UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICASESTADISTICA PROBABILISTICA 2NOMBRE: ALEXANDER FLORES VALENCIAAULA: 13

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

1. De un lote de 40 microcomponentes, cada uno se denomina aceptable si no tiene más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?

DATOS:

k= 1 n= 5

N= 40 m=3

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p (X=1 )=(31)(374 )(405 )

p(x=1)=(3 ∁ 1 )(37∁ 4)

(40∁ 5)

p ( x=1 )=

3 !1 !

∗37 !

4 !40 !5 !

p=

(3∗2∗1)(1 )(2∗1)

∗(37∗36∗35∗34∗333∗32…)

(4∗3∗2∗1 )(40∗39∗38∗37∗36∗35…)

(5∗4∗3∗2∗1)

p= (x=1 )= (3 ) (66045 )(658008 )

p=0.3011

Interpretación: la probabilidad de que se encuentre exactamente un artefacto defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote es de 0.3011.

2. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas,

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?

Datos:

k= 3 n = 3

N= 15 m = 6

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p ( x=3 )=(63)(90)(153 )

p= (x=3 )=(6∁ 3 )(9∁ 0)

(15∁ 3)

p=

6 !3 !

∗9 !

0 !15 !3 !

p=

(6∗5∗4∗3∗2∗1)(3∗2∗1 )(3∗2∗1)

∗(9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1)

(0! )(15∗14∗13∗12∗11∗10…)

(3∗2∗1)

h=(3,15,3,6 )= (20 ) (1 )455

p=0.0439

Interpretación: la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas es de 0.04396.

3. Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, de las cuales 5 son amarillas. Si se extraen aleatoriamente y sin sustitución 10 planchas ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean amarillas?

Datos:

N=20

n=10

k=2

m=5

 p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=2)=(52)(20−510−2)

(2010)

p(X=2)=(52)(158 )(2010)

p(X=2)=5C 2∗15C820C 10

p(X=2)=0.3483

4. Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una urna que contiene 9 azules y 3 negras. Encontrar la probabilidad de haya 6 canicas azules dentro de las 8 que se extrajeron.

Datos:

N=12 

n=8

k=6

m=9

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=6)=(96)(12−98−6 )

(128 )

p(X=6)=(96)(23)(128 )

p(X=6)=9C 6∗3C212C 8

p(X=6)=0.5090

5. Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar:

DATOS:N = 5n = 2m = 3k =2

p(X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=2)=(32)(5−32−2)

(52)

p(X=2)=(32)(20)(52)

p(X=2)=3C 2∗2C 05C2

p(X=2)=

3 !2! (3−2 ) !

∗2 !

0 ! (2−0 ) !5!

2! (5−2 )!

p(X=2)=

3 !2! (1 )!

∗2!

0 ! (2 ) !5!

3 ! (2 ) !

p(X=2)=

3∗2∗12∗1∗1

∗2∗1

2∗15∗4∗3∗2∗13∗2∗1∗2∗1

p(X=2)= 310

p(X=2)=0.3

6. De 6 empleados 3 han estado en la compañía durante 5 o más años, si se elige 4 empleados al Azar de ese grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de 5 años o más?

DATOS

N=6n=4m=3k=2

p(X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=2)=(32)(6−34−2)

(64)

p(X=2)=(32)(32)(64)

p(X=2)=3C 2∗3C26C4

p(X=2)=

3 !2! (3−2 ) !

∗3 !

2! (3−2 ) !6 !

4 ! (6−4 ) !

p(X=2)=

3 !2! (1 )!

∗3!

2! (1 ) !6 !4 ! (2 )!

p(X=2)=

3∗2∗12∗1∗1

∗3∗2∗1

2∗1∗16∗5∗4∗3∗2∗14∗3∗2∗1∗2∗1

p(X=2)= 915

p(X=2)=0.6

7. En un lote de 12 proyectiles se disparan 4 al azar, si el lote contiene 5 proyectiles que no disparan ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 disparen?

N=12

n=4

m=5

k=2 p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=2)=(52)(12−54−2 )

(124 )

p(X=2)=(52)(72)(124 )

p(X=2)=5C 2∗7C 212C 4

p(X=2)=0.4242

8. En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas. ¿Qué probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores, se incluyan 3 clases de rosas?

N=20n=12m=8k=3

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=3)=(83)(20−812−3)

(2012)

p(X=3)=(83)(129 )(2012)

p(X=3)=8C3∗12C 920C12

p(X=3)=0.0978

9. En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10 pericos al azar calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen chino (característica deseada).

N = 50

n = 10

C = 20

k= 3 p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

La probabilidad de que 3 de 10 pericos tomados al azar sean chinos es de 0.23%

10.De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que los 4 exploten?

N = 10 proyectiles en totala = 7 proyectiles que explotann = 4 proyectiles seleccionadosk = 4

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

P ( x=4 )=(74)(10−74−4 )

(104 )=0.167

La probabilidad de que tenga 4 proyectiles que exploten de cuatro tomados al azar es de 16.7%

11. 5 fabricantes producen en determinado dispositivo cuya calidad varía de un fabricante a otro. Si usted elige 3 fabricantes al azar, hallar la probabilidad que la selección contenga 2 de las 3 mejores.

Datos:

N=5m=3n=3k=2

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=2)=(32)(5−33−2)

(53)

p(X=2)=(32)(21)(53)

p(X=2)=3C 2∗2C 15C3

p(X=2)=0.60

12.En un lote de 10 proyectiles se disparan 4 al azar si el lote contiene e proyectiles que no disparan ¿Cuál es la probabilidad de que 4 disparen?

N=10m=5n=4k=0

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=0)=(50)(10−54−0 )

(104 )

p(X=0)=(50)(54)(104 )

p(X=0)=5C 0∗5C410C4

p(X=0)=0.2380

13.Una tienda de artículos eléctricos tiene 20 planchas, de las cuales 5 son amarillas. Si se extraen aleatoriamente y sin sustitución 10 planchas ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas sean amarillas?

Solución. En este caso se tiene una población de 20 planchas (N = 20), de las cuales 5 son amarillas (a = 5) y se extrae una muestra de 10 planchas (n = 10). La variable aleatoria será el número de planchas amarillas que hay en la muestra (entre las extraídas), por lo que x = 2. Sustituyendo en el modelo de la distribución Hipergeométrica tenemos: 

Datos.

N=20n=10m=5k=2

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=2)=(52)(20−510−2)

(2010)

p(X=2)=(52)(158 )(2010)

p(X=2)=5C 2∗15C820C 10

p(X=2)=0.3483

14.Si se extraen 8 canicas sin reemplazo de una urna que contiene 9 azules y 3 negras. Encontrar la probabilidad de haya 6 canicas azules dentro de las 8 que se extrajeron.

 Solución.

 En total se tienen 12 canicas (N = 12), de las cuales 9 son azules (a = 9). Se extrae una muestra de 8 canicas (n = 8) y se desea obtener la probabilidad de que en la muestra haya 6 canicas azules (x = 6) por lo que:

Datos

N=12

n=8

m= 9

K=6

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=6)=(96)(12−98−6 )

(128 )

p(X=6)=(96)(32)(128 )

p(X=6)=9C 6∗3C212C 8

p(X=6)=0.5090

15.En una urna hay un total de 20 objetos 8 de los cuales son defectuosos si se seleccionan 6 objetos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que 4 sean defectuosos?

DATOS

N=20

K=4

m= 8

n=6

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=4 )=(84)(20−86−4 )

(206 )

p(X=4 )=(84)(122 )(206 )

p(X=4 )=8C 6∗12C220C6

p(X=4 )=0.04767

16.Tengo 20 bolas en una urna de las cuales saco 12 bolas sin reposición de las 12 bolas 6 son azules ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 bolas azules.

DATOS

N=20

K=3

m= 6

n=12

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=3)=(63)(20−612−3)

(2012)

p(X=3)=(63)(149 )(2012)

p(X=3)=6C3∗14C920C12

p(X=3)=0.3178

17. Si 7 de 14 maletas contienen artículos de contrabando, determine la probabilidad de que exactamente 4 de 6 maletas seleccionadas al azar en la inspección de pasajero contengan artículos de contrabando.

DATOS:N=14n=6m=7

k=4 p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=4 )=(74)(14−76−4 )

(146 )

p(X=4 )=(74)(72)(146 )

p(X=4 )=7C 4∗7C214C6

p(X=4 )=0.2447

18.Si entre 20 trabajadores de la construcción 5 no usaban calzado de protección, y se seleccionaron 10 trabajadores para hacer una revisión del calzado de protección, cual es la probabilidad de que cuando menos 3 de las trabajadores revisados no hayan estado usando calzado de protección.

Datos: N=20n=10m=5k=3

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=3)=(53)(20−510−3)

(2010)

p(X=3)=(53)(157 )(2010)

p(X=3)=5C3∗15C 720C 10

p(X=2)=0.3482

19. Un comité compuesto por cinco personas se selecciona aleatoriamente de un grupo formado por tres químicos y cinco físicos. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de químicos en el comité.

N = 8n = 5 m= 3Numero de químicos = 0, 1, 2, 3 o k = 0, 1, 2, 3

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=0)=(30)(55)(85)

p(X=0)=0.018

p(X=1)=(31)(54)(85)

p(X=1)=0.268

p(X=2)=(32)(53)(85)

p(X=2)=0.536

p(X=3)=(33)(52)(85)

p(X=3)=0.179

20. Entre 16 postulantes para un trabajo, 10 tenían un grado

universitario. Si tres de los postulantes son elegidos al azar para

una entrevista.

¿Cuál es la probabilidad de que:

a) ninguno tenga grado universitario?.

b) Exactamente uno tenga grado universitario?.

c) Dos tengan grado universitario?

d) Los tres tengan grado universitario?

N=16

n=3

m=10

k=0, 1, 2, 3

p (X=k )=(mk )(N−m

n−k )(Nn )

p(X=0)=(100 )(63)(163 )

p(X=0)=0.357La probabilidad de que ninguno tenga grado universitario es de 0,0357

p(X=1)=(101 )(62)(163 )

p(X=1)=0.2679La probabilidad de que uno tenga grado universitario es de 0,2679

p(X=2)=(102 )(61)(163 )

p(X=2)=0.482La probabilidad de que dos tengan grado universitario es de 0,

p(X=3)=(103 )(60)(163 )

p(X=3)=0.2143La probabilidad de que los tres tengan grado universitario es de 0,2143