APUNTE DE CLASES DE LA BOLILLA 8

Daniel Zarlenga

Año 2018

Bibliografía: Ondulatoria Elemental (Larrondo-Avalos) Alonso-Finn, Vol. 3

ECUACION DE SCHRODINGER En cuanto a ondas electromagnéticas, ya vimos que su comportamiento está regido por las ecuaciones de Maxwell. En ese caso las funciones de onda E(x,y,z,t) y B(x,y,z,t) son funciones reales. El uso de fasores complejos para realizar sumas era sólo un truco matemático. Las funciones eran reales. También hemos visto que a una partícula con masa se le puede asignar una ecuación de onda. En tres dimensiones: mientras que en una dimensión: A diferencia de las ondas electromagnéticas, la función es en general compleja y posee parte real e imaginaria. No es un vector, sino un escalar. La función de onda es determina la probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada posición. Por ejemplo, la probabilidad de que esté entre x=a y x=b es:

𝑃𝑟(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = |Ψ| 𝑑𝑥

Siempre y cuando esté normalizado, es decir que:

|Ψ| 𝑑𝑥 = 1

Ya que la probabilidad de encontrar a la partícula entre menos infinito y más infinito es cierta. Si además depende de “y” y “z”, la probabilidad de que la partícula esté en el espacio limitado por a<x<b, c<y<d, e<z<f, es:

𝑃𝑟 = |Ψ| 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

En lugar de las ecuaciones de Maxwell, ¿cuál es la ecuación que debe satisfacer ?. La respuesta es: la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es, en tres dimensiones donde =(x,y,z,t), y EP es la energía potencial a que está sometida la partícula. Por lo general, esta energía es del tipo electrostática, por lo cual: donde q es la carga de la partícula que se está considerando, y v(x,y,z,t) es el potencial electrostático en volts que recibe dicha carga, a causa de otras cargas.

tzyx ,,,

tx,

t

itzyxEm P

,,,

22

2

tzyxvqtzyxEP ,,,,,,

En una dimensión, la ecuación de Schrödinger se reduce a: y se llama ecuación de Schrödinger unidimensional, dependiente del tiempo. Esto es porque es función no sólo de x, sino también de t. Aún escrita en una dimensión, hallar las soluciones de esta ecuación diferencial puede tornarse complicado. Pero todo se facilita si la energía potencial EP sólo depende de x, es decir si EP no varía con el tiempo: (1) En este caso, la ecuación de Schrödinger puede resolverse en dos partes: una para la variable “x” (cuya solución depende del caso particular), y la otra para la variable “t” (dando esta última siempre la misma solución). Para demostrar esto, escribiremos (x,t) como producto de dos funciones: una depende solamente de x y la otra solamente de t: (2) y reemplazamos la (2) en la (1): (3) Dividimos ambos miembros de la (3) por el producto : (4) En (4), hay una igualdad de dos funciones, una de “x” y una de “t”. Dicha igualdad debe cumplirse para todo x y para todo t. Solución: ambas son iguales a una constante, la cual posee dimensiones de energía. La llamamos E: (5) En este caso, la E resulta ser la energía total de la partícula considerada, es decir la suma de la energía cinética y la energía potencial EP. Dado que la fuerza electrostática es conservativa, la E es una constante que no depende de x ni de t. La (5) son dos ecuaciones diferenciales, escritas como si fuera una sola. La primera es sólo en la variable “t”: (6)

t

itxExm P

,2 2

22

t

ixExm P

2

22

2

txtx ,

t

ixExm P

2

22

2

t

ixExm P

11

2 2

22

Et

ixExm P

11

2 2

22

01

iEt

Et

i

La solución de (6) es sencilla: por tablas, cada vez que tenemos una ecuación diferencial de la forma: la solución siempre es: donde K es una constante que depende del caso a resolver. Aplicando esto en la (6), hallamos su solución como: (7) en la cual hicimos K=1. Esta es siempre la solución temporal, lo cual facilita mucho las cosas, ya que lo único que debemos resolver en cada caso particular es la ecuación diferencial (8) en la variable “x”. La segunda ecuación diferencial que sale de la (5) es: (8) La (8) se llama ecuación unidimensional de Schrödinger independiente del tiempo. En cada caso particular que nos toque, siempre que EP no dependa del tiempo, hallamos la solución de (8): (x) y luego la multiplicamos por el factor (7). El producto resulta ser , función de “x” y de “t”.

0a

y

dx

dy

axeKy /

/iEte

ExEdx

d

m P

2

22 1

2

ExEdx

d

m P2

22

2

CORRIENTE DE PROBABILIDAD En el curso de física 2, y también en este curso, vimos que la corriente I podía expresarse como la integral de la densidad de corriente J: (9) El área puede ser abierta o cerrada. Si el área es cerrada, entonces encierra un volumen V. En ese caso, la corriente total de cargas en toda la superficie se produce a costa de una disminución de la carga encerrada en el volumen. FIG. 1 Es decir: (10) donde es la densidad volumétrica de cargas. Pero, de acuerdo al teorema de la divergencia: (11) Combinando las dos anteriores: (12) De donde: (13) Es decir, la divergencia de J es igual a la rapidez en que disminuye la densidad de carga. Esto es válido para todo punto (x,y,z) y para todo tiempo. En mecánica cuántica no se suele analizar lo que ocurre con las cargas, haciéndoles “un seguimiento a cada una” como lo hace la mecánica clásica. En cambio, se trabaja con probabilidades. Entonces, en lugar de tener cargas encerradas en un volumen V, tenemos una probabilidad “Pr” encerrada de encontrar una carga. Como toda probabilidad, puede tener un valor de entre 0 (si es imposible que esté dentro de V) y 1 (si es seguro que está dentro de V). ¿De qué nos sirve tener estas probabilidades? En que si hay muchas cargas en juego (digamos millones o más) los promedios terminan siendo la realidad. Por ejemplo, si hubiera una sola

AdJI

QENC V

J dA

J

J

dA

dA

V

ENC dVdt

dQ

dt

dAdJ

V

dVJAdJ

VV

dVdt

ddVJ

dt

dJ

carga y la probabilidad es de 0.6, entonces no sabemos si la carga está allí o no (sí que hay un 60% de probabilidades de que sí esté). Pero si hay 1000000 de cargas y la probabilidad es de 0.6, entonces habrá una cantidad muy cercana a 600000 partículas encerradas en V. Multiplicando ese número de cargas por la carga unitaria, se llega a saber la carga encerrada con suficiente precisión. Ahora, si lo que hay encerrado es una probabilidad, entonces, haciendo una comparación con las ecuaciones (9) a (13) y la Fig. 3, existirán las siguientes dualidades:

Caso de la carga determinista Caso de la probabilidad Carga encerrada QENC Probabilidad encerrada Pr Densidad de carga Densidad de probabilidad |(x,y,z,t)|2 Corriente I Corriente de probabilidad IP

Densidad de corriente J Densidad de corriente de probabilidad JP

En este caso, entonces, la ecuación dual con la (13) debería ser: (14) Si estamos en una sola dimensión, la (14) queda simplemente: (15) ¿Cómo podemos calcular JP(x,t)?. La solución está en resolver el ejercicio 3 de la nueva guía 8. Para esto, escribimos la ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo: (16) Y luego la conjugamos. Conjugar es fácil: si aparece un número complejo en la forma binomial: (a+ib), el conjugado es (a-ib). Si aparece un número en formato polar: Aei, el conjugado es Ae-i. En definitiva, ¡siempre se cambia “i” por “-i”!. Si hay una combinación de sumas, restas, productos, cocientes, exponenciales, etc., de varios números complejos, se cambia “i” por “–i” en cada uno de los componentes de esa combinación. Pero no siempre hay un número conocido. Puede haber una constante, por ejemplo C, que se sabe que es compleja, pero no se conoce su valor exacto. En este caso, se indica su conjugado mediante un asterisco: C*. Y otras veces, se trata de funciones complejas, por ejemplo, . En ese caso, se indica también su conjugado mediante *. Si ahora nos tocara multiplicar C por C*, nos da |C|2. Y si multiplicamos la función por * nos da ||2. ¿Por qué es así? Porque si por ejemplo C=c1+ic2, entonces C*=c1-ic2 y por lo tanto CC*=( c1+i c2)( c1-i c2)= c1

2 - i c1c2 + i c1c2 + c22 = c1

2 + c22 = |C|2.

Ahora sí, estamos en condiciones de conjugar la (16), cuyo resultado es: (17) Ahora, observemos los miembros derechos en (16) y (17), ¿cómo podemos manipularlos para obtener el término de derivada de ||2 respecto del tiempo, como el de la ecuación (15)? ¡Hay

2,,, tzyx

dt

dJ P

2,, tx

ttxJ

x P

t

itxExm P

,2 2

22

t

itxExm P

*

*2

*22

,2

que pensarlo! Luego de operar algebraicamente, se llega a que la ecuación de la densidad de corriente de probabilidad en una dimensión es: (18) ¿Cómo usamos la ecuación (18)?. Veamos un ejemplo: si cierta partícula con masa, que se mueve hacia +x, está representada por: (19) (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: (en general la constante A es compleja). Reemplazando en la (18), nos da: (20) Es decir, es igual a p/m (velocidad de la partícula), multiplicada por la densidad de probabilidad |A|2. Otro ejemplo: si cierta partícula con masa, que se mueve hacia –x, está representada por: (21) (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: Reemplazando en la (18), nos da: (22) Es decir, la corriente de probabilidad es negativa (partícula que viaja hacia –x). Observe que la exponencial temporal siempre es negativa en (19) y (21). La dirección de movimiento la da el signo de la exponencial en “x”, siempre que la exponencial en “x” sea una exponencial de argumento imaginario, tal como ocurre en (19) y (21). Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (23) (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: Reemplazando en la (18), nos da: (24)

xxmi

J P

**

2

2A

m

kJ P

0PJ

2A

m

kJP

/EtkxieA

/** EtkxieA

/EtkxieA

/** EtkxieA

/iEtkx eeA

/** iEtkx eeA

La corriente de probabilidad es cero ya que la (23) no representa una partícula moviéndose hacia –x, por ser la exponencial con argumento real. También JP=0 si: Pero, ¡cuidado! Si: Entonces: Los resultados (20), (22), y (24) son conocidos “de memoria” y se usarán ampliamente en la bolilla 8.

/iEtkxkx eeBeA

0PJ

/iEtkx eeA

Energía potencial, cinética, y total En el curso de Física 1 se vio que para los casos en que las fuerzas son conservativas, se puede definir una energía potencial EP. Se vieron dos ejemplos: la energía potencial gravitatoria y la energía potencial del resorte. Vimos que en ausencia de fuerzas disipativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a una constante, llamada energía mecánica EM. El siguiente gráfico ilustra el caso de una masa con resorte, para el caso en que K=1. La energía potencial es EP=(1/2)Kx2 y por lo tanto tiene forma de parábola. La energía cinética EC=(1/2)mv2 es máxima cuando el resorte pasa por x=0. La suma de ambas da EM.

FIG. 2 Dado que EM es una constante, su graficación es una línea horizontal. Para cada valor de x, la diferencia entre la energía mecánica y la potencial es igual a la cinética, tal como se indica en la Fig. 2. Los puntos x=-2 y x=2 (en este caso) se llaman “puntos de retorno” ya que son puntos en los cuales el cuerpo atado al resorte debe retornar, dado que no posee energía suficiente para atravesarlos. Recordemos que estamos ante un caso de la física clásica. En el caso de partículas a nivel atómico, donde se aplica la física cuántica, una de las fuerzas que actúan es la fuerza eléctrica (fuerza entre dos partículas cargadas), la cual, como se vio en el curso de Física 2, es también conservativa. La energía potencial de una cierta partícula cargada con carga Q que se encuentra en la posición “x” en el instante “t” es: Donde v(x,t) es el potencial producido por las otras cargas (no se incluye a la propia carga Q). En la mayoría de los casos que veremos, el potencial será solo función de “x”, es decir, v(x). Consideremos el caso de un material con estructura rígida, por ejemplo un metal. Los átomos están dispuestos en lugares fijos. Los electrones de valencia de estos átomos se desprenden de estos últimos, dejándoles con carga positiva neta. Por ejemplo en el cobre, cuya valencia es 1,

txvQEP ,

los átomos quedan con carga neta Q=(+e)=+1,6 10-19C. Los electrones, tanto los de valencia como los ligados a los átomos, reciben un potencial: Donde “ri” es la distancia que separa al electrón considerado, del átomo “i”. La sumatoria debe hacerse para todos los átomos del material, pero dado que ri está en el denominador de V, tienen más importancia los átomos cercanos al electrón. Para más sencillez, consideremos un arreglo unidimensional de átomos equiespaciados, donde consideramos un electrón que se mueve, cambiando su posición x, y por ende, el potencial v(x) [Volts] que recibe: FIG. 3

FIG. 4

En la Fig. 3, el electrón está pasando cerca del átomo #4, de modo que r4 es mucho más pequeño que el resto de los ri. Esto hace que v(x) tienda a ser muy grande cuando el electrón pasa cerca, por ejemplo, del átomo #4. Pero EP=(-e)v(x), de modo que cerca de los átomos la energía potencial de los electrones tienda a ser negativa y con módulo muy grande. Esto se muestra en la Fig. 3, donde la línea curva en azul es EP(x). En la parte inferior de la Fig. 4 vemos la posición de los átomos (puntos negros), equiespaciados (en este ejemplo en 1 angstrom) (1 angstrom=1Å=10-10m). En x=0 se encuentra el último átomo de la fila, y estamos en el borde del material. Hacia la izquierda hay millones de átomos que no se muestran en la figura por razones de espacio. La línea azul muestra la energía potencial del electrón en función de x, cuya periodicidad se altera cerca del borde del material. Un electrón que ya se hubiera desprendido del metal, y muy lejos de la influencia de los átomos, tendría una EP=0 (por supuesto, esto es así si tampoco está bajo la influencia de campos externos). Por eso, la curva azul es asintótica a EP=0 para x>0.

i ir

ev

04

1

r5 r4

r3

A la suma de la energía potencial del electrón más la energía cinética la llamaremos energía total E. Dado que no hay fuerzas disipativas presentes, E es una constante (tal como la energía mecánica era constante en el caso clásico). Por eso, el trazado de E es una línea horizontal. En el gráfico, se ha trazado E para tres electrones (de los millones que contiene el metal), con energías totales E=E1, E=E2>E1, y E=E3>E2. En los casos E=E1 y E=E2, la energía de los electrones está aún por debajo de la barrera de energía potencial que separa un átomo del átomo vecino. En el caso clásico, esto circunscribiría a los electrones entre dos puntos de retorno, pero ahora es distinto. El electrón está representado por una función de onda compleja (letra griega “psi” mayúscula), y dicha onda está presente a lo largo de todo el material. Para ser consistentes con lo visto en la unidad 7, destacaremos que la diferencia entre la energía total E de cualquier electrón y la energía de un electrón ya extraído (E=0), es igual al trabajo de extracción de ese electrón, es decir Wext=|E|. Si ese electrón es el de mayor energía de todo el metal, su trabajo de extracción es la función trabajo . Por supuesto, en cualquier material real, la energía potencial EP no solo depende de “x” sino también de “y” y “z”, pero se prefirió hacer la introducción del tema en modo unidimensional para facilitar una mejor comprensión.

(Energías) Potenciales unidimensionales Aquí utilizaremos la ecuación de Schrödinger para hallar la función de onda para una partícula, con onda plana (x,t), y sobre la cual actúa un potencial eléctrico v(x) [Volts]. Distinguiremos dos tipos de casos: partícula en estado ligado, y partícula en estado no ligado. ¿Qué es una partícula en estado ligado? Es una partícula que, dado su valor de energía, está

confinada en las inmediaciones de un intervalo de longitud finita. Por ejemplo, consideremos cuatro partículas (no interactuantes entre sí) sometidas a la energía potencial EP=Qv(x) trazada en azul en la Fig. 5. Solo la partícula con energía total E1 está en estado ligado, confinada principalmente en el intervalo (a,b). En cambio, la partícula con E=E2 se hallará principalmente en el intervalo (a,), de longitud infinita. En este caso ni el punto x=b ni tampoco el punto x=c ofician de

punto de retorno, ya que este no es un caso clásico, y por efecto túnel la función de onda puede pasar desde x=b a x=c o desde x=c a x=b. Por supuesto, las partículas con E=E3 y E=E4 están en estado no ligado, ya que en estos casos los intervalos son (a,) e (-,), respectivamente. En definitiva, nos encontramos con un estado ligado cuando ambas, la última región por izquierda y la última región por derecha, son regiones clásicamente prohibidas. Volviendo a la Fig. 4, encontramos un estado ligado para las partículas con E=E1, E=E2, y E=E3, a causa de la existencia de los bordes externos del material (el borde derecho se muestra en x=0, y el otro, distante en millones de átomos, no se muestra, pero existe). Por supuesto, un electrón con E>0 en la Fig. 4 estaría en estado no ligado. ¿Qué diferencia hay si el estado es ligado o no ligado? Sucede que si el estado es ligado, la variable k de la función de onda solo puede tomar algunos valores. Esto nos recuerda por ejemplo a la cuerda atada en dos extremos, donde los valores de k y de frecuencia de resonancia formaban un conjunto discreto (discreto como opuesto a continuo). A partir de ahora, designaremos a la energía potencial como V(x) [Joules]. En cambio, al potencial en volts le llamaremos v(x) con minúscula. Entonces, será V(x)=Qv(x). Veremos los casos más básicos, pero a la vez muy conceptuales, respecto al comportamiento de una partícula con carga Q que se mueve en un espacio con campos eléctricos producidos por otras cargas. Por último, vale aclarar que en el caso de E=E2 y E=E3 de la Fig. 5 la incidencia de la función de onda es desde la derecha, ya que sólo se puede incidir desde una región clásicamente permitida.

x

EP

E1

E2

E3

E4

a b c

FIG. 5

1) Estados no ligados

En estos casos, la función de onda será plana, es decir solo dependerá de la coordenada “x” y del tiempo “t”. Además consideraremos una partícula monoenergética (su energía total E y su ímpetu 𝑝 = ℏ𝑘 se conocen con total precisión, es decir E=p=0), es decir que su función de onda será de la forma:

Ψ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙ 𝑒± ∙ 𝑒

1.a) Energía potencial tipo escalón Se trata de una función como la siguiente:

Donde V0 es la altura de energía potencial del escalón. Se aclara que el escalón no tiene por qué producirse en x=0, sino que podría estar desplazado en x. También el escalón podría bajar en lugar de subir, y la energía potencial más baja no tiene por qué ser cero. Existen tres posibilidades:

a. Que la energía total E de la partícula sea menor que V0 (0<E<V0) b. Que la energía total E de la partícula sea mayor que V0 (E>V0) c. Que la energía total E de la partícula sea igual que V0

Caso a) E<V0: El caso E<0 es imposible, ya que debe haber algún intervalo clásicamente permitido para la partícula. Por lo tanto, 0E<V0:

No hace falta aclarar que las partículas inciden desde la izquierda, ya que nunca pueden incidir desde una región clásicamente prohibida (del mismo modo, se sabe que las partículas con E=E2 y E=E3 de la Fig. 4 inciden desde la derecha). Dado que la energía potencial es una función definida por tramos, la función de onda también lo será: dividiremos al eje x en dos intervalos: x<0, donde V=0, y x>0, donde V=V0. Intervalo x<0:

Como se ha visto en la unidad anterior, cuando la energía potencial V es independiente del tiempo, la función de onda (x,t) puede expresarse como el producto de dos funciones, una de “x” y la otra de “t”:

x

V(x)

V0

x

V(x)

V0 E

Donde (t) es siempre:

Y (x) surge de resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: (25)

En este caso, V=0, y la ecuación de Schrödinger queda, luego de despejar la derivada segunda:

(26)

Lo que debemos hacer ahora es resolver la ecuación diferencial. Dado que una ecuación del tipo:

Tiene por solución:

O bien, en formato trigonométrico:

Donde A, B, A’, B’, son constantes complejas (números complejos). Entonces, la solución a (1) es:

(27)

Donde, en (27), k es la raíz cuadrada de la constante que multiplica a en (26):

En estados no ligados, se suele preferir el formato de solución exponencial al trigonométrico. Por eso, se ha escrito la ecuación (27) en ese formato.

Intervalo x>0:

En este caso, V=V0, y la ecuación de Schrödinger queda, luego de despejar la derivada segunda:

(28)

txtx ,

/iEtet

xExxVdx

d

m

2

22

2

02

22

2

mE

dx

d

02

2

2

ykdx

yd

ikxikx eBeAy

kxBkxAy sin'cos'

ikxikx eBeA

2/1

2

2

mE

k

0

22

02

2

EVm

dx

d

Nótese que el paréntesis (V0-E) es positivo, y por lo tanto lo es la constante que multiplica a , pero el segundo término completo del miembro izquierdo está ahora precedido por el signo menos. Entonces, dado que una ecuación del tipo:

Tiene por solución:

O bien, en formato hiperbólico:

Donde A, B, A’, B’, son constantes complejas (números complejos). Entonces, la solución a (4) es:

(29)

Donde, en (22), es la raíz cuadrada de la constante que multiplica a :

Se usaron las constantes C y D en lugar de A y B, para no repetir las constantes de la ecuación (27), ya que a partir de ahora la ecuación (27) convivirá con la ecuación (29).

Significado de los términos de :

La ecuación (27), multiplicada por el factor (t), nos da la ecuación de onda (x,t):

Si el primer término de se reemplaza en la ecuación de la corriente de probabilidad:

(30)

Es decir, si en (30) reemplazamos:

y

Obtenemos: (31)

022

2

ydx

yd

xx eBeAy

xBxAy sinh'cosh'

xx eDeC

2/1

202

EVm

// EtkxiEtkxi eBeA

xxmi

J P

**

2

2* Am

kAA

m

kJ P

/EtkxieA

/** EtkxieA

Donde A* es el conjugado de la constante A. Dado que la corriente de probabilidad resultó positiva, el primer término de (27) representa partículas que se mueven hacia el +x. Como las partículas que en la región x<0 van hacia +x son en este caso las incidentes, entonces el primer término de (27) representa a la onda incidente. Si ahora reemplazamos el segundo término de en la ecuación de corriente de probabilidad, obtenemos:

(32)

El signo menos indica que el segundo término de (27) representa partículas que se mueven hacia el (-x). Como las partículas que en la región x<0 van hacia (-x) son en este caso las reflejadas, entonces el segundo término de (27) representa a la onda reflejada. Ocupémonos ahora de para x>0. El intervalo x>0 llega hasta x+. Por lo tanto, el término (C ex) de (5) tiende a infinito. Dado que el cuadrado del módulo de representa una densidad de probabilidad de encontrar a la partícula, un tendiente a infinito predeciría que la partícula se encontraría en x+. Como esto no representa al sistema físico, debemos hacer C=0. Entonces, la (29) se reduce a:

¿Por qué en el razonamiento anterior se compara como equivalente el módulo de con el módulo de ? ¡Porque el módulo de (t) es 1! En efecto, (t) es una función compleja que en el plano complejo se representa por un vector de módulo 1 y ángulo (-Et/ h). Por lo tanto, el módulo de es igual al módulo de . Nótese que la región x<0 llega hasta x-, pero ninguno de los términos de (3) tiende a infinito cuando x-. ¿Por qué no? Porque los exponenciales de (3) son complejos, y entonces |A eikx|=|A| 1=|A|, y de igual modo |B e-ikx|=|B| 1=|B|. Es por eso que no se hace necesario eliminar ninguno de los dos términos.

Condiciones de contorno:

Hasta ahora tenemos que la función vale: (33)

Ahora, la función es continua, es decir que (0-)=(0+). Por otro lado, la derivada /x cumple que:

o Es continua cuando la función V(x) no posee discontinuidad de altura infinita. Entonces, ’(0-)=’(0+).

o Es discontinua cuando la función V(x) posee discontinuidad de altura infinita. En tal caso, no se pueden establecer condiciones de contorno respecto a la derivada.

Estas reglas no solo se aplican a sino también a , ya que la función (t) es continua. En el caso que nos ocupa, la discontinuidad en V(x) es de altura finita (de altura V0), por lo tanto se cumple ’(0-)=’(0+).

2B

m

kJ P

xeD

0

0

xsieD

xsieBeAx

ikxikx

Apliquemos esto a las funciones de (33):

Son dos ecuaciones con tres incógnitas. Siempre que nos encontramos con un estado no ligado, hay una incógnita de más. En estos casos, se despejan todas las demás variables en función de una, por ejemplo de la que forma el término incidente, es decir en función de A. Despejando, queda:

(34)

Cálculo de los índices T y R: ¿Para qué nos sirvió hacer esto? Porque ahora podemos hallar la probabilidad de que las partículas se transmitan o reflejen. Esto está dado por el índice de transmisión T y por el índice de reflexión R, los cuales nos dan la probabilidad de transmisión y reflexión, respectivamente, y por lo tanto están acotados entre cero y uno: 0T1, 0R1. Cumplen además con T+R=1, ya que si se realiza una medición para saber si la partícula se transmitió o reflejó, se la encontrará de un lado, o bien del otro del escalón. Las ecuaciones para calcular T y R son:

Donde la corriente de probabilidad incidente jINC y la corriente de probabilidad reflejada jREF, según (31) y (32) valen, en este caso:

Para hallar la corriente de probabilidad transmitida jTR, se debe reemplazar, en la ecuación (30):

Resultando:

DBikAik

DBA

0'0'

00

Aik

ikD

Aik

ikB

2

INC

REF

INC

TR

j

jR

j

jT

2

2

Bm

kj

Am

kj

REF

INC

/**

/

iEtx

iEtx

eD

eD

0TRj

Entonces T y R resultan:

Donde se usó la (34) para reemplazar |B| como función de |A|. En este caso resultó T=0. Siempre resulta T=0 cuando la última zona es prohibida, ya que en esos casos siempre jTR=0. Pero a diferencia del caso clásico (en el cual x=0 es un punto de retorno), en el caso cuántico una medición sobre la posición de la partícula podría dar como resultado encontrarla para x>0, ya que no es nula para x>0.

Caso b) E>V0:

Región #1 (x<0): El reemplazo de V(x)=0 en la ecuación (25) da:

De donde:

Con:

Región #2 (x>0): El reemplazo de V(x)=V0 en la ecuación (25) da:

1

00

2

2

2

22

22

2

2

2

2

2

A

Ak

k

A

B

Am

k

Bm

k

j

jR

Am

kj

jT

INC

REF

INC

TR

x

V(x)

V0

E

02

22

2

mE

dx

d

xikxik eBeA 11

0

22

02

2

VEm

dx

d

2/1

21

2

mE

k

Obsérvese que el paréntesis (E-V0) es positivo, y el segundo término está ahora precedido por el signo más. La solución de la ecuación diferencial es ahora con exponenciales complejos:

(35)

Con:

La letra k se suele usar cuando los exponenciales de son imaginarios, y la letra griega se suele usar cuando los exponenciales de son reales. Dado que, en este caso, en las dos regiones tenemos exponenciales imaginarios, distinguimos k1 de k2 usando distinto subíndice. Pero vimos antes que, cuando los exponenciales son complejos, representaban partículas hacia +x (si el exponencial complejo es positivo) o hacia (-x) (si el exponencial complejo es negativo). Por lo tanto, el primer término de (35) representa partículas hacia +x, mientras que el segundo término de (35) representa partículas hacia (-x). Ahora bien, como toda función de onda, solo se producen reflexiones cuando se cambia de medio, por ejemplo cuando se pasa del medio de la región #1 al medio de la región #2. Esto significa que la onda, una vez transmitida en x=0, no tiene más oportunidades de reflejarse, y es por eso que en la región #2 no existirán partículas hacia (-x). Para que nuestra ecuación (35) represente el caso físico, debemos hacer D=0. Entonces:

Condiciones de contorno:

Despejamos:

xikxik eDeC 22

2/1

20

2

2

VEmk

0

02

11

xsieC

xsieBeAxik

xikxik

2110'0'

00

CikBikAik

CBA

Akk

kC

Akk

kkB

21

1

21

21

2

Entonces, T y R serán:

Caso c) E=V0:

Región #1 (x<0):

Con:

Región #2 (x>0): El reemplazo de V(x)=V0=E en la ecuación (1) da:

Cuya solución surge simplemente de integrar dos veces:

(36)

Pero la región #2 llega hasta x, y el primer término de la (36) tiende a infinito cuando x. Por lo tanto, debemos hacer C=0. Queda entonces:

2

21

212

22

21

21

2

2

21

21

221

212

22

21

1

1

22

2

1

2

21

22

4

2

kk

kk

A

Akk

kk

A

B

Am

k

Bm

k

j

jR

kk

kk

A

Akk

k

k

k

A

C

k

k

Am

k

Cm

k

j

jT

INC

REF

INC

TR

x

V(x) V0 E

ikxikx eBeA

2/1

2

2

mE

k

02

2

dx

d

DCx

00'0'

00

BikAik

DBA

De donde:

Para halla jTR reemplazamos la (30) con:

Y llegamos a jTR=0. Entonces:

Por último, nos debe quedar claro que un aumento de energía potencial no significa que la partícula suba en altura, sino que la misma remonta un campo eléctrico en el eje x. Es decir que el escalón:

Equivale a:

O sino:

Donde v = (2E/m)1/2 es la velocidad para x<0 (no confundir con el potencial eléctrico).

AD

AB

2

/**

/

iEt

iEt

eD

eD

1

00

2

2

2

2

2

2

2

A

A

A

B

Am

k

Bm

k

j

jR

Am

kj

jT

INC

REF

INC

TR

E Q>0

v

Q<0 v E

V0 E

1.b) Energía potencial tipo barrera

La barrera equivale a campos eléctricos dispuestos de la siguiente forma:

O sino:

Donde V0 es la altura de energía potencial del escalón. Se aclara que se eligió que uno de los flancos de la barrera esté en x=0 por una cuestión de mayor simplicidad en el cálculo algebraico. Existen tres posibilidades:

a. Que la energía total E de la partícula sea menor que V0 (0<E<V0) b. Que la energía total E de la partícula sea igual que V0 c. Que la energía total E de la partícula sea mayor que V0 (E>V0)

Caso a) E<V0:

Región #1 (x<0): Para esta región E>V(x) la solución de la ecuación (25) da una

función con exponenciales imaginarios:

Con:

Región #2 (0<x<a): Para esta región E<V(x) la solución de la ecuación (25) da una función con exponenciales reales:

(37)

Con:

E Q>0

v

Q<0 v E

V0 E

a 0

x

E

E

ikxikx eBeA

2/1

2

2

mE

k

xx eDeC

2/1

202

EVm

En este caso la región no llega hasta x ni hasta x-, así que ambos términos de (37) son válidos.

Región #3 (x>a): Para esta región E>V(x) la solución de la ecuación (25) da una

función con exponenciales imaginarios: (38)

En este caso el vector de onda k coincide con el de la región #1, y es por eso que no hizo falta usar subíndices k1 y k3. Por la misma razón que en el caso de la ecuación (35), el segundo término de la ecuación (38) debe ser eliminado:

Condiciones de contorno: (39)

Despejamos en función del coeficiente A (incidente). Lo que nos interesa principalmente son B (para poder calcular el índice R) y F (para poder calcular el índice T). Dada la complejidad de un sistema de 4x4, se despejará por medio de matrices. Con la (39), se arma la siguiente matriz: El determinante de la matriz de 4x4 es:

ikxikx eGeF

ikaaa

ikaaa

eFikeDeCaa

eFeDeCaa

DCBikAik

DCBA

''

0'0'

00

ikxeF

0

0

0

0

0

0111

Aik

A

F

D

C

B

ikeee

eee

ik

ikaaa

ikaaa

iakake

ikee

eeike

ikee

eee

ikee

ee

ike

ikeee

eee

ik

ika

aa

aaika

aa

aaika

aa

aaika

ikaaa

ikaaa

cosh4sinh2

1

011

1

1

0

11

0

10

0

0111

0

0

0

0111

22

12

11

Para encontrar B, reemplazamos la primera columna del determinante:

Ahora despejaremos F, reemplazando la cuarta columna del determinante:

Los índices de transmisión y reflexión serán:

ikaaa

ikaaa

ikeee

eee

Aik

A

B

0

0

0

011

iakake

AeakB

ika

ika

cosh4sinh2

sinh222

22

iakake

AikF

ee

ee

Aikik

A

F

ika

aa

aa

cosh4sinh2

4

00

00

111

22

A

akak

Ak

A

F

Am

k

Fm

k

j

jT

INC

TR

2

22222222

2222

2

2

2

2 cosh16sinh41

116

Nótese que si a0 (la barrera no existe), entonces T=1, R=0, y la transmisión es total. Cabe notar también que R y T se calculan en la primera región y en la última región, respectivamente. Indirectamente, las regiones intermedias influyen, ya que inciden sobre la dependencia de B y F respecto de A. La corriente de probabilidad resultante es una función continua, ya que estamos en estado estacionario. Es decir, que en el siguiente gráfico:

Se cumple J1=J2=J3. J1 se obtiene reemplazando:

En la ecuación (30). Entonces, resulta: (40)

En la región #2, los exponenciales de son reales. Sin embargo, a diferencia del caso del escalón con E<V0, la corriente de probabilidad no resulta nula, dado que

x

J2 J3 J1

/***

/

iEtikxikx

iEtikxikx

eeBeA

eeBeA

REFINC jjBAm

kJ 22

1

ahora están presentes tanto el exponencial positivo de (x) como el exponencial negativo:

De donde: (41)

Finalmente, para la región #3:

Resultando: (42)

Si reemplazáramos los valores de B, C, D, F, en función de A en la (40), (41), y (42), nos daría J1=J2=J3, demostrando que en estado estacionario no hay acumulación de probabilidad en ningún intervalo de “x”.

Caso b) E=V0:

De acuerdo a lo visto hasta ahora, la solución para para las tres regiones es: Con:

Luego de aplicar las condiciones de contorno, la matriz queda:

/***

/

iEtxx

iEtxx

eeDeC

eeDeC

DCDCm

DCCDim

J ImReReIm2**

2

/**

/

iEtikx

iEtikx

eeF

eeF

TRjFm

kJ 2

3

V0 E

a 0

x

axsieF

axsiDCx

xsieBeA

ikx

ikxikx

0

0

0

0

010

10

001

0101

Aik

A

F

D

C

B

ike

ea

ik

ika

ika

2/1

2

2

mE

k

Cuyo determinante es: Entonces, resulta: Los índices T y R serán:

Caso c) E>V0:

La solución para para las tres regiones es:

ikaek ika 2

ika

Aie

ikake

AikF

ika

Aka

ikake

AeakB

ika

ika

ika

ika

2

2

2

2

22

2

4

4

4

44

114

22

22

2

222

222

2

2

2

2

222

222

222

2

2

2

2

ak

ak

A

ak

Aak

A

B

Am

k

Bm

k

j

jR

akA

ak

A

A

F

Am

k

Fm

k

j

jT

INC

REF

INC

TR

V0

E

a 0

x

axsieF

axsieDeC

xsieBeA

xik

xikxik

xikxik

1

22

11

0

0

Con:

Luego de aplicar las condiciones de contorno, la matriz queda: Cuyo determinante es: Entonces, resulta: Los índices T y R serán:

iakkkakkke aik 222

21221 sin2cos41

iakkkakkke

AkkF

iakkkakkke

AeiakkkB

aik

aik

aik

222

21221

21

222

21221

222

21

sin2cos4

4

sin2cos4

sin2

1

1

1

akkkR

A

akkkakkk

Aakkk

A

BR

akkk

kkak

T

A

akkkakkk

Akk

A

F

Am

k

Fm

k

j

jT

INC

TR

22

2222

21

2

2

2222

22

1222

22

12

2222

2222

21

2

2

22

2

21

22

21

22

2

2

2222

22

1222

22

12

222

21

2

2

2

2

sin

sin4cos161

11sin4

sin2

cos

1

sin4cos161

16

2/1

20

2

2/1

21

2

2

VEmk

mEk

0

0

0

0

0

0111

1

122

221

122

122

Aik

A

F

D

C

B

eikeikeik

eee

ikikik

aikaikaik

aikaikaik

Es de notar que hay tres formas de lograr T=1 en una barrera:

o La manera trivial, es decir, que no exista barrera, con lo cual k1=k2 o Otra forma trivial, es decir, que no exista barrera, con lo cual a=0 o Que | cos(k2a) |=1, sin(k2a)=0 k2a=N N2=2a. Este caso puede

interpretarse como una resonancia de la función de onda. Tenga en cuenta que 2 no es un valor sin significado, sino que por De Broglie está relacionado con el ímpetu de la partícula en la región #2. Cabe destacar también que este efecto no se produce si E<V0.

Método alternartivo de despeje: Cuando hay demasiadas condiciones de contorno para resolver en un caso de estado no ligado, puede convenir hacer el despeje usando muchas matrices de 2x2 en lugar de una sola matriz grande. Para ilustrar el método, daremos un ejemplo. Supongamos una barrera asimétrica, siendo la energía de la partícula mayor a la energía potencial para todo x: Las condiciones de contorno son:

𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷 𝑖 𝑘 𝐴 − 𝑖 𝑘 𝐵 = 𝑖 𝑘 𝐶 − 𝑖 𝑘 𝐷 𝐶 𝑒 + 𝐷 𝑒 = 𝐹 𝑒

𝑖 𝑘 𝐶 𝑒 − 𝑖 𝑘 𝐷 𝑒 = 𝑖 𝑘 𝐹 𝑒 Podemos pensar que entre las constantes existen las siguientes relaciones:

𝑚 𝐴

𝐵= 𝑛

𝐶

𝐷(43)

𝑝 𝐶

𝐷= 𝑞 𝐹 (44)

Donde m, n, p, son matrices de 2x2, y q es una matriz de 2x1, que en este caso valen:

V1

V2 V3

E

x

0 a

𝑚 =1 1

𝑖 𝑘 −𝑖 𝑘𝑛 =

1 1

𝑖 𝑘 −𝑖 𝑘

𝑝 =𝑒 𝑒

𝑖 𝑘 𝑒 −𝑖 𝑘 𝑒 𝑞 =

𝑒

𝑖 𝑘 𝑒

De la (44):

𝑝 𝑝 𝐶

𝐷= 𝑝 𝑞 𝐹

𝐶

𝐷= 𝑝 𝑞 𝐹

Reemplazamos en la (43) y despejamos la matriz AB:

𝐴

𝐵= 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 𝐹

Ahora encontremos la inversa de la matriz m. Recordemos cómo se hace para encontrar la inversa de una matriz de 2x2. Si tenemos por ejemplo una matriz x:

𝑥 =𝑥 𝑥

𝑥 𝑥

Su determinante es:

∆ = 𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑥 Y su inversa es:

𝑥 =

𝑥 −𝑥

−𝑥 𝑥

∆

En nuestro caso, entonces:

𝑚 =

−𝑖 𝑘 −1

−𝑖 𝑘 1

−2 𝑖 𝑘𝑝 =

−𝑖 𝑘 𝑒 −𝑒

−𝑖 𝑘 𝑒 𝑒

−2 𝑖 𝑘

Queda entonces:

𝐴

𝐵=

−𝑖 𝑘 −1

−𝑖 𝑘 1

1 1

𝑖 𝑘 −𝑖 𝑘

−𝑖 𝑘 𝑒 −𝑒

−𝑖 𝑘 𝑒 𝑒

1

𝑖 𝑘 𝑒 𝐹

(−2 𝑖 𝑘 ) (−2 𝑖 𝑘 )

𝐴

𝐵=

−𝑘 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑘 𝑒 + 𝑘 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑘 𝑒 + 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑘 𝑒

−𝑘 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑘 𝑒 + 𝑘 𝑘 𝑒 + 𝑘 𝑒 + 𝑘 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑒 + 𝑘 𝑘 𝑒

𝑒 𝐹

(−4 𝑘 𝑘 )

𝐴

𝐵=

−2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) − 2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) + 2 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖 + 2 𝑘 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖

−2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) + 2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) − 2 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖 + 2 𝑘 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖

𝑒 𝐹

(−4 𝑘 𝑘 )

𝐴 =[−2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) − 2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) + 2 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖 + 2 𝑘 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖]

(−4 𝑘 𝑘 ) 𝑒 𝐹

𝐵 =[−2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) + 2 𝑘 𝑘 cos(𝑘 𝑎) − 2 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖 + 2 𝑘 𝑘 sin(𝑘 𝑎) 𝑖]

(−4 𝑘 𝑘 ) 𝑒 𝐹

De donde se despejan las constantes que se usan para hallar T y R:

𝐹 =𝑒 𝐴

𝑘 + 𝑘2 𝑘

cos(𝑘 𝑎) − 𝑘 𝑘 + 𝑘

2 𝑘 𝑘sin(𝑘 𝑎) 𝑖

𝐵 =(𝑘 − 𝑘 ) 𝑘 cos(𝑘 𝑎) + (𝑘 − 𝑘 𝑘 ) sin(𝑘 𝑎) 𝑖

(𝑘 + 𝑘 ) 𝑘 cos(𝑘 𝑎) − (𝑘 + 𝑘 𝑘 ) sin(𝑘 𝑎) 𝑖 𝐴

1.c) Energía potencial tipo barrera, aproximada por una función Delta de Dirac

Lo primero que haremos es definir qué es la función Delta de Dirac. Sea una función tipo barrera, como la siguiente: Sucesivamente, iremos reduciendo el ancho a la mitad, y duplicando su altura, de modo que el área bajo la curva se mantenga constante:

En el límite cuando a0, la altura de la barrera resultante tiende a infinito. Se puede pensar en esta función como que solamente posee valor no nulo en el punto x=b. Su representación gráfica es como una flecha vertical en el punto x=b: Y la representación como ecuación es: V(x) = P (x-b), donde P = aV0 es el área bajo la curva de la barrera original, y se le denomina “peso de la delta”. Se pueden destacar algunas propiedades de esta función. Por ejemplo en el caso de la siguiente figura:

V(x) = P (x-b)

b

x

2V0

b+ a/2 b

x

4V0

b+a/4 b

x

V0

b+a b

x

Se cumple: Donde g(x) es una función cualquiera (no relacionada necesariamente con V(x)), continua en x=b, que se ejemplifica en la figura anterior con la línea verde. Ahora que hemos definido la función Delta de Dirac, podemos resolver el caso de la barrera de energía potencial en forma aproximada. ¿Cuál es la ventaja de hacer esto? Que en lugar de resolver un sistema de 4 ecuaciones, resolveremos uno de solo 2 ecuaciones. El siguiente caso: FIG. 6 Con partículas incidentes desde la izquierda, se deja para que Ud. lo resuelva. En su lugar, aquí se resolverá el siguiente caso: FIG. 7

V(x) = P (x-b)

b

x

c d f

g(x)

d

c

d

c

d

c

f

d

d

c

bgPdxxgbxPdxxgbxPdxxgxV

dxxV

PdxxV

)(

0)(

)(

V(x) = P (x-b)

b

x

E INC

V(x) = P (x)

0

x

E INC

Donde las partículas inciden desde la derecha. Dado que la función Delta de Dirac es simétrica, el índice de transmisión obtenido en el caso de la Fig. 6 será el mismo que aquel obtenido en el caso de la Fig. 7.

Con:

En este caso el término que contiene a la constante B es el que va hacia (-x) y por lo tanto es el incidente. El término que contiene a la constante A es el que va hacia (+x) y por lo tanto es el reflejado. Dado que la región izquierda no poseerá partículas que vayan hacia +x, debe hacerse C=0, quedando: La función , y por lo tanto la función son continuas en x=b. Pero con la derivada de el caso es distinto a los que vimos hasta ahora: (45) Donde P es el peso de la Delta de Dirac, y m es la masa de la partícula. La (45) sería válida aunque en el punto x=b hubiera una discontinuidad en el resto de V(x), salvo que dicha discontinuidad fuera de magnitud infinita. Por ejemplo, la (45) aún valdría si el caso fuera el siguiente: Demostremos la (45). Sea la ecuación de Schrödinger:

−ℏ

2𝑚 𝑑 Φ

𝑑𝑥 + 𝑉(𝑥) Φ = E Φ

Integramos de ambos lados entre (b-) y (b+), siendo un infinitesimal:

bxsieDeC

bxsieBeAikxikx

ikxikx

2/1

2

2

mE

k

bxsieD

bxsieBeAikx

ikxikx

bmP

bb 2

2''

V(x) = P (x-b)

b

x

−ℏ

2𝑚

𝑑 Φ

𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑉(𝑥) Φ dx = E Φ dx

La integral del miembro derecho da cero, ya que (E) posee un valor acotado, y la integral se realiza sobre un intervalo infinitesimal de ancho (2). Donde V1(x) es la energía potencial, habiéndole quitado la Delta de Dirac en x=b. La segunda integral también da cero, ya que el producto V1(x) está acotado. Ahora usamos la tercera propiedad que vimos respecto de las integrales de las funciones deltas de Dirac: De donde surge finalmente la (45). Volviendo al problema que nos ocupa, las condiciones de contorno entonces quedan: Recordemos que el término incidente es el que contiene a B. Entonces, despejamos todas las demás constantes como función de B. La matriz queda:

02 1

2

b

b

b

b

dxbxPxVdx

d

m

0

''2 1

2

b

b

b

b

dxbxP

dxxVbbm

00''2

2

bPbbm

ikbikbikbikb

ikbikbikb

eDmP

eikDeBikeAik

bmP

bb

eBeAeDbb

2

2

2

2''

ikb

ikb

ikbikb

ikbikb

eBik

eB

D

A

mPikeike

ee

2

2

El determinante vale: Las constantes A y D quedan: Finalmente, los coeficientes T y R valen: Es de notar que en este caso jTR y jINC son ambas negativas, por ser corrientes de probabilidad de partículas hacia (-x). En cambio, jREF es positiva.

kimP

22

2

kimP

Bik

kimP

BikD

kimP

BemP

kimP

BemP

A

kbikbi

22

2

22

2

22

22

2

22

2

22

242

2

24

22

224

22

2

2

2

2

24

222

2

24

22

222

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

Pm

kB

kPm

BPm

B

A

Bm

k

Am

k

j

jR

k

PmB

kPm

Bk

B

D

Bm

k

Dm

k

j

jT

INC

REF

INC

TR

2) Estados ligados

Cuando el estado es no ligado, hay algunas diferencias respecto a los casos de estado ligado:

ESTADO NO LIGADO ESTADO LIGADO La partícula incide desde la izquierda, o desde la derecha.

No hay incidencia. La partícula está dentro del intervalo restringido desde hace tiempo.

Se calcula índice de transmisión y reflexión.

No tiene sentido hallar T y R, ya que no hay incidencia.

Las posibles energías de la partícula forman un intervalo continuo (así como lo hacen los números reales sobre la recta numérica). Se dice que el espectro de energía es continuo.

Las posibles energías de la partícula forman un conjunto discreto (así como lo hacen los números enteros sobre la recta numérica, aunque en el caso de las energías no existe equiespaciamiento). Se dice que el espectro de energía es discreto.

Al plantear las condiciones de contorno, siempre hay una incógnita más que el número de ecuaciones. Entonces, se despejan el resto de las constantes en función de una de ellas.

Al plantear las condiciones de contorno, siempre hay el mismo número de incógnitas que de número de ecuaciones. Se despejan los valores permitidos para el número de onda “k”. A partir de este último, se conocen los valores permitidos para la energía E.

Una onda plana armónica no se puede normalizar, ya que la integral tiende a infinito:

dxtx2

,

Sin embargo, sí se puede normalizar para un paquete de onda en estado no ligado.

Se puede normalizar, es decir, encontrar el valor de las constantes de modo que la probabilidad de encontrar a la partícula en todo x sea 1:

1,2dxtx

2.a) Energía potencial tipo pozo de altura infinita (pozo infinito)

La partícula se mueve confinada en un intervalo de “x”. A ambos lados del intervalo, hay regiones con energía potencial V(x). Las representaciones gráficas pueden ser, como la siguiente: Y también como la siguiente: Se puso el origen para el eje x de modo que coincida con uno de los bordes del pozo, de modo de obtener mayor simplicidad algebraica. También se podría haber puesto el x=0 en el centro del pozo o en cualquier otro lugar. Desde ya, los valores permitidos para “k” no dependen del punto en el cual ubicamos el origen. Región #1 (x<0): Para esta región V(x). Evaluemos la solución de la ecuación de

Schrödinger:

Si V(x), la única opción es que (x) sea cero, de modo que su producto en el segundo término de la ecuación anterior no dé infinito. Entonces:

Región #2 (0<x<a): Para esta región, E>V(x). La solución de la ecuación de

Schrödinger es:

O sino: Por ser un caso de estado ligado, usaré la solución en formato trigonométrico, porque creo que algebraicamente resulta más sencillo que la solución exponencial. De todas maneras, esto no es obligatorio, y muchos optan por seguir usando el formato exponencial. Entonces:

x

E

a 0

x

E

a 0

xExxVdx

d

m

2

22

2

0 x

ikxikx eBeA ''

kxBkxA sincos

kxBkxA sincos

Región #3 (x>a): Para esta región V(x). Al igual que en la región #1, se cumple:

Condiciones de contorno: (46)

Donde no se usaron condiciones sobre la derivada, porque no las hay, ya que hay una discontinuidad de valor infinito para V(x) en x=0 y en x=a. De la primera ecuación de las (46), surge A=0. Entonces, la segunda queda: De donde: (47)

Hemos encontrado valores posibles para k. Esto nos recuerda a la resonancia, porque la función de onda , ¡está resonando! Pero recordemos que, en ondas de materia, k está relacionada con el ímpetu y con la energía. Entonces, hemos encontrado los posibles valores para la energía de la partícula. Como la energía toma sólo ciertos valores, se dice que el espectro de la energía es discreto (y no continuo). Recordemos que se sigue cumpliendo (x,t)=(x)(t). Por ejemplo, si la partícula está en estado fundamental, su función de onda será: (48) Y si está en el primer estado excitado: (49) Y así sucesivamente.

0 x

0sincos

0sin0cos000

kaBkaAaa

kBkA

0sin kaB

12

2

222

12

22

33

12

22

22

2

2221

221

11

2

92

93

422

20

22

Enma

nE

a

nk

Ema

Ea

k

Ema

Ea

k

mam

kV

m

pE

ak

ZNNka

nn

22 2/sin matiea

xB

22 /22sin matie

a

xB

Más adelante veremos que la partícula puede estar en una combinación de varios estados simultáneos, así como una cuerda resonante puede hacerlo en una combinación de sus frecuencias de resonancia.

2.b) Energía potencial tipo pozo de altura finita (pozo finito)

La partícula se mueve confinada en un intervalo de “x”. A ambos lados del intervalo, hay regiones con energía potencial V(x)= V0. La representación gráfica es como la siguiente: Nuevamente, se puso el origen para el eje x de modo que coincida con uno de los bordes del pozo, de modo de obtener mayor simplicidad algebraica. Los valores permitidos para “k” no dependen del punto en el cual ubicamos el origen, así que se eligió el origen más conveniente. Región #1 (x<0): Para esta región E<V(x). La solución de la ecuación de Schrödinger

es:

O sino:

Trabajando con estados ligados, y en una región acotada por ambos lados, creo conveniente usar el formato hiperbólico, siempre por simplicidad algebraica. Sin embargo, la región #1 no está acotada, y es mejor usar el formato exponencial, con el cual uno de los términos debe eliminarse: (50) Ya que el término e-x tiende a infinito cuando x-.

Región #2 (0<x<a): Para esta región, E>V(x). La solución de la ecuación de

Schrödinger es: (51) Región #3 (x>a): Para esta región E<V(x). La solución de la ecuación de Schrödinger

es:

V0

x

E

a 0

kxDkxC sincos

xx eBeA

xBxA cosh'sinh'

xeA

xx eGeF

Donde debe descartarse el término que contiene a la constante F. Nos queda, entonces: (52)

Condiciones de contorno: De la (50), la (51), y la (52):

Con las dos primeras ecuaciones, sustituimos en la tercera y la cuarta, de modo de reducir el sistema:

Si queremos resolver matricialmente, tenemos en cuenta que con estados ligados el número de ecuaciones coincide con el de incógnitas, de modo que la matriz del lado derecho siempre queda con todos sus componentes igual a 0: Este sistema posee la solución trivial A=G=0, con la cual la función de onda sería nula (solución descartada, entonces), y posee también la solución consistente en que el determinante sea cero. Hallemos el determinante, e igualémoslo a cero: A partir de aquí, despejamos para hallar la condición sobre k:

xeG

a

a

eGkaDkkaCkaa

eGkaDkaCaa

DkA

CA

cossin''

sincos

0'0'

00

a

a

eGkaAkaAk

eGkak

AkaA

cossin

sincos

0

0

cossin

sincos

G

A

ekakak

ekak

ka

a

a

0sincos222

ka

k

kkae a

012

tan2

tan

02

tan22

tan12

02

cos2

sin22

sin2

cos2

0sincos2

222

222

2222

22

ka

k

kka

kak

kak

kakak

kakak

kakkak

Ahora despejamos tan(ka/2):

De estas últimas condiciones, debemos despejar los valores posibles para “k”, y luego calcular la energía E, tal como está hecho en (23). Pero no es tan sencillo. El valor de no es independiente, sino que depende de la energía E, y por lo tanto depende de k. Entonces, una de las posibilidades es el despeje usando un método numérico en computadora. Pero aquí usaremos otro método: el método gráfico. Se grafica el miembro izquierdo de la ecuación, y luego el derecho. Donde las curvas se cruzan, es el valor de k buscado. A efectos de graficar, modificaremos la segunda condición. Las ecuaciones quedan: El siguiente gráfico se armó para un pozo con V0=2,5eV y ancho a=1nm. En el eje horizontal se mide el argumento de la tangente y de la cotangente, es decir (ka/2), pero se hace en unidades de para mejor interpretación. Las curvas azules son sucesivamente tan(ka/2), -cot(ka/2), tan(ka/2), -cot(ka/2), etc. y son relativamente sencillas de trazar.

kkao

k

ka

k

k

k

kk

k

k

k

ka

2tan

2tan

22

4

2tan

222222222

k

kao

k

ka

2cot

2tan

FIG. 8 Más difícil es trazar la curva roja, que es (/k). En realidad: (53) Para bajos valores de (ka/2), E<<V0, y el numerador de (53) es casi constante. Por eso, la curva es aproximadamente igual a una constante dividida por k. Al crecer la abscisa (ka/2), crece E, y esa aproximación no es más válida. Llega un momento en que E=V0, y es entonces cuando el numerador de (53) se hace cero, y la curva roja toca el eje de abscisas. En los puntos donde las curvas azules se cruzan con las rojas, que en este caso son tres, medimos los valores de la abscisa. De allí, se obtienen valores para la energía. Los siguientes valores fueron obtenidos para este caso particular de la Fig. 7, hecho con V0=2.5eV y a=1nm, pero en general dependerán de V0 y a: 2.c) Energía potencial tipo pozo doble La gráfica general es como en la siguiente figura.

E

EV

k

0

eVJEak

eVJEak

eVJm

kV

m

pE

ak

99.11018.31494.12

94.01050.17900.02

24.01085.3022

3996.02

193

3

192

2

202

122

11

1

E1

E2

V0

V1

a -a b -b x

Donde se consideran dos casos posibles: que la energía total de la partícula sea E=E1>V1, y que la energía total de la partícula sea E=E2<V1. La resolución de este caso implicaría 8 condiciones de contorno: dos en x=-a, dos en x=-b, dos en x=b, y dos en x=a. Resolveremos en cambio un caso aproximado, el cual nos dará los conceptos que necesitamos con muchas menos ecuaciones que resolver: Ahora son solo 4 condiciones de contorno. Las ecuaciones son: Condiciones de contorno: Usando la segunda ecuación, A=C, reducimos el sistema a 3x3: Armamos la matriz:

E

a -a x

P(x)

0sincos

20

20'0'

00

sincos0

22

kaDkaCaa

AmP

BkDkmP

CA

kaBkaAaa

axsi

axsikxDkxC

xasikxBkxA

axsi

0

0sincos

0sincos

0

0sincos

2

sincos0

2

kaDkaA

AmP

BkDk

kaBkaA

0

0

sin0cos

/2

0sincos2

D

B

A

kaka

kkmP

kaka

Cuyo determinante es igualado a cero, para poder despejar los valores posibles para k: Entonces hay dos posibilidades. Una de ellas es:

(54) Y la otra es que el corchete sea cero. De la cual surge: (55) En este caso, en el miembro derecho de la (55), se cumple que es una constante dividida por k, y la curva roja del siguiente gráfico nunca toca al eje de abscisas. FIG. 9 La curva en azul es [–cot(ka)]. Note que se mantuvo el eje de abscisas como (ka/2), para poder comparar la Fig. 9 con la Fig. 8. Es decir, se graficó [-cot(2 ka/2)]. La Fig. 9 se armó a partir de un pozo doble de ancho 2nm (1nm de cada lado), y con delta de Dirac de peso P=810-29Jm. Las intersecciones de la curva azul con la roja se dan, en este caso, para los siguientes valores:

0cos2sin2

sincossin2sin2

22

2

kakka

mPkakakakka

mP

2

222222

20

220sin

ma

N

m

kV

m

pE

a

Nkka

k

mPka

2cot

eVJEak

eVJEak

eVJm

kV

m

pE

ak

76.21042.43545.1

19.11090.18878.02

29.01060.4022

4369.02

193

3

192

2

202

122

11

1

Por supuesto, dado que la curva roja nunca cae a cero, existen infinitos puntos de intersección. En la Fig. 9 se mostraron solo los primeros cuatro. Esto es debido a que los bordes externos (en x=a y en x=-a) son de potencial infinito. Los 8 puntos negros de la figura marcan los valores posibles para (ka/2). Cuatro de ellos están dados por el cruce entre la curva roja y la azul, es decir por la resolución de la (55). Los otros cuatro salen de la (54), es decir, de (ka/2)=(N/2). Estos últimos ya estaban en el caso del pozo infinito simple (ver las (23)). Al agregar otro pozo al lado, aparecieron los cuatro nuevos puntos dados por la (31). Y aquí viene un importante concepto: si el pozo fuera triple, los puntos dados por la (23) se habrían triplicado. Y si tenemos N=millones de pozos, como en la Fig. 5, ¡habrán N valores de k posibles por cada intervalo de (ka/2) de ancho (/2)! Se formará una “banda de energía” cada (/2) en las abscisas. Cada banda tendrá N valores posibles de k, y por consiguiente, N valores posibles de energía. En la realidad los materiales son tridimensionales. Es demostrable que si tenemos un cristal tridimensional con N átomos, habrán N valores posibles de (kx, ky, kz) por cada banda de energía.

Normalización Normalizar significa darle a las constantes el valor justo para que la probabilidad de encontrar a la partícula sea 1 en el intervalo -<x<. La probabilidad de encontrar a la partícula entre x=a y x=b, en general, es: (56) Si normalizamos la función de onda, haremos que la integral en el denominador de la (56) sea 1, de modo que la probabilidad de encontrar a la partícula entre x=a y x=b sea igual a: (57) Donde n(x,t) es la función de onda normalizada. Veamos un caso práctico. Por ejemplo, dada la función de onda para el estado fundamental del pozo infinito, (ver ecuación (48)):

Ahora integramos: (58)

Dado que B no depende de otra constante, elegimos arbitrariamente que sea puramente real. Entonces:

Ahora escribimos la función normalizada n para el estado fundamental en el pozo infinito:

También se puede normalizar en el caso del pozo finito, pero el cálculo es un poco más largo. Primero reescribimos usando la (50), (51) y (52), y teniendo en cuenta que C=A, D=A/k, G=[A cos(ka) + (A/k) sin(ka)] ea.

xotros

axsiea

xB mati

0

0sin22 2/

aB

aBdx

a

xBdx

a

2

12

sin2

0

222

aB

2

xotros

axsiea

x

a

n

matin

0

0sin2 22 2/

dx

dx

bxa

b

a

2

2

Pr

b

a

n dxbxa2

Pr

Ahora integramos:

Por ejemplo, para el estado de energía más baja del caso que vimos con V0=2.5eV y a=1nm, daba ka/2=0.3996, =7.7109rad/m, k=2.51109rad/m, E=3.8510-20J. Con estos valores resulta A=12353 metros-1/2. Entonces, normalizado queda: El corchete de abajo da 1. Queda entonces:

axsieeekak

AkaA

axsiekxk

AkxA

xsieeA

iEtxa

iEt

iEtx

/

/

/

sincos

0sincos

0

kakakkk

ka

k

aA

dxee

kak

ka

A

dxkxk

kxAdxeAdx

a

xa

ax

22

22

2

2

2

22

2

2

0

22

0222

cos2

1sin

2

33

4

2sin1

22

1

1

12

sincos

sincos

mxsieee

mxsiexx

xsiee

tix

ti

tix

n

90000582000000077000000007.7

90000582000000099

000058200000007700000000

1051.2sin0677.351.2cos12353

1001051.2sin0677.31051.2cos12353

012353

mxsieee

mxsiexx

xsiee

tix

ti

tix

n

90000582000000077000000007.7

90000582000000099

000058200000007700000000

1012353

1001051.2sin0677.31051.2cos12353

012353

Combinación de varios estados

En cualquier resonancia clásica, la onda resultante suele ser combinación de ondas con distintos k. En ondas de partículas en estados ligados, esta también es la regla. Sean los estados normalizados posibles correspondientes a una partícula en estado ligado: Entonces, la combinación de estos estados tendrá la forma: Donde c1, c2, ..., cN son constantes complejas. Si queremos que la onda resultante también quede normalizada, hacemos: (59) Si en cierto momento midiéramos el estado de la partícula, haríamos colapsar la función de onda, y encontraríamos la partícula en una cierta posición x, con un ímpetu p, y con una energía E. Por ejemplo, la probabilidad de que encontremos a la partícula con energía E=E1, y con el ímpetu p=+p1=[2m(E1-V)]1/2, o bien con p=-p1, será: Mientras que la probabilidad en la posición x se halla mediante la introducción de la (59) en la (57). Si n tuviera una sola componente 1, el factor temporal desaparecería al hacer |n|

2, pero al haber más de una componente el tiempo permanece como variable en |n|

2. Entonces, ahora |n|

2 es una función del tiempo, y por lo tanto será función del tiempo la probabilidad de que al medir encontremos a la partícula en a<x<b. Veamos un ejemplo. Supongamos que nuestra partícula se encuentra en un pozo infinito con igual probabilidad de estar con la energía más baja que la de estar con la energía del primer estado excitado. Su función de onda podría ser, teniendo en cuenta la (48), (49), y (59):

/

/22

/11

...........

2

1

tiENnNn

tiEnn

tiEnn

Nex

ex

ex

//22

/11 .....21 tiE

NnNtiE

ntiE

nNexcexcexc

22

2

2

1

//22

/11

2.....

.....21

N

tiENnN

tiEn

tiEn

jj

n

ccc

excexcexc

c

N

22

2

2

1

2

11

.....Pr

Nccc

cE

2222

2222

/22/

22

/22/

2sin

27071.0sin

27071.0

11

2sin

21sin

21

matimatin

matimati

n

ea

x

aie

a

x

a

i

ea

x

aie

a

x

a

Donde tuvimos que elegir |c1|=|c2| para que las probabilidades de las energías sean iguales, pero arbitrariamente adjudicamos c1=1 y c2=1i (se podría haber elegido c1=4-3i y c2=3+4i, por ejemplo, o, más fácil, c1= c2=1). Las amplitudes normalizadas (2/a)1/2 surgieron de la (34), y del hecho de que la amplitud es (2/a)1/2 no solo para el estado fundamental, sino para cualquier estado de un pozo infinito. Para hallar |n|

2, multiplicamos n por su conjugado: Lógicamente, al ser |n|

2 un módulo al cuadrado, debe ser una función puramente real, y así resultó. La siguiente figura muestra |n|

2 para tres instantes distintos de tiempo: t=0, t=T/12, y t=T/4. Puede observarse cómo va cambiando la densidad de probabilidad con el tiempo. El pozo infinito representado en la figura es de ancho a=1nm.

2

222

/22/

/22/*2

2

3sin

2sinsin

22sin

1sin

1

2sin

27071.0sin

27071.0

2sin

27071.0sin

27071.0

2222

2222

ma

t

a

x

a

x

aa

x

aa

x

a

ea

x

aie

a

x

a

ea

x

aie

a

x

a

matimati

matimatinnn