ECUACIONES DIFERENCIALES Asignatura Clave: FIM006 Número de Créditos: 7 Teóricos: 4 Prácticos: 3 INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA: El Sumario representa un reto, los Contenidos son los ejes temáticos, los Activos una orientación inicial para resolverlo y la síntesis concluyente, como Posibilidad de integración conceptual corresponderá a lo factible de un punto de vista temático amplio. La visión global de los asuntos resueltos como Titular Académico, te ofrecerá oportunidades de discusión que se enriquecerán en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad de estudio, te sirves de los asesores y analizas la ciberinformación disponible posicionándote de los escenarios informativos adecuados. Los periodos de evaluación son herramientas de aprendizaje. La acreditación es un consenso de relación con el nivel de competencia. Mantén informado a tu tutor de tus avances académicos y estado de ánimo. Selecciona tus horarios de asesorías. Se recomienda al titular (estudiante) que al iniciar su actividad de dilucidación, lea cuidadosamente todo el texto guión de la asignatura. Para una mejor facilitación, el documento lo presentamos en tres ámbitos: 1.- Relación de las unidades, 2.- Relación de activos, 3.- Principia Temática consistente en información inicial para que desarrolles los temas. COMPETENCIAS:

• Podrá analizar las variables físicas más importantes dentro de los fenómenos naturales y de los aparatos construidos.

• Desarrollará sus habilidades de pensamiento complejo • Reforzará el pensamiento lógico y simbólico • Estimulará el pensamiento creativo a partir de las posibilidades de

diversidad y cambio en la estructura matemática de los fenómenos físicos.

SUMARIO: Desarrollar el espíritu científico de asombro, observación, búsqueda y entendimiento del comportamiento físico de la naturaleza ECUACIONES DIFERENCIALES CONTENIDO: Unidad I Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Unidad II Soluciones en forma explícita Unidad III Soluciones en forma implícita y paramétrica Unidad IV Solución general y solución particular Unidad V Ecuaciones diferenciales de primer orden. Unidad VI El método de variables separables Unidad VII Ecuaciones diferenciales homogéneas.

Unidad VIII Ecuaciones diferenciales lineales.

A C T I V O S

UNIDAD I CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

I.1. - Variable dependiente y variable independiente. I.2. - Ecuación diferencial. I.3. - Clasificación de las ecuaciones diferenciales. I.4. - Ejemplos

Actividad: Realizar la clasificación de las ecuaciones diferenciales que se

encuentran al final de la unidad según sus características.

UNIDAD II SOLUCIONES EN FORMA EXPLÍCITA.

II.5 . - Solución II.6. - Identidad II.7. - Formas de representar la solución II.8. - Soluciones en forma explícita II.9. - Verificación de soluciones explícitas II.10. - Ejemplos

Actividad: Aplicar los conocimientos adquiridos para darle solución a las

ecuaciones que se encuentran al final de esta unidad en forma explicita.

UNIDAD III

SOLUCIONES EN FORMA IMPLÍCITA Y PARAMÉTRICA. III.11. - Soluciones en forma implícita. III.12. - Verificación de soluciones implícitas. III.13. - Ejemplos en forma implícita. III.14. - Soluciones en forma paramétrica. III.15. - Verificación de soluciones paramétricas. III.16. - Ejemplos. Actividad: Aplicar los conocimientos adquiridos para darle solución a las

ecuaciones que se encuentran al final de esta unidad en forma implícita y paramétrica.

UNIDAD IV SOLUCIÓN GENERAL Y SOLUCIÓN PARTICULAR.

IV.17. - Solución general. IV.18. - Solución particular. IV.19. - Ejemplos

Actividad: Aplicar los métodos de la solución general y la solución particular

para solucionar los ejercicios propuestos al final.

UNIDAD V ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

V.20. - Las formas de expresión. V.21. - Forma general. V.22. - Forma estándar. V.23. - Forma diferencial. V.24. - Paso de una forma a otra. V.25. - ¿Siempre se puede pasar de una forma a otra?

UNIDAD VI EL MÉTODO DE VARIABLES SEPARABLES

VI.26 - Método de variables separables. VI.27. - Ejemplos.

UNIDAD VII ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.

VII.28. - Qué es una ecuación diferencial homogénea VII.29. - Solución usando uxy = en la forma diferencial. VII.30. - Ejemplos de solución de ecuaciones homogéneas. VII.31. - Ejemplos de la forma diferencial: Mdx + Ndy = 0.

UNIDAD VIII

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. VIII.32. - Ecuación diferencial lineal. VIII.33. - Ecuación lineal homogénea y no homogénea. VIII.34. - Estructura de la solución. ESCENARIOS INFORMATIVOS:

• Asesores Locales

• Asesores Externos • Disposición en Internet • Puntualidad en Intranet • Fuentes Directas e Indirectas • Bibliografía

Disposición en Internet: BIBLIOGRAFÍA: GRANVILLE, Smith y Longley 1999 Cálculo diferencial e integral, Editorial Uteha AYRES, frank, jr. 1998 Ecuaciones diferenciales, Editorial Mcgraw hill PRINCIPIA TEMATICA: 1.1.- Aquí aprenderemos algunas formas con las que se cuenta para clasificar

las ecuaciones diferenciales, lo cual será muy importante, porque a lo largo de este curso, saber clasificar una ecuación diferencial, nos permitirá reconocer el método que aplicaremos para “resolverla”. Así que prestemos mucha atención.

Antes de ver que es una ecuación diferencial, necesitamos recordar como reconocer cual es la variable dependiente y cual la variable independiente en una derivada.

En una derivada, la variable dependiente o función es la que aparece “arriba” en el símbolo que indica la derivada, y la variable independiente es la que aparece “abajo” en tal símbolo.

Así en dx

dy, la variable dependiente es y y la variable independiente es x .

En 2

2

dy

xd, la variable dependiente es x y la variable independiente es y .

Mientras que en la derivada parcial tx

z

∂∂∂2

, la variable dependiente es z y

las independientes x y t . En la mayoría de los problemas que resolveremos en este curso, la

variable dependiente será y y la independiente será x . I.2.- Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o

diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones diferenciales:

dy

dxx y= −

d y

dxy x

2

2

3+ =

y

f

yx

f

∂∂

=∂∂

∂2

′′′ − ′′ =y y 0

Note que las derivadas que aparecen en las ecuaciones diferenciales son las que se estudiaron en los cursos previos de cálculo.

Las ecuaciones diferenciales son, ante todo, ecuaciones. Es decir, llevan

el signo de igualdad: = . Por esto: ydx

dy+ no es una ecuación diferencial.

Tampoco lo es: yy ≤′′ .

I.3.- Veremos cuatro maneras de clasificar las ecuaciones diferenciales. Éstas son:

De acuerdo al tipo. De acuerdo al orden. De acuerdo al grado. De acuerdo a la linealidad. Ahora estudiaremos estas formas una por una. De acuerdo al tipo. De acuerdo con esta modalidad de clasificación, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ordinarias: Si contienen una sola variable independiente. Parciales: Si contienen dos o más variables independientes. Veamos algunos ejemplos:

Las ecuaciones: dy

dxx y= − ,

d y

dxy x

2

2

3+ = , ′′′ − ′′ =y y 0 son

ordinarias. En las dos primeras ecuaciones las variable independiente es x , en la tercera no se reconoce a la vista cuál es la variable independiente, pero en el contexto del problema del cual surge esta ecuación se debe entender cual es tal variable.

La ecuación: y

f

yx

f

∂∂

=∂∂

∂2 es parcial. Las variables independientes son x

y y .

La ecuación: 02

2

=∂∂

+∂∂

x

w

x

w puede considerarse ordinaria, ya que posee

solamente una variable independiente. De hecho, puede escribirse:

02

2

=+dx

dw

dx

wd. O más simplemente: 0=′+′′ ww .

De acuerdo al orden.

Recuerde que el orden de una derivada es el número que indica las veces que se ha derivado. O sea:

dx

dy es de primer orden,

2

2

dx

yd es de segundo orden,

3

3

dx

yd es de tercer

orden, Etc.

El orden de una ecuación diferencial lo indica la derivada más alta de la ecuación diferencial. Es decir, de todas las derivadas que posea una ecuación diferencial, la de mayor orden es la que indica el orden de la ecuación.

Ejemplos:

La ecuación: dy

dxx y= − es de primer orden, porque

dx

dy es primera

derivada. De hecho, ésta es la única derivada que existe en la ecuación, por lo tanto, es la que determina el orden.

La ecuación: xydx

dy

dx

yd=−+ 3

2

2

es de segundo orden. Porque de: 2

2

dx

yd y

de: dx

dy, la más alta es

2

2

dx

yd. Note que en tal ecuación aparece la

potencia cúbica: 3y pero la ecuación no es de tercer orden, porque no son las potencias

las que determinan el orden sino las derivadas.

y

f

yx

f

∂∂

=∂∂

∂2 es de segundo orden.

La ecuación: ′′′ − ′′ =y y 0 es de tercer orden. De acuerdo al grado:

Antes de ver cómo se clasifica una ecuación diferencial de acuerdo al grado, necesitamos saber que significa que la ecuación está en forma polinomial. Forma polinomial: Una ecuación diferencial está en forma polinomial cuando contiene sólo sumas, restas y productos de las variables dependientes y sus derivadas. Esto implica que puede contener potencias de exponente entero positivo o de exponente cero cuyas bases sean las variables dependientes y sus derivadas. La mayoría de las veces trataremos con ecuaciones diferenciales cuya variable dependiente sea y . Y por lo tanto, sus derivadas serían: y′ , y ′′ , etcétera. Entonces, para que una ecuación así esté en forma polinomial, ésta debe contener sólo sumas, restas y productos de y y

sus derivadas, como por ejemplo: yy ′+ , dx

dy

dx

yd−

3

3

, yy ′′′ , etcétera.

También puede contener potencias cuyo exponente sea positivo o cero y

cuya base sea y o sus derivadas, como: 4y , 3)(y ′′ , 2

dx

dy, etcétera. En

estas circunstancias, no importa la operación que esté haciendo la x , ni el exponente que tenga, (no importa como aparezca la x ). A las que se debe vigilar es a y y a sus derivadas. Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones diferenciales escritas en forma polinomial:

xyyy =+′−′′′ . 03 =′+′′ yyy .

xyy sen)( 2 =′+′ .

xedx

dy

dx

yd=−

2

5

3

3

.

23 −=− xyy iv . Vea que la x tiene exponente negativo, pero no importa, porque es la variable independiente.

0=− ydx

dyx .

4)(ln =−′′ yyx . La forma polinomial no contiene potencias de exponente negativo o fraccionario cuyas bases sean variables dependientes o sus derivadas, ni tampoco logaritmos, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas, funciones

hiperbólicas, funciones hiperbólicas inversas, etc., que lleven en su argumento a las variables dependientes o a sus derivadas. Por lo tanto, si la ecuación diferencial posee por variable dependiente a y y por variable independiente a x , para estar en forma polinomial tal

ecuación no debe contener expresiones como las siguientes: 3−y , 1)( −′′y ,

2

1

y (¿Por qué ésta no?), 3/1)(y′ , y (¿Por qué ésta tampoco?), y′ln ,

ye′′2 , )1cos( y′+ , y1csc− , y′senh , )3(tanh 1 y ′′− . Etcétera.

Como ejemplo, las siguientes ecuaciones diferenciales no están escritas en forma polinomial.

xyy =−′ −1 .

0=′

−′′y

yy .

Esta ecuación no está en forma polinomial debido a que si se escribe: 0)( 1 =′−′′ −yyy , se obtiene una potencia de exponente negativo.

xdx

dy

dx

ydsen3

2

2

=− .

4sen =−′′′ yy .

A veces ocurre que una ecuación diferencial que no está escrita en forma polinomial, puede ser puesta en tal forma, si se manipula algebraicamente. Veamos los ejemplos que siguen.

0=′

−′′y

yy . Vimos que esta ecuación no está en forma polinomial, pero

si se multiplica por y′ , obtenemos: 0=−′′′ yyy , la cual sí está en forma polinomial.

1=−′′′ yy . No está en forma polinomial debido a la presencia de la

raíz, pero si la rescribimos del modo siguiente: 1+=′′′ yy , y luego

elevamos al cuadrado: 22 )1()( +=′′′ yy , lo cual da: 122 ++=′′′ yyy .

Ésta última sí está en forma polinomial. Clasificación de acuerdo al grado: El grado de una ecuación diferencial lo indica el exponente a que está elevada la derivada de mayor orden de la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté expresada en forma polinomial. Si la ecuación no se puede expresar en forma polinomial, no tiene grado.

Es decir, el grado lo determina la misma derivada que indica el orden. Ejemplos:

( )′′ − ′ =y y3

5 6. Está en forma polinomial. Es de tercer grado, puesto que la segunda derivada, que es la que indica el orden, está elevada al cubo.

( )5 34

x y y y x′ ′′′ + ′′ = sen . Está en forma polinomial. Es de primer grado, porque la y ′′′ tiene al uno como exponente.

1=−′′′ yy . Esta ecuación no está en forma polinomial, pero al

manipularla algebraicamente ya vimos que se puede escribir: 122 ++=′′′ yyy , la cual es de primer grado porque y ′′′ tiene al uno como

exponente.

( ) ( )ln xy y′ + ′′ =5 23

. No está en forma polinomial porque ( )ln xy′ no es producto de y y sus derivadas. Además no se ve cómo pueda manipularse la ecuación para escribirla en forma polinomial. Concluimos que no tiene grado. De acuerdo a la linealidad: El concepto de linealidad requiere también del concepto de forma polinomial. Una ecuación diferencial es lineal si al expresarla en forma polinomial cumple que las variables dependientes y sus derivadas son todas de primer grado; los coeficientes de éstas son funciones de las variables independientes o constantes. Si la ecuación diferencial no cumple con alguna de las dos condiciones anteriores es no lineal. Desde luego, si una ecuación diferencial no se puede escribir en forma polinomial se considera no lineal. Considerando que la ecuación diferencial posee por variable dependiente a la y y por variable independiente a la x , una vez que está escrita en forma polinomial, es lineal si los términos de y , y′ , y ′′ , ..., están “elevados a la uno”; y los coeficientes de éstos términos son funciones de x o constantes. Ejemplos.

( )5 2 3 93x y y x y e x′′′ − ′′ + =ln . Primero vemos que sí está en forma polinomial.

Luego vemos que es lineal porque cumple con las dos condiciones a) y b) de linealidad. yy y′′′ − ′ =5 2 . Esta ecuación está en forma polinomial. Pero es no lineal porque y ′′′ está multiplicada por y , o sea, no se cumple la condición b) de linealidad. sen ′ + =y e yx5 3 . Es no lineal porque no se puede escribir en forma polinomial.

( )′′ − ′ =y y y53

. Sí está en forma polinomial, pero es no lineal porque ′y es de grado 3, es decir, no se cumple la condición a) de linealidad.

xx

yt

t

y

x

y=

∂∂

−∂∂

−∂∂

3

3

4

4

. Está en forma polinomial. Las derivadas de y están

todas elevadas a la uno, por lo tanto, se cumple la condición a) de linealidad. Las derivadas poseen por coeficientes a 1, 1− , y a t− , las cuales son constantes o funciones de las variables independientes, que son x y t . Por lo tanto, se cumple la condición b). Esto implica que la ecuación es lineal.

y

w

t

ww

∂∂

=∂∂

. Está escrita en forma polinomial. Pero no cumple la

condición b) de linealidad porque el coeficiente de t

w

∂∂

es w , que es la

variable dependiente. Por lo tanto, es no lineal. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n y lineal siempre se puede expresar en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a x y a x y a x y a x y a x y g xn

n

n

n

n

n+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ′ + =−−

−−

1

1

2

2

1 0 En esta forma:

( )a x0 , ( )a x1 , Κ , ( )a xn y ( )g x son funciones de x definidas en algún intervalo común, pudiendo ser constantes algunas de ellas. Por ejemplo:

xyeyyx x tan365 2 =+′′−′′′ . Es ordinaria y lineal de tercer orden. Actividad I.-

Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine cuáles son las variables independientes, cuáles son las variables dependientes, el tipo, el orden, el grado, y si es lineal o no

( )′′ − ′ + =y yy xy2

3 0 . ( )

x y xy e x4 4 + ′′′ = . t s ts t2 1′′ − ′ = − sen .

( )y xy y x y y4 2 0+ ′′′ + ′′ − ′ + =sen . d r

dyy

n

n = +2 1.

d r

dy

d r

dyydr

dy

2

2

2 2

2 0

+ + = .

d r

dyy x

2

2

3 2

+ =/

.

d b

dpp

7

7 3= .

db

dpp

=7

3 .

xy

tt

y

x

∂∂

∂∂

2

2

2

24 0− = .

∂∂

∂∂

u

x

u

y

x

y

+ =3 2

2 .

′ + =y yx

y.

( )y y y yv 3 2 0− ′′′ + ′′ − = . 2

2

2

4

4

=

v

mkv

t

m

∂∂

∂∂

.

yy x y x′′ + =2 . II.5.- Para empezar veamos qué es una solución y el importante concepto de i

dentidad.

SOLUCIÓN La solución de una ecuación diferencial es cualquier función que no contiene derivadas y que al sustituirla en la ecuación diferencial se obtiene una identidad.

II.6.- IDENTIDAD

Una identidad es una ecuación que se verifica para todos los valores permitidos de sus letras. Valores permitidos son aquellos para los que están definidos los dos miembros de la ecuación. Por ejemplo ( )( )x y x y x y+ − = −2 2 es una identidad, porque cualquier par de valores de x y de y que se sustituyan en ella nos arrojan el mismo

número en el miembro izquierdo de la ecuación y en el miembro derecho. Como ejemplo, tomemos x = 1 y y = 3, con los que la ecuación nos queda:

( )( )1 3 1 3 1 32 2+ − = − ⇒ ( )( ) 9124 −=− ⇒ − = −8 8

Otros ejemplos de identidades son los siguientes:

x x2 = x x+ = +2 2 x x= 5 5=

Por los últimos tres ejemplos anteriores podemos concluir que toda ecuación que posea la misma expresión algebraica en los dos miembros es obviamente una identidad. En este último sentido manejaremos nosotros el concepto de identidad en este curso.

II.7.- FORMAS DE REPRESENTAR LA SOLUCIÓN

Se verán cuatro maneras de expresar la solución de una ecuación diferencial, son:

en forma explícita. en forma implícita. en forma paramétrica. y la forma de la solución de una ecuación diferencial parcial.

Ahora nos dedicaremos a estudiar la primera de estas modalidades de expresión de las soluciones.

II.8.- SOLUCIONES EN FORMA EXPLÍCITA

La solución de la ecuación diferencial está en forma explícita cuando la variable dependiente de la solución se encuentra despejada

II.9.- VERIFICACIÓN DE SOLUCIONES EXPLÍCITAS

Para verificar que una función dada definida en forma explícita es solución de una ecuación diferencial, primero debe derivarse tal función tantas veces como orden tenga la ecuación diferencial. Posteriormente se sustituyen estas derivadas y la función original en la ecuación diferencial. Si se obtiene una identidad es que la función dada es solución de la ecuación diferencial. Si esto no es así es porque no lo es, o porque nos equivocamos en el proceso de probar.

II.10.- EJEMPLOS

Ejemplo 1.

Determine si la función: y c e c e c e c ex x x x= + + +− −1 2 3

2

4

2 es solución de la ecuación diferencial: y y yiv − ′′ + =5 4 0 .

En la función dada, c1, c2 , c3 y c4 son constantes.

Primero debemos derivar la función 4 veces porque la ecuación diferencial es de 4to. orden:

′ = − + − +− −y c e c e c e c ex x x x

1 2 3

2

4

22 2 xxxx ececececy 2

4

2

321 44 +++=′′ −−

′′′ = − + − +− −y c e c e c e c ex x x x

1 2 3

2

4

28 8 y c e c e c e c eiv x x x x= + + +− −

1 2 3

2

4

216 16 Sustituyendo las expresiones de y yiv , ′′ y y en la ecuación diferencial:

44444 344444 2144444 344444 21y

ecececec

y

ecececec xxxx

iv

xxxx

′′

+++−+++ −−−− )44(51616 2

4

2

321

2

4

2

321

0)(4 2

4

2

321 =++++ −−

44444 344444 21y

ecececec xxxx

Simplificando:

xxxxxxxxxx ecececececececececec 21

2

4

2

321

2

4

2

321 442020551616 ++−−−−+++ −−−−−

044 2

4

2

3 =++ − xx ecec

Obtenemos: 00 = Debido a que 0 0= es una identidad, concluimos que la función dada es solución de la ecuación diferencial indicada.

Ejemplo 2.

Determine si yx

xx= ≠

sen, 0, es solución de la ecuación diferencial

xy y x′ + = cos . Derivando la función una vez:

( ) ( )

′ =

=

−=

−y

d

dx

x

x

xd

dxx x

d

dxx

x

x x x

x

sensen sen

cos sen2 2

Sustituyendo éste resultado y la expresión de y en la ecuación diferencial:

xx x x

x

x

xx

cos sen sencos

−+ =2

Simplificando:

xx

x

x

xxxcos

sensencos=+

− ⇒

x x x x

xx

cos sen sencos

− +=

⇒ x x

xx

coscos= ⇒ xx coscos =

La ecuación xx coscos = es una identidad; por lo tanto, la expresión dada sí es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3.

Determine si y exx= − cos2

es solución de la ecuación diferencial:

′′ + ′ = −y y exx cos2

.

Derivamos la función dos veces:

( ) ( )( )′ =

=

+ = −

+ −− − − − −y

d

dxe

xe

d

dx

x x d

dxe e

x xex x x x xcos cos cos sen cos

2 2 2 2

1

2 21

′ = − −− −y exe

xx x1

2 2 2sen cos

′′ = −

−

− −y

d

dxe

x d

dxe

xx x1

2 2 2sen cos

De las dos expresiones de derivada, que hay en esta última ecuación, la segunda ya la resolvimos (es la misma que la expresión con la que se calculó ′y ).

Por lo tanto:

′′ = −

− − −

− − −y

d

dxe

xe

xe

xx x x1

2 2

1

2 2 2sen sen cos

( )′′ = −

+

− − −

− − − −y e

d

dx

x x d

dxe e

xe

xx x x x1

2 2 2

1

2 2 2sen sen sen cos

( )′′ = −

+ −

− − −

− − − −y e

x xe e

xe

xx x x x1

2 2

1

2 2

1

2 2 2cos sen sen cos

′′ = − −

− − −

− − − −y e

xe

xe

xe

xx x x x1

2

1

2 2 2

1

2 2 2cos sen sen cos

′′ = − + + +− − − −y ex

ex

exe

xx x x x1

4 2

1

2 2

1

2 2 2cos sen sen cos

2sen

2cos

4

3 xexey xx −− +=′′

Ahora sustituimos tanto ′y como ′′y en la ecuación diferencial y obtenemos:

3

4 2 2

1

2 2 2 2e

xe

xe

xe

xe

xx x x x x− − − − −+ − − =cos sen sen cos cos

− + =− − −1

4 2

1

2 2 2e

xe

xe

xx x xcos sen cos

Ahora se trata de saber si esta ecuación es una identidad. Para ello la manipularemos algebraicamente con el fin de simplificarla: 1

2 2 2

1

4 2e

xe

xe

xx x x− − −= +sen cos cos ⇒ 1

2 2

4

4 2

1

4 2e

xe

xe

xx x x− − −= +sen cos cos

⇒ 1

2 2

5

4 2e

xe

xx x− −=sen cos ⇒ ( )41

2 2

5

4 2e

xe

xx x− −=

sen cos

⇒ 2

cos52

sen2 xexe xx −− =

Se puede averiguar si esta ecuación es una identidad sustituyendo varios valores de x en ambos miembros:

Por ejemplo, si x = 0 se tiene:

202

502

0 0e e− −=sen cos ⇒ 2 0 5 00 0e esen cos= ⇒ ( )( ) ( )( )2 1 0 5 1 1=

⇒ 0 5=

Obviamente 0 5= no es una ecuación verdadera. Por lo tanto, para x = 0 la función no es solución.

Ahora tomemos x = 1:

21

25

1

21 1e e− −=sen cos ⇒ 0.3527...=1.6142...

Entonces, para x = 1 la función no es solución.

La tabla siguiente muestra los cálculos obtenidos si tomamos otros valores de x :

x 2

cos52

sen2 xexe xx −− =

0 0 = 5 1 0.3527 = 1.6142 2 0.2277 = 0.3656 3 0.0993 = 0.0176 4 0.0333 = -0.0381 5 0.0080 = -0.0269 6 0.000699 = -0.01226 7 -0.000639 = -0.004269 8 -0.000507 = -0.001096 9 -0.000241 = -0.00013

Por los cálculos mostrados en la tabla, concluimos que la función dada no es solución de la ecuación diferencial.

Otra forma como podemos proceder en este caso, es la siguiente. Partiremos de la ecuación que tabulamos, o sea de:

22

52

ex

exx x− −=sen cos . Podemos dividir esta ecuación entre e x− . Esto es

posible ya que e x− ≠ 0 para cualquier valor de x . Tenemos:

22

52

sen cosx x

= ⇒ . sen

cos

x

x2

2

5

2=

Y como sabemos que la identidad trigonométrica: xx

xtan

cos

sen= es válida

para toda x , podemos concluir que:

2

5

2tan =x

En virtud de la identidad trigonométrica: ( )πnxx ±= tantan , en la que n

es un entero positivo o cero, podemos decir que: 2

5

2tan =

± πnx . De lo

que se desprende que:

25arctan

2=± πnx

O bien:

πnx ±=25arctan

2 ⇒

±= πnx

25arctan2 ⇒ πnx 2

25arctan2 ±=

⇒ πnx 2 ...380579.2 ±= . Ésta ecuación nos da los valores de x para los que la función nos da una identidad. Los cuales pueden obtenerse dando valores a n : Si n = 0 ⇒ ( )π02 ...380579.2 ±=x ⇒ x = 2 380579. ...

Si n = 1 ⇒ ( )π12 ...380579.2 ±=x ⇒ π2 ...380579.2 +=x y π2 ...380579.2 −=x ⇒ x = 8 663765. ... y x = −3902605. ... Si n = 2 ⇒ ( )π22 ...380579.2 ±=x ⇒ π4 ...380579.2 +=x y π4 ...380579.2 −=x ⇒ x = 14 946950. ... y x = −10185790. ... Etc... Puede verse que los valores de x obtenidos, que son los que hacen que la función nos de una ecuación válida, son aislados; o sea, están separados unos de otros. En otras palabras, no forman un intervalo de valores que contenga a todos los números entre sus extremos. Cuando se habla de la solución de una ecuación diferencial nos interesa que tal solución sea válida para todo un intervalo de valores de x . Por esto, no podemos decir que la función dada sea solución de la ecuación diferencial. Ejemplo 4.

Determine si xxtx cedteey += ∫

0

2

es solución de la ecuación diferencial

′ − = +y y e x x2 . Note que en este caso la función contiene una expresión integral. Esto se debe a que la solución de tal integral no se puede expresar en términos de funciones elementales. Que en la función se incluya una integral es permitido, en casos como estos, porque recuerde que el requisito de una función para ser solución es que no contenga derivadas (además de cumplir con la ecuación diferencial). En la función y en la ecuación diferencial dadas, la variable independiente es la x , ya que la t es sólo una variable provisional usada para expresar la integral definida no resuelta. Derivamos una vez la función con respecto a x :

( )xxtxx

xtx ce

dx

ddtee

dx

dcedtee

dx

dy +

=

+=′ ∫∫

00

22

( ) ( )xxxt

xtx e

dx

dce

dx

ddtedte

dx

dey ++

=′ ∫∫

00

22

Para efectuar

∫ dte

dx

d xt

0

2

recordemos que la derivación y la

integración indefinida son procesos contrarios, es decir:

( ) ( )d

dxf x dx f x∫

= . En nuestro caso resultaría:

22 tt edtedx

d=

∫ .

Pero, en nuestro problema se trata de una integral definida.

Supongamos que al efectuar la integral indefinida e dtt 2∫ , nos resulta

una función de t , digamos ( )F t (prescindiendo de la constante de

integración). O sea: ( )e dt F tt 2∫ = . De ésta ecuación podemos decir que:

( )d

dtF t e t=

2

. O de otro modo (cambiando la letra por otra): ( )d

dxF x e x=

2

.

Por lo anterior, nuestra integral definida nos quedaría:

( )0

0

2 xxt tFdte =∫ ( ) ( )= −F x F 0 .

En esta ecuación es obvio que ( )0F es una constante. Si derivamos esta ecuación con respecto a x , tenemos:

( ) ( )00

2

Fdx

dxF

dx

ddte

dx

d xt −=

∫

Pero ya se vio que: ( )d

dxF x e x=

2

, y como ( )F 0 es constante, su derivada

es cero.

Por lo tanto: 222

00

xxxt eedte

dx

d=+=

∫ .

Usando este último resultado, la derivada nos queda: x

xtxxxx

xtxxx cedteeecedteeeey ++=++=′ ∫∫ +

00

2222

Si sustituimos y y ′y en la ecuación diferencial, resulta:

xxtxxx cedteee ++ ∫+

0

22 22

0

xxxxtx ecedtee +=

+− ∫

xxtxxx cedteee ++ ∫+

0

22 22

0

xxxxtx ecedtee +=−− ∫

e ex x x x+ +=2 2

Como esta ecuación es una identidad, entonces la función dada es solución de la ecuación diferencial indicada. La forma implícita es importante porque cuando se resuelven ecuaciones diferenciales de primer orden, muchas veces la solución se obtiene en forma implícita.

III.11. - Se dice que la solución de una ecuación diferencial está escrita en

forma implícita cuando la variable dependiente no se encuentra despejada.

III.12. - Para proceder a comprobar si una relación implícita dada es solución

de una ecuación diferencial dada, se tienen los tres procedimientos siguientes: DESPEJANDO LA VARIABLE DEPENDIENTE. Este procedimiento consiste en intentar expresar la relación dada en forma explícita, es decir, despejar la variable dependiente y luego proceder a derivar y sustituir en la ecuación diferencial, lo cual ya se explicó en el capítulo 2. Este método, no puede constituir un procedimiento general porque muchas veces no se puede despejar la variable dependiente o, al menos, es difícil o no práctico hacerlo. LLEGANDO A LA IDENTIDAD. Este consiste en derivar implícitamente la relación dada tantas veces como el orden de la ecuación diferencial, despejando en cada caso la derivada, y luego sustituir las expresiones de estas derivadas en la ecuación diferencial. Si con esto se logra una identidad, entonces la función dada es solución.

LLEGANDO A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL. Este método consiste en derivar la relación dada tantas veces como orden tenga la ecuación diferencial, y luego utilizando la relación implícita original y las derivadas obtenidas, tratar de que se logre la ecuación diferencial dada, en cuyo caso, la función dada es solución de la ecuación diferencial. Note que en este método no se sustituye en la ecuación diferencial, sino que ella es deducida a partir de la solución. Los detalles de la aplicación de estos métodos se muestran con los ejemplos siguientes.

III.13.- A continuación se muestran algunos ejemplos que ilustran el método

antes descrito

Ejemplo 1. Determine si xy y− =ln 1 es solución de ( )y xy y2 1 0+ − ′ = . En principio, intentaremos resolveremos este problema por los tres métodos enunciados. Método

a) Despejando la variable dependiente: Despejar y de la función implícita xy y− =ln 1 se ve difícil, si no es imposible, por lo que no aplicaremos en este ejemplo el método a). b) Llegando a la identidad: Derivamos la función implícita xy y− =ln 1 una vez ya que la ecuación diferencial es de primer orden. Se derivará implícitamente con respecto a x ya que ésta es la variable independiente en la ecuación diferencial. Resulta:

xy yy

y′ + −

′= 0

Ahora despejamos ′y :xyy

yy′ −

′= − ⇒ ′ −

= −y x y y1 ⇒

′ =−

−y

y

x y1

⇒ ( )

( )′ =

−

−y

y

x y

y

y1

⇒ ′ =−

−y

y

xy

2

1 ⇒ ′ = −

−y

y

xy

2

1

Sustituimos esta derivada obtenida en la ecuación diferencial:

( )y xyy

xy2

2

11

0+ − −−

= ⇒ y y2 2 0− = ⇒ 0 0=

Se obtiene 0 0= , lo cual es una identidad. Concluimos que la función implícita dada sí es solución de la ecuación diferencial. c) Llegando a la ecuación diferencial: La derivada de la función implícita ya se obtuvo en la aplicación del

método b) y es: xy yy

y′ + −

′= 0. De esta ecuación debemos obtener la

ecuación diferencial. Esto lo podemos lograr multiplicándola por y : xyy y y′ + − ′ =2 0 ⇒ y xyy y2 0+ ′ − ′ = ⇒ ( )y xy y2 1 0+ − ′ = La última expresión obtenida es la ecuación diferencial dada, por lo que concluimos que la función implícita proporcionada es solución de la ecuación diferencial. Ejemplo 2. Determine si ( )a bx e xy x+ =/ es solución de la ecuación diferencial

( )x y xy y3 2

′′ = ′ − . a y b son constantes.

a) Despejando la variable dependiente:

Despejando y de ( )a bx e xy x+ =/ , tenemos primero que e xa bx

y x/ = + .

Ahora, aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación,

resulta: ln ln/ex

a bxy x = + . Luego por la propiedad de logaritmos que dice

que: log loga

n

ax n x= tenemos: yx e

xa bxln ln= + . Como lne = 1, entonces:

yx

xa bx= +ln . O bien: y x

xa bx= +ln . Podemos expresar esta última

expresión de una manera más conveniente para ser derivada, usando la

propiedad de logaritmos que dice que: log log loga a a

xy x y= − , con lo

cual obtenemos: ( )[ ]y x x a bx= − +ln ln . Ahora ya tenemos la función expresada en forma explícita. Procedemos a derivarla dos veces:

( )[ ] ( )[ ] ( )′ = − + + − +y xd

dxx a bx x a bx

d

dxxln ln ln ln

( )[ ] ( )′ = − +

+ − + = − + + − +y x x

ba bx x a bx

bxa bx x a bx

11ln ln ln ln

( )( ) ( )( ) ( )

′′ = −+ −

++ − + = −

+ −

++ − +y

a bx b bx b

a bxx

ba bx

ab b x b x

a bxx

ba bx0

1 12

2 2

2

( )′′ = −

++ − +y

ab

a bxx

ba bx2

1

Sustituiremos las expresiones de y y, ′ y ′′y en la ecuación diferencial:

( )( ) ( )[ ]x

ab

a bxx

ba bx x

bxa bx x a bx x x a bx3

2

2

11−

++ − +

= − + + − +

− − +

ln ln ln ln

⇒

( )( ) ( )−

++ − + = − + + − + − + +

abx

a bxx

bxa bx x

bxa bx x x x a bx x x x a bx

3

2

23 2

2

ln ln ln ln

⇒ ( )

−+

+ − + = − +

abx

a bxx

bxa bx x

bxa bx

3

2

23 2

2

Desarrollando el binomio al cuadrado del miembro de esta ecuación:

( ) ( )−

++ − + = − + +

+abx

a bxx

bxa bx x

bxa bx

b x

a bx

3

2

23

23 2 4

2

2

Eliminando el término x 2 porque está repetido en los dos miembros:

( ) ( )−

+− + = − + +

+abx

a bx

bxa bx

bxa bx

b x

a bx

3

2

3 3 2 4

2

2

Reacomodando los términos y simplificando:

( ) ( )2 3 3 2 4

2

3

2

bxa bx

bxa bx

b x

a bx

abx

a bx+ − + =+

++

⇒ ( )

bxa bx

b x abx

a bx

3 2 4 3

2+ = ++

⇒ ( )

( )bxa bx

bx a bx

a bx

3 3

2+ =+

+ ⇒ bxa bx

bxa bx

3 3

+ = +

La última ecuación es una identidad, por lo que se puede concluir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial. b) Llegando a la identidad: Derivando implícitamente la función ( )a bx e xy x+ =/ , obtenemos:

( )a bx exy y

xbey x y x+

′ −+ =/ /

2 1

De aquí debemos despejar ′y ; pero antes de hacerlo y para simplificar nuestra expresión utilizaremos el hecho, proporcionado por la función implícita dada, de que ( )a bx e xy x+ =/ . Por lo tanto, tenemos:

xxy y

xbe y x

′ −+ =2 1/ . Y simplificando:

xy y

xbe y x

′ −+ =/ 1. Ahora sí

despejaremos ′y de ésta expresión: xy y

xbe y x

′ −= −1 / ⇒ ( )xy y x be y x′ − = −1 / ⇒

( )xy x be yy x′ = − +1 /

⇒ ( )xy x be yy x′ = − +1 / ⇒ ( )

′ =− +

= − +yx be y

xbe

y

x

y x

y x1

1

/

/

Debemos obtener la segunda derivada, derivando implícitamente esta última expresión:

′′ = −

+

′ −y be

d

dx

y

x

xy y

x

y x0 2

/ ⇒

( )′′ = −′ −

+′ −

=′ −

− +y bexy y

x

xy y

x

xy y

xbey x y x/ /

2 2 2 1

⇒ ( )′′ =′ −

−yxy y

xbe y x2 1 /

Necesitamos desaparecer ′y de ésta ecuación. Esto lo podemos

lograr usando el hecho de que ′ = − +y bey

xy x1 / . Hacemos esto:

( ) ( ) ( )′′ =− +

−

− =− + −

− =−

−y

x bey

xy

xbe

x bxe y y

xbe

x bxe

xbe

y x

y x

y x

y x

y x

y x

1

1 1 12 2 2

/

/

/

/

/

/

( ) ( ) ( ) ( ) ( )′′ =

−− =

−− =

−y

x be

xbe

be

xbe

be

x

y x

y x

y x

y x

y x11

11

12

2/

/

/

/

/

Sustituyendo ahora las expresiones obtenidas de ′y y ′′y en la ecuación diferencial dada, nos resulta:

( ) 2

/

2/3 11

−

+−=

−y

x

ybex

x

bex xy

xy

⇒

( ) [ ]x be x bxe y yy x y x2 2 2

1− = − + −/ /

⇒ ( ) ( )x be x bxey x y x2 2 2

1− = −/ / ⇒ ( )[ ] ( )x be x bxey x y x12 2

− = −/ /

⇒ [ ] ( )x bxe x bxey x y x− = −/ /2 2

⇒ ( ) ( )x bxe x bxey x y x− = −/ /2 2

Como obtenemos una identidad, concluimos que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial. c) Llegando a la ecuación diferencial: Para obtener la ecuación diferencial a partir de la solución, procedemos a derivar implícitamente ( )a bx e xy x+ =/ . Y ya se vio en la

aplicación del método b), que al hacer esto nos resulta: xy y

xbe y x

′ −+ =/ 1.

Derivaremos implícitamente esta expresión y simplificaremos: ( ) ( )x xy y y xy y

xbe

xy y

x

y x′′ + ′ − ′ − ′ −

+′ −

=2 2 0/ ⇒

( )x xy xy y

xbe

xy y

x

y x′′ − ′ +

+′ −

=2 2 0/

⇒ x y xy y

xbe

xy y

x

y x

2

2 2 0′′ − ′ +

+′ −

=/ ⇒

( )x y xy y

x

xy y be

x

y x2

2 2 0′′ − ′ +

+′ −

=/

⇒ ( )x y xy y xy y be

x

y x2

2 0′′ − ′ + + ′ −

=/

.............................................................................(1) Trataremos ahora de ver si de esta última expresión se obtiene nuestra ecuación diferencial. Lo primero que notamos es que nuestra expresión posee el término be y x/ y la ecuación diferencial no; por lo que debemos eliminarlo de nuestra expresión. Tal cosa puede hacerse si notamos que ese término está presente en la ecuación que resultó al derivar

implícitamente la función dada, o sea en: xy y

xbe y x

′ −+ =/ 1. De aquí

podemos despejar el término, resultándonos: bexy y

xy x/ = −

′ −1 . Si

usamos ésta expresión en la ecuación (1), tenemos:

( )x y xy y xy y

xy y

x

x

2

2

1

0

′′ − ′ + + ′ − −′ −

=

Simplificando:

( )x y xy y xy y

xy y

x

x

2

2

2 0

′′ − ′ + + ′ − −′ −

= ⇒

( )x y

xy y

x

x

2

2

2 0

′′ −′ −

=

⇒

( )x y

x

xy y

x

x

2

2

2

2 0′′

−

′ −

= ⇒ ( )

′′ −′ −

=yxy y

x

2

3 0 ⇒

( )′′ =

′ −y

xy y

x

2

3

⇒ ( )x y xy y3 2

′′ = ′ −

Esta última expresión es la ecuación diferencial original. Concluimos que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 3.

Determine si ( )x y b r2 2 2+ − = es solución de la ecuación ( )xy y y′′ − ′ − ′ =3

0. b y r son constantes. Método a) Despejando la variable dependiente:

Despejando y de ( )x y b r2 2 2+ − = :

( )y b r x− = −2 2 2 ⇒ y b r x− = ± −2 2 ⇒ y b r x= ± −2 2

Tenemos pues, dos expresiones para y , que son:

y b r x= + −2 2 y y b r x= − −2 2

Primero utilizaremos y b r x= + −2 2 para ver si es solución de la ecuación diferencial.

Obteniendo ′y :

( )[ ] ( ) ( )′ = + − = + −yd

dxb r x

d

dxb

d

dxr x2 2 1 2 2 2 1 2/ /

Calcularemos estas dos derivadas por separado (después se entenderá por que):

( )d

dxb = 0

( ) ( ) ( ) ( )( )

d

dxr x r x x x r x

x

r x

x

r x

2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 1 2 2 2

1

22− = − − = − − = −

−= −

−

− −/ / /

/

Por lo tanto:

′ = −−

= −−

yx

r x

x

r x0

2 2 2 2

Obteniendo ′′y :

′′ = −−

= −

−

y

d

dx

x

r x

d

dx

x

r x2 2 2 2

Calcularemos d

dx

x

r x2 2−

y después le cambiaremos el signo al

resultado para obtener ′′y . La razón de esto se entenderá más adelante.

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )d

dx

x

r x

r xd

dxx x

d

dxr x

r x

r x x r x x

r x2 2

2 2 2 2 1 2

2 22

2 2 2 2 1 2

2 2

11

22

−

=

− − −

−=

− −

− −

−

−/ /

( ) ( ) ( )( )

( )( )

d

dx

x

r x

r x x r x

r x

r x x r x

r x

r x

r x2 2

2 2 2 2 2 1 2

2 2

2 2 1 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2

2 2 1 2

2 2 1 2−

=

− + −

−=

− + −

−

−

−

− −/ / /

/

/

/

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )d

dx

x

r x

r x x r x

r x

r x x

r x

r x x

r x

r

r x2 2

2 2 2 2 2 0

2 2 3 2

2 2 2

2 2 3 2

2 2 2

2 2 3 2

2

2 2 3

1

−

=

− + −

−=

− +

−=

− +

−=

−/ / /

Por lo tanto:

( )′′ = −

−

= −

−y

d

dx

x

r x

r

r x2 2

2

2 2 3

Ahora sustituiremos las expresiones obtenidas para ′y y ′′y en la ecuación diferencial:

( )

xr

r x

x

r x

x

r x−

−

− −

−

− −

−

=

2

2 2 3 2 2

3

2 20

⇒ ( )

( )( )

−−

− −−

+

−=

r x

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3

33

2 23 2 2

1 0

⇒ ( ) ( )

−−

− −−

+

−=

r x

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3

3

2 2 3 2 20

⇒ ( ) ( )

−−

+−

+−

=r x

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3

3

2 2 3 2 20

⇒ ( ) ( ) ( )

−−

+−

+−

=r x

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3 2

3

2 2 3 2 2 2 1 2 0/ / /

Multiplicando esta expresión por ( )r x2 2 3 2

−/

:

⇒ ( )

( )( )

( )( )

( )−

−

−+

−

−+

−

−=

r x r x

r x

x r x

r x

x r x

r x

2 2 2 3 2

2 2 3 2

3 2 2 3 2

2 2 3 2

2 2 3 2

2 2 1 2 0

/

/

/

/

/

/

⇒ ( )− + + − =r x x x r x2 3 2 2 0 ⇒ − + + − =r x x r x x2 3 2 3 0 ⇒ 0 0=

Concluimos la función y b r x= + −2 2 sí representa una solución de la ecuación diferencial.

Ahora probaremos y b r x= − −2 2 . Obteniendo la primera derivada:

( )[ ] ( ) ( )′ = − − = − −yd

dxb r x

d

dxb

d

dxr x2 2 1 2 2 2 1 2/ /

La primera de estas dos derivadas es cero y la otra ya se calculó cuando

tratamos con y b r x= + −2 2 , y nos resultó: ( )d

dxr x

x

r x

2 2 1 2

2 2− = −

−

/

.

Por lo que:

′ = − −−

=

−y

x

r x

x

r x0

2 2 2 2

O sea que ésta ′y es la misma que la anterior ′y , sólo que su signo lo tiene cambiado.

Obteniendo la segunda derivada:

′′ =−

y

d

dx

x

r x2 2

Note que esta derivada ya se calculó anteriormente cuando se trabajó

con y b r x= + −2 2 y el resultado fue: ( )

d

dx

x

r x

r

r x2 2

2

2 2 3−

=

−. Por

lo que:

′′ =y( )r

r x

2

2 2 3−

Igualmente, esta ′′y es la misma que la anterior ′′y , excepto por su signo.

Ahora sustituiremos estas nuevas expresiones obtenidas para ′y y ′′y en la ecuación diferencial:

( )

xr

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3 2 2

3

2 20

−

−

−

−

−=

⇒ ( ) ( )r x

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3

3

2 2 3 2 20

−−

−−

−=

⇒ ( ) ( ) ( )

r x

r x

x

r x

x

r x

2

2 2 3 2

3

2 2 3 2 2 2 1 2 0−

−−

−−

=/ / /

Multiplicando esta expresión por ( )r x2 2 3 2

−/

:

⇒ ( )

( )( )

( )( )

( )r x r x

r x

x r x

r x

x r x

r x

2 2 2 3 2

2 2 3 2

3 2 2 3 2

2 2 3 2

2 2 3 2

2 2 1 2 0−

−−

−

−−

−

−=

/

/

/

/

/

/

⇒ ( )r x x x r x2 3 2 2 0− − − = ⇒ r x x r x x2 3 2 3 0− − + = ⇒ 0 0=

Concluimos la función y b r x= − −2 2 también representa una solución de la ecuación diferencial.

Podemos decir, entonces, que la expresión completa y b r x= ± −2 2 es solución de la ecuación diferencial. En consecuencia, la función implícita dada también lo es.

b) Llegando a la identidad:

Derivamos implícitamente la función dada: ( )x y b r2 2 2+ − = , obteniendo:

( )2 2 0x y b y+ − ′ = Dividiendo entre 2: ( )x y b y+ − ′ = 0 Despejando ′y :

( )y b y x− ′ = − ⇒ ( )′ =−−

=− −

=− +

=−

yx

y b

x

y b

x

y b

x

b y

Derivamos implícitamente esta última expresión para obtener ′′y :

( )( ) ( )

( ) ( )′′ =

− − − ′

−=

− + ′

−y

b y x y

b y

b y xy

b y

12 2

Debemos eliminar ′y de esta expresión. Logramos esto usando

′ =−

yx

b y con lo que nuestra expresión queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′′ =− +

−

−=

− +−

−=

−

−+

−

−=

−+

−y

b y xx

b y

b y

b yx

b y

b y

b y

b y

x

b y

b y b y

x

b y2

2

2 2

2

2

2

3

1

Ahora sustituimos los resultados obtenidos para ′y y ′′y en la ecuación diferencial:

( )

xb y

x

b y

x

b y

x

b y

10

2

3

3

−+

−

−

−

−

−= ⇒

( ) ( )x

b y

x

b y

x

b y

x

b y−+

−−

−−

−=

3

3

3

3 0

⇒ 0 0= Concluimos que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

c) Llegando a la ecuación diferencial:

De la aplicación del método b), la primera derivada implícita de

( )x y b r2 2 2+ − = resultó:

( )x y b y+ − ′ = 0 .......................................................(2) Derivando implícitamente ésta expresión, obtenemos: ( )1 0+ − ′′ + ′ ′ =y b y y y . O bien:

( ) ( )1 02

+ − ′′ + ′ =y b y y Queremos saber si esta expresión es la misma que la ecuación diferencial.

Como la ecuación diferencial posee un término ( )′y 3

, podemos hacer que nuestra expresión también lo tenga multiplicándola por ′y :

( ) ( )′ + − ′ ′′ + ′ =y y b y y y3

0 .......................................(3) Además, la ecuación diferencial dada no contiene la expresión y b− . Para eliminar ésta expresión de nuestra ecuación (3), podemos usar la ecuación (2), de la que podemos despejar, de una vez ( )y b y− ′,

resultando: ( )y b y x− ′ = − . Éste resultado lo sustituimos en nuestra ecuación (3), y obtenemos:

( )′ − ′′ + ′ =y xy y3

0 Multiplicando por 1− ésta expresión:

( )− ′ + ′′ − ′ =y xy y3

0 Reacomodando los términos:

( )xy y y′′ − ′ − ′ =3

0

Ésta última es la ecuación diferencial por lo que podemos decir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 4.

Determinar si yydtt

tx

x

lnsen

0

=∫ es solución de

xy xy y x x y y′ + ′ = +ln sen ln .

Método

a) Despejando la variable dependiente:

Despejar y de yydtt

tx

x

lnsen

0

=∫ se ve difícil, si no es imposible. Por

esto optamos por no aplicar este método. b) Llegando a la identidad:

Derivando yydtt

tx

x

lnsen

0

=∫ implícitamente (con respecto de x , ya

que x es la variable independiente):

( ) ( )yyy

yyx

dx

ddt

t

tdt

t

t

dx

dx

xx

′+′

=

+

∫∫ lnsen

sen

00

Recordemos que en el ejemplo cuatro de las soluciones expresadas en

forma explícita se vio que 22

0 xx

t edtedx

d=

∫ . En general podemos decir

que ( )

∫

x

dttfdx

d0 ( )= f x . Por lo que en nuestro caso podemos decir

que

∫x

dtt

t

dx

d0

sen =

sen x

x. Así que nuestra expresión queda:

yyydtt

t

x

xx

x

lnsen

sen

0′+′=+ ∫

O bien:

yyydtt

tx

x

lnsen

sen0

′+′=+ ∫

Despejando ′y :

( )yydtt

tx

x

ln1sen

sen0

+′=+ ∫ ⇒ yy

dtt

tx

x

′=+

+ ∫ln1

sen sen0

⇒ y

dtt

tx

y

x

ln1

sen sen0

+

+=′

∫

Ahora sustituimos este resultado en la ecuación diferencial, en la que previamente factorizamos ′y :

( )′ + = +y x x y x x y yln sen ln ⇒

( ) yyxxyxxy

dtt

tx

x

lnsenlnln1

sen sen0 +=+

+

+ ∫

⇒ ( ) yyxxyxy

dtt

tx

x

lnsenln1ln1

sen sen0 +=+

+

+ ∫

⇒ yyxxxdtt

tx

x

lnsensen

sen0

+=

+ ∫

⇒ yyxxdtt

txxx

x

lnsensen

sen0

+=+ ∫

Como la función implícita original nos dice que yydtt

tx

x

lnsen

0

=∫ ,

entonces: ⇒ x x y y x x y ysen ln sen ln+ = +

Esta última expresión es una identidad, por lo que podemos concluir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

c) Llegando a la ecuación diferencial:

La derivada implícita de la función yydtt

tx

x

lnsen

0

=∫ ya la obtuvimos

en la aplicación del método b) y nos resultó:

yyydtt

tx

x

lnsen

sen0

′+′=+ ∫

De ésta expresión debemos obtener la ecuación diferencial dada. Tal ecuación diferencial no posee término con integral y por lo tanto debemos eliminarlo de nuestra expresión. Esto podemos lograrlo usando la función implícita dada, o sea:

∫x

dtt

tx

0

sen = y yln , despejando de ésta a tal integral, quedándonos:

x

yydt

t

tx lnsen 0

=∫ . Y luego sustituimos este resultado en nuestra

expresión:

senln

lnxy y

xy y y+ = ′ + ′

Si ahora multiplicamos por x esta expresión, obtenemos: x x y y xy xy ysen ln ln+ = ′ + ′ O si ponemos esta ecuación al revés, nos queda: xy xy y x x y y′ + ′ = +ln sen ln

Obtenemos la ecuación diferencial, por lo que podemos concluir que la función implícita dada es solución de la ecuación diferencial.

III.14.- Veremos el mecanismo para verificar si un conjunto dado de

expresiones paramétricas es solución de una ecuación diferencial. Si se tiene una ecuación diferencial ordinaria cuyas variables son x y y , la solución de tal ecuación también poseerá tales variables. O sea, será una función de x y y . Se dice que una solución está expresada en forma paramétrica si está representada por medio de un par de ecuaciones en las que tanto la x como la y están escritas en función de una tercera letra, usualmente t , llamada parámetro. En forma general, tal conjunto de ecuaciones paramétricas se puede representar del modo siguiente:

( )x f t= y ( )y g t= En donde, se entiende que f y g son ciertas funciones de t .

III.15.- Para verificar si un conjunto dado de ecuaciones paramétricas es solución de una ecuación diferencial de orden n se dispone de dos procedimientos, a escoger. Estos se describen a continuación. Derivando las ecuaciones paramétricas. Este método consiste en calcular primero las n derivadas:

dy

dx

d y

dx

d y

dx

n

n, , ,

2

2 Κ

Luego se sustituyen estas derivadas junto con las ecuaciones paramétricas en la ecuación diferencial. Si al sustituir se obtiene una identidad, es que la función definida por las ecuaciones paramétricas es solución de la ecuación diferencial. Convirtiendo la solución a ecuación cartesiana. Una manera alternativa de proceder para verificar soluciones dadas en forma paramétrica es convertirlas en cartesianas, es decir, eliminar el parámetro, lo cual no siempre es fácil de hacer, y luego proceder como se indicó en el capítulo 2 para las soluciones dadas en forma explícita (si la ecuación cartesiana obtenida está en forma explícita); o proceder como se indicó en el capítulo 3 para las soluciones dadas en forma implícita (si la ecuación cartesiana que se obtiene es implícita).

III.16. -

Ejemplo 1.

Verifique si x t

y t

=

=

cos

sen2 es solución de yy x′ + =4 0.

Aplicaremos los dos métodos descritos. Método I): Debemos obtener ′y a partir de las ecuaciones paramétricas dadas. Sabemos que para el caso de las ecuaciones paramétricas

( )x f t= y ( )y g t= , la regla de la cadena establece que

dt

dxdt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dyy ===′

De x t= cos tenemos: dx

dtt= − sen y de y t= 2sen tenemos:

dy

dtt= 2cos . Por lo tanto:

t

t

t

t

dt

dxdt

dy

ysen

cos2

sen

cos2−=

−==′

Sustituyendo este resultado de ′y en la ecuación diferencial, junto con las expresiones dadas que definen x y y en función de t , en la ecuación diferencial, y simplificando:

22

4 0sencos

sencost

t

tt−

+ = ⇒ − + =4 4 0cos cost t ⇒ 0 0=

Obtenemos una identidad, por lo que concluimos que las ecuaciones paramétricas dadas definen una solución de la ecuación diferencial. Método ii): Para eliminar el parámetro t de las ecuaciones x t= cos y y t= 2sen , dividimos entre 2 la ecuación y t= 2sen , obteniendo: y

t2 = sen .

Ahora elevamos al cuadrado las ecuaciones: x t= cos y y

t2 = sen ,

resultándonos:

x t2 2= cos y y

t

2

2

4= sen .

Ahora sumamos estas dos ecuaciones: xy

t t2

2

2 2

4+ = +cos sen

Sabemos que existe una identidad trigonométrica que dice que el segundo miembro de esta ecuación es igual a 1. Aplicando esto último llegamos a:

xy

2

2

41+ =

Esta ecuación no contiene t , por lo que es la ecuación cartesiana buscada. Multiplicándola por 4 : 4 42 2x y+ = Podemos probar si esta ecuación cartesiana implícita es solución de la ecuación diferencial aplicando cualquiera de los tres métodos que vimos en el capítulo 3 para verificar tales soluciones. Vamos a aplicar el método b) de ese capítulo, o sea el de llevar a la identidad. Para ello derivamos implícitamente la ecuación: 4 42 2x y+ = , y llegamos a: 8 2 0x yy+ ′ = .

Despejando ′y : 2 8yy x′ = − ⇒ ′ =−

= −yx

y

x

y.8

2

4

Si este resultado de ′y lo sustituimos en la ecuación diferencial dada llegamos a:

yx

yx−

+ =

44 0 ⇒ − + =4 4 0x x ⇒ 0 0=

Llegamos a una identidad y por lo tanto concluimos que la ecuación cartesiana implícita 4 42 2x y+ = y por lo tanto también las ecuaciones paramétricas dadas son solución de la ecuación diferencial. Ejemplo 2.

Determine si x t

y e t=

=

cos es solución de ′ +

−=y

y

x10

2.

Método i):

Para aplicar

dt

dxdt

dy

y =′ necesitamos derivar x t= cos y y e t= .

dy

dte t= y

dx

dtt= − sen . Por lo tanto: ′ =

−= −y

e

t

e

t

t t

sen sen.

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

( )− +

−=

e

t

e

t

t t

sen cos10

2 ⇒ − +

−=

e

t

e

t

t t

sen cos10

2

Sabemos que existe una identidad trigonométrica que dice que: sen cos2 2 1t t+ = . Esta identidad puede escribirse: sen cos2 21t t= − . Usando este resultado en nuestra expresión:

− + =e

t

e

t

t t

sen sen20 ⇒ − + =

e

t

e

t

t t

sen sen0 ⇒ 0 0=

Como obtenemos una identidad concluimos que las ecuaciones paramétricas dadas definen una solución de la ecuación diferencial. Método ii):

Debemos eliminar t del conjunto .

Para ello podemos despejar t de una de estas ecuaciones y sustituir en la otra. Tomemos la ecuación y e t= . Si le aplicamos logaritmo natural a ambos miembros nos queda: ln lny e t= . Ahora recordemos que según la propiedad de logaritmos: log loga

n

ax n x= , puede ser bajado el exponente t de nuestra ecuación a multiplicar a ln , quedándonos: ln lny t e= . Y como lne = 1, nos queda: ln y t= . O bien: t y= ln . Sustituyendo este último resultado en x t= cos obtenemos: )cos(ln yx = . Esta es la ecuación cartesiana buscada. Se trata de una ecuación implícita. La convertiremos en explícita, despejando y , para luego aplicar el método de las soluciones dadas en forma explícita que ya se estudió en el capítulo 2. Le aplicamos arccos a ambos miembros y obtenemos: [ ])cos(lnarccosarccos yx = Como se sabe que: uu =)arccos(cos , entonces, el segundo miembro de nuestra ecuación se transforma y la ecuación queda: arccos lnx y= Si ahora aplicamos la exponencial e a ambos miembros, obtenemos: e ex yarccos ln= Pero sabemos que a xa xlog = , entonces e yyln = por lo que nuestra ecuación llega a ser: e yxarccos =

O bien: y e x= arccos Esta ecuación ya es explícita. Ahora la derivaremos:

( ) ( )′ = = = −−

= −

−y

d

dxe e

d

dxx e

x

e

x

x x x

x

arccos arccos arccos

arccos

arccos1

1 12 2

Sustituyendo este resultado de ′y y la expresión de y en la ecuación diferencial:

−−

+−

=e

x

e

x

x xarccos arccos

1 10

2 2 ⇒ 0 0=

Concluimos que la ecuación explícita y e x= arccos y por lo tanto también las ecuaciones paramétricas dadas son solución de la ecuación diferencial. Ejemplo 3.

Determine si

x tt

y tt

= +

= +

1

2

3

4

1

4

3

4

2

3

ln

t > 0

es solución de la ecuación diferencial ( )′′ − ′ ′′ + =y y y2

2 3 0. Método i): En este problema necesitamos obtener ′y y ′′y .

Tenemos que

dt

dxdt

dy

y =′ .

Y como: ( )dx

dt

d

dtt t

tt

t t= +

=

+ − = −− −1

2

3

4

1

2

1 3

42

1

2

3

2

2 3

3ln

y ( ) ( )dy

dt

d

dtt t t

t= +

= + − = −− −1

4

3

4

1

41

3

43

1

4

9

4

3 4

4

Entonces:

( )( )4

4

3

4

3

4

4

4

2

3

2

14

9

4

1

2

3

2

14

9

4

1

t

t

tt

t

tt

ty

−

−=

−

−=′

( )( )( )=

−−

=+ −

−=

+t

t t

t t

t t

t

t

4

3

2 2

2

29

2 6

3 3

2 3

3

2

Para obtener ′′y aplicaremos también la regla de la cadena del modo siguiente:

( ) ( )( )( )

3

2

22

3

2

2

3

2

2

3

2

14

624

2

3

2

1

2

2322

2

3

2

1

2

3

tt

t

tt

tt

t

ttt

tt

t

t

dt

d

dt

dx

dx

dy

dt

d

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

dy

dx

dy

−

−−

=−

+−

=−

+

=

=

=

=′′

( )( )3

3

3

2

2

3

2

2

4

4

2

3

2

14

62

2

3

2

14

62

t

t

tt

t

t

tt

t

t

y

−

−

=−

−

=′′ ( )

tt

tt=

−−

=62

622

2

Ahora sustituimos estos resultados en la ecuación diferencial:

tt

tt2

2

23

23 0−

++ = ⇒ ( )t t2 2 3 3 0− + + = ⇒ t t2 2 3 3 0− − + =

⇒ 0 0= Obtenemos una identidad; así que podemos decir que las ecuaciones paramétricas dadas definen una solución de la ecuación diferencial. Método ii):

Eliminar t de las ecuaciones paramétricas

x tt

y tt

= +

= +

1

2

3

4

1

4

3

4

2

3

ln

t > 0

presenta obstáculos algebraicos. No aplicaremos este método. Ejemplo 4.

Determine si x t

y a b t ct

=

= + +

ln

ln es solución de la ecuación diferencial

′′′ − ′′ =y y2 0. a , b y c son constantes. Método i): En este problema necesitamos obtener hasta la tercera derivada.

Para calcular la primera derivada con

dt

dxdt

dy

y =′ necesitamos

obtener: dy

dt y

dx

dt, que son:

( ) ( ) ( )dx

dt

d

dtt

d

dtt

d

dtt

d

dtt

t t= = =

= =

=ln ln ln ln/1 2

1

2

1

2

1

2

1 1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ct

bc

tbt

dt

dc

dt

dx

tdt

dba

dt

dcttba

dt

d

dt

dy+=+

+=++=++=

22

10

esEsta

lnln434 21

Por lo tanto:

( )( )tt

t

ct

b

t

ct

b

y2

2

2

12

2

12

+=

+=′ ctb

ctb2

1

2+=

+=

La segunda derivada puede calcularse con la fórmula:

dt

dx

dx

dy

dt

d

y

=′′

Y resulta:

( )ct

t

c

t

c

t

ctbdt

d

y 4

2

11

2

2

1

2

2

1

2===

+=′′

Para calcular la tercera derivada, la fórmula también puede deducirse de la regla de la cadena y es:

dt

dx

dx

yd

dt

d

dx

dt

dx

yd

dt

d

dx

yd

dx

dy

=

=

=′′′

2

2

2

2

2

2

Por lo tanto tenemos:

( )ct

t

c

t

c

t

ctdt

d

y 8

2

11

4

2

1

4

2

1

4====′′′

Sustituyendo los resultados de ′′y y ′′′y en la ecuación diferencial:

( )8 2 4 0ct ct− = ⇒ 8 8 0ct ct− = ⇒ 0 0= Concluimos que las ecuaciones paramétricas definen una solución de la ecuación diferencial. Método ii): Debemos eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas dadas, y esto parece más fácil de hacer despejando de la ecuación que define x . Haciendo esto tenemos:

x t= ln ⇒ e ex t= ln ⇒ e tx = ⇒ ( )e tx 2

= ⇒ e tx2 =

⇒ t e x= 2 Ahora sustituimos este resultado y la expresión x t= ln en la ecuación que define y , o sea en y a b t ct= + +ln , quedando la siguiente ecuación cartesiana: y a bx ce x= + + 2 Esta ecuación está en forma explícita. Podemos verificar si es solución de la ecuación diferencial derivándola tres veces:

′ = +y b ce x2 2 ′′ =y ce x4 2 ′′′ =y ce x8 2

y luego sustituyendo en la ecuación diferencial ′′′ − ′′ =y y2 0:

( )8 2 4 02 2ce cex x− = ⇒ 8 8 02 2ce cex x− = ⇒ 0 0=

Concluimos que la ecuación y a bx ce x= + + 2 es solución de la ecuación diferencial y por lo tanto las ecuaciones paramétricas dadas también lo son.

IV.17. - La solución general de una ecuación diferencial es una solución que

posee tantas constantes arbitrarias como el orden de la ecuación diferencial. Si la solución general tiene una constante arbitraria, ésta se suele representar con la letra: c Si son varias se les distingue numerándolas:

1c , 2c , 3c , ...

IV.18.- Una solución particular es una solución que se obtiene de la solución general asignándole valores específicos a una, a varias o a todas las constantes arbitrarias. Ilustraremos estas dos definiciones con algunos ejemplos.

IV.19.-

Ejemplo 1. Puede verificarse fácilmente que la función:

xx ecey3

12 += −

Es solución de la ecuación diferencial: ′ + =y y e x2

En la solución, c es una constante arbitraria. Como la ecuación diferencial es de orden 1 y la solución tiene 1 constante arbitraria, entonces tal solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si tomamos c = 2 en la solución general, nos resulta: xx eey

3

122 += − .

Ésta es una solución particular de la ecuación diferencial dada. Ejemplo 2. No es muy difícil probar que: y

c x c

2

1 22= +

Es solución de la ecuación diferencial:

( )yy y′′ + ′ =2

0. Como la solución posee dos constantes arbitrarias, c1 y c2 , tantas como el orden de la ecuación diferencial, entonces es la solución general de tal ecuación. Si tomamos c1 1= − y c2 4= , y los sustituimos en la solución general, obtenemos:

y

x

2

24= − +

Esta es una solución particular de la ecuación diferencial dada. Si ahora tomamos c1 0= y c2 0= , nos resulta: y

x

2

20 0= + ⇒

y 2

20= ⇒ ( )y 2 0 2= ⇒ y 2 0= ⇒ y = ± 0

⇒ y = 0 y = 0 es otra solución particular de la ecuación diferencial. Por cierto que la solución y = 0 es solución de muchas ecuaciones diferenciales y se le llama solución trivial. Ejemplo 3. Usted puede comprobar que: y c e x c= +

1

5 2 Es solución de:

′′ − ′ + =y y y6 5 0 La solución posee dos constantes, c1 y c2 , por lo que uno podría pensar que se trata de la solución general; pero veamos que ocurre si manipulamos la expresión algebraicamente del modo siguiente: xccxcx eeceececy 5

1

5

1

5

1 )( 222 === + La expresión encerrada entre paréntesis es una constante, a la que podemos llamar, por ejemplo, c , quedándonos: y ce x= 5 ....................................................................(1) Esta expresión nos indica que la solución dada posee una sola constante arbitraria, por lo que no puede ser la solución general de una ecuación diferencial de orden 2. Puede usted comprobar que: y c e c ex x= +1

5

2 es solución de la ecuación diferencial dada, y las constantes que aparecen allí son realmente arbitrarias, por lo que es la solución general de la ecuación diferencial. Si en ella tomamos c2 0= , nos queda: y c e x= 1

5 Ésta expresión fue obtenida de la solución general y posee una sola constante arbitraria, que es c1, por lo que es una solución particular de la ecuación diferencial. Pero a dicha constante también se le puede llamar simplemente c , quedando: y ce x= 5 , que es la misma que la ecuación (1), la cual es a su vez otra manera de escribir la solución dada. Podemos decir, por lo anterior, que la solución dada, es decir, la ecuación (1), es sólo una solución particular de la ecuación diferencial, ya que acabamos de demostrar que puede obtenerse de la solución general. Ejemplo 4. No es muy complicado demostrar que la función: y c x c x e c ex x= − +1 2

2 1

3

2ln / Es solución de la ecuación diferencial:

′′′ − ′′ =y y2 0

Y debido a que posee sus tres constantes: c c1 2, y c3, podría pensarse que tal función es la solución general de la ecuación diferencial dada. Sin embargo, tal función puede rescribirse del modo siguiente:

( )y c x c xx

e c e c x c x e c e c x c x c e c x c x c ex x x x= −

+ = − + = − + = − +1 2

2

3

2

1 2 3

2

1 2 3

2

1 2 3

21

1ln ln

⇒ ( )y c c x c e cx c ex x= − + = +1 2 3

2

3

2 En la última expresión se tomó c c c1 2− = . Por lo tanto, la aparente solución general se ha reducido hasta y cx c e x= + 3

2 , la cual posee sólo dos constantes arbitrarias; y una solución con dos constantes arbitrarias no puede ser la solución general de una ecuación diferencial de orden tres. La verdadera solución general de la ecuación diferencial dada es y c c x c e x= + +1 2 3

2 . Esto puede ser verificado fácilmente por el lector. V.20.- Ya sabemos que las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

se caracterizan por poseer derivadas o diferenciales de primer orden. Este tipo de ecuaciones puede expresarse en cualquier manera concebible, sólo que entre todas estas, existen algunas con nombre especial y que ahora estudiaremos. Veremos tres maneras de expresar una ecuación de este tipo:

La forma general. La forma estándar. La forma diferencial. Estudiemos una por una estas formas.

V.21.- Una ecuación diferencial de primer orden está en su forma general

cuando se encuentra igualada con cero, su forma es: ( ) 0,, =′yyxF

Ejemplos. Las siguientes ecuaciones están en forma general. ( )x y y x y− ′ − =2 0.

03 =+′yx .

0=− ydx

dy.

y

yy

′− =2 0.

′ =y 0. V.22.- Una ecuación de primer orden está en su forma estándar cuando la

derivada está despejada, por lo que su forma es: ( )′ =y f x y,

Ejemplos. Las siguientes ecuaciones están en forma estándar.

′ = −y x y y2 2sen .

′ =−

yxy y

xln.

12 += xdx

dy.

txdt

dx+= .

′ =y 0. La ecuación diferencial de este último ejemplo 5 está a la vez en forma estándar y en forma general, porque tiene a la y′ despejada y la ecuación está igualada con cero.

V.23.- La forma diferencial de una ecuación de primer diferencial de primer orden es:

0),(),( =+ dyyxNdxyxM En esta expresión, ),( yxM y ),( yxN son funciones de x y y, o sólo de x , o sólo de y, o constantes. O sea, una ecuación diferencial está en forma diferencial, cuando se tiene una suma funciones multiplicadas por los diferenciales, e igualado todo a cero. Las siguientes ecuaciones diferenciales están en forma diferencial. ( )xy y dx x ydy+ − =3 2 0.

En esta ecuación: ( )M x y, = +xy y 3, mientras que: ( )N x y, = −x y2 . Note

que ( )N x y, incluye en signo negativo. − + =dx ydy2 0.

Aquí, ( )M x y, = −1 y ( )N x y, = 2y . 3 0dy = . Esta ecuación se puede rescribir: 0 3 0dx dy+ = de la que se desprende que: ( ) 0, =yxM y ( ) 3, =yxN .

V.24.- La expresión de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden puede alterarse manipulándola algebraicamente para escribirla en cualquiera de las tres formas que se mencionaron. Ejemplo 1. La ecuación diferencial ( )x y y xy+ ′ + =2 0 está en su forma general. Escríbala en forma estándar y en forma diferencial. Para convertir la ecuación a la forma estándar, despejaremos ′y de la ecuación dada:

⇒ ( )x y y xy+ ′ = − 2 ⇒ ′ = −+

yxy

x y

2

Para convertir a la forma diferencial, podemos usar la forma general dada o la forma estándar obtenida. Usando la forma general dada:

( )x y y xy+ ′ + =2 0 ⇒ ( )x ydy

dxxy+ + =2 0 ⇒

( ) ( )x ydy

dxxy dx+ + =2 0

⇒ ( )x y dy xy dx+ + =2 0 ⇒ ( )xy dx x y dy2 0+ + = Usando la forma estándar que obtuvimos, se llega al mismo resultado:

′ = −+

yxy

x y

2

⇒ dy

dx

xy

x y= −

+

2

⇒ ( )x y dy xy dx+ = − 2 ⇒

( )xy dx x y dy2 0+ + = Ejemplo 2.

La ecuación diferencial dy

x

ydx

e x++ =1

0 está en su forma diferencial.

Escríbala en forma general y en forma estándar. Note que la ecuación dada no está en forma general, porque a pesar de

que está igualada con cero, no contiene y′ o dx

dy.

Para expresarla en forma general dividimos la ecuación entre dx :

( )dy

x dx

ydx

e dxx++ =

10 ⇒ ( )

1

10

x

dy

dx

y

e x++ = ⇒

( )1

10

xy

y

e x+′ + =

⇒ ′

++ =

y

x

y

e x10

Para expresarla en forma estándar, tomamos la forma general obtenida y despejamos ′y :

′+

+ =y

x

y

e x10 ⇒

′+

= −y

x

y

e x1 ⇒

( )′ = −

+y

y x

e x1

Ejemplo 3. La ecuación diferencial ( )′ = −y xy y x1 3 está en su forma estándar. Escríbala en forma general y en forma diferencial. Escribiéndola en forma general:

( )′ = −y xy y x1 3 ⇒ ( )′ − − =y xy y x1 3 0 Escribiéndola en forma diferencial:

( )′ = −y xy y x1 3 ⇒ ( )dy

dxxy y x= −1 3 ⇒

( )dy xy y dxx= −1 3

⇒ ( )0 1 3= − −xy y dx dyx ⇒ ( )xy y dx dyx− − =1 3 0 V.25.- Surge la pregunta: ¿siempre es posible convertir una ecuación

diferencial de primer orden de una forma en otra? Tratemos de responder esta pregunta. Veamos lo siguiente: La forma estándar: ( )′ =y f x y, , puede rescribirse: ( )′ − =y f x y, 0, la cual es una expresión que en su miembro izquierdo posee x , y y ′y , y su

miembro derecho es cero, por lo que es del tipo: ( )F x y y, , ′ = 0 , que es la forma general. Entonces, siempre es posible pasar de la forma estándar a la general. La forma estándar: ( )′ =y f x y, , podemos modificarla del modo siguiente:

( )dy

dxf x y= , ⇒ ( )dy f x y dx= , ⇒ ( )dy f x y dx− =, 0 ⇒

( )− + =f x y dx dy, 0 Si observamos la última expresión, la podemos comparar con:

( ) ( )M x y dx N x y dy, ,+ = 0

tomando: ( ) ( )M x y f x y, ,= − y ( )N x y, = 1. De esto podemos concluir que siempre es posible pasar una ecuación de la forma estándar a la forma diferencial. Una forma diferencial, podemos modificarla del modo siguiente:

( ) ( )M x y dx N x y dy, ,+ = 0 ⇒ ( ) ( )N x y dy M x y dx, ,= − ⇒

( )( )

dy

dx

M x y

N x y= −

,

,

⇒ ( )( )′ = −y

M x y

N x y

,

,

La expresión del miembro derecho de esta última ecuación es un cociente de funciones de x y y, de lo cual resulta una expresión que es función también de x y y, la que podemos representar simplemente:

( )f x y, , quedándonos: ( )′ =y f x y, , la cual es la forma estándar de una ecuación diferencial. Concluimos que siempre es posible pasar una ecuación diferencial de la forma diferencial a la estándar. La forma diferencial: ( ) ( )M x y dx N x y dy, ,+ = 0, podemos dividirla entre:

dx , quedándonos: ( ) ( )M x ydx

dxN x y

dy

dx, ,+ = 0. O bien:

( ) ( )M x y N x y y, ,+ ′ = 0 . Y si analizamos esta última ecuación, notamos que en su miembro izquierdo posee x , y y ′y , y su miembro derecho

es cero, por lo que es del tipo: ( )F x y y, , ′ = 0 , que es la forma general. Entonces, siempre es posible pasar una ecuación de la forma diferencial a la general. Si de una ecuación diferencial en forma general: ( )F x y y, , ′ = 0 , no podemos despejar ′y , entonces, en ese caso, no podremos escribirla en su forma estándar, y como consecuencia, tampoco en su forma diferencial . En conclusión, siempre es posible pasar una ecuación diferencial ordinaria de una forma a otra, excepto el caso en que de la forma general no sea posible despejar la derivada.

VI.26.- Ecuaciones con variables separables:

Cuando los términos de una ecuación diferencial pueden disponerse de manera que tome la forma:

0)()( =+ dyyFdxxf siendo )(xf una función de x únicamente y )(yF una función de y únicamente, el procedimiento de resolución se llama de separación de variables y la solución se obtiene por integración directa. Así, integrando esa ecuación obtenemos la solución general:

cdyyFdxxf =+ ∫∫ )()(

en donde c es una constante arbitraria. De manera frecuente muchas ecuaciones no tienen esta forma pero pueden reducirse a ella mediante la siguiente regla: PRIMER PASO: Quitar denominadores.- se multiplican todos los términos por el diferencial de la variable independiente. SEGUNDO PASO: se sacan los diferenciales como factor común, entonces la ecuación tomará la forma:

0´´ =+ dyYXXYdx en donde X y X´ son funciones de x exclusivamente y Y y Y´ son funciones de y únicamente, dividiendo todos los términos por X´Y. TERCER PASO: se integra cada parte separadamente. Ejemplo: resuelva la siguiente ecuación:

( )xyx

y

dx

dy2

2

1

1

++

=

VII.28.- Ecuaciones homogéneas:

Se dice que una ecuación de x y y es homogénea en las variables, si

el resultado de reemplazar x y y por λ x y λ y ( siendo λ una constante arbitraria) se reduce a la función primitiva multiplicada por alguna potencia de λ. El exponente de esa potencia de λ se llama el grado de la función primitiva. O sea, se dice que la ecuación diferencial: 0=+ NdyMdx es homogénea cuando M y N son funciones homogéneas de x y y del mismo grado. Tales ecuaciones diferenciales pueden resolverse haciendo la sustitución uxy = . Esto nos dará una ecuación diferencial en u y x en la que las variables son separables y las podremos resolver según el método anterior.

VIII.32.- Ecuaciones Lineales:

La ecuación diferencial lineal de primer orden en y es de la forma:

QPydx

dy=+

siendo P y Q funciones de x únicamente, o constantes. Asimismo, la ecuación:

JHxdy

dx=+

siendo H y J funciones de y o constantes, es una ecuación diferencial lineal. Para integrar la primera ecuación hagamos uzy = en donde z y u son funciones de x que deben determinarse. Derivando obtenemos:

dx

duz

dx

dzu

dx

dy+=

sustituyendo los valores el resultado es:

QPuzdx

duz

dx

dzu =++ ,o sea,

QzPudx

du

dx

dzu =

++

Ahora determinamos u , integrando la ecuación

0=+ Pudx

du

en donde las variables x y u son separables. Empleando el valor de u así obtenido, hallamos z resolviendo la ecuación

Qdx

dzu = ,

en donde x y z pueden separarse y la solución se obtendrá sustituyendo en:

uzy = INTEGRACIÓN CONCEPTUAL: (El Titular Académico, conocerá las respuestas), De los problemas que presentan los fenómenos físicos que siguen siendo parte de la vida del ser humano en la naturaleza, basándose para ello en las leyes existentes que rigen el comportamiento de dichos fenómenos y apoyándose también en su espíritu de asombro y de observación logrando así conjugar ambas cosas (conocimientos existentes y aplicación de los sentidos) para poder llegar al punto de enlace entre los conceptos y su aplicación real. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- REPORTES CRÍTICOS O SUGERENTES A: Ing. Manuel de Jesús Valdez Acosta, Secretario General. Universidad Autónoma Indígena de México (Correo electrónico ingvaldez@uaim.edu.mx ); MC Ernesto Guerra García, Coordinador General Educativo. (Correo electrónico: eguerra@uaim.edu.mx ) Benito Juárez No. 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa, México. C.P. 81890, Tel. 01 (698) 8 92 00 42.

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA INDÍGENA DE MÉXICO

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