UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES DIFERENCIALESCastañeda Ibarra Claudia Elisa

Mora Díaz AlejandraSilva Arenas Lidia del Carmen

Reyes Rodríguez Andrea4º “A” ISC

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

2.1 TEORIA PRELIMINAR

2.1.1 DEFINICIÓN DE ED DE ORDEN N

Una ecuación diferencial de orden n es aquella que consiste en un diferencial de orden

enésimo. Un diferencial de orden enésimo es del tipo y(n) o (dny/ dxn).Una ecuación diferencial general de orden enésimo puede representarse

como:

Nos interesa cómo solucionarlo y que características tiene su solución

Siempre encontraremos una solución monoparametrica (constante) utilizando la condicion inicial que nos dan.

f(X0) =Y0

• Se nos dará varias condiciones para encontrar las posibles constantes que apareceran.

• Tendremos 2 tipos de condiciones:

-Problemas de valor inicial

-Problemas de valores en la frontera

2.1.2 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

• Un problema de valor inicial puede ser considerado como una ecuación diferencial que está sujeta a algunos pre-requisitos iniciales o condiciones iniciales que ayudan en la determinación de una solución particular para la ecuación diferencial dada. Las condiciones iniciales son expresadas en términos de la función indefinida dada en la ecuación diferencial.

Podemos observar que todas las funciones esta evaluadas en el mismo punto (Xo)

CONDICIONESf(Xo)=Yo , f´(Xo)=Y1 , f´´(Xo)=Y2 , f (Xo)=Yn-1

(n-1)

¿Cuántas soluciones tendrá esta ED?

(n-1)

2.1.3 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

DE SOLUCIÓN ÚNICA

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico.

CONDICIONESf(Xo)=Yo , f´(Xo)=Y1 , f´´(Xo)=Y2 , f (Xo)=Yn-1

(n-1)

¿Cuántas soluciones tendrá esta ED?

Puede tener una solución única o no, esto dependerá de las siguientes condiciones.

(n-1)

CONDICIONESf(Xo)=Yo , f´(Xo)=Y1 , f´´(Xo)=Y2 , f (Xo)=Yn-1

(n-1)

1. Debemos garantizar la continuidad de cada una de las funciones.

2. La función q(x) es continua en…

3. Garantizar que fn(x) ≠ 0 para todo x del intervalo.

(n-1)

2.1.4 Ecuaciones Diferenciales

Lineales homogéneas.

• Si las funciones y1, y2,... ,yn son n soluciones en el intervalo I de la ecuación lineal homogénea yn) + a1(x)yn−1) + ··· + an−1(x)y0 + an(x)y = 0.

• Entonces, toda función de la forma C1y1 + C2y2 + ··· + Cnyn, donde C1, C2,... ,Cn ∈ R, también es solución de la ecuación.

• Esto es, toda combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea es también solución de dicha ecuación.

2.1.4.1

Principio

de

superposic

ión.

2.1.5 Dependencia e independencia l ineal,

Wronskiano.

2.1.6 Solución general de las Ecuaciones Diferenciales Lineales homogéneas

2.1.6.1 Reducción de orden de una EDL de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida.

(método de reccion)

Existen tres tipos específicos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que pueden ser reducidas a ecuaciones de primer orden.

• 1. Ecuación diferencial de segundo orden que no posea variable dependiente:

O

• 2. Ecuación diferencial no lineal de segundo orden que contiene las variables independientes:

• 3. Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden cuya única solución es conocida:

• Es posible determinar la otra solución con la ayuda del método de identidad de Abel para las ecuaciones diferenciales. La segunda solución se obtiene como,

2.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES

CONSTANTES.• Caso 1: la ecuación tiene dos raíces reales

distinta.

• Caso 2: la ecuación característica tiene 2 raíces complejas conjugadas.

• Caso 3: la ecuación características tiene una raíz real doble.

2.2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Si en I, la ecuación (1) se llama lineal homogénea. Si no es idénticamente nula en I, se dice que la ecuación (1) es lineal no homogénea.Si las funciones son constantes la ecuación diferencial lineal es a coeficientes constantes, si son variables se tiene una ecuación diferencial a coeficientes variables.

2.3 Solución de las EDL no homogéneas.

2.3.1 METODO POR

COEFICIENTES DETERMINADOS

Es un método para hallar una solución particular de la ecuación lineal completa, que consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. No pueden darse reglas en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes variables, pero sí en el caso de coeficientes constantes y el 2º miembro h(x) de la ecuación de algunos tipos especiales. Antes de dar unas reglas, se consideran algunos ejemplos.

Hallar una solución particular de y"+2 y'+3 y = 6 x + 1

Obsérvese que al aplicar L= d2 + 2 d + 3 dx2 dxa cualquier polinomio de primer grado, se obtiene otro polinomio de 1er grado. Por tanto es lógico considerar una solución de la forma yp = Ax+B. Sustituyendo en la ecuación diferencial: L[yp] = 0 + 2A + 3(Ax + B) = 3Ax + (2A + 3B)Yp será solución si 3Ax + (2A + 3B) = 6x + 1 x ∀ ∈ ℜ Por tanto 3 A =6 A = 2 2 A +3 B =1 B =-1 Luego Y p = 2x -1

2.3. Método de variacion de parametro.

Tomando en cuenta esta ecuación lineal no homogénea pasaremos a resolverla por el método de variaciones de parámetros: Empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones: O Que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente:

• Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v.• Para la ecuación

• en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se obtiene:

2.4 APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones en varios problemas que surgen en el sistema del mundo real. Algunos de estos problemas se discuten a continuación.Problema mecánico del acoplamiento de los resortes: Dos cuerpos con masa m1, m2, respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de fricción. Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un resorte. Este resorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos cuerpos está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes. Una vez más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada uno de los resortes es k1, k2, k3, respectivamente. La situación anterior puede ilustrarse como,

Aquí O1 es la posición inicial del primer cuerpo y O2 es la posición inicial del segundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier dirección y luego soltarlos. Un ejemplo de esto es,

En la figura anterior, x1 es la cantidad de distancia recorrida por el primer cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y x2 es la cantidad de distancia recorrida por el segundo cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio. Esto implica que el primer resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x1 y el segundo resorte se alarga desde la posición estática por una distancia de x2 – x1.Esto implica que dos fuerzas restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas son: • La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda.