2- Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Veremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y sus mtodos de resolucin.

2.1 Ecuaciones Diferenciales a Variables Separables

Se dice que la ecuacin diferencial es a variables separables si se puede expresar :

( ) ( )y f x g y' =

Por lo que como

( ) ( )dydx f x g y= es

( ) ( )dy

g yf x dx=

Integrando ambos miembros de la igualdad se tiene

( ) ( )dy

g yf x dx=

obteniendo la solucin general de la ecuacin diferencial.

Ejemplo: Sea la ecuacin

yx

y'+ = 0

es a variables separables.

Como yx

y'= es y dy x dx = .

Integrando se obtiene la solucin general

x yC

2 2

2 2+ =

Observemos que agrupando constantes se puede escribir

x y K2 2+ =

2.2 Ecuaciones Diferenciales Homogneas

La ecuacin diferencial es homognea si ( )y f x y' ,= donde f(x,y) es una funcin homognea de grado 0.

Haciendo el cambio de variables y = u . x, la ecuacin se transforma en una ecuacin a variables separables.

Ejemplo Sea la ecuacin

yx y

xy'=

+3 3

23

como

( ) ( )( ) ( )f x yx y

xyf x y =

+

=, ,

3 3 3

3 23 es homognea.

Sea y = u . x, por lo que la ecuacin se transforma en:

u x ux u x

xu x

u

u' + =

+=

+3 3 3

2 2

3

2313

o sea

dudx x

u

uu

u

u =

+ =

13

1 23

3

2

3

2

es decir 3

1 2

2

3u

udu

dxx

=

ecuacin diferencial a variables separables. Su solucin general es:

( )x u C2 31 2 =

Sustituyendo la variable uyx

= se obtiene la solucin general de la ecuacin diferencial:

yx C x

=

33

2

Si y(1)=1, la solucin particular es

yx x

=

+33

2

2.3 Ecuaciones Diferenciales Lineales

Una ecuacin diferencial es lineal si puede expresarse como

( ) ( )y f x y g x'+ =

Si multiplicamos por el factor ( )

ef x dx

(factor integrante) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y e f x e y g x ef x dx f x dx f x dx' . + =

por lo que :

( ) ( ) ( )ddx y e g x e

f x dx f x dx

= . (por qu?)

entonces

( ) ( ) ( )y e g x e dx Cf x dx f x dx = + . o sea

( ) ( ) ( )y e g x e dx Cf x dx f x dx= + +

.

Solucin general de la ecuacin diferencial lineal.

Ejemplos

1) Sea la ecuacin diferencial x y y x e x = ' 4 6

Como yx

y x e x' = 4 5

es una ecuacin diferencial lineal.

Su solucin general es

y e x e e dx Cxdx

x xdx

=

+

4

54

o sea

( )( )y x e x Cx= +4 1 (por qu?)

2) Ahora podemos resolver el problema planteado al inicio. La ecuacin planteada es

( ) ( ) ( )cahtpdbhdtdp

+=++

que se puede escribir como:

( ) epktpkdtdp

=+ , donde k = h . (b + d)

es una ecuacin diferencial lineal de primer orden. Resolviendo resulta:

( ) ( )( ) tkee eppptp += 0

solucin de la ecuacin diferencial (verificar).

Como k>0 (por qu?), resulta que

lim

En consecuencia con el supuesto planteado, la trayectoria temporal

Si graficamos p(t) observamos que es una curva exponencial.

Si p(0)>pe es una curva exponencial decreciente. (exponencial creciente. (por qu?

Hasta aqu se han resuelto algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.Para el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias de mayor orden se estudiarn las ecuaciones lineales a coeficientes constantes.

solucin de la ecuacin diferencial (verificar).

), resulta que

( ) ( )( )[ ]=+=

tkee

tteppptp 0limlim

( )( ) etkt

ee peppp =+=

lim0

(por qu?

En consecuencia con el supuesto planteado, la trayectoria temporal p(t) converge en el tiempo a

observamos que es una curva exponencial.

es una curva exponencial decreciente. (por qu?) y si p(0)