EJERCICIOS DE LOGICA DE PROPOSICIONES

1. De las siguientes secuencias de símbolos, Cuáles son fórmulas bien formadas y cuáles no.

((¬p→r )∧( p¬q )): Mal formada ya que en la parte de la derecha no hay conectivo lógico que demuestre el valor lógico de las 2 proposiciones.

((¬( p )↔¬(q ))↔(q→r )) : Bien formada, ya que representa adecuadamente el uso de los paréntesis en la distribución de las proposiciones y además le da un sentido lógico al supuesto valor de verdad

( p∧q)∨(q→p )): Mal formada debido a que le falta un paréntesis en la parte inicial izquierda lo que incumple la prioridad a los paréntesis de izquierda a derecha.

(( p↔p )∧( p→p )∨( p∧¬( p))) : Bien formada, el uso de los paréntesis para separar las proposiciones es adecuada y según el rango de importancia se podría evaluar el valor de verdad de izquierda a derecha según el conectivo lógico.

2. Hallar el significado de cada fórmula que se especifica a continuación con respecto a la interpretación definida para esta:

f=(( p∧q )↔(r∨(s→q ))) si ξ ( p)=V , ξ (q )=V , ξ (r )=V y ξ (s )=F

Rta: El valor de verdad de ( p∧q) es verdadero, ahora dándole prioridad a los paréntesis que

tiene el conectivo lógico “entonces” la expresión (s→q ) es verdadera y (r∨(s→q )) es

verdadera lo que toda la expresión es verdadera; ξ ( f )=V

f=p→q→q→ p si ξ ( p)=V , ξ (q )=F

Rta: p→q es falsa, p→q→q es verdadera y p→q→q→ p es verdadera lo que

ξ ( f )=V

f=¬p↔q∨¬r∨( q→r )↔¬¬q , si ξ ( p)=F , ξ (q )=V , ξ (r )=V

Rta: ¬p↔q su valor de verdad es falso (F), (q→r )es falso (F), ¬p↔q∨¬r es igual a

verdadero (V), ¬p↔q∨¬r∨(q→r ) es verdadero (V), ¬p↔q∨¬r∨(q→r )↔¬¬q es

verdadero lo que la expresión ξ ( f )=V

f=p∧(q∧r )↔p∨q∧( p∨q ) si, ξ ( p)=V , ξ (q )=F , ξ (r )=V

Rta: (q∧r )valor de verdad falso (F); p∧(q∧r )es falso (F); p∧(q∧r )↔p es falso;

p∧(q∧r )↔p∨q es falso; ( p∨q)es verdadero (V); por consiguiente la expresión total

f=p∧(q∧r )↔p∨q∧( p∨q ) es falsa o sea que ξ ( f )=F

3. Verifique que las fórmulas f 1=p∧q∨r y f 2=p∧( q∨r ) no son lógicamente equivalentes:

p q rV V V V V V V VV V F V V V V VV F V F V V V VV F F F F V V FF V V F V V F FF V F F F V F VF F V F V V F FF F F F F F F V

Como se puede apreciar para que haya una equivalencia lógica f 1↔f 2 tiene que ser una tautología o que todos los valores de verdad sean verdaderos y como se demuestra en la tabla anexada no es una tautología lo que no es una equivalencia lógica

4. Con los operadores lógicos ¬¿ ¿y ¿ es posible expresar los otros operadores lógicos (¿ ,→ ,↔ ) de forma equivalente, de la siguiente manera:

p∨q⇔¬(¬p∧¬q )p→q⇔¬( p∧¬q )

p↔q⇔¬( p∧¬q )∧¬(q∧¬p )Verificar si efectivamente los operadores lógicos ¿ ,→ ,↔ se pueden expresar en términos de los operadores lógicos ¬¿ ¿y ¿

RTA:

p q p V qV V V F F F V VV F V F V F V VF V V V F F V VF F F V V V F V

p∨q⇔¬(¬p∧¬q ) Hace que ¿ se pueda expresar en términos de ¬¿ ¿y ¿ de forma equivalente

p qV V V F F V VV F F V V F VF V V F F V VF F V V F V V

p→q⇔¬( p∧¬q ) Hace que →se pueda expresar en términos de ¬¿ ¿y ¿ de forma equivalente

p q

p↔q↔¬( p∧¬q )∧(q∧¬p )

V V V F F F V V F V VV F F F V V F V F V VF V F V F F V F V F FF F V V V F V V F V V

p↔q⇔¬( p∧¬q )∧¬(q∧¬p )

5. Adicional a los conectivos lógicos presentados, existe otro conectivo, tal como la conectiva barra de sheffer (I) para el cual su semántica es la siguiente:

ξ ( f 1) ξ ( f 2) ξ ( f 1|f 2 )V V FV F VF V VF F V

La principal característica de este conectivo es que las fórmulas ¬f ,f 1∨f 2 f 1∧f 2 f 1→ f 2f 1↔f 2 son lógicamente equivalentes a fórmulas que sólo contienen el conectivo |, como se observa a continuación:

¬f ⇔ f|f

f 1∨f 2⇔( f 1|f 1 )|( f 2|f 2 )f 1∧f 2⇔( f 1|f 2 )|( f 1|f 2 )f 1→ f 2⇔ f 1|( f 2|f 2 )

a) Verifique las equivalencias lógicasb) Encuentre una fórmula que solo utilice el conectivo |, y que sea lógicamente equivalente a la

fórmula f 1↔f 2

Rta: f -f f|f -f<->f|fV F F V

¬f ⇔ f|f Es una equivalencia lógica al tener como valor de verdad verdadero (V) pero si f es falso entonces

f -f f|f -f<->f|fF V V F

No se cumple que sea una equivalencia lógica.

f 1 f 2 f 1V f 2 f 1∨f 1 f 2∨f 2 ¿¿ f 1V f 2↔¿¿V V V F F V VV F V F V V VF V V V F V VF F F V V F V

f 1∨f 2⇔( f 1|f 1 )|( f 2|f 2 ) Es una equivalencia lógica

f 1 f 2 f 1∧f 2 f 1∨f 2 f 1∨f 2 ¿¿ f ¿f↔¿¿

V V V F F V VV F V V V F FF V V V V F FF F F V V F V

f 1∧f 2⇔( f 1|f 2 )|( f 1|f 2 ) No es una equivalencia lógica

f 1 f 2 f 1→ f 2 f 2∨f 2 f 1∨( f ¿¿2∨f 2)¿ f 1→ f 2↔f 1∨(f ¿¿2∨f 2)¿V V V F V VV F F V F VF V V F V V

F F V V V V

f 1→ f 2⇔ f 1|( f 2|f 2 ) Es una equivalencia lógica

Para determinar una equivalencia para f 1↔f 2

f 1 f 2 f 1↔ f 2 f 1∨f 1 f 1∨( f ¿¿1∨f 1)¿ f 1→ f 2↔f 1∨(f ¿¿2∨f 2)¿V V V F V VV F F F F VF V F V F VF F V V V V