ejercicios de cada distribución

Universidad Tecnológica de TorreónOrganismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Estadística

Ejemplos de Distribución de Bernoulli Distribución de Binomial Distribución de Poisson Distribución de Normal Distribución de Gamma

Distribución de T de Student

Procesos IndustrialesÁrea Manufactura

Alumno

Angel Alberto García Guerrero2° ``A´´

Matrícula: 1110289

Profesor

Lic. G. Edgar Mata Ortiz

A lunes 19 de marzo de 2012


ÍndiceDISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.....................................1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL............................................6

DISTRIBUCIÓN DE POISSON......................................12

DISTRIBUCIÓN NORMAL............................................17

DISTRIBUCIÓN GAMMA.............................................21

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT...................................23


Distribución de Bernoulli

1.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.

a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué.

c) Determine la media y varianza de Y.

1


2.- Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale “cara” en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” en ambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px.b) Sea py la probabilidad de éxito de X. Determine py.c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine pz.d) ¿Son X y Y independientes?e) ¿Es pz=px pyf) ¿Es Z=XY? Explique.

3.- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z=XY .

a) Demuestre que Z es una variable de Bernoulli.

2


b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces pz=px py.

4.- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y .

a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de Bernoulli.

3


b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces pz=px+ p y.

c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria de Bernoulli.

4


Distribución Binomial

1.- Sea X Bin(8,0.4 ). Determine.

a) P (X=2 )

b) P (X=4 )

c) P (X<2 )

5


d) P (X>6 )

e) μxf) σ x

2

6


2.- Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos está defectuoso.

a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté defectuoso.

b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos.

c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén defectuosos.

d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tenga defectos.

7


3.- Se lanza al aire una moneda diez veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?

b) Determine la media del número de caras obtenidas.

c) Determine la varianza del número de caras obtenidas.

d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas.

8


4.- En un cargamento grande de llantas de automóvil. 5% tiene cierta imperfección. Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las llantas tenga imperfección?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga imperfección?

9


5.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?

10


Distribución de Poisson

11


12


13


14


15


Distribución Normal

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Distribución Gamma

1.- Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.

Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.

a) Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.

19


b) A más de dos desviaciones por encima de la media.

Identificamos que X es el lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.

Y es el número de ciclos por 100 horas por lo que:

Y’ es el número de ciclos por hora.

2.- En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora, puede considerarse como una variable aleatoria con distribución Gamma de parámetros α = 3 y λ = 0.5.

La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora.

Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea:

a) Insuficiente en un día cualquiera.

b) Se consuman entre 3 y 8 millones de K.W./Hora.

20

X Γ (2,0.02)

Y ' P ( λ=0.02 ) E (Y ' )=0.02=λ

Y P ( λ=2 ) E (Y )=2


c) Encuentre E(x) y V(x).

Distribución T de Student

1.- Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación.

¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue…?

21


Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de 500.

2.- La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ = 10 mm y desviación σ2 = 1 mm.

Calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n = 25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

P(μ < 20.5)

Estandarizamos

T=(X−μ)

¿¿

Que sigue una distribución t de n - 1 grados de libertad.

T=(20.5−20)

¿¿

22


P (μ<20.5 )→P(T<2.5) t(24 )

P (T<2.5 )=0.9902P (μ<2.5 )=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%.

23


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