INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE HUAUCHINANGO

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

MÉTODOS PARA SOLUCIÓN DE EJERCICIOS

CRUZ SANCHEZ JORGE ANTONIOGALICIA ROJAS JONATANGOMEZ HERNANDEZ JUAN RICARDO

ANTECEDENTESUna ecuación diferencial se dice Ecuación Diferencial Lineal de Orden n, que abreviaremos como EDL(n), si tiene la forma :

Cuando r(x) = 0, es decir cuando la ED tiene la forma:

Se llama Ecuación Diferencial Lineal Homogénea de Orden n, y se abreviará por EDLH(n).

[1] Zill, Dennis G.(2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición. Brooks/Cole Publishing Co. ITP.

INTRODUCCIÓNMétodo de coeficientes indeterminados para obtener :

Se usa para tres formas de , o combinaciones de ellas, que pueden resumirse, en forma general, de la siguiente manera:

Donde es una raíz de la ecuación auxiliar y y son polinomios de grado respectivamente. Se busca una solución particular de la forma:

Donde son polinomios en x de grado k, cuyos coeficientes están indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz de la ecuación auxiliar.

La forma de se puede resumir en los siguientes cuadros:

INTRODUCCIÓN

Método de variación de parámetros para obtener :

Se usa para cualquier forma de . Sabemos que la solución general de una ecuación diferencial de la forma:

, es … (1)

Si tenemos una ecuación no homogénea, es natural suponer que su solución tiene algo que ver con (1), como observamos en el método anterior.

El cambio de parámetros que se va a realizar en (1) es el siguiente:

Cambiando las constantes por funciones de x; y además vamos a pedir que:

… (2)

INTRODUCCIÓN

Pero, ¿Qué forma han de tener y para que sea la solución particular de la ecuación ?

Suponiendo que es solución.

Derivando +v+v.

Como tenemos la condición (2).

Sustituyendo en la ecuación no homogénea:

INTRODUCCIÓN

y’’ + f(x)y’ + g(x)y

Reacomodando términos, sacando como factor común a u y v:

Los paréntesis se anulan puesto que y son solución, entonces , que junto con la suposición (2) forman un sistema de ecuaciones, cuyas incógnitas son u’ y v’. Este sistema va a resolverse por la regla de Cramer. Entonces:

INTRODUCCIÓN

cero cero

Como y son L.I. en el intervalo, entonces el wronskiano es diferente de cero en él ye entonces existen u’ y v’.

INTRODUCCIÓN

Por lo tanto:

Concluimos que si existe una solución de la forma :

INTRODUCCIÓN

Objetivos:• Conocer los métodos de solución de coeficientes indeterminados y variación de parámetros.• Ser capaz de identificar y analizar ecuaciones diferenciales de orden superior, así como proponer

estrategias y métodos para su solución.

Ejercicios 4.5Encontrar mediante el método de coeficientes indeterminados:

Ejercicios 4.6Encontrar la solución mediante el método de variación de parámetros:

INTRODUCCIÓN

METODOLOGÍAEjercicio por el método de coeficientes indeterminados.Partiendo de la ecuación planteada:

La ecuación auxiliar correspondiente es:

Derivando dos veces la ecuación auxiliar obtenemos:

𝑦 ′ ′+𝑦=𝑠𝑒𝑛𝑥

Sustituyendo los valores de y en la ecuación original obtenemos:

Eliminando términos semejantes la ecuación queda expresada como:

Igualando coeficientes tenemos:

Sustituyendo los valores en , la ecuación resultante es:

Ecuación correspondiente a .∴   𝑦𝑝=−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥  

METODOLOGÍA

Ejercicio por el método de variación de parámetros.Partiendo de la ecuación planteada:

La ecuación característica se resuelve para conocer sus raíces:

METODOLOGÍA

Los valores correspondientes de y :

De lo que se deduce:

METODOLOGÍA

∴ 𝑦h=𝑐1𝑒𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐2𝑒

𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 E.

Sean

Realizando las operaciones correspondientes se tiene que:

De lo anterior se deduce que:

METODOLOGÍA

Integrando y para obtener u y tenemos:

METODOLOGÍA

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación obtenemos la siguiente ecuación:

Agrupando términos semejantes:

]

Simplificando obtenemos:

METODOLOGÍA

[] E.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

1. Para el ejercicio de coeficientes indeterminados:

El valor correspondiente de fue:

2. Para el ejercicio de variación de parámetros:

El valor correspondiente de fue:

Y el valor correspondiente de fue:

  𝑦𝑝=−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥  

𝑦 h=𝑐1𝑒𝑥2 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐2𝑒

𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥

[]

CONCLUSIONES• Se determino que, la resolución de problemas de ingeniería está asociada, por lo general, a resultados

numéricos puesto que se requieren respuestas prácticas.• Los resultados obtenidos, coinciden con las respuestas proporcionadas en el planteamiento de cada

ejercicio.

REFERENCIAS

[1] Zill, Dennis G.(2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición.

Brooks/Cole Publishing Co. ITP.