ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

3.3 EJERCICIOS PROPUESTOS

Temas: La relación de congruencia en segmentos y ángulos.

Congruencia de triángulos.

Algunas propiedades referidas a triángulos isósceles.

1. Sean AB , ST segmentos no nulos ABIntM , STIntK . Determinar cuáles de las

afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su

determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo

adecuado.

1.1 Si SKAM entonces KTMB .

1.2 Si STAB entonces SKAM .

1.3 Si SKAM y KTMB entonces STAB .

1.4 Si KTMB y STAB entonces SKAM .

1.5 Si MBAM y KTSK entonces STAB .

1.6 Si STAB entonces MBAM y KTSK .

1.7 Si KTSK entonces K es un punto medio de ST .

1.8 Si M es punto medio de AB y K es punto medio de ST entonces STAB

1.9 Si KTSKMBAM entonces M es punto medio de AB y K es un

punto medio de ST .

1.10 Si M es un punto medio de AB y K es un punto medio de ST entonces

KTSKMBAM .

2. Sean BOA , QRP no nulos, no llanos; BOAIntM , QRPIntK . Determinar cuáles de

las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su

determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo

adecuado.

2.1 OM y AB se cortan en un punto único.

2.2 Si A está entre O y L entonces LB y OM se cortan en un punto único.

2.3 Si KRPMOA entonces QRKBOM .

Materia

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cativ

o

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2.4 Si QRPBOA entonces KRPMOA .

2.5 Si QRKMOA y KRPMOB entonces QRPBOA .

2.6 Si QRKMOA y QRPBOA entonces KRPMOB .

2.7 Si MOBMOA y QRKKRP entonces QRPBOA .

2.8 Si QRPBOA entonces MOBMOA y QRKKRP .

2.9 Si QRKKRP entonces RK es bisectriz de QRP .

2.10 Si OM es bisectriz de BOA y RK es bisectriz de QRP entonces

QRPBOA

2.11 Si OM es bisectriz de BOA y RK es bisectriz de QRP entonces

QRKKRPBOMMOA .

2.12 Si QRKKRPBOMMOA entonces OM es bisectriz de BOA y RK es

bisectriz de QRP .

2.13 MOA y MOB son adyacentes.

2.14 MOBMOA entonces MOA y MOB hacen par lineal.

2.15 Si MOBMOA entonces ABOM .

3. Sean AB , CD rectas distintas, 0CDAB . Determinar cuáles de las siguientes

afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación. En el

caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado.

3.1 COA y BOD son opuestos por el vértice.

3.2 BODCOA y BOCDOA .

3.3 BOCDOABODCOA .

3.4 DOA y BOD son adyacentes.

3.5 Si BODDOA entonces ABDC .

3.6 BOC hace par lineal únicamente con DOB .

3.7 Si BOCDOA y BODCOA entonces CDAB .

3.8 Si CD es mediatriz de AB en C,B,AΠ entonces:

Materia

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3.9 D es punto medio de AB .

3.10 DC es bisectriz de BDA .

3.11 ADBΔ es isósceles.

3.12 ACBΔ es isósceles.

3.13 ACBΔADBΔ .

3.14 O es un punto medio de CD .

3.15 DAOCAO .

3.16 BOCΔAOCΔ .

3.17 DOBΔAODΔ .

3.18 DOBΔAODΔBOCΔAOCΔ .

4. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas,

justificando su determinación. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un

contraejemplo adecuado.

4.1 En triángulos congruentes, a lados congruentes se oponen ángulos

congruentes.

4.2 En triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados

congruentes.

4.3 En triángulos congruentes, todos los lados son congruentes.

4.4 En triángulos congruentes, todos los ángulos son congruentes.

4.5 Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes, a los

tres ángulos de otro triángulo entonces los triángulos son congruentes.

4.6 Si los tres lados de un triángulo, son respectivamente congruentes, a los

tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

4.7 Si dos triángulos tiene un lado respectivamente congruente, entonces los

ángulos opuestos son respectivamente congruentes.

4.8 Si dos triángulos tiene un ángulo respectivamente congruente, entonces los

lados opuestos son respectivamente congruentes.

4.9 Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente, entonces los

ángulos adyacentes a dichos lados son respectivamente congruentes.

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4.10 Si dos triángulos son equiláteros entonces son congruentes.

4.11 Si dos triángulos isósceles, tiene sus bases respectivamente

congruentes, entonces son congruentes.

4.12 Si dos triángulos son isósceles entonces los cuatro ángulos adyacentes

a sus respectivas bases son congruentes.

5. Para cada pareja de triángulos se indican los respectivos elementos congruentes.

Señale cuáles de ellos son congruentes, y cuales no lo son, justificando su afirmación.

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

Materia

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5.7 5.8.

5.9. 5.10.

Para aquellas parejas de triángulos congruentes indique el caso que lo justifica y las

conclusiones derivadas.

6. Se tiene el HREΔ con RERH . Los puntos M y K están en los lados del ERH de tal

manera que H está entre R y M. E está entre R y K. EM y HK se intersectan en el

punto T; TRETRH ; RT y HE se intersectan en el punto P.

6.1 Trace una figura que satisfaga todas las condiciones descritas.

6.2 Demuestre que PREPRHΔΔ

.

6.3 Demuestre que TRETRHΔΔ

.

6.4 Demuestre que TPETPHΔΔ

6.5 Demuestre que TEKTHMΔΔ

.

6.6 Demuestre que KRMΔ es isósceles.

7. En los triángulos de las figuras se tiene:

i. 'C'AAC .

ii. AH bisectriz de DACΔ

.

iii. 'H'A bisectriz de 'D'A'CΔ

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iv. 'C'DDC .

v. DCAH , .

vi. .

Demostrar:

7.1 ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐷′𝐶′.

7.2 ∆𝐴𝐵𝐷 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐷′.

7.3 .

8. Observe la figura y considere como hipótesis las siguientes proposiciones:

; B está entre A y C, y E está entre D y C ; .

Demuestre que:

8.1 .

8.2 .

8.3 .

8.4 es bisectriz de .

9. Si .

O: punto medio de y .

M está entre A y C.

N está entre D y B.

O está entre M y N.

Demuestre que:

9.1 .

9.2 .

9.3 .

10. En la figura se tiene y , , y además:

'C'D'H'A

'C'A'BCAB

'B'C'AΔACBΔ

BODBOA DCAC ODOA

DA

OEOB

CEBC

OC AOD

0CDAB

AB CD

BA

DNMC

ONOM

AODΔ BOCΔ EADOC FBCOD

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Hipótesis:

O es un punto medio de .

.

Tesis

i. .

ii. .

iii. .

iv. isósceles.

11. En la siguiente figura suponga que es bisectriz de y de , ,

. Demuestre que:

11.1 es isósceles.

11.2 .

11.3 .

11.4 .

12. En la figura se tiene:

N está entre O y A; M está entre O y B;

;

; .

Demuestre que:

12.1 es isósceles.

12.2 es bisectriz de .

13. En un triángulo isósceles ABC, . Se trazan las medianas y relativas a

los lados congruentes, las cuales se cortan en el punto I.

AB

COBDOA

BA

OCOD

BCAD

DC

EOFΔ

AB DAC DBC ABM

0 ABCD

CADΔ

ABCD

MDMC

CDMDCM

PBNAM

PMPN PBAP

OABΔ

OP BOA

ACAB BD CE

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13.1 Demostrar que y son isósceles.

13.2 Demostrar que .

13.3 Demostrar que los puntos A, I y los puntos medios de y están

en línea recta.

14. En la figura se tiene:

Hipótesis:

es equilátero.

A está entre B y .

C está entre A y .

B está entre y C.

Tesis: es equilátero.

15. En la figura se tiene:

y

𝐷𝐶 ∩ 𝐵𝐸 = {𝐴}

B está entre O y D.

C está entre O y E.

Demostrar que 𝑂𝐴 es bisectriz de

16. En el se tiene y , G, H, I, J colineales. H está entre G e I, I

entre H y J.

Probar que:

i. 𝐺𝐾 ≅ 𝐽𝐾 .

ii. .

BICΔ DIEΔ

DICΔBIEΔ

ED BC

CBAΔ

1A

1C

1B

111 CCBBAA

111 CBAΔ

ACAB AEAD

GIKΔ IKHK IJGH

JKIHKG

EOD

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17. Demuestre que un triángulo es isósceles si:

17.1 es a la vez mediana y altura.

17.2 es a la vez bisectriz y altura.

17.3 ¿Podrá decirse que el triángulo es isósceles si la bisectriz es a la vez

mediana?

Observación: Estos resultados pueden considerarse como “recíprocos” con relación a lo

planteado en el teorema Nº 20.

18. En la siguiente figura tenemos:

;

;

N está entre O y C.

M está entre O y D.

Demostrar que:

18.1 .

18.2 .

18.3 .

19. Demostrar que las medianas asociadas a los lados congruentes de un triángulo

isósceles son congruentes.

20. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles

son congruentes.

21. Demostrar que en triángulos congruentes, las medianas homólogas son

congruentes, las bisectrices homólogas son congruentes.

CBAΔ

AD

AD

OCOA OBOD

OBOA ODOC

EBCAD

BCAD

AB

NCEΔMDEΔ

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22. En ∆ ABC y ; y son bisectrices de y

respectivamente. , , . Demostrar que:

.

23. En y se tiene: y medianas de y

respectivamente, , , . Demostrar que

.

24. Sea no nulo y no llano. C, D sobre la semirrecta tal que C está entre O y

F; y ; . Demostrar:

24.1 .

24.2 .

24.3 𝑂𝑃 es bisectriz de .

Nota: Este problema establece una construcción alterna de la bisectriz de un ángulo.

25. En la figura se tiene:

; .

Demostrar que las medianas, alturas y bisectrices del

pasan por O.

26. Sean: y isósceles, tales que ; , : altura

asociada a , : altura asociada a .

Demostrar:

'C'B'AΔ AD 'D'A CAB 'C'A'B

'D'AAD 'C'A'BCAB 'B'AAB

'C'B'AΔABCΔ

ABCΔ 'C'B'AΔ AM 'M'A BC 'C'B

'M'AAM 'B'AAB 'C'AAC

'C'B'AΔABCΔ

BOA OA

OEOC OFOD PDECF

OCFΔOEDΔ

EPFΔCPDΔ

BOA

AOCCOBBOA OCOBOA

ABCΔ

ABCΔ 'C'B'AΔ ACAB 'C'A'B'A AH

BC 'H'A 'C'B

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26.1 Si y entonces .

26.2 Si y entonces .

27. Sean , tales que: bisectriz de , 𝐷𝐾 : bisectriz de .

Demostrar que si , y entonces .

Propongo el siguiente problema como una conjetura (Proposición que creo que puede

ser verdadera, pero de la que no se tiene una demostración). Estudiela bien y trata de

demostrarla, ó por el contrario si usted encuentra que es falsa, construya un

contraejemplo.

28. Sean y tales que es bisectriz de y es bisectriz de

; , Si , y

, entonces,

'C'A'BCAB 'H'AAH 'C'B'AΔABCΔ

'C'BBC 'H'AAH 'C'B'AΔABCΔ

ABCΔ DEFΔ AT CAB FDE

FDECAB EDBA DKAT DEFΔABCΔ

ABCΔ DEFΔ AT CAB DK

FDE TBCAT KEFDK FDECAB DKAT

EFBC DEFΔABCΔ

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