles, encontrar la relación entre sus fluxiones, y recí-procamente. Este último caso comprende tanto el pro-blema del cálculo de primitivas (en el caso de una rela-ción simple , como el de la resolución deuna ecuación diferencial general .Newton se embarca en una serie de cálculos que le per-miten obtener las reglas generales de derivación depolinomios, productos y cocientes y, combinándolascon el uso de series infinitas, obtener un algoritmo sis-temático para abordar estos problemas (véase [Ed;págs. 191-230]).

Veamos con un ejemplo como aborda Newton elproblema de determinar la relación entre las fluxiones.Supongamos que . Newtonaduce que durante un tiempo infinitesimal o el espaciorecorrido por las fluentes x e y es proporcional a susvelocidades, como si el movimiento fuera uniforme.Por tanto, al cabo del tiempo o, el punto x se habrámovido al y el y al y como el punto finalha de estar sobre la curva, resulta

Desarrollando por la fórmula del binomio:

Usando que , dividiendo por o y, final-mente, suprimiendo los términos que contengan o,resulta:

de donde se obtiene fácilmente .

Junto con las fluxiones, la otra herramienta utiliza-da sistemáticamente por Newton fue el uso de seriesinfinitas de funciones (fundamentalmente, series depotencias), tratadas formalmente como “polinomios degrado infinito”, derivándolas o integrándolas término atérmino sin ningún reparo.

El otro creador del Cálculo, G. Leibniz, tiene unatrayectoria vital completamente diferente a la deNewton. Hombre de mundo, con amplia formación en

0,n mnm

mynx a x yx y&&

.y dyx dx&&


x&y&

x&& y&&

x xo& y yo&

0n mnma x y

y x& &

Figura 13

derecho y filosofía y diplomático profesional es tam-bién uno de los genios más versátiles de todos lostiempos, con contribuciones fundamentales a la filoso-fía, matemáticas e ingeniería. Inventor de una de lasprimeras máquinas de calcular y pionero en la búsque-da de un sistema de notación y terminología que codi-ficara el razonamiento lógico, no es extraño que se sin-tiera atraído por las matemáticas y la búsqueda de unsistema general de cálculo.

El filósofo Leibniz tuvo muchos menos reparos for-males en el uso de los infinitésimos que el físicoNewton. Leibniz no quería hacer un misterio de losinfinitésimos ni apelaba a ninguna intuición geométri-ca para justificarlos. Simplemente, los usaba9. Con sumente lógica pensaba que, independientemente de lanaturaleza de los objetos, si se especificaban claramen-te las reglas de uso y éstas se aplicaban correctamente,el resultado también lo sería.

Para Leibniz, las curvas se consideran formadas poruna infinidad de segmentos rectilíneos infinitesimales,coincidentes cada uno con un segmento de una tangen-te a la curva. La aproximación de Leibniz al cálculo sebasa en el análisis de las diferencias infinitesimales deuna cantidad variable (de ahí el nombre de CálculoDiferencial). La diferencia de dos valores sucesivos dex es la diferencial dx y lo mismo para dy. Se suponeque las cantidades dx y dy son no nulas, pero despre-ciables con respecto a los valores de las variables x e y.Análogamente, se supone que un producto de diferen-ciales, como o es despreciable frente adx y dy. Hay una sucesión infinita de diferenciales dxo dy asociadas a una curva (la sucesión de diferenciasde la sucesión de abscisas u ordenadas de la curva).Esta sucesión de diferencias tiene a su vez una suce-sión de diferencias, cuyos elementos son las diferen-ciales de segundo orden , etc. Con estossupuestos se pueden obtener sin problemas las fórmu-las de diferenciación usuales.

Según declaró Leibniz en alguna ocasión, su inspi-ración se originó en un trabajo de Pascal para el cálcu-lo del área de un hemisferio, en el que aparecía unafigura (el “triángulo diferencial”). Leibniz se percatóque esta figura se podía reproducir en cualquier curva,

de modo que la determinación de la pendiente de latangente en un punto depende de la razón de las dife-rencias de la ordenada y la abscisa cuando éstas sehacen infinitesimales, y la cuadratura depende de lasuma de rectángulos infinitamente pequeños, siendoestas operaciones mutuamente inversas.

Así, de la figura 14 resulta (por semejanza de trián-gulos) que la razón de la diferencial de la ordenada dya la de la abscisa dx es la misma que la de la ordenaday a la subtangente s (y, por tanto, ¡una cantidad finitasiempre!).También resulta que el segmento infinitesi-mal de la curva ds es la hipotenusa del triángulo dife-rencial, luego

lo que inmediatamente proporciona la longitud de lacurva como suma de la de los segmentos infinitesima-les que la forman:

Cuando el segmento ds gira alrededor del eje x en uncírculo de radio y, genera un área infinitesimal

2

2 2 1 .dydA y ds y dxdx


9 En una carta escrita dos meses antes de su muerte, Leibniz manifestaba que no creía que existieran magnitudes realmente infinitas o infin-itesimales. Pero, tanto si existen como si no, estos conceptos son ficciones útiles para abreviar y utilizar un lenguaje universal.

Figura 14

Sumando estas áreas infinitesimales obtenemos el áreade la superficie

Estos ejemplos ponen de manifiesto una de lasgrandes ventajas del cálculo de Leibniz: su notación(que es esencialmente la que utilizamos hoy en día) yla facilidad de manipulación formal con los símbolospara obtener resultados correctos.

Desde el punto de vista conceptual el método deNewton toma como elemento central del cálculo lanoción de derivada, como razón de fluxiones (muchomás próximo a la noción moderna de límite) en lugarde considerar separadamente las diferenciales dx y dy.Una segunda derivada es, simplemente, una fluxión deuna fluxión, y cada fluxión necesita sólo considerarinfinitesimales de primer orden, por lo que Newton nonecesita la jerarquía de infinitesimos de Leibniz.También hay diferencias en la concepción de la inte-gral: Para Newton es simplemente una fluente a deter-minar, conocida su fluxión. Para Leibniz, la integral esuna suma de infinitésimo. Por supuesto, ambos calcu-lan finalmente la integral por antiderivación, ya queesa es una característica común en ambos métodos.Finalmente, Leibniz presta un interés relativo a la teo-ría de series de funciones, mientras que para Newtones herramienta fundamental de su cálculo.

Por lo demás, los resultados a los que se llega sonsimilares.

El éxito del Cálculo, tanto en Matemáticas como ensu aplicación a la descripción de la Naturaleza, fueespectacular, y el uso de los infinitésimos se populari-zó a lo largo del siglo XVIII.. Probablemente el máshábiles manipulador de estos entes (junto con su inver-sos, los números infinitamente grandes) fue el genial yprolífico Leonhard Euler (1707-1783), uno de losmatemáticos más innovadores de la historia.

Por su formación y estrecha relación con losBernouilli, la concepción de Euler del cálculo está más

próxima a la de Leibniz que a la de Newton, haciendohincapié en el carácter formal de los símbolos que seusan en el mismo, con hábiles extrapolaciones forma-les de lo finito a lo infinito. Desde un punto de vistaactual, sorprende a veces la audacia y confianza deEuler en las manipulaciones formales, muy lejos denuestra presente concepción de rigor, pero que le per-mite obtener resultados espectaculares. Por ejemplo,veamos cómo resuelve Euler el famoso Problema deBasilea, es decir, el cálculo de la suma10

Euler comenzó a trabajar sobre el tema en 1730,obteniendo una aproximación del valor de la suma conseis decimales exactos. Cuando en 1734 anunció quehabía resuelto el problema, se convirtió de repente enuno de los matemáticos más reputados de su época. Eltrabajo (uno de los más famosos de Euler) fue presen-tado en la Academia de San Petersburgo en 1735, aun-que no apareció publicado hasta 1740, con el título Desummis serierum reciprocarum. Y, como es habitual enEuler, contiene hasta tres demostraciones de la solu-

21

1n n


10 El nombre dado al problema se debe a que Jakob Bernouilli dedicó en Basilea muchos esfuerzos a tratar de resolverlo (de hecho, demostróla convergencia de la serie y que la suma era menor o igual que 2)

Figura 15

ción y muchos otros resultados. Su argumento se basaen una extrapolación formal de las propiedades de lospolinomios a las series infinitas. Concretamente, si

es un polinomio de grado n con término inde-pendiente y con raíces , entonces Padmite la factorización

Realizando las operaciones e identificando coefi-cientes, resulta que

y, en general, es la suma de los inversos de todoslos productos de k raíces distintas. Por otro lado, des-arrollando las potencias

es fácil ver, por inducción, que si , setiene

Y ahora se produce el salto al infinito: ¡Euler con-sidera las series infinitas como polinomios de gradoinfinito, y aplica sin reparos las fórmulas obtenidasanteriormente a las series! En particular, en su tercerademostración del resultado, Euler aplica su método ala función , para ; , cuyodesarrollo en serie (bien conocido) es

y cuyos ceros son , 2 , 3 ,.... Entonces

Es decir,

¡El problema de Basilea ha sido resuelto! Pero Eulerno se detiene aquí. Siguiendo el mismo argumentoobtiene los valores de

para 1 k 6.

Varios de los colegas de Euler (entre ellos Daniel yNicolás Bernouilli) presentaron diversas objeciones asu demostración: por ejemplo, la función sen x podíatener otras raíces complejas, además de las reales con-sideradas por Euler. Más importante era la necesidadde justificar que las fórmulas de Newton para polino-mios fueran válidas para series. Más aún, mientras queun polinomio queda caracterizado por sus raíces, esono es cierto para otras funciones. Por ejemplo, y tienen los mismos ceros reales, pero clara-mente no pueden tener el mismo desarrollo en serie depotencias. El mismo Euler era consciente de estas difi-cultades, pero el hecho de que su método condujeratambién a resultados conocidos y que los cálculosnuméricos los avalaran en otros casos le persuadieronde su validez.

Y esto nos lleva a la idea de demostración que teníaEuler: En esta época, más que una verdad matemáticaincontestable, se trataba de exponer una prediccióncon altas dosis de fiabilidad, corroborada con la com-probación de una serie de casos particulares del enun-ciado y combinada con el uso constante de ejemplosnuméricos concretos que suministran una mayor evi-dencia de la certeza de lo afirmado. Por ello, no esextraño que los matemáticos de la época se enzarcenen animadas polémicas sobre la aceptabilidad de deter-minados resultados. Y, desgraciadamente, la utiliza-ción incontrolada de los infinitésimos y los automatis-mos formales era una fuente constante de paradojas ycontradicciones que producía un sin fin de controver-sias y una creciente sensación de inseguridad. Porejemplo, Johann Bernouilli sostenía que

, ya que . Por el contrario, Leibniz sostenía que

los logaritmos de los números negativos eran imagina-rios, basándose en ciertas manipulaciones con seriesdivergentes11. No menos problemas surgían de la utili-

2

21

1 .6n n

2 31 1 2 1 2 3 1 1 2, 2 , 3 , etc.S S S


0x

21

1k

n n

sen x xxe sen x x

11 Fue Euler quien obtuvo la solución correcta, vía las llamadas fórmulas de Euler en [Eu]. En la introducción, hace referencia a la contro-versia y anuncia su intención de eliminar las contradicciones “para que pueda verse lo difícil que es descubrir la verdad y defenderse contrala inconsistencia, incluso cuando dos grandes hombres abordan el problema...” (Obviamente, se refiere a J. Bernouilli y G. Leibniz).

2log 2logn n

1,... na a

k

11n

k kjj

Sa

zación automática de la antiderivación para calcularáreas o integrales definidas. Por ejemplo, una vezconocido el valor de , se tiene

¿Cómo se explica que la suma de infinitésimos realespueda originar infinitos valores, todos ellos imagi-

narios? El mismo tipo de contradicción había sidopuesto de manifiesto por J. d’Alembert (1717-1783)al obtener en 1768

Es decir, ¡un número negativo como suma de infinité-simos positivos!

5. LA BÚSQUEDA DEL RIGOR

Desde sus mismos inicios, las inconsistenciaslógicas de los infinitésimos fueron objeto de críticas.Una de las más demoledoras se debe al obispo irlandésG. Berkeley (1685-1753), en su ensayo The Analyst12

(1734), en el que acusa a los seguidores de Newton yLeibniz de utilizar métodos que no comprenden,basados en inconsistencias lógicas y conceptosambiguos, aunque reconoce que los resultadosobtenidos pueden ser correctos, como consecuencia deuna cierta “compensación de errores”. Curiosamente,esta explicación se iba a repetir posteriormente porquienes intentaron encontrar una base sólida para lafundamentación del Cálculo, incluyendo a personajesde la talla de Maclaurin, Lagrange o L. Carnot.

Lo cierto es que, a comienzos del siglo XIX, se hizoinevitable una revisión crítica profunda del Cálculo. Yuno de sus principales impulsores fue A. L. Cauchy(1789-1857), profesor de la Ècole Polytechnique deParís. En su famoso Cours d’analyse (1821) construyetodo el edificio del Análisis sobre la noción de límite.A continuación, Cauchy define un infinitésimo comouna variable con límite cero y, de este modo, evitatodas las confusiones y controversias que resultan deconsiderar los infinitésimos como cantidades cons-tantes menores que cualquier número positivo. Sobre

este concepto, Cauchy desarrolla los contenidosbásicos de la Teoría de Funciones. Toma como nociónprimordial del cálculo diferencial la de derivada,definida como límite del cociente de incrementos, yconstruye de forma rigurosa todo el cálculo. Tambiénse plantea la necesidad de demostrar la existencia de laintegral definida, entendida como área del recinto deordenadas de la función a integrar, y lo consigue almenos para funciones continuas. En fin, este procesode rigorización iba a continuar a lo largo de todo elsiglo XIX, culminando con los trabajos de K.Weierstrass (1815-1897) y su escuela, que establecenla definición de límite en los términos - tan habitualen los textos actuales y que permite construir todo elCálculo en términos de las propiedades del sistema denúmeros reales13, sin ninguna mención a los infini-tésimos.

A lo largo de este proceso de fundamentación, lapropia noción de rigor va cambiando. El consensosobre lo que es un paso obvio o trivial dependetambién del contexto histórico y cultural. Así, el propioCauchy enuncia como evidente el criterio que lleva sunombre para asegurar la convergencia de una sucesiónde números reales. Este criterio es equivalente a laasunción de que todo conjunto no vacío de númerosreales acotado superiormente, tiene supremo (es decir,una cota superior mínima). Sin embargo, estas son laspropiedades que, tomadas como axiomas, están en la


12 Puede consultarse una traducción al castellano en [Nw; págs. 214-219].13 R. Dedekind y G. Cantor publicaron en 1872 sendas construcciones rigurosas de los números reales.

dxx

A. L. Cauchy

base de las construcciones rigurosas de los númerosreales de Cantor y Dedekind, respectivamente. Otroejemplo: el hecho de que una función (real de variablereal) continua en un intervalo cerrado que toma valoresde signos opuestos en los extremos del intervalo, debeanularse en algún punto del interior, era una propiedadevidente (de hecho, equivalente a la continuidad)14

para gran parte de los matemáticos del siglo XIX. Elprimero que se planteó la necesidad de demostrar estehecho fue un desconocido monje checo, B. Bolzano(1781-1848) en un artículo publicado en Praga en 1817y que pasó inadvertido durante muchos años. Y paraello tuvo que asumir la propiedad del supremo denúmeros reales que hemos citado anteriormente.

Durante gran parte del siglo XIX continúa vigentela noción de demostración del siglo XVIII. Cauchyenuncia (y demuestra) en su Cours d’Analyse que lasuma de una serie convergente de funciones continuas,define una función continua. Cuando en 1826 el jovenN. Abel (1802-1829) encuentra un contraejemplo aeste enunciado, sólo indica en la introducción que “Elresultado de M. Cauchy parece que admite algunaexcepción...” Y este hecho se repite con asiduidad. Elfamoso matemático francés L. Schwartz (1915-2002)cita en su autobiografía ([Sch] el siguiente comentariode su amigo A. Weil (1906-1998) sobre la escuelaitaliana de geometría algebraica: “Para ellos resulta

un complemento interesante proponer, a continuaciónde un teorema, un contraejemplo al mismo.”

Este tipo de situaciones provoca a lo largo del sigloXIX un proceso continuado en busca de una funda-mentación rigurosa del análisis y, en general, de toda lamatemática.

Por un lado, cada vez con mayor frecuencia, téc-nicas y resultados de una cierta “parcela” de lasmatemáticas, se mostraban útiles en otra “parcela”. Deesta forma, fue poniéndose en evidencia que lo rele-vante no era la naturaleza de los objetos estudiados,sino las relaciones entre ellos. Así van surgiendo, nosin dificultad, las primeras estructuras algebraicas(grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales), quepermiten agrupar bajo una misma denominación con-juntos formados por elementos de naturaleza muy dis-tinta, pero que gozan de una serie de relaciones ypropiedades comunes. Estas nociones permiten tam-bién explicar las grandes semejanzas advertidas entreteorías aparentemente muy distintas.

Por otro lado, la falta de seguridad en un edificiocada vez mas grande e inabarcable, junto con laaparición de nuevas teorías, como las Geometrías noeuclídeas hizo que los matemáticos sintieran lanecesidad de establecer claramente las propiedades delos objetos a estudiar y las reglas de juego en cadacaso, para evitar posibles contradicciones. Esto es,retornar al viejo método utilizado por los maestrosgriegos para el desarrollo de la geometría euclídea: elmétodo axiomático.

El método axiomático y la organización en tér-minos de estructuras matemáticas ciertamente per-miten al matemático una considerable economía depensamiento y una gran sensación de seguridad, alsentirse dentro de unos límites bien establecidos, y esel que se sigue utilizando para exponer y presentar lasmatemáticas actualmente.

En cuanto a la fundamentación última, durantealgún tiempo se pensó que la lógica y la teoría de con-juntos iban a proporcionar una sólida base sobre la que


14 Existen funciones no continuas que tienen la “propiedad de los valores intermedios”, es decir, si toman dos valores, toman todos los valo-res intermedios entre ellos.

K. Weierstrass

construir todo el edificio de las matemáticas. Pero lasnumerosas antinomias y paradojas que surgieron moti-varon que también aquí se optara por restringir lanoción de conjunto y se axiomatizara la teoría. Lasaxiomáticas habituales, como la de Zermelo-Fraenkel, resultaban adecuadas para el desarrollo delas matemáticas usuales y evitaban las paradojas cono-cidas. Pero tenían un defecto: su consistencia (es decir,ausencia de contradicción) no había sido demostrada15

Esta situación era claramente insatisfactoria. Y porello, uno de los mejores matemáticos de la época, D.Hilbert (1862-1943), que ya había abordado elproblema de la consistencia de la geometría, propusoun programa para dar una demostración de la consis-tencia de la matemática por métodos puramente fini-tistas. En sus propias palabras:

Mis investigaciones acerca de los nuevos funda-mentos de las matemáticas tienen como propósitoeliminar de manera definitiva cualquier duda enrelación a la confiabilidd de la inferenciamatemática [...] Una solución completa de estas difi-cultades requiere una teoría cuyo objeto de estudiosea la demostración matemática misma... ([Hi].

Para ello, Hilbert propone la formalización com-pleta del sistema estudiado. Ello requiere, en primerlugar, explicitar el listado o vocabulario completo de

signos que se va a emplear, junto con las reglas de for-mación de las expresiones válidas. A continuación, hayque especificar las reglas de transformación para pasarde una fórmula válida a otra. Finalmente, paracomenzar la tarea, se seleccionan algunas expresionesválidas como axiomas. A partir de aquí, lo que pre-tende Hilbert es desarrollar una teoría de las propie-dades combinatorias del lenguaje formal que permitahacer afirmaciones sobre una expresión determinadadel sistema. Esta teoría la llamó Hilbert Metama-temática. Sus enunciados son pues afirmaciones sobrelos signos del sistema formal y su disposición. Lademostración de la consistencia de un sistema formaldado consistiría en probar, por enunciados meta-matemáticos finitistas, que nunca puede obtenerse enel sistema una fórmula y su negación.

Hacia 1930 el Programa de Hilbert parecía bienencaminado, gracias a los esfuerzos del propio Hilberty algunos de sus estudiantes. En particular, se habíapodido demostrar la consistencia absoluta para elsistema de la aritmética de los números naturales conla adición (aunque no con la multiplicación).

Sin embargo, el año siguiente, un joven docente enla Universidad de Viena, K. Gödel (1906-1978)acababa con la esperanza de Hilbert. En un artículoque lleva el expresivo título de “Sobre proposiciones


D. Hilbert

15 Como agudamente observó Poincaré, “hemos puesto una cerca para proteger al rebaño de los lobos, pero no sabemos si hemos dejadoalgunos lobos dentro de la cerca.”

K. Gödel

formalmente indecidibles de Principia Mathematica ysistemas afines, I” ([Gö]) Gödel prueba que todosistema formal (en el sentido del programa de Hilbert)consistente y que contenga a la aritmética, es necesa-riamente incompleto, es decir, contiene enunciadoslegítimos del sistema que son indecidibles, esto es, nisu afirmación ni su negación son demostrables en elsistema. ¡Y uno de esos enunciados es, precisamente,el que afirma la consistencia del sistema! Esto supone,por tanto, la imposibilidad de llevar a cabo con éxito elPrograma de Hilbert y una limitación fundamental delmétodo axiomático mismo que, desde su invención porlos griegos, había sido considerado como la máspotente herramienta descubierta para alcanzar laverdad.

Todo ello ha provocado una cierta sensación dedesconcierto entre los matemáticos, al tener querenunciar al carácter de irrefutable del que gozaba suCiencia. Veamos algunos testimonios de esta actitud:

...Los esfuerzos para conseguir el rigor más extremohan conducido a un callejón sin salida, en el que ya noexiste acuerdo sobre lo que éste significa. Lasmatemáticas continúan vivas y vitales, pero sólo sobreuna base pragmática. ([Kl])

...Una demostración en matemáticas no es más queuna comprobación de los productos de nuestra intuición.Obviamente, no poseemos, y probablemente nunca ten-dremos, un estándar de demostración que sea indepen-diente del tiempo, de lo que queramos probar o de lapersona o escuela de pensamiento que lo emplee… Losensato parece que es admitir que no existe tal cosacomo la verdad absoluta en matemáticas [...] Nuestraintuición sugiere ciertos resultados [...] que compro-bamos por lo que llamamos una demostración. ([Wi])

Si quiere usted que las matemáticas tengan sentido,ha de abandonar usted la certeza. Si quiere ustedcerteza, elimine el significado. (El alumno Kapa en [La])

6. CONCLUSIÓN

Hace unos 200 años los matemáticos más rele-vantes podían comprender prácticamente todas lasmatemáticas que se producían y tener una perspectiva

bastante global de los problemas más importantes enlas distintas áreas. Hoy en día, esto es imposible. Ya en1976, fecha de publicación de su autobiografía Adven-tures of a Mathematician, el matemático StanislawUlam estimaba en 200.000 el número de teoremasnuevos publicados cada año, y concluía:

Por este motivo está resultando cada vez más difícilenjuiciar el valor de la investigación matemática, y casitodos nosotros nos estamos convirtiendo básicamente entécnicos. [...] En realidad, es imposible mantenerse altanto ni siquiera de los resultados más destacados yapasionantes.

Difícilmente un investigador domina las técnicas yconoce los trabajos más recientes de más de dos o tresáreas de investigación en Matemáticas. ¿Cómo sepuede entonces saber qué problemas son importantes yque líneas de trabajos son más relevantes? Esta pre-gunta no parece tener una respuesta satisfactoria anivel global y de ahí la diversidad de políticas de lasdistintas instituciones que financian la investigación.Por supuesto que a nivel de superespecialización, los“especialistas” podrían ponerse más o menos deacuerdo para señalar algunas directrices relevantes ensu especialidad, aunque muchas veces se sigue lamáxima de que “los problemas importantes sonaquellos que estudian los investigadores importantes.”

Pero, además, es imposible que el matemático, ensu trabajo cotidiano, compruebe todos y cada uno delos resultados previos en los que debe apoyarse parallevar a cabo su demostración16. Más aún, aunqueparece cierto que, dado un sistema formal, la lógica deprimer orden debe conducir a resultados correctos, lamatemática real, la que hacen los matemáticos habi-tualmente, jamás se escribe en lenguaje formalizado.

Por todo ello, la noción de demostración correctaen Matemáticas desde la segunda mitad del siglo XXtiene una dimensión colectiva. En último término, laaceptación de un resultado como correcto se establecepor consenso entre los cualificados. Cuando surgendiferencias de opinión entre los expertos, las dudas seresuelven por la comunicación y la explicación, nuncapor la transcripción de la demostración al cálculo depredicados de primer orden.


16 Por ejemplo la clasificación de los grupos finitos simples se completó en 1985. El resultado final es consecuencia de más de 500 artículos,debidos a diversos autores, y su demostración completa ocupa unas 15.000 páginas. Véase [Go].

Por ejemplo, durante la verificación de la demos-tración de A. Wiles del Último Teorema de Fermat, sereconoció explícitamente en varias ocasiones que laconfianza depositada en las opiniones de los revisoresera al menos tan importante como el rigor empleado ensus comprobaciones.

Como señalan P. Davis y R. Hersh,Los matemáticos de todos los campos se apoyan

unos en el trabajo de otros; la confianza mutua que lespermite hacerlo reside en el sistema social del queforman parte. No se limitan a utilizar resultados quesean capaces de demostrar por sí mismos a partir deprimeros principios. Cuando un teorema ha sido pub-licado en una revista seria, cuando el nombre del autores conocido, cuando el teorema ha sido citado y uti-lizado por otros matemáticos, se considera que elteorema está debidamente establecido. ([DH; pág. 278]).

BIBLIOGRAFÍA

1. [Bo] F. Bombal, Paradojas y rigor: la historia inter-minable. Discurso de ingreso en la Real Academia deCiencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid.Madrid, 2006.

2. [Bot] U. Bottazzini, The higher calculus: A history ofreal and complex analysis from Euler to Weierstrass.Springer, Berlín 1986.

3. [Boy] C. Boyer, The history of the Calculus and itsconceptual development. Dover Pub., New York,1959.

4. [Da] A. Dahan Dalmedico, An image conflict in

mathematics after 1945. En “Changing images inMathematics. From the French Revolutiion to theNew Millenium”, U. Bottazzini and A. DahanDalmedico Edits. Routledge, London, 2001.

5. [DH] P. J. Davis, R. Hersh, Experiencia matemática.MEC y Labor, Barcelona, 1982.

6. [Du] W. Dunham, Journey through Genius. Thegreat theorems of mathematics, J. Wiley & Sons,New York, 1990.

7. [Ed] C. H. Edwards, The historical development ofthe calculus. Springer-Verlag, New York, 1979.

8. [Eu] L. Euler, De la controverse entre Messrs.Leibniz et Bernouilli sur les logaritmes négatifs etimaginaires. Opera (1) 17, 195-232.

9. [Go] D. Gorenstein, El teorema enorme. Investiga-ción y Ciencia, Febrero 1986, págs. 70-83.

10. [Gö] K. Gödel, Über formal unentscheidbare Sätzeder Principia Mathematica und verwandter SystemeI. Monaschefte für Mathematik und Physik 38(1931), 173-198.

11. [Hi] D. Hilbert, Die logischen Drundlagen derMathematik. Matematische Ann. 88 (1923), 151-165.Traducción española: „Los fundamentos lógicos delas matemáticas” en Fundamentos de las matema´-ticas, Mathema, UNAM, México 1993.

12. [Kl] M. Kline, Mathematical thought from ancient tomodern times. Oxford University Press, New York1972.

13. [La] I. Lakatos, Pruebas y Refutaciones.AlianzaEditorial, Madrid, 2ª ed., 1982.

14. [Nw] J. R. Newman, Sigma, el mundo de las mate-máticas, vol. 1. Eds. Grijalbo, Barcelona, 1968.

15. [Sch] L. Schwartz, Un mathématicien aux prisesavec le siècle. Ed. Odile Jacob, 1997.

16. [Wi] R. L. Wilder, The nature of mathematical proof.American Math. M. (1944), 309-323.


rigor y demostraciÓn en matemÁticas

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