Estadística Aplicada Tema VII1) Sea una t de Student con 9 grados de libertad.

A) Halla el valor de abcisas tal que el área a su derecha es de 0,05B) Halla un valor x de abcisas, tal que el área a la derecha de x y a la izquierda de –x sea de 0,05 C) Halla un valor x de abcisas, tal que el área entre x y –x sea de 0,99D) Halla un valor x de abcisas, tal que el área a la izquierda de –x sea de 0,01E) Halla el valor de abcisas tal que el área a su izquierda sea de 0,90 SOLUCIÓN

Sea la variable aleatoria X una t de Student con nueve grados de libertad.

X t9

A) P (X x1) = 0,05 luego P (X x1) = 0,95 y x1 = 1,83

B) P (X x1) + P (X -x1) = 0,05 por simetría: P (X x1) = 0,025

Y en consecuencia P (X x1) = 0,975 luego x1 = 2,26

C) P (-x1 X x1) = 0,99 luego, por la simetría de la función P (X x1) = 0,005

Y entonces P (X x1) = 0,995 x1 = 3,25

D) P (X -x1) = 0,01 entonces P (X x1) = 0,01 y P (X x1) = 0,99Con lo que x1 = 2,82

E) P (X x1) = 0,90 es inmediato que x1 = 1,38

2) Queremos conocer el tiempo medio de estancia de los enfermos en un gran hospital y para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 300 enfermos, con anotación del número de días de permanencia de cada uno de ellos. Obtén un intervalo de confianza del 95% si la media y desviación típica muestral fueron de 8 y 12 días, respectivamente.SOLUCIÓN

Partimos de los siguientes resultados muestrales= 8 días s = 12 días n = 300 enfermos de muestra

La expresión general para obtener un intervalo de probabilidad en torno a la media de la población es:

En este caso no conocemos la desviación típica de la población ( ) por lo que debemos hacer una estimación de la misma a través de la muestra. Para ello utilizamos la cuasidesviación típica de la muestra.Recordemos (tema III) las diferencias entre la fórmula de la desviación típica y la cuasidesviación típica de una muestra.

luego = 12,02

Por tanto, tomamos como estimación de la desviación típica de esa población 12,02 días.( = 12,02) Si bien no conocemos , el tamaño de la muestra es bastante grande, por lo que podemos utilizar los coeficientes de confianza correspondientes a la distribución normal.

Nivel de confianza (1 - ) Coeficientes de confianza (normal)0,95 1,96

Por tanto, a priori, el planteamiento sería:

Ahora bien, una vez tomada la muestra no es correcto hablar ya de probabilidades, dado que el resultado (ahora ya fijo y no aleatorio) es necesariamente, o bien verdadero, o bien falso. Decimos, por tanto, que

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Estadística Aplicada Tema VIIhay una confianza de que si actuáramos del modo como lo hemos hecho, de cada 100 ocasiones que repitéramos el experimento en 95 de ellas acertaríamos, pero sin que sepamos de hecho si ahora lo hemos logrado.

Nos limitamos por tanto a dar el intervalo con sus respectivos límites de confianza:

I.C. = (8 – 1,96 , 8 + 1,96 ) = (6,64 , 9,36) días de estancia

Es decir nuestras estimaciones nos llevan a preveer unos días de estancia de los pacientes en el hospital comprendidos entre 6,64 y 9,36. Para un nivel de confianza de 0,95.3) Se han medido las siguientes audiencias (en miles de oyentes) de un programa de radio, en una

muestra de 10 días:

521, 742, 593, 635, 788, 717, 606, 639, 666, 624

A) Obtén la media, la mediana, la desviación típica y el coeficiente de variación de la muestra.

B) Obtén la estimación de la media y la varianza de la población.

C) Obtén el error típico de la media y la estimación por intervalo de confianza del 95% de la media de la población.¿Qué suposición debe hacerse?

SOLUCIÓNA)Nos piden que calculemos unos estadísticos determinados.

= 653,1 miles de oyentes

Me = 637 miles de oyentes

=

= 74,165 miles de oyentes

= 0,11

B)Nos piden que obtengamos y El mejor estimador de la media poblacional es la media muestral. Por tanto:

= 653,1 miles de oyentesEl mejor estimador de la varianza poblacional es la cuasivarianza muestral.

= 6.111,66

C) En realidad, más que el error típico de la media, vamos a obtener una estimación de la misma. El cálculo del error típico de la media exigiría conocer la desviación típica de la población, cosa que no ocurre en este caso (y prácticamente en ninguno).

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Como no es posible obtenerlo, lo sustituimos por su estimación

= 24,72 miles de oyentes.

Seguidamente construimos el intervalo de confianza. Teniendo en cuenta que no conocemos y que el

tamaño de la muestra es pequeño (n = 10) deberemos buscar los coeficientes de confianza a partir de la t de Student con 9 grados de libertad (g.l. = n – 1).

Nivel de confianza (1 - ) Coeficientes de confianza ( t de Student) 0,95 2,26

A priori y en esas condiciones, la expresión para obtener un intervalo de probabilidad en torno a la media del 0,95 sería:

Lo que, una vez conocidos los resultados del muestreo, da lugar al siguiente intervalo de confianza:

I.C. = (653,1 – 2,2624,72 , 653,1 + 2,2624,72) = (597,23 , 708,97) miles de oyentes

El intervalo que hemos obtenido, basado en el comportamiento probabilístico de la t de Student, requiere suponer que trabajamos con datos de una muestra que proviene de una población distribuida normalmente. Este aspecto es necesario tenerlo presente pues, aunque la inferencia de medias basada

en la t de Student se considera un procedimiento robusto (esto es, relativamente eficiente frente a ciertas desviaciones de la normalidad), la presencia de fuertes indicios en sentido contrario llevaría a unos resultados dudosos e inválidos.4) Una muestra de 20 cigarrillos de cierta marca son analizados para estudiar el contenido en alquitrán,

obteniendo una media de 22 mgr. y una desviación típica de 4 mgr. Obtener un intervalo de confianza del 95% para esos contenidos, suponiendo que se distribuyen normalmente en la población.

SOLUCIÓN

Como no se conoce la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es pequeño, un intervalo de probabilidad en torno a la media de la población vendría dado por:

t/2 es el coeficiente de confianza que corresponde según la t de Student. Hemos de suponer que la muestra no presenta indicios que hagan sospechar provenga de una población no distribuida de manera aproximadamente normal (en este caso, con el escueto enunciado, no habría forma de comprobarlo).

Esto nos permitirá obtener el correspondiente intervalo de confianza a partir de los resultados muestrales.

= 22 mgr. s = 4 mgr. con una muestra de tamaño n = 20

Podemos hallar la cuasidesviación típica de la muestra (que luego utilizaremos como estimación de )

= 4 = 4,10 mgr.

De esta manera podemos calcular una estimación del error típico de la media

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= 0,918 mgr.

Siendo 19 los grados de grados de libertad de la distribución de Student que hay qye utilizar en el

problema (g.l.= n – 1) y para un nivel de confianza de 0,95 tenemos que t / 2 = 2,09

Con lo que sólo nos queda construir el intervalo de confianza:I.C. = (22 – 2,090,918 , 22 + 2,090,918) = (20,08 , 23,92) mgr. de alquitrán

5) Se tiene que emitir un informe sobre el contenido de materia orgánica de cierta clase de suelos en determinada comarca. Para ello se tomaron 10 muestras diferentes cuyos resultados de laboratorio fueron los siguientes (% de M.O.):

1,2 1,7 1,6 1,7 1,0 1,0 1,0 2,6 3,0 1,0

Suponiendo una distribución normal de dicha variable, dar un intervalo de confianza de 0,95 para la media.

SOLUCIÓNNo se conoce la desviación típica de la población y además el tamaño de la muestra es pequeño. Por tanto la inferencia habrá de basarse en la t de Student.

= 1,58

=

= 0,71Vamos a tomar esa cuasidesviación típica de la muestra como estimación de la verdadera desviación típica de la población correspondiente ( = 0,71). Por otro lado, como se nos pide un intervalo de confianza de 0,95 y los grados de libertad de la t de Student son nueve (g.l.= n 1) tenemos los siguientes coeficientes:

Nivel de confianza (1 - ) Coeficientes de confianza ( t de Student) 0,95 2,26

Por tanto, a priori, el planteamiento de probabilidad sería:

Y con los datos de la muestra obtenemos el siguiente intervalo de confianza

I.C. = (1,58 – 2,26 , 1,58 + 2,26 ) = (1,07; 2,09) % de M.O.

Intervalo muy amplio y por tanto, poco preciso, debido al pequeño tamaño de muestra utilizado.

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