1. 1. Barrera de potencial Integrantes Julin David Hoyos Guerrero 102211010227 Juan David Muoz Bolaos 102212011232
2. 2. Qu es el tunelamiento cuntico? A nivel cuntico, la materia tiene propiedades corpusculares y ondulatorias. El tunelamiento puede slo ser explicado mediante la teora cuntica. Clsicamente, cuando una partcula incide en un barrera de mayor energa que la partcula, entonces se presenta reflexin total. Cuando se le asocia una funcin de onda a la partcula, est tiene un probabilidad de que exista en la barrera e incluso luego de la barrera. El video muestra el efecto tnel cuando la barrera cambia de grosor.
3. 3. Por qu puede ser posible esto? La solucin de la ecuacin de Schrdinger en una zona diferente a la barreara tiene la forma general (I) La solucin en la barrera es de la forma (II) La funcin de onda decae exponencialmente en la barrera Si existe alguna porcin de la funcin de onda despus de la barrera, existi transmisin El grosor de la barrera de potencial es el factor mas importante en la probabilidad de que exista transmisin. = + (I) = + Dekx (II) Barrera de potencial = 0, 0 , 0 0, Densidad de probabilidad de la onda incidente
4. 4. Importantes aplicaciones del efecto tnel Electrnica del estado solido Diodos tnel y dispositivos generadores de microondas Tecnologa de contacto hmico Medicina Radioactividad en diagnsticos Terapia mediante radiacin Antropologa Determinar la edad de los objetos mediante carbono 14 Ciencia de los materiales Caracterizacin de superficies mediante escaneo por tunelamiento microscpico.
5. 5. Diodo Tnel Los diodos tnel son diseados para que tengan un alto dopaje en la unin p-n para generar una barrera de ancho de alrededor 10nm A bajos voltajes, la banda de conduccin del material n y la banda de valencia del material p son alineadas de tal forma que los electrones pueden realizar tunelamiento a travs del pequeo gap En el pico mximo, la banda de conduccin esta lo mas cerca posible con la banda de valencia, el gap es mnimo. Existen una regin de resistencia negativa debido al desalineamiento de las bandas de conduccin y valencia Imagen de un diodo tnel: Es muy utilizado para disear circuitos osciladores de alta frecuencia del orden de. Curva caracterstica del diodo tnel: Se observa las regiones donde acta el efecto tnel, antes de Vp
6. 6. Microscopio de efecto tnel 5nm superficie de cobre con 48 tomos de hierro. La barrera circular del hierro tiene un radio de 71,3 Angstroms. Este microscopio utiliza el efecto tnel de los electrones en la superficie de los materiales para caracterizarlas. Depende de la inyeccin de electrones por parte de una pequea punta (radio=1) de un material estable como el diamante. La corriente de efecto tnel aumenta exponencialmente con la distancia entre la punta y la superficie. Esta corriente de efecto tnel a voltaje fijo se ajusta para igualar la corriente constante del circuito variando la distancia, como la punta se puede mover en x-y-z se obtienen imgenes en 3d de los tomos en la superficie.
7. 7. El potencial esta definido como: = 0 , < 0 0 , 0 < < 0 , > La ecuacin de Schrdinger para este caso es : 2 2 2 1 2 = E1, < 0 2 2 2 2 2 = E 0 2, 0 < < 2 2 2 3 2 = E3, > En la mecnica clsica es imposible que una partcula pueda atravesar una barrera de potencial, pero lo impresionante de la mecnica cuntica es que predice que si puede existir una probabilidad de que la partcula este en la barrera e incluso despus de ella. Caso I: E Donde 1 2 = 2 2 , 2 2 = 2(0) 2 , 3 2 = 1 2 Debido a que la funcin en la regin 3 no se refleja con nada G=0 Tenemos: (x)= 1 + 1 , < 0 2 + 2 , 0 < < 1 , > Caso I: E
8. 13. Podemos entonces hallar los coeficientes de transmision y reflexin: = 2 1 , Donde para este caso 2= 1, R = 1 T T = 4 0 (1 0 ) [4 0 (1 0 )+ sinh2(2 )] R = sinh2(2 ) 4 0 (1 0 )+ sinh2(2 ) Grafica en la que se muestra el coeficiente de transmission para un 0 = 1, se debe destacar que el coeficiente de reflexin va tener una grafica parecida pero invertida
9. 14. Caso II: E>0 El potencial esta definido como: = 0 , < 0 0 , 0 < < 0 , > La ecuacin de Schrdinger para este caso es : 2 2 21 2 = E1, < 0 2 2 2 2 2 = E 0 2, 0 < < 2 2 2 3 2 = E3, > A pesar que en la mecnica clsica un cuerpo al pasar por encima de una barrera de potencial no tiene probabilidades de que se refleje, en mecnica cuntica es posible de que exista reflexin al pasar la partcula por encima de la barrera de potencial
10. 15. Utilizando las condiciones iniciales (0), (a), (0) y (a) para cada zona encontramos. 1) + = + 1(0) =2(a) 2) = ( )( 2 1 ) 1(0) = 2(a) 3) 2 + 2 = 1 2(0) =3(a) 2(0) = 3(a) 4) 2 2 = 1 2 1 La solucin posible de la ecuacin de Schrdinger es: (x)= 1 + 1 , < 0 2 + 2 , 0 < < 3 + 3 , > Donde 1 2 = 2 2 , 2 2 = 2(0) 2 , 3 2 = 1 2 Debido a que la funcin no se refleja en la regin tres, G=0. Tenemos: (x)= 1 + 1 , < 0 2 + 2 , 0 < < 1 , > Caso II: E>0
11. 16. 2 2 2 2 = 1 3 2 3 Se arma la matriz con las ecuaciones (3) y (4) 1 1 1 1 = 1 1 2 1 2 1 Se arma la matriz con (1) y(2) = 1 2 2 2 2 2 1 3 2 1 = 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 Realizando las multiplicaciones de las matrices = 1 2 1 + 2 1 1 2 1 1 2 1 1 + 2 1 = 1 2 2 (1+ 3 2 ) 2 (1 3 2 ) 1
12. 17. Reemplazando C y D en A y B tenemos: = 1 + 2 1 1 2 1 1 2 1 1 + 2 1 2 (1+ 3 2 ) 2 (1 3 2 ) 4 1 Realizamos la multiplicacin respectivas y obtenemos: = 2 2 + 2 ( 2 1 + 3 2 )( 2 2 ) ( 3 2 2 1 )( 2 2 ) 4 1 Entonces podemos escribir la funcin de onda : = 2 1 2 2 1 + 3 2 2 1 + [ 1 2 3 2 2 1 2 ]1() , < 0 1 2 2 1 + 3 2 2 +1 + 1 2 2 1 3 2 2 +1 , 0 < < 3 , >
13. 18. Ahora tenemos A en trminos de F A = 2 1 2 2 1 + 3 2 2 1 + Entonces es igual a = ( 2 + 1 2 2 1 + 3 2 2 1 + )( 2 1 2 2 1 + 3 2 2 1 + ) Multiplicando = 2 2 + 1 4 ( 2 1 )2+2 + ( 3 2 )2 2 2 Reemplazando 1 , 2 y 3 = 2 2 2 ( 0) + 1 4 ( 0) + 2 + ( 0) 2 2 2 ( 0) Organizando = 1 + 2 2 2 ( 0) 4 0 ( 0 1)
14. 19. Podemos entonces halla r los coeficientes de transmision y reflexin T = R = 1 T T = 4 0 ( 0 1) 4 0 0 1 +2 2 2 (0) R = 2 2 2 (0) 4 0 0 1 +2 2 2 (0) Cuando T(E)=1 se obtiene las siguientes relaciones 2 = = (2)2 2 + 0 Como se observa la energa realmente depende de n, la energa es discreta para este caso.
15. 20. El grafico del coeficiente de transmision es el siguiente : Grafica en la que se muestra el coeficiente de transmission para un 0 = 1, se debe destacar que el coeficiente de reflexin va tener una grafica parecida pero invertida
16. 21. GRACIAS POR SU ATENCION!!!