ecuaciones diferenciales clase 2 (2)

8/19/2019 Ecuaciones Diferenciales Clase 2 (2)

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UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA

ECUACIONES DIFERENCIALES:

Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

2. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Diremos que una función

cualquiera, definida en algún intervalo

es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si

sustituida en dicha ecuación diferencial la reduce a una identidad.

EJEMPLO 1:

Verifique si la función es solución de la ecuacióndiferencial .

Para este caso derivamos la función y obtenemos .Esta derivada se sustituye en la ecuación diferencial y obtenemos

Usted puede verificar que al realizar las operaciones se cumple la

igualdad, por lo tanto sí es una solución.

EJEMPLO 2:

Dada la ecuación diferencial . Será ?La ecuación diferencial se puede escribir de la forma .Y calculamos la derivada de la función para hacer la sustitución:

, y al sustituir tenemos

, al simplificar, tenemos la identidad.Luego sí es una solución.


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EJEMPLO 3:

Muestre si la familia de curvas es solución de laecuación diferencial .

Calculemos la segunda derivada de la función,

Sustituimos en la ecuación diferencial,

Se tiene entonces la identidad, luego sí es una solución.

EJERCICIOS

Verifique si la función indicada es una solución de la ecuación

diferencial dada.

1. ; i = K ℮- 500 t 2.

; ℮

3. 2

1'

x y

;

C x

y

1

4. 0

3 y xdx

dy

; 3cx y

5. 02 z t

dt

dz

;

3

3

1t

ce y

6. 03'5''2 y y y ; x

x

eC eC y 322

1

1


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7. ;

8. 052 y y y ; )2(. xCose y x

9. y x y .;

Rcc x

y

,

4

22

10. x y xdx

dy3.

1

;

12 . xc x y

3. ECUACION DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE

CURVASComo hemos visto dada una ecuación diferencial, su solución

general depende de una sola constante. El problema inverso es

dada una familia de curvas dependiendo de un parámetro obtener

la ecuación diferencial cuya solución sea la familia de curvas dada.

Por ejemplo, existe una familia de curvas para la función ,como se muestra en la gráfica.


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La ecuación diferencial de esta familia de curvas viene dada por su

derivada,

A menudo, una ecuación diferencial de primer orden se da en forma

diferencial. La ecuación diferencial anterior se puede escribir como

Cada curva de la gráfica anterior debe ser solución de ella.

Veamos otro ejemplo, determinemos la ecuación diferencial de la

familia de curvas . El gráfico de esta familia viene dado por,

Derivemos la ecuación, , pero de la familia de curvassabemos que , reemplazamos y obtenemos,


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Simplificando se tiene la ecuación diferencial

Un ejemplo más. Determinemos la ecuación diferencial cuya

solución sea la familia de curvas . Su graficaes,

Derivando tenemos,

Despejamos A de esta ecuación pata tener,


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Este valor lo podemos reemplazar en la familia de curvas y

tenemos,

Usted puede resolver los binomios al cuadrado y simplificar para

tener una expresión más sencilla.

EJERCICIOS

I. Usando el graficador de funciones grafique la familia de curvas

correspondientes a:

1. 2. 3. 4. 5.

II. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general sea la

familia de curvas dada.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.


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10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de rectas que

pasan por el origen.

17. Encuentre la ecuación diferencial que representa a la

familia de rectas que pasan por el punto (2,1).

18. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general

sea la familia de círculos centrados en el origen y de radio

A.

19. Encuentre una ecuación diferencial cuya solución general

sea la familia de parábolas que pasan por el origen con el

eje como su eje común.20.

Encuentre una ecuación diferencial cuya solución generalsea la familia de elipses con centro en el origen y ejes

sobre los ejes coordenados.

21. Encuentre una ecuación diferencial de tercer orden que

contenga como solución , donde A yB son constantes arbitrarias. ¿Clasificaría usted esta

solución como una solución general de la ecuación

diferencial?22. Demuestre que la ecuación diferencial de la familia de

círculos es


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II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN

Estas ecuaciones son una herramienta fundamental para estudiar el

cambio (en el mundo natural y social). En las ciencias de la vida, en la

ingeniera, en la física, en la psicología, en la biología, entre muchas

otras áreas, estas ecuaciones son herramientas fundamentales en los

aspectos cuantitativos que tienen relación con el cambio. Una gran parte

de los modelos matemáticos que buscan comprender y predecir los

fenómenos tienen su base en la teoría de ecuaciones diferenciales.

Ley de enfriamiento de Newton: La tasa de cambio de la

temperatura de un cuerpo con respecto al tiempo esproporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del

medio ambiente, que llamaremos .

La tasa de cambio de la población es proporcional al tamañode la población:

Para recordarlo y diciéndolo de una de manera más simple, una

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) involucra una función (dependiente de una variable ) y una o más de sus derivadas. Pero


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para ser EDO de primer orden, la máxima derivada que debe aparecer

esdx

dy.

Toda ecuación diferencial de primer orden se puede escribir como:

o

1. SOLUCION POR VARIABLES SEPARABLES:

Suponga que puede escribir como el producto de dosfunciones y que dependen solo de x, una de ellas, y la otradepende de y. Esto es: . Entonces, se puede escribir

)()( y g xhdc

dy . Una expresión de esta forma es una ecuación

diferencial de variables separables.

Para resolver este tipo de ecuación se hace lo siguiente:

a) Se escribe )()( y g xhdx

dy

b) Se separan las variables: dx xh y g

dy)(

)(

c) Se integra: dx xh y g dy )()(

d) Se calculan las dos integrales


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Nota: Todo cero (toda raíz) x de da lugar a la soluciónconstante

Además recuerde que una solución de esta ecuación es una función

que al sustituirla por en la ecuación, satisface la ecuación paratodo en un intervalo, es decir da una identidad.

En este capítulo sólo estudiaremos ecuaciones diferenciales de

primer orden, es decir, aquellas que involucran sólo la primera

derivada de . Estas ecuaciones tienen la siguiente particularidad:Podemos concluir algo más general:

Una ecuación de la forma , se resuelve mediante laintegración y la solución es .

1.1.

Problemas de valor inicial y de frontera

En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la

solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución

particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a

los problemas de valor inicial o de frontera.

Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuacióndiferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a lafunción desconocida y a sus primeras derivadas en un valor dela variable independiente. Es decir


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EJEMPLO 1:

Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la

recta tangente en el punto está dada por . ¿Hallar el miembrode esta familia que pasa por el punto ?

El problema de valor inicial asociado es con .

Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e

integrar

Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la curvabuscada es

, la cual se muestra

en la figura.

Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una

ecuación diferencial ordinaria de orden y de condiciones de


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frontera impuestas sobre la función desconocida en valores de lavariable independiente. Es decir:

EJEMPLO 2:

Consideremos la ecuación diferencial sencilla , separando las

variables tendremos e integrando a lado y lado nos da,

Este resultado se denomina la solución general de la ecuación

diferencial. Observe que la solución de la ecuación diferencial

contiene una constante arbitraria c . Este resultado permite decir

que las ecuaciones diferenciales no tienen una solución única sino

que tienen muchas soluciones, porque la ecuación secumple para cualquier valor de la constante c .

EJEMPLO 3:

Resolvamos la ecuación .

Nuevamente separamos variables y tenemos . Siintegramos a lado y lado,


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EJEMPLO 4:

Resuelva

Realizando una separación de variables tenemos,

Integrando a lado y lado,

EJEMPLO 5:

Resolvamos ahola la ecuación diferencial16

3

xt

dt dx .

Se identifican las funciones:


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;1

1)(

6 x

x g

Se separan las variables:

(x 6 + 1)dx = t 3dt

Se integra:

dt t dx x 36 1

La solución queda: C t x x 47

41

71

EJEMPLO 6:

Resuelva la ecuación diferencial tdt x

dx2

2 y halle la curva integral

que pasa por ).Separamos variables: tdt

x

dx2

2 .

Integramos: tdt xdx

22

. Queda C t x

21

.

Ordenando daC t

x

2

1.

Para hallar la curva integral que pasa por )2

1,0( .hay que hallar C.

Entonces,21 x para t = 0. Sustituyendo queda:

-2

12

0

1

2

12

t

xC C


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EJERCICIOS

Resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables.

1. R/ 2.

R/

3. R/ 4. R/ 5. R/ 6.

sujeta a R/

7. sujeta a R/ 8.

R/

9. R/

10. R/ 11. R/ 12.

R/

13. R/

14.

R/

15. R/

16. R/ 17. R/ 18.

R/

19.

R/

20. R/

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