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:-rrn de Llna

r denomina

t¡iLrstran¡lo

SOLUCIONES DE I-AS ECUACIONES DIFERENCIALES

PROBLEMAS PROPUESTOS

1l

Demostrar que cada una de las siguientes expresiones es una solucién de la correspondiente ecuación dilerencial.il.,sificar caCa una como una solución particular o una solución general (primitiva).

-2l-1. Y=zÁ'2214. x +Y rU,

15. ! = Cz + C+,

16. (l-x¡Yz = at,

l-. J = ex(r-x),

It. ¡' = Cú + Cre",

19. i- = Cfx + Cre**"

:u. !=C*x+Cr"'*+x-4,t tv

:1. .v = L* + L2e

:1. ! = Ctex + C2ezx r,'"t,

xY' = 2Y.

yyt+ x = 0,

y = xyt + (yt)'+ "

k1 y' = y1y2 + Jxz¡.

y"-2y'+y=0.

(x-L)Y"-xyt+Y=0.

y"-y=0,

y" - y = 4 - x,

y"-3y'+2y=0,

Y" - 3Yt+ 2Y = zen1l-x¡.

Solución particular

Primitiva

Primitiva

Solución particular

Solución particular

Solución general

Solución general

Solución general

Solución general

Solución generál

1.2 lntegroles como soluciones generoles y porticulores 17

para la trayectoria del nadador. La condición inicial y(-]) = 0 hace Que c : 1, y así

Entonces

y(x) :3x - 4x3 + I.

y(+):3(+) -+G)'+r:2,así que el nadador es llevado por la corriente 2 mi abajo, mientras que él nada 1 mi a

Tlo largo del río.

Problemas

En los problemas I al l0 encuentre la función y : f(x) quesatisfaga la ecuación difurencíal dada y la condición inicialprescrita.

dt,

'' ú :2x-t t" Y(o) : 3

dt2'

dx : (x -212: Y(21 : I

dtt,. ñ: Jx:yA):0

4- + :1: v(r) : sax

s. y:-!, r'(2): -ldx t/x+2'dv

6. dx

: ¡r/xr + 9l )¡(-4) : 0

7.y:,10-'v(0):o B.Ax x'+ ldvú: "ot2r;

y(0) : I

^ dv I dvn' *: JT=7t Y(or : o lo' fr: "-" Y(o): I

En los problemas lI al ,/8, encuentre lafunción de posiciónl(t) de una partícula moviéndose con una aceleración dadadt); considere como posición inicial xs: ¡(0) y como veloci-dad inicial ue : u(0).

ll. a(t): 50, os :10,xo:2912. a(t) : -20, uo : -15, xo : 5

lj. a(t) : 3t , uo: 5, xo : g

14. a(t) : 2t + l, ut) : -7 , ¡r: 415. a(t): 4(r + 3)2.u0:-1. xo: ¡

16. a(r): + Do:-t.xo:t'/t+4

17. a(t): -l-== . D6 : o. xo : e(/+ t;: "

lE. a(t): 50 sen 5/, o6 :-10,x0 : g

En lo s problemas I 9 al 22, una partícula inicia su recorrido enel origen y viaja a lo largo del eje x con unafunción de veloci-dad a(t) cuya grófica se muestra en las figuras I .2.6 a la L2 .9.Trace lq grdfica de lafunción para la posición que resultanterdt) en el intervalo 0 s /< 10.

6t¡

FIGURA 1.2.6. Gráfica de la funciónpara la velocidad o(r) del problema 19.

(5, s)

t

FIGURA 1.2.7. Gráfica de la funciónpara la velocidad u(t) del problema 20.

19.

t0

t0

1020.

AS

ilabl

i

p)

I

lelI

I

papIaito

Ii

i1

fe-

L

le)21. ro

8

02 6810.T

FIGURA 1.2.8. Gráfica de la funciónpara la velocidad D(t) del problema 21.

h

46.

47.

740 Respuestos o problemos seleccionodos

u(¡) : 50/( 5 + 2t); u : 1 cuando t : 22.5, y u : I cuando

t : 24'7.5. Así, se observa que u(r) se aproxima a 0 conforme /se incrementa sin cota.

(a) C : 10.1; (b) No es C, pero la función constante y('r) = 0satisface las condiciones y' : y2 y )(0) : 0.

Sección 1.2

1. y(r):x2+x+3 2, Y(x)::(x-2)'+1

3. l(x) : \(2xlt'z - 16) 4. v(t) :- tl x + 6

5. y(r) :2",r;Tt-5 6. y(t)::t(x'z +9)3/2 -t251

7. y(r): 10tan r¡ 8. Y(t) : ! sen2x * 1

9. y(x) : sen-'x 10. Y(x) :- (x + 1)e ' +2

ll. x(t):25t2+ 10r+20 12. x(t):-70t2 -15/+513. ;r(¡) - lt3 +5t 14. x(t): \,'+ lt2 -7t +4

15. x(/): lt, - 3't4 -37t -26

16. x(t) : 1Q + 4)3tz - 5t - D

17. x(t): i [t¡ + l) r +r - 1]

ís, sio<r<5,19'xt¡r:ll* 1,, ? si5<¡<ro.

21. x(t) :

22. x(t¡ =

si0<¡<5,si5<¡<10.tu - +t2 -25

40

30

>20

10

0

2,'Jr-;l{-st'+1oo/-290)

t

si0<¡<3,si3<¡<7,si7=/<10.

zo. *t,, :[i" ,. sio < I < 5'-"--"- [5, ; si5<r<10.

¡n

.,1""',ttl

,t6,2st

j"I

23. u(t) : - (9.8)f + 49, de tal manera que la bola alcar: 'x al!üuüm

miíxima (u : 0) después de ¡ : 5 s. Su altura máxrr'. :y(5) : 122.s (m).

u(5) : -160 ftls

El carro se detiene cuando / = 2.78 (s), de ta1 mane:' :'L'

que recorre antes de pararse es de aproximadament: - - ' :

(a)r= 530m (b)t x 20.41s (c)rt 20.61 s

)o ! 178.57 (m)

u(4.77¡x-192.64ft|s

Después 10 s e1 carro ha recorido 200 ft y viaja a

a : 22ftls2; patina por 4 s.

u6 : 10 "40

(-¡ t, cerca de 197.18 km/h.

33. 20llio ! 6-¡.1-' -36. Cerca de 13.ó -

30

.20

10

0

30

>20

l0

0

10

24.)<

26.

27.

28.

29.30.

31.

32.

34.

35.

37.

39.

41.

43.

Si uo : g y lo : hentonceslavelocidady la i:'-. : -

dadasporu : -gty y : 0.5porloque.si' : :l--:

mentonces u- -g

'/f

: ,'ERh

60m

460.8 ft

25 (mi)

6 mph

f = 181.33 ftls

38. t:topm

40. 2.4 mi

42. 25 njTiempo: 6.12245 x 10e s = 194 años;

f)istancia: 1.8367 X 1017 m = 19.4 años luz

.i"'.i , ,,"''

.r/(5.12.5\,'

a: .. J...:.i.\

'",i1j'' i

0

44- Cerca de 54 mi/hora