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Ecuaciones Diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden n

Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica

Ingeniera en Telemtica

6 cuatrimestre

Programa de la asignatura:

Ecuaciones diferenciales

Unidad 2. Ecuaciones de orden n

Clave:

220920624 / 210920624

Universidad Abierta y a Distancia de Mxico


Ciencias Exactas, Ingeniera y Tecnologa | Ingeniera en Telemtica 1

ndice

Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden n .......................................................... 3

Presentacin de la unidad ......................................................................................... 3

Propsitos de la unidad ............................................................................................. 3

Competencia especfica ............................................................................................ 3

2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas.................................................. 4

2.1.1. Teorema de existencia y unicidad ................................................................ 4

2.1.2. Problema de valor inicial .............................................................................. 6

Actividad 1. Teorema fundamental ............................................................................ 7

2.1.3. Principio de superposicin ........................................................................... 8

2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano) ..................................... 9

Actividad 2. Principios de superposicin, dependencia e independencia lineal ....... 12

2.2. Solucin de ecuaciones diferenciales lineales homogneas de orden n ........... 12

2.2.1. Ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes de

orden dos............................................................................................................. 12

2.2.2. Ecuacin caracterstica (Races reales y distintas, reales e iguales, races

complejas conjugadas) ........................................................................................ 13

Actividad 3. Naturaleza de las races de una ecuacin caracterstica ......................... 17

2.3. Ecuaciones Diferenciales lineales no homogneas ......................................... 18

Actividad 4. Representacin grfica de la solucin de una ecuacin diferencial lineal

homognea ................................................................................................................. 18

2.3.1. Definicin ................................................................................................... 19

2.3.1. Mtodo de coeficientes indeterminados ..................................................... 21

2.3.2. Mtodo de la superposicin ....................................................................... 23

2.3.3. Mtodo del operador anulador .................................................................. 26

Autoevaluacin ........................................................................................................ 31

Evidencia de aprendizaje. Graficacin de ecuaciones diferenciales de grado dos... 31

Autorreflexin .......................................................................................................... 32

Para saber ms ....................................................................................................... 32



Cierre de la unidad .................................................................................................. 32

Fuentes de consulta ................................................................................................ 33



Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden n

Presentacin de la unidad

En esta unidad utilizaremos nuestros conocimientos adquiridos en la 1 unidad para

resolver problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior. Se utilizarn los

determinantes como herramienta para determinar la dependencia lineal de dos o ms

funciones y los Operadores Diferenciales para la solucin de ecuaciones diferenciales

no homogneas.

Propsitos de la unidad

Con el estudio de esta unidad podrs:

Identificar una ecuacin diferencial lineal homognea y no homognea.

Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogneas. Y no homogneas.

Competencia especfica

Identificar las ecuaciones de orden n, para determinar sus soluciones generales y particulares as como interpretar sus resultados, utilizando los mtodos de solucin de ecuaciones diferenciales lineales homogneas y no homogneas



2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogneas

Iniciaremos esta unidad con el estudio de las ecuaciones diferenciales homogneas y

los mtodos para resolverlas. Podemos representar una ecuacin diferencial lineal de

orden n homognea en su forma mas general de la siguiente forma:

1 2

1 2 01 2..... 0

n n n

n n n nn nx x x xd y d y d y

a a a a ydx dx dx

(1)

Donde los coeficientes k xa para 1,2,3,..k n son funciones reales, con 0n xa

Mientras que:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n n nn nx x x x xd y d y d y

a a a a y gdx dx dx

(2)

Se le llama ecuacin diferencial lineal de orden n no homognea porque 0g x .

Nota: las funciones g x y n xa se suponen continuas en un intervalo

,I a b dado.

Ejemplo 1:

3 '' 2 ' 4 0 y y y

Es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, homognea 0g x .

2''' 2 '' 4 ' xy y y y e

Es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homognea 0g x .

2.1.1. Teorema de existencia y unicidad

Teorema 1

Sea la ecuacin diferencial:



1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n

d y d y d ya x a x a x a x y g x

dx dx dx

Y si adems 1 2 0, , ,...., n n na x a x a x a x

y g x son funciones continuas en un

intervalo ,I a b con 0n xa para todo en este intervalo. Si 0x x es cualquier

punto que pertenezca al intervalo ,I a b , entonces existe una solucin nica y x con valores iniciales en dicho intervalo.

En los siguientes ejemplos veremos como se utiliza este teorema:

Ejemplo 2:

Verificar si 2 23 3 x xy e e x es una solucin nica de la siguiente ecuacin con

valores iniciales:

2

24 12

d yy x

dx

0 4y

' 0 1y

La ecuacin diferencial

2

24 12

d yy x

dx es lineal, los coeficientes, as como

12g x x son funciones continuas en cualquier intervalo que incluye 0x .

Podemos concluir por el teorema 1 que2 23 3 x xy e e x es solucin nica.

Ejemplo 3:

Verificar si la funcin2 3 y cx x es una solucin del problema de valor inicial:

2 '' 2 ' 2 4 x y xy y

0 3y

' 0 1y

Si bien la ecuacin diferencial2 '' 2 ' 2 4 x y xy y es lineal y los coeficientes y



4g x son continuos para todo x el problema es que 22 x xa es cero en 0x

por lo tanto 2 3 y cx x no es solucin nica.

2.1.2. Problema de valor inicial

Se puede presentar el caso de resolver una ecuacin diferencial de 2 orden o

superior en la cual los valores iniciales variable dependiente y/o sus derivadas se

especifican en dos puntos diferentes a y b . Es decir supongamos que tenemos la

siguiente ecuacin con valores iniciales dados:

2

2 1 02

d y dya x a x a x y g x

dx dx

0y a y

1y b y

Se dice se trata de un problema de valores de frontera de dos puntos o, simplemente,

un problema de valores en la frontera. Aunque se cumplan las condiciones del

teorema de unicidad, en un problema de frontera se pueden tener:

a) Soluciones infinitas

b) Solucin nica

c) Que no exista solucin

En el siguiente ejemplo se proporciona la solucin general de la Ecuacin Diferencial,

mas adelante se explicara como se obtiene.

Ejemplo 4:

Se tiene la siguiente ecuacin con valores en la frontera:

'' 64 0 y y

0 0y

02

y

Donde 1 2cos8 8 y c x c sen x es la solucin general (tambin recibe el nombre de



solucin paramtrica, en este caso tenemos dos parmetros 1c y 2c ).

Si sustituimos la primera condicin de frontera 0 0y tenemos que:

1 20 cos 0 0 c c sen

1 20 1 0 c c

1 0c

Si sustituimos la segunda condicin de frontera 02

y tenemos que:

1 20 cos 8* 8*2 2

c c sen

1 20 cos 4 4 c c sen

Como 1 0c

20 4 c sen

Como 4 0 sen

Tenemos que la igualdad se cumple para cualquier valor de 2c por lo tanto hay un

nmero infinito de funciones que satisfacen la ecuacin diferencial y cuyas grficas

pasan por los puntos 0,0 y 0,2

.

Actividad 1. Teorema fundamental

De acuerdo al teorema fundamental de la existencia y unicidad, construye un ejemplo

con resultado nico y otro con un conjunto de resultados.

1. Analiza los ejercicios y resultados que tu Facilitador(a) te presenta.

2. Entra al foro: Teorema fundamental, y responde a las siguientes preguntas:

Cules son las aplicaciones de una ecuacin diferencial homognea? y,

Cules seran las condiciones iniciales?



3. Revisa y comenta las participaciones de dos de tus compaeros. Aceptando o

rechazando su respuesta

*No olvides revisar la Rubrica general de participacin de foros ubicada en la pestaa

de material de apoyo.

2.1.3. Principio de superposicin

El siguiente teorema se conoce como principio de superposicin y consiste en

reunir las soluciones particulares de una ecuacin diferencial lineal para formar

una solucin general.

Teorema:

Si tenemos que 1 2, ,.. ky y y son soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea

2

2 1 02( ) ... 0

n

n n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx

en un intervalo I. entonces la

combinacin lineal:

1 1 2 2 .... k ky c y c y c y

En donde las 1 2, ,.. kc c c son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el

intervalo I.

Ejemplo 5:

Utilizar el principio de superposicin si las funciones 2

1 y x

y 2

2 lny x x definidas

en el intervalo 0, satisfacen la Ecuacin Diferencial Homognea de tercer orden

siguiente:

3 2

3

3 22 4 0

d y d yx x y

dx dx

Por el principio de superposicin, la combinacin lineal:

1 1 2 2 y c y c y

2 2

1 2 ln y c x c x x

Esta es la solucin general de la Ecuacin Diferencial en el intervalo 0, . (Hay que



recordar que la funcin lny x esta definida en el intervalo 0, ver figura 1)

Figura 1 grfica de la funcin lny x

Ejemplo 6:

Las funciones2 3

1 2 3, , x x xy e y e y e definidas en el intervalo x son

funciones que satisfacen la Ecuacin Diferencial homognea siguiente:

''' 6 '' 11 ' 6 0 y y y y

Por el principio de superposicin, la solucin general ser la combinacin lineal:

1 1 2 2 .... k ky c y c y c y

2 3

1 2 3 x x xy c e c e c e

2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano)

Se dice que es un conjunto de funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente

independientes si las nicas constantes para las cuales:

1 1 2 2 3 3 .... 0 n nc f x c f x c f x c f x

Para toda x en un intervalo I, son 1 2 .... nc c c .En otras palabras dos funciones son

linealmente independientes cuando ninguna es ningn mltiplo constante de la otra en

un intervalo I.



Ejemplo 7:

Las funciones 1 2f x sen x y 2 4 cosf x senx x son linealmente dependientes

en el intervalo x puesto que una funcin es un mltiplo de la otra (Ver figura

1):

Demostracin:

Recurdese la identidad trigonomtrica 2 2 cossen x senx x

Si multiplicamos por 2 ambos miembros de la ecuacin tenemos que:

2 2 2(2 cos )sen x senx x

2 2 4 cossen x senx x

Por lo tanto obtenemos que:

2 12f x f x

Figura 1 Grafica de dos funciones que son linealmente dependientes



El Wronskiano

El siguiente teorema nos ayuda a determinar la dependencia lineal de n funciones en

un intervalo dado I. Cada funcin se supone que es diferenciable por lo menos 1n

veces.

Teorema

Supngase que las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x tienen al menos

1n derivadas. Si el determinante 1 2 3, , ,...., nw f x f x f x f x (Wronskiano) no es cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones

1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente independientes en el intervalo I.

Si 1 2 3, , ,...., 0nw f x f x f x f x

Entonces las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente dependientes.

Si 1 2 3, , ,...., 0nw f x f x f x f x

Entonces las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente independientes.

El determinante (Wronskiano) se designa por:

1 2

1 2

1 1 1

1 2

....

' ' .... '

....

n

n

n n n

n

f x f x f x

W f x f x f x

f x f f

Ejemplo 8:

Utilizar el Wronskiano para determinar si las siguientes

funciones 1 xf x e 62

xf x e son linealmente independientes:

6

6 7

6( , ) 5 0

6

x x

x x x

x x

e eW e e e

e e

Para todo valor real de x por lo tanto 1 xf x e y 62

xf x e son linealmente

independientes en cualquier intervalo del eje x porque 6( , ) 0x xW e e .



Actividad 2. Principios de superposicin, dependencia e

independencia lineal

Al finalizar esta actividad podrs resolver ejercicios de principio de superposicin y un

ejercicio de dependencia e independencia lineal.

1. Descarga el archivo Principios de superposicin, dependencia e

independencia lineal y haz lo que en l se solicita.

2. Resuelve los ejercicios que se te presentan, de acuerdo a las leyes de

superposicin.

3. Guarda y enva tu documento con la nomenclatura KEDF_U2_A2_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu

apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

*El peso del archivo no debe exceder los 4 MB.

2.2. Solucin de ecuaciones diferenciales lineales homogneas de

orden n

Una ecuacin diferencial lineal homognea de orden n de la forma:

( ) ( 1)

1 2 1 0... 0n n

n na y a y a y a y a y

En donde los coeficientes 1 2 0, , ,...., n n na a a a son reales, podemos resolverla utilizando

su ecuacin caracterstica, la cual se forma con los coeficientes 1 2 0, , ,...., n n na a a a de

la siguiente manera:

1 2

1 2 1 0... 0n n

n na m a m a m a m a

Primero se analizarn las ecuaciones de 2 orden para pasar despus a las de orden

n.

2.2.1. Ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes

constantes de orden dos

Si tenemos una ecuacin de 2 orden:

2 1 0 0 a y a y a y

La ecuacin caracterstica correspondiente ser:



2

2 1 0 0 a m a m a

Una vez resuelta la ecuacin caracterstica podemos usar las races para obtener la

solucin general de la ecuacin diferencial.

Al resolver la ecuacin caracterstica se pueden presentar tres casos:

a) Races reales y distintas

b) Races reales iguales

c) Races complejas conjugadas

2.2.2. Ecuacin caracterstica (Races reales y distintas, reales e

iguales, races complejas conjugadas)

Caso I. Si al resolver la ecuacin caracterstica:

1 2

1 2 1 0... 0n n


Obtenemos que todas las races sean reales y distintas1 2 3 ..... nm m m m ,

entonces la solucin general es:

1 2

1 2 ... nm xm x m x

ny c e c e c e

Ejemplo 9:

Resolver la siguiente Ecuacin Diferencial de 2 orden:

'' 9 ' 8 0 y y

La ecuacin caracterstica ser:

2 9 8 0 m m

Factorizando obtenemos:

1 8 0 m m

Las races son:

1 1 m

2 8 m



La solucin general es:

8

1 2

x xy c e c e

Caso II Si al resolver la ecuacin caracterstica:

1 2

1 2 1 0... 0n n


Obtenemos que todas las races sean reales e iguales a1m , entonces la solucin

general es:

1 1 1 12 1

1 2 3 ... m x m x m x m xkky c e c xe c x e c x e

Ejemplo 10:

Resolver la siguiente Ecuacin Diferencial de 2 orden:

'' 4 ' 4 0 y y


2 4 4 0 m m


2 2 0 m m

2

2 0 m

Las races sern:

1 2 m

2 2 m

La solucin general ser:

2 2

1 2

x xy c e c xe

Caso III. Si al resolver la ecuacin caracterstica:

2

2 1 0 0 a m a m a



Las races 1m y 2m son complejas, entonces pueden escribirse:

1m i

2m i

Donde2 1 i La solucin general ser:

1 2 i iy c e c e

En la prctica se prefiere trabajar con funciones reales en vez de funciones

exponenciales complejas. Para hacer la conversin utilizamos la formula de Euler:

cos ie isen


1 2cos xy e c x c sen x

Ejemplo 11:

Resolver la siguiente Ecuacin Diferencial de 2 Orden:

'' ' 4 0 y y


2 4 0 m m

Hallamos las races resolviendo la ecuacin con la frmula general para ecuaciones

de segundo grado:

21 1 4 1 4

2 1

m

Las races sern:

1

1 15 1 15

2 2 2

im



1 15 1 15

2 2 2

im


1

21 2

15 15cos

2 2

x

y e c x c sen x

Ejemplo 12:

Resolver la siguiente Ecuacin Diferencial de 3 Orden:

3 2

3 23 19 36 10 0 d y d y dy

ydx dx dx


3 23 19 36 10 0m m m

Recordemos que cuando se tiene un polinomio la obtencin de las races incluye los

divisores de 3 y10 as como el cociente de los divisores de 10 entre los divisores de 3:

2 5 1 101,3,2,5,10, , , ,

3 3 3 3m

Al efectuar la divisin sinttica entre cada uno de estos factores encontramos que la

raz es 11

3m

Si dividimos el polinomio entre 11

3

m obtenemos:

3 2 213 19 36 10 (3 18 30)3

m m m m m m

Simplificando y Factorizando obtenemos:

3 2 23 13 19 36 10 3( 6 10)3

mm m m m m

3 2 23 19 36 10 3 1 ( 6 10) m m m m m m

Hallamos las otras races resolviendo la ecuacin con la frmula general para



ecuaciones de segundo grado:

26 6 4 1 10

2 1

m

Las races sern:

1

1

3m

2

6 43

2

m i

3

6 43

2

m i

Recordemos que 1 i


331 2 3cos x

xy c e e c x c senx

Actividad 3. Naturaleza de las races de una ecuacin caracterstica

Al finalizar esta actividad podrs:

Analizar la naturaleza de las races de la ecuacin caracterstica de una

ecuacin diferencial de grado n.

Resolver las ecuaciones diferenciales, resolviendo la ecuacin caracterstica de

una ecuacin diferencial de grado n.

Realiza lo siguiente:

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales que te indicar tu Facilitador(a).




2.3. Ecuaciones Diferenciales lineales no homogneas

Se estudiara ahora la forma de encontrar una solucin general de una ecuacin lineal

no homognea de la forma:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n


dx dx dx

En donde 0g x

Uno de los mtodos que existen para determinar la solucin general de una ecuacin

lineal no homognea consiste en utilizar una solucin particular. Definiremos una

solucin particularpy como cualquier funcin que no contiene parmetros y que

satisface a la Ecuacin Diferencial Lineal no Homognea.

Ejemplo13:

Verificar que 3py es una solucin particular de la Ecuacin Diferencial de 2 orden:

'' 4 12 y y

Solucin:

Derivando obtenemos: '' 0py

Al sustituir en la ecuacin se cumple la identidad:

0 4 3 12

12 12

Por lo tanto 3py es una solucin particular.

Actividad 4. Representacin grfica de la solucin de una ecuacin

diferencial lineal homognea

Al finalizar esta actividad podrs:

Resolver de manera grficamente una ecuacin diferencial.

Interpretar grficamente la solucin de una ecuacin diferencia lineal



homognea.

A continuacin:

1. Resuelve los ejercicios que te platea tu Facilitador(a). Puedes auxiliarte de

algn software matemtico como el Wolfram|Alpha. Para eso te brindamos

un manual en la pestaa material de apoyo.


2.3.1. Definicin

Si tenemos apy como la solucin particular de una ecuacin diferencial lineal no

homognea:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n


dx dx dx

En un intervalo I y adems tenemos que la funcin:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c y x c y x c y x

Es la solucin general de la ecuacin homognea:

1 2

1 2 01 2..... 0

n n n

n n nn n n

d y d y d ya x a x a x a x y

dx dx dx

Asociada en el intervalo. Entonces la solucin general de la ecuacin no homognea

en el intervalo I se define como:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) n n py c y x c y x c y x y

c py y yx x

Donde1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) c n ny c y x c y x c y x recibe el nombre de funcin complementaria.

La solucin general es entonces:

y=funcin complementaria + cualquier solucin particular

En el siguiente ejemplo determinaremos la solucin general teniendo como dato la

solucin particular



Ejemplo 14:

Encontrar la solucin general de la siguiente ecuacin:

23 2 4 y y y x

Si 27 6 2 py x x

Para determinar la solucin general se tiene que resolver la ecuacin homognea

asociada:

3 2 0 y y y


2 3 2 0 m m


2 1 0 m m

Las races son:

1 2 m

2 1 m

La funcin complementaria es:

2

1 2

x xcy c e c e


c py y yx x

2 2

1 2 7 6 2 x xy c e c e x x

En los siguientes temas nos concentraremos en los mtodos que existen para la

determinacin de la solucin particular.



2.3.1. Mtodo de coeficientes indeterminados

Este mtodo es para obtener la solucin particular y solamente funciona para

ecuaciones no homogneas:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n


dx dx dx

Donde los coeficientes ka x para 1,2,3,..k n son constantes, adems g x debe

ser una funcin del tipo , , ,cos , n axk x sen x x e o sumas y productos de esas funciones.

Este mtodo no es aplicable si g x es una funcin de la forma:

11ln , , tan , x x sen xx

Ejemplo 15:

Resolver la siguiente ecuacin por el mtodo de los coeficientes indeterminados: 23 2 2 3 6 y y y x x

Paso 1:

Se determina la funcin complementaria:

3 2 0 y y y


2 3 2 0 m m


2 1 0 m m

Las races son:

1 2 m

2 1 m


2

1 2

x xcy c e c e



Paso 2:

Como g x tiene la forma de un polinomio supondremos que la solucin particular

tendr la misma forma. (Es una caracterstica notable que al derivar una funcin del

tipo , , ,cos , n axk x sen x x e la derivada tenga la misma forma que g x )

Por lo tantopy tendr la misma forma:

2 py Ax Bx C

Derivando dos veces obtenemos que:

' 2 py Ax B

'' 2py A

Si sustituimos en la ecuacin original:

23 2 2 3 6 y y y x x

2 22 3(2 ) 2( ) 2 3 6 A Ax B Ax Bx C x x

2 22 6 3 2 2 2 2 3 6 A Ax B Ax Bx C x x

2 22 2 6 2 3 2 2 3 6 Ax Bx Ax A B C x x

Factorizando la expresin del lado izquierdo:

2 22 (2 6 ) 2 3 2 2 3 6 Ax x B A A B C x x

Igualando ambos miembros de la igualdad tenemos las siguientes ecuaciones:

2 2A , 2 6 3 B A , 2 3 2 6 A B C

1A

2 6 3 B A

Sustituyendo el valor de A:

2 6(1) 3 B



9

2 B

92(1) 3( ) 2 6

2 C

35

4C

Sustituyendo en la ecuacin.

2 py Ax Bx C

2 9 35

2 4 py x x


c py y yx x

2 2

1 2

9 35

2 4

x xy c e c e x x

2.3.2. Mtodo de la superposicin

El mtodo de superposicin se utiliza cuando en una Ecuacin no Homognea la

funcin g x es la suma de dos tipos de funciones:

1 2 g x g x g x

Por lo tanto tendremos por superposicin que la solucin particular ser:

1 2

p p py x y x y x

Ejemplo 16

Resolver la siguiente ecuacin diferencial no homognea por superposicin:

2

2

22 3 4 5 6 x

d y dyy x xe

dx dx



Paso 1:

Se determina la funcin complementaria: 2

22 3 0

d y dyy

dx dx


2 2 3 0 m m


3 1 0 m m

Las races son:

1 3m

2 1 m


3

1 2

x xcy c e c e

Paso 2:

Determinacin de la solucin particular:

Como g x tiene la forma de un polinomio mas una exponencial y supondremos que

la solucin particular tendr la misma forma. (Recordemos del tema anterior que al

derivar una funcin del tipo ,n axx e la derivada tiene la misma forma que g x ).

En este caso:

1 4 5 g x x

22 6xg x xe

1 2

p p py x y x y x

1

py x Ax B



2

2 2 x xpy x Cxe De

Sustituyendo tenemos que la solucin particular es:

2 2 x xpy x Ax B Cxe De

Sustituyendo en la ecuacin original:

2

2

22 3 4 5 6

p p x

p

d y dyy x xe

dx dx

2 2 2 2 2 2 2 2 2(4 2 2 4 ) 2( 2 2 ) 3( ) x x x x x x x x xCxe Ce Ce De A Cxe Ce De Ax B Cxe De24 5 6 xx xe

Simplificando y agrupando obtenemos que:

2 2 23 2 3 3 (2 3 ) 4 5 6 x x xAx A B Cxe C E e x xe

Igualando ambos miembros de la igualdad tenemos las siguientes ecuaciones:

3 4 A , 2 3 5 A B , 3 6 C , 2 3 0 C D

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que:

4

3 A

23

9B

2 C

4

3 D

Sustituyendo en la ecuacin:

2 2 x xpy x Ax B Cxe De

2 24 23 4

23 9 3

x xpy x x xe e




c py y yx x

3 2 2

1 2

4 23 42

3 9 3

x x x xy c e c e x xe e

2.3.3. Mtodo del operador anulador

Empezaremos este tema explicando el concepto de operador diferencial. El smbolo nD se usa para designar la derivada ensima de una funcin, es decir:

n

n

n

d yD y

dx

.

Una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes:

( ) ( 1)

1 2 1 0... ( )n n

n na y a y a y a y a y g x

Podemos escribirla utilizando operadores diferenciales de la siguiente manera:

( 1) 2

1 2 1 0... ( )n n

n na D y a D y a D y a Dy a y g x

1 2

1 2 1 0( ... ) ( )n n

n na D a D a D a D a y g x

.

La expresin:

1 2

1 2 1 0...n n

n na D a D a D a D a

Recibe el nombre de Operador Diferencial lineal de orden n y a menudo se abrevia

como P(D). Los Operadores Diferenciales de pueden factorizar como si fueran

polinomios ordinarios:

Ejemplo 17:

Factorizar los siguientes operadores: 2 ( 1) D D D D 2 4 ( 2)( 2) D D D

2 4 3 ( 3)( 1) D D D D D



Operador anulador

Sea f x una funcin que tiene al menos n derivadas, si 1

1 1 0( ... ) ( ) 0

n n

n na D a D a D a f x

Por ejemplo si 8f x ' 0f x en este caso el operador anulador es la primer

derivada porque al multiplicarla por f x la anula.

Si f x x '' 0f x en este caso el operador anulador es la segunda derivada

porque al multiplicarla por f x la anula.

Si 2f x x ''' 0f x en este caso el operador anulador es la tercer derivada

porque al multiplicarla por f x la anula. Podemos concluir que el operador

diferencial Dn

anula a cada una de las funciones2 11, , ,..., nx x x .

Un polinomio 10 1 1...

n

nc c x c x puede ser anulado fcilmente encontrando un

operador que anule a la mayor potencia de x.

Ejemplo 18:

Hallar un operador que anule a 2 31 7 9 x x .

Solucin. Se sabe que4 3 0D x y por lo tanto se tiene que el operador anulador ser:

4 2 3(1 5 8 ) 0D x x

El operador diferencial ( ) nD anula a cada una de las funciones:

2 1, , ,..., x x x n xe xe x e x e .

Ejemplo 19:

Hallar un operador anulador para8 5( ) ,( )6x xa e b xe .

Solucin

a) Eligiendo 8 y 1n se obtiene que 8( 8) 0 xD e

b) Eligiendo 5 y 2n se obtiene que 2 5( 5) 6 0 xD xe

Ejemplo 20:

Obtener un operador diferencial que anule a 3 x xe xe

Se tiene que



3

2

( 3) 0

( 1) 0

x

x

D e

D xe

.

El producto de los 2 operadores ( 3)D 2( 1)D anular la combinacin lineal dada.

En general operador diferencial 2 2 22 ( ) n

D D anula a cada una de las

funciones:

2 1

2 1

cos , cos , cos ,..., cos

, , ,...,

x x x n x

x x x n x

e x xe x x e x x e x

e sen x xe sen x x e sen x x e sen x

Ejemplo 21:

Obtener un operador diferencial que anule a cos2xe x y 2xe sen x

2 2 2

12 ( ) D D anula a cos ,

x xe x e sen x

Eligiendo 1, 2 1 y n se obtiene

2( 2 5) cos2 0 xD D e x y 2( 2 5) 2 0 xD D e sen x .

Ejemplo 22:

Si se elige 0, 1 2 y n el operador diferencial 2 2( 1)D anular cos x ,

cosx x , senx , xsenx Adems 2 2( 1)D anular cualquier combinacin lineal de esas

funciones.

Ejemplo 23:

Obtener un operador diferencial que anule a la siguiente funcin:

1 6 2 x sen x .

2 2 21

2 ( ) D D Anular xe sen x

Eligiendo 0, 2 1 y n se obtiene:

2(1 ) 0 D x



2( 4) 2 0 D sen x .

Por lo tanto, el operador 2 2( 4)D D anular a la combinacin lineal dada.

Ya vimos que para obtener la solucin general de una ecuacin diferencial no

homognea con coeficientes constantes deben realizarse dos pasos:

1 paso: Hallar la funcin complementaria cy

2 paso: Obtener cualquier solucin particular py de la ecuacin no homognea.

La solucin general de la ecuacin no homognea es la suma c py y .

Si P D representa el operador diferencial, entonces una ecuacin diferencial lineal,

no homognea con coeficientes constantes la ecuacin puede escribirse

simplemente:

P D y g x

Si 1( )P D es el operador anulador y multiplicamos ambos miembros de la ecuacin

obtenemos que:

1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0P D P D y P D g x .

Resolviendo la ecuacin homognea es posible descubrir una solucin particularpy

de la ecuacin no homognea.

Ejemplo 24:

Resolver 2'' 3 ' 2 8 y y y x

Paso 1. Se resuelve primero la ecuacin homognea

'' 3 ' 2 0 y y y

De la ecuacin caracterstica 2 3 2 ( 1)( 2) 0 m m m m se obtiene de la funcin

complementaria:

21 2

x xcy c e c e .



Paso 2. Multiplicamos ambos miembros de la ecuacin2( 3 2) 0 D D y por el

operador anulador (recordemos que en el operador diferencial Dn

el valor de n es el

exponente mayor del polinomio menos uno).

3 2( 3 2) 0 D D D

3 2 3 24 4 0 D x D x

3 2 3 2( 3 2) 4 0D D D y D x

Al multiplicar obtenemos la siguiente ecuacin:

3 2( 3 2) 0m m m


3( 1)( 2) 0m m m

Como el operador diferencial Dn

anula a cada una de las funciones2 11, , ,..., nx x x .

La solucin general debe ser:

2 2

1 2 3 4 5

x xy c e c e c c x c x

Donde2

3 4 5 py c c x c x es un polinomio de 2 grado por que el Operador Anulador

es de un grado superior esto significa que la ecuacin 2'' 3 ' 2 8 y y y x tuvo que

derivarse tres veces para anular la funcin ( )g x

2

3 4 5py c c x c x

Las constantes 3 4 5, ,c c c se sustituyen por , ,A B C :

2

py A Bx Cx

Sustituyendopy en

2'' 3 ' 2 8 y y y x

2'' 3 ' 2 8 p p py y y x

2 22 3( 2 ) 2( ) 8 C B Cx A Bx Cx x




2 22 3 2 (2 6 ) 2 8 A B C B C x Cx x

Igualando coeficientes en la igualdad, se obtiene el sistema de ecuaciones

2 3 2 0 A B C

2 6 0 B C

2 8C

Resolviendo resulta:

14A 12 B

4C En consecuencia tenemos que:

2

py A Bx Cx

214 12 4 py x x

Paso 3. La solucin general es finalmente:

2 2

1 2 14 12 4 x xy c e c e x x

Autoevaluacin

Muy bien! Haz llegado al final de la unidad.

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, debers ingresar a la autoevaluacin y responder las preguntas que ah se te plantean. La calificacin obtenida quedar registrada en el portafolio de evidencias.

Para ingresar a la autoevaluacin: Verifica el enlistado de las actividades y da clic en Autoevaluacin.

Evidencia de aprendizaje. Graficacin de ecuaciones diferenciales

de grado dos

Al finalizar sers capaz de utilizar ecuaciones lineales homogneas para resolver

ejercicios de ecuaciones diferenciales, as como su respectiva grafica, mediante el



lgebra elemental y matricial, as como los teoremas del clculo, para ello:

1. Sigue con atencin las indicaciones de tu Facilitador(a).

2. Resuelve la EDO de segundo orden y = g, obtn la solucin general y la solucin particular (2, 1) con derivada 1 en 2.

3. Determina la grafica correspondiente

Es decir, = 2, y = 2, = 1

1. Guarda tu grfica en un archivo con la siguiente nomenclatura:

KEDF_U2_EA_XXYZ.

2. Envalo y espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a), atiende sus

comentarios y renva la nueva versin de tu evidencia.

Consulta la Escala de Evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu

trabajo.

Autorreflexin

Para propiciar tu autoaprendizaje, es conveniente que respondas y realices lo que te solicite tu Facilitador(a).

Para saber ms

Las aplicaciones ms interesantes de las ecuaciones diferenciales requiere el dominio

de otras ciencias como la Fsica, Qumica, Termodinmica, etc. Sin embargo en este

curso se dan las bases para el planteamiento de problemas ve este video para saber

ms. Tareasplus. (2011). Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en dinmica.

www.youtube.com/watch?v=KdkSiGp2oqs

Cierre de la unidad

Esta fue muy extensa debido a que se necesitan bases solidas para comprender los

temas que se abordaran en la unidad III y en cursos avanzados de Ecuaciones

Diferenciales. Es todo un reto el poder entender todos los mtodos para resolver

Ecuaciones Diferenciales la nica opcin que se tiene es el practicar mucho hasta

poder dominar los temas. Te invito a que pongas todo tu inters en el estudio y que

siempre tengas tu nimo en alto.



Fuentes de consulta

Boyce, W. E., y Diprima, R. C. (1978). Ecuaciones Diferenciales y problemas

con valores a la frontera.(3 ed.). Mxico: Limusa.

Campbell, S. L., y Haberman, R. (1997). Introduccin a las Ecuaciones

Diferenciales con Problemas de Valor de Frontera. Mxico: McGraw-Hill.

Simmons, G. F., y Robertson, J. S. (1993). Ecuaciones Diferenciales con

aplicaciones y notas histricas. (2 ed.). Mxico:.Mc Graw Hill.

ecuaciones diferenciales. unidad 2. ecuaciones diferenciales de orden n - unadm

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