UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA”UNAD”

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES 100412A_224

GRUPO: 100412_52

TUTOR: FRANCISCO FERNANDEZ

Foro Trabajo Colaborativo Fase 2

PRESENTADO POR:

CLAUDIA YAMLE PALACIOS

PEDRO IGNACIO MELO

OCTUBRE 2015

´

INTRODUCCION

El Trabajo se realizo es básicamente de resolver el problema del

valor inicial determinar los pares de funciones, las Ecuaciones

Diferenciales por el método de Coeficientes constantes e

indeterminados como hemos manifestado en el primer Trabajo

Colaborativo.

Las Ecuaciones Diferenciales constituyen uno de los más

poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y

modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor

variedad a saber que aquellos contienen dinámicas que expresan

evolución transformación o cambio en términos de algún conjunto

de parámetros son por eso de especial importancia practica y

teórica para los Ingenieros de cualquier rama. La construcción de

modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real

se ha destacado como uno de los aspectos más importante en el

desarrollo teórico en cada una de las ramas de la ciencia. Con

frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una

función y sus derivadas desempeñan papales decisivos. Tales

Ecuaciones son llamadas Ecuaciones Diferenciales.

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior

A. Homogénea coeficientes constantes

Ecuación auxiliar

Encontramos las raíces

Solución general

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de

coeficientes indeterminados

Suponemos:

Reemplazando en la ecuación original:

•

•

Solucionando, tenemos:

Solución general tiene la forma:

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una

expresión que relaciona una

variable independiente x con una variable dependiente y(x) y su

primera derivada

y0(x):

F(x, y(x), y0(x)) = 0, x 2 [a, b].

Por ejemplo, son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden las siguientes:

y0(x) = 0,

dy

dx

= y, y + (y0)1/3 + 25x = sen(x).

Para representar la derivada de y respecto de x usaremos

indistintamente las notaciones

y0, y0(x) o dy

dx. Salvo que sea necesario por claridad, en general no

expresaremos

la dependencia de la variable y respecto de x:

F(x, y, y0) = 0, x 2 [a, b].

Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una

función

Indique cuales de las siguientes ecuaciones. Son diferenciales

Lineales Homogéneas con coeficientes constantes y cuales son

diferenciales Lineales no homogéneas y resuelva:

A.

Solución:

(

(

Utilizando las condiciones iniciales que obtenemos dos

ecuaciones C1 y C2 Puesto que Y (0) = 3 entonces c1 + C2 = 3

B.

Solución:

C.

Solución:

La Ecuación auxiliar es

(

General la solución

2. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de orden superior:

Una masa que pesa 4 lb., estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en

equilibrio y se le aplica una velocidad de pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

Modelo:

Esta es la ecuación la forma de la diferencial a resolver.

Ahora se deben definir los parámetros de la ecuación diferencias:

Peso:

Ley de hook

Quedando a la ecuación diferencial como:

Del enunciado del problema las condiciones iniciales son:

Solución a la ecuación diferencial:

La solución es de la forma:

Y la ecuación a resolver es:

La solución se basa en:

Factor izando como:

Quedando la solución de la ecuación diferencial como:

Usando las condiciones iniciales:

Finalmente se tiene entonces que la soluciona la ecuación diferencial es:

Donde la amplitud es:

El periodo es:

Y La frecuencia es:

¿Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio?

La posición de equilibrio es cuando x=0 para ese resorte y esa masa, en ese orden de ideas:

De forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.

Situación y solución planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial:

Nota: El ejercicio que nos muestra la Guía de Actividades no es la solución verdadera ya que se debe definir bien los conceptos de las tres partes como son: Caso 1 Subamortiguado con sus respectivas variantes y proceso, Caso 2 Movimiento amortiguado con sus variantes y su procedimiento correcto, Caso 3 Sobre amortiguado con sus variantes y su proceso de solución.

Caso 1 Subamortiguado

Porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces M1 y M2 son complejas.

Solución Exacta

; ; Entonces la solución general de la

Ecuación es ( t t

Caso 2 Movimiento amortiguado b

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre.

Las fuerzas de Amortiguamiento actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza esta expresada por un múltiplo constante de dx/dt cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton.

x /

Al dividir la Ecuación (10) por la masa m. La Ecuación Diferencial del

movimiento amortiguado es de x / t )

O sea

x / x

Donde

2

El símbolo 2x solo se usa por comodidad algebraica porque así la ecuación auxiliar queda

,

Caso 3 Sobre amortiguado b = 14

Porque el coeficiente de amortiguamiento

Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio.

Esta es la solución correcta del problema plantado donde se pudo evidenciar que por medio de las formulas se pude concluir que el ejercicio se soluciona de esta manera con sus respectivo procesos paso por paso.

Conclusión

En el mundo real esto no es posible. En todo proceso físico hay perdidas por tal motivo que sea no existe el movimiento continuo.

El Amortiguamiento de este movimiento vibratorio armónico simple

El Amortiguamiento se comporta como una fuerza proporcional a la velocidad

La fuerza del Amortiguamiento es igual que la causada por la elasticidad

La Fuerza es menor que la causada por la elasticidad

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Campos, B., Chiralt, C.  (2011). Ecuaciones diferenciales. Departamento de Matemáticas Universidad Jaume I. Castellón de la Plana: Publicacions de la Universitat Jaume I.Leer páginas 115 a 118   ISBN: 978-84-693-9777-0 

Recuperado de: http://www.etnassoft.com/biblioteca/fundamentos-matematicos-de-la-ingenieria/

Video solución ecuación diferencial por variación de parámetros

Video solución ecuación diferencial método de coeficientes indeterminados

• Bressan, J. C. & Ferrazzi de Bressan, A. E.(1995). Cuadernos UADE 88: Nociones de trigonometría y vectores. Buenos Aires: Ediciones UADE.

• Bressan, J. C. & Ferrazzi de Bressan, A. E.(1999). Cuadernos UADE 140: Introducción al análisis vectoria. Primera parte: funciones vectoriales, cálculo diferencial vectorial. Buenos Aires: Ediciones UADE.

• Bressan, J. C. & Ferrazzi de Bressan, A. E.(1995). Cuadernos UADE 56: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Buenos Aires: Ediciones UADE.