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Capıtulo 1

Conceptos y principios fundamentales

La Fısica es la ciencia natural mas basica y su objetivo general es el estudiocuantitativo de la materia, la energıa y sus interacciones mutuas. La Fısicainvestiga las leyes fundamentales por las que se rige la naturaleza y las apli-ca al estudio los fenomenos mecanicos, termicos, acusticos, electromagneticos,etc. Para ello usa el metodo cientıfico, en el que las predicciones teoricas seconfrontan con las observaciones experimentales, y utiliza el lenguaje de lasmatematicas para expresar sin ambiguedad las relaciones entre las magnitudesfısicas. Debido al caracter fundamental de la Fısica, todas las demas cienciasnaturales (Quımica, Biologıa, etc.) y las tecnologıas (Arquitectura, Ingenierıa,etc.) necesitan de ella para desarrollarse.

La Mecanica es la parte de la Fısica que estudia el movimiento, el equilibrio mecanica

y la deformacion de los cuerpos. Comprende la Cinematica, que trata de lacinematica

descripcion del movimiento sin tener en cuenta las causas que lo provocan,y la Dinamica, que relaciona el movimiento con las causas que lo afectan o dinamica

modifican (las fuerzas). La Estatica es una parte de la Dinamica. Se ocupa deestatica

estudiar bajo que condiciones un sistema mecanico (un cuerpo o conjunto decuerpos) se encuentra en equilibrio. El estudio de la Mecanica es esencial en elambito de la Ingenierıa de Edificacion, pues interesa conocer la estabilidad ydeformacion de las estructuras bajo la accion de las cargas aplicadas.

En este capıtulo nos centraremos en exponer distintos conceptos funda-mentales de la Mecanica que seran de utilidad a lo largo de todo el curso. Seintroduciran ademas las leyes de Newton para una partıcula, y se aplicaranal estudio de la estatica del punto material. Mas adelante, nos ocuparemos delcomportamiento de las fuerzas aplicadas sobre un solido rıgido (capıtulos 2 y 3)y estudiaremos la estatica del solido y de los sistemas de solidos rıgidos (capıtu-los 4 y 5). Terminaremos con el estudio del solido elastico y, en particular, sucomportamiento frente a la flexion (capıtulo 6).

1.1. Conceptos basicos

Conceptos basicos de la Mecanica son el espacio, el tiempo y la masa. Enla mecanica newtoniana, estos tres conceptos se consideran cantidades absolu-tas, es decir, independientes del observador. La definicion de estos conceptos

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6 Conceptos y principios fundamentales

no es facil y su comprension reposa en buena medida en nuestra experienciacotidiana.

El espacio es la region geometrica en la cual tienen lugar los sucesos. En esteespacio

libro usaremos la palabra espacio para referirnos a una region tridimensional.

La posicion en el espacio se determina con relacion a un cierto sistemageometrico de referencia, o simplemente sistema de referencia, mediante me-sistema de referencia

didas longitudinales y angulares. En este libro, por lo general, un sistema dereferencia sera una terna de ejes cartesianos. Cuando solo sean relevantes dosde las tres dimensiones, se utilizara un sistema de referencia formado por dosejes cartesianos.

El tiempo es una medida de la sucesion de eventos.tiempo

La masa se define de dos maneras diferentes. Por un lado, la masa es lamasa

medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo material, esto es, de su “re-sistencia” a cambiar de estado de movimiento. Por otro lado, la masa es unapropiedad que poseen los cuerpos que hace que se atraigan mutuamente. Laequivalencia entre ambas masas (masa inerte y masa gravitatoria o pesante) esuna de las “coincidencias” mas llamativas de la mecanica newtoniana y esta enla base de la teorıa de Einstein de la gravitacion (o relatividad general).

1.2. Modelos mecanicos

En Fısica se usan modelos para representar de forma abstracta y simplifica-da los objetos y sus interacciones. La eleccion de un modelo fısico adecuado esclave en la resolucion de cualquier problema. Un buen modelo debe conservarlos aspectos que son relevantes para poder resolver el problema, y omitir todoaquello que no lo es. El que un modelo sea mas o menos util viene determinadopor la precision de sus predicciones (al compararlas con las observaciones ex-perimentales) y por la complejidad del modelo. En general, es preferible usar elmodelo mas sencillo que permita predecir los resultados que se buscan, siempreque estos esten en razonable acuerdo con las observaciones experimentales.

En este curso usaremos varios modelos, de complejidad creciente, para re-solver problemas de Mecanica. Cada uno de ellos es adecuado para un tipode problemas concreto. Estos modelos son: punto material, sistema de puntosmateriales, solido rıgido, sistema de solidos rıgidos y solido elastico.

1.2.1. Partıcula o punto material

El modelo de partıcula o punto material es el modelo mecanico mas simple.partıcula o punto material

Un punto material queda caracterizado por su masa y su posicion, y carecede extension espacial. Un objeto real se puede modelar como punto materialcuando debido a las circunstancias del problema se pueden ignorar sus dimen-siones, estructura y configuracion interna y, a efectos mecanicos, no hace faltadistinguir partes en el.

EJEMPLO: La trayectoria de la Tierra en su movimiento de traslacion alre-dedor del Sol se obtiene con suficiente precision asumiendo que la Tierra es unpunto material.

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1.2 Modelos mecanicos 7

Cuando es necesario distinguir partes, y se pueden ignorar las dimensiones,estructura y configuracion interna de cada una de las partes, un modelo masadecuado es el de sistema de puntos materiales, que queda caracterizado por sistema de puntos materiales

la masa y posicion de los N puntos que forman el sistema.

EJEMPLO: Las trayectorias de todos los planetas del Sistema Solar alrededordel Sol se obtiene con suficiente precision suponiendo que cada uno de ellos esun punto material de un sistema de puntos materiales.

1.2.2. Solido rıgido

Un modelo de especial utilidad en Ingenierıa es el modelo de solido rıgido, solido rıgido

que se define como un sistema de puntos materiales en el que la distancia entredos cualesquiera de ellos no cambia ante la accion de un sistema de fuerzas(fig. 1.1). Este modelo es util cuando las dimensiones del objeto son relevantesen el problema, sus deformaciones son pequenas y, a efectos mecanicos, no hacefalta distinguir partes en el. ri j

i j

FIGURA 1.1: N puntos materia-les forman un solido rıgido si cum-plen la condicion de rigidez: |~rij | =cte ∀ i, j = 1, 2, . . . , N , donde ~rij esel vector con origen en el punto ma-terial i y extremo en el punto mate-rial j.

Cuando es necesario distinguir partes, y en cada una de ellas las dimensionesson relevantes y las deformaciones pequenas, un modelo mas adecuado es el desistema de solidos rıgidos, que es un sistema formado por dos o mas solidos

sistema de solidos rıgidos

rıgidos.

EJEMPLO: En el estudio de la estabilidad de las estructuras en edificacion,el conjunto de las vigas que componen una estructura se tratan habitualmentecomo un sistema de solidos rıgidos.

1.2.3. Solido elastico

Si las deformaciones del objeto no son despreciables o se quieren estudiarestas deformaciones por pequenas que sean, un modelo mas adecuado es elmodelo de solido elastico. Un solido elastico se deforma proporcionalmente a la solido elastico

fuerza aplicada y, cuando cesa la fuerza, recupera su forma original.

EJEMPLO: La deformacion que experimenta una viga sometida a cargas puedecalcularse usando el modelo de solido elastico.

1.2.4. Modelos planos

Para la resolucion de determinados problemas no es relevante considerar lastres dimensiones espaciales, sino que basta con tener en cuenta dos (o inclusouna) de ellas. Por ejemplo, en determinados problemas que presentan simetrıaespacial respecto a un plano y en los cuales los unicos movimientos posiblesson paralelos a dicho plano, es adecuado emplear modelos fısicos planos, ya queello simplifica la resolucion del problema.

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La posicion de un objeto que se modele como un punto material en elplano queda determinada por dos coordenadas, por ejemplo sus coordenadascartesianas (xp, yp). Por el contrario, para determinar la posicion de un puntomaterial en el espacio son necesarias tres coordenadas espaciales, (xp, yp, zp).

FIGURA 1.2: Punto material vincula-do mediante un cable en tension.

En el modelo de solido rıgido plano, el objeto se representa por una figu-ra plana (generalmente su seccion en un determinado plano) y se ignora sudimension perpendicular a dicho plano.

1.3. Grados de libertad y ligaduras

1.3.1. Configuracion

La configuracion de un sistema de puntos materiales es la posicion queconfiguracion

ocupa en el espacio cada una de las partıculas que lo constituyen. Por tanto,queda determinada si se conocen en cada instante las coordenadas espacialesde todas y cada una de sus partıculas.

1.3.2. Ligaduras

Una partıcula libre es aquella que puede ocupar cualquier posicion en elpartıcula libre

espacio, sin ninguna restriccion. Generalmente, las partıculas que constituyenun sistema mecanico no son libres, sino que ven limitadas las posiciones a lasque pueden acceder. Llamamos ligadura, vınculo o enlace a cualquier limitacionligadura

en las posibles posiciones que puede ocupar un sistema material en el espacio.Un sistema mecanico ligado es aquel que esta sometido a algun tipo de ligadura.sistema mecanico ligado

EJEMPLO:

Una partıcula material unida a un cable1 en tension (pendulo simple) solopuede ocupar las posiciones de una esfera de radio igual a la longitud delcable y centro en el punto donde este tiene su extremo fijo (fig. 1.2).

Las posibles posiciones de una anilla ensartada en un alambre (fig. 1.3)son aquellas que vienen definidas por la curva que este describe.

Dos esferas unidas por una barra de acero (fig. 1.4) pueden ocupar cual-quier posicion en el espacio siempre que la distancia entre ellas sea cons-tante e igual a las dimensiones de la barra.

Un solido rıgido articulado (fig. 1.5) mantiene fijo uno de sus puntos,alrededor del cual el solido puede rotar.

FIGURA 1.3: Anilla vinculada a unalambre con forma parabolica.

Una viga empotrada por uno de sus extremos se encuentra en una posicionfija en el espacio, y no puede ocupar ninguna otra a menos que se destruyaese vınculo.

1El vınculo cable en tension considerado en este texto sera siempre un hilo inextensible,de masa despreciable, y sin rozamiento en sus contactos.

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1.3 Grados de libertad y ligaduras 9

Las restricciones sobre las posiciones que imponen las ligaduras se expresanmediante relaciones matematicas que, en el caso mas general, pueden dependerno solo de las coordenadas de las partıculas, sino tambien de sus velocidades ydel tiempo,

ϕ(~r1, ~r2, . . . , ~rN , ~v1, ~v2, . . . , ~vN , t) = 0, (1.1)

donde ~ri = (xi, yi, zi) y ~vi son, respectivamente, los vectores posicion y velo-cidad de la partıcula i-esima del sistema de N partıculas y t el tiempo. Sinembargo, por sencillez, en este texto solo trataremos aquellos enlaces que pue-den describirse mediante ecuaciones que solo involucran las posiciones de laspartıculas, esto es,

ϕ(~r1, ~r2, . . . , ~rN ) = 0. (1.2)

Este tipo de enlaces recibe el nombre de ligaduras holonomas escleronomas, ligaduras holonomas escleronomas

y nos referiremos a cada una de las ecuaciones que las describen como ecua-ciones de ligadura. Cada ecuacion de ligadura del tipo (1.2) muestra que, al ecuaciones de ligadura

menos formalmente, una de las coordenadas de las partıculas enlazadas podrıadeterminarse a partir de las coordenadas de las partıculas restantes.

EJEMPLO:

Las coordenadas (xp, yp, zp) de un punto material ligado a un plano debensatisfacer la ecuacion de ligadura

Axp + Byp + Czp + D = 0, (1.3)

donde A, B, C y D son los parametros que definen la superficie plana. x

z

y

d

P x , y , z1 1 1 1( )

P x , y , z2 2 2 2( )O

FIGURA 1.4: Dos puntos materialesobligados a permanecer a una distan-cia fija. La partıcula P2 esta obligadaa permanecer sobre una esfera cen-trada en P1.

FIGURA 1.5: Solido rıgido vinculadopor una articulacion en uno de suspuntos.

Si una anilla, modelada como un punto material, se encuentra ensartadaen un alambre con forma parabolica (fig. 1.3), las coordenadas (xp, yp)que definen su posicion han de cumplir la ecuacion de ligadura

yp = ax2p + bxp + c, (1.4)

donde los parametros a y b dependen de la forma concreta de la parabola

La ecuacion de ligadura que describe al vınculo por el que dos puntosmateriales, P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2), se encuentran a una distanciafija d (fig. 1.4) es

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2 − d2 = 0. (1.5)

Las posibles posiciones que puede ocupar uno de los puntos se encuentransobre una esfera cuyo radio es la distancia fija d y que tiene por centro laposicion del otro punto material.

Si un punto P (xp, yp) de un solido rıgido plano se vincula mediante unaarticulacion a un punto Q(xq, yq) de dicho plano (fig. 1.5), sus coordena-das habran de satisfacer las ecuaciones de ligadura

xp = xq, (1.6)

yp = yq. (1.7)

El solido podra ocupar cualquier posicion siempre que estas ecuacionesse verifiquen, esto es, siempre que se mantenga el punto de articulacion.

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1.3.3. Grados de libertad

La configuracion de un sistema de puntos materiales puede ser muy comple-ja cuando contiene un numero elevado de partıculas, pues requerirıa especificarmuchas coordenadas. Sin embargo, como se ha visto en la seccion 1.3.2, la exis-tencia de ligaduras establece relaciones entre las coordenadas de las partıculas,por lo que el numero de coordenadas independientes se ve reducido.

Los grados de libertad de un sistema de partıculas son las coordenadas libresgrados de libertad

o independientes que permiten conocer la configuracion del sistema. El numerototal de dichas coordenadas, G, se denomina numero de grados de libertad delsistema de partıculas. Ha de advertirse, no obstante, que para abreviar la es-critura se utiliza frecuentemente la expresion grados de libertad como sinonimode numero de grados de libertad.

En un sistema mecanico ligado, cada ecuacion de ligadura independientepermite obtener una de las coordenadas del sistema en funcion de las restantes.Por lo tanto, cada ecuacion de ligadura independiente supone la supresion deun grado de libertad respecto del caso en que el sistema fuera libre.

FIGURA 1.6: Una partıcula libre si-tuada en un cierto sistema de refe-rencia.

FIGURA 1.7: Pendulo simple: unapartıcula P ligada a un punto fijoO mediante un cable inextensible delongitud d.

FIGURA 1.8: Pendulo simple plano.Su posicion se describe en coordena-das polares mediante la distancia r yel angulo θ.

Una partıcula libre en el espacio tiene tres grados de libertad, pues sonnecesarias tres coordenadas libres para fijar su posicion (fig. 1.6). Estas puedenser, por ejemplo, sus tres coordenadas cartesianas (xp, yp, zp). En el plano, soloson necesarias dos coordenadas, (xp, yp), por lo que una partıcula libre en elplano tiene solo dos grados de libertad.

Consideremos ahora el caso un partıcula ligada en el espacio: un pendulosimple unido al origen de coordenadas mediante un cable tenso (fig. 1.7). Suconfiguracion queda determinada por tres coordenadas cartesianas: xp, yp y zp.El cable, de longitud d, constituye una ligadura de ecuacion

x2p + y2

p + z2p = d2, (1.8)

que han de satisfacer las coordenadas del pendulo. Por tanto, el valor de, porejemplo, la coordenada zp, podrıa determinarse en funcion de las coordenadasxp e yp. Puesto que solo es necesario conocer los valores de xp e yp para deter-minar toda la configuracion, se concluye que el numero de grados de libertaddel pendulo simple es dos. De los tres grados de libertad que tendrıa la partıculasi fuese libre, la ligadura ha suprimido uno.

En el plano, la configuracion de un pendulo simple queda determinada porlas coordenadas cartesianas xp e yp, que deben verificar la ecuacion de ligadura

x2p + y2

p = d2. (1.9)

Por tanto, puede determinarse el valor de una de las coordenadas cartesianasen funcion de la otra, con lo que el numero de grados de libertad es uno. Laligadura ha suprimido uno de los dos grados de libertad que tendrıa la partıculasi fuese libre.

La configuracion de un sistema de partıculas puede expresarse en otrascoordenadas distintas de las cartesianas. Por ejemplo, la posicion de un puntoen el plano puede tambien determinarse unıvocamente por la distancia r alorigen de coordenadas y el angulo θ respecto de un eje que se denomina ejepolar (fig. 1.8). Ese par de numeros (r, θ) se denominan coordenadas polares delpunto, y determinan la configuracion de una partıcula en el plano.

Usando coordenadas polares, la ecuacion de ligadura correspondiente a unpendulo simple en el plano, unido al origen de coordenadas mediante un cable

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de longitud d, se expresa comor = d. (1.10)

Por tanto, la coordenada radial del pendulo tiene un valor fijo, mientras la coor-denada angular θ puede adquirir cualquier valor. La configuracion del penduloquedara determinada por el valor que adquiera θ, y el numero de grados delibertad sera uno.

Ası pues, los grados de libertad pueden venir expresados tanto mediantecoordenadas cartesianas (con dimensiones de longitud) como por coordenadasangulares (adimensionales), o mediante una combinacion de ambas. Sin embar-go, el numero de coordenadas independientes o grados de libertad del sistema,G, sera siempre el mismo.

1.3.4. Movimientos independientes

La modificacion de una o varias de las coordenadas independientes (o li-bres) que definen la configuracion de un sistema mecanico implica un cambioen la posicion de este, es decir, su movimiento. Cualquier movimiento del sis-tema puede expresarse como una combinacion de movimientos elementales oinfinitesimales, en cada uno de los cuales varıa el valor de una unica coordenadaindependiente. Ademas, la magnitud de cada uno de estos movimientos elemen-tales no esta condicionada por la de los restantes, por lo que se le denominanmovimientos independientes del sistema. movimientos independientes

Segun se definio en la seccion 1.3.1, el numero de coordenadas libres deter-mina los grados de libertad de un sistema mecanico. Puesto que cada movi-miento independiente esta asociado a la variacion del valor de una coordenadalibre, pueden tambien definirse los grados de libertad como los movimientosindependientes que puede realizar el sistema.

Consideremos, por ejemplo, una partıcula libre en el espacio. Su configura-cion queda determinada mediante sus tres coordenadas cartesianas, (xp, yp, zp).Estas coordenadas pueden adoptar cualquier valor, puesto que una partıculalibre puede desplazarse a cualquier punto del espacio. Un movimiento elemen-tal arbitrario ∆~l de la partıcula puede expresarse como combinacion de tresmovimientos independientes (fig. 1.9): una traslacion ∆x paralela al eje x, enla cual varıa unicamente el valor de la coordenada libre xp; una traslacion ∆yparalela al eje y, en la cual varıa unicamente el valor de la coordenada libre yp;y una traslacion ∆z paralela al eje z, en la cual varıa unicamente el valor de lacoordenada libre zp. Es decir,

∆~l = ∆x~ı + ∆y ~ + ∆z ~k. (1.11)

FIGURA 1.9: Movimiento de unapartıcula libre en el espacio.

Los argumentos antes expresados son igualmente validos para una partıculalibre en el plano, cuya posicion queda determinada por el valor de sus coordena-das xp e yp. Sus grados de libertad son dos, correspondientes a dos movimientosindependientes, ∆x y ∆y, paralelos a los ejes coordenados x e y.

Ası como la eleccion de las coordenadas independientes de un sistema mecani-co no es unica (vease 1.3.1), la descripcion de movimientos independientessera distinta, segun sean las coordenadas libres elegidas. Sin embargo, el nume-ro de movimientos independientes sera siempre el mismo, pues el numero degrados de libertad es unico.

Consideremos nuevamente el pendulo plano (fig. 1.8), que posee un sologrado de libertad. La partıcula se encuentra obligada a moverse sobre una

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circunferencia de radio d centrada en O. Si se toma como coordenada indepen-diente la coordenada angular θ, la traslacion de la partıcula se expresara comouna variacion de valor ∆θ en dicha coordenada. La coordenada r no cambiara,pues su valor esta fijado por la ecuacion de ligadura (1.10).

Por el contrario, si se toma como coordenada libre la coordenada cartesianaxp, el movimiento independiente se describira como una variacion ∆x en el valorde xp. Puesto que la coordenada yp depende de xp a traves de la ecuacion deligadura (1.9), la variacion ∆x lleva aparejada una variacion en la coordenadayp de valor ∆y, dependiente de ∆x.

1.3.5. Coacciones

Como se ha indicado anteriormente, la existencia de ligaduras en un sistemade puntos materiales establece relaciones entre las coordenadas de las partıcu-las, que vienen expresadas por las ecuaciones de ligadura. Estas relaciones setraducen en limitaciones sobre el numero de movimientos independientes queel sistema de partıculas sin ligaduras podrıa realizar.

Consideremos, por ejemplo, una partıcula ligada a una superficie plana sinrozamiento (fig. 1.10). Si se eligen los ejes coordenados de forma que la super-ficie sea coincidente con el plano OXY , la ecuacion de la ligadura se expresasimplemente como

zp = 0. (1.12)

En este caso, la posicion de la partıcula queda perfectamente determinadamediante el valor de sus coordenadas xp e yp, ya que su coordenada zp vienefijada por la ecuacion de ligadura y es siempre 0. Por tanto, el numero de gradosde libertad es dos.

Dado que la coordenada zp es fija, la ligadura prohıbe cualquier traslacionparalela al eje z, es decir, impone

∆z = 0, (1.13)

mientras que no establece ninguna limitacion sobre traslaciones paralelas alos ejes x e y. De los tres movimientos independientes que tenıa la partıculalibre, la existencia de una ecuacion de ligadura ha suprimido un movimientoindependiente, es decir, un grado de libertad.

FIGURA 1.10: Movimiento de unapartıcula ligada al plano coordenadoOXY en el espacio.

De forma general, se denomina coaccion al impedimento de uno de los mo-

coaccion

vimientos independientes posibles del sistema mecanico debido a las ligadurasque actuan sobre el. Cada coaccion viene descrita por una ecuacion de ligaduray, por tanto, la existencia de una coaccion supone la supresion de un grado delibertad.

Cada coaccion viene descrita por una ecuacion de ligadura. Por tanto, laexistencia de N coacciones supone la supresion de N grados de libertad.

Cada ecuacion de ligadura supone una coaccion y, por tanto, la supresionde un grado de libertad.

Una ligadura puede venir expresada por una o varias ecuaciones de ligadura,de modo que, dependiendo del tipo de ligadura, esta podra ejercer una o variascoacciones. Por ejemplo, la ligadura que obliga a una partıcula a permaneceren un punto fijo en el espacio ejerce tres coacciones, pues impide cualquierdesplazamiento paralelo al eje x, y o z.

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TABLA 1.1: Coacciones ejercidas por distintos vınculos aplicables a partıculas.

Movimiento/s impedidos no coacciones

Tipo de Ligadura 2D 3D 2D 3D

Permanecer en una superficie sin rozamiento - Perpendicular a la sup. - 1

Permanecer en una curva sin rozamiento Perpendicular a la curva Perpendicular a la curva 1 2

Permanecer en un punto fijo Todos Todos 2 3

Mantener distancia fija a un punto fijo Recta que la une al punto Recta que la une al punto 1 1

Mantener distancia fija entre dos partıculas Recta que las une Recta que las une 1 1

1.3.6. Grados de libertad de sistemas de partıculas

Grados de libertad de sistemas de partıculas libres

Una partıcula libre posee tres grados de libertad en el espacio y dos en elplano. Ası pues, para determinar la configuracion de un sistema de partıculaslibres en el espacio seran necesarias tres coordenadas por cada partıcula, mien-tras que en el plano bastaran con dos. El numero de grados de libertad de unsistema de N partıculas libres sera, por tanto,

Gpart. libres =

{

3N (en el espacio),

2N (en el plano).(1.14)

En consonancia con sus correspondientes grados de libertad, los movimientosindependientes posibles seran 3N en el espacio y 2N en el plano.

Grados de libertad de sistemas de partıculas ligadas

Como ya se ha visto en la seccion 1.3.5, cada ecuacion de ligadura indepen-diente impuesta sobre un sistema de partıculas equivale a una coaccion ejercidasobre el sistema, lo que supone la supresion de un grado de libertad. El numerode grados de libertad de un sistema de N partıculas ligadas puede entoncesobtenerse como

Gpart. ligadas = Gpart. libres − C =

{

3N − C (en el espacio),

2N − C (en el plano),(1.15)

donde C representa el numero de coacciones independientes ejercidas sobre elsistema de N partıculas. En la tabla 1.1 se muestra un resumen de las coaccionesejercidas por las ligaduras mas habituales en los sistemas de partıculas.

q2

qA

B

1

C

FIGURA 1.11: Pendulo plano doble.Las coordenadas θ1 y θ2 son suficien-tes para determinar la configuraciondel sistema.

EJEMPLO:

El pendulo plano doble (fig. 1.11), tiene 2 grados de libertad, pues bastandos coordenadas angulares, θ1 y θ2, para conocer la configuracion de laspartıculas. Alternativamente, el cable que une la partıcula A al techoejerce una coaccion, pues impide su desplazamiento en la direccion delcable, y el que une las partıculas A y B entre sı ejerce otra coaccion, puesla partıcula B no puede alejarse de A en la direccion del cable que lasune. Por tanto, el numero de coacciones ejercidas sobre las dos partıculases 2 y el numero de grados de libertad es

G = 2N − C = 2 × 2 − 2 = 2. (1.16)

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Un sistema formado por 15 moscas “puntuales” en el espacio, dos de ellasunidas por un cable inextensible (C = 1), tiene 44 grados de libertad, pues

G = 3N − C = 3 × 15 − 1 = 44. (1.17)

1.3.7. Grados de libertad del solido rıgido

Grados de libertad del solido rıgido libre

Un solido rıgido libre es aquel que no esta sometido a ligaduras externas,solido rıgido libre

es decir, a vınculos que lo liguen a otros cuerpos. Debe notarse, no obstante,que entre las partıculas del solido rıgido sı existen ligaduras internas al solidorıgido.

Bastan conocer las coordenadas de tres partıculas (no alineadas) del solidorıgido, P1, P2 y P3, para determinar la posicion de cualquier otra, Pi (fig. 1.12).Esto es ası porque las coordenadas de Pi(xi, yi, zi) estan relacionadas con lasde P1, P2 y P3 mediante tres ecuaciones de ligadura pues, debido a la condicionde rigidez del solido, las distancias entre cualesquiera dos partıculas del solidoson fijas,

(xi − x1)2 + (yi − y1)

2 + (zi − z1)2 − d2

1i = 0, (1.18)

(xi − x2)2 + (yi − y2)

2 + (zi − z2)2 − d2

2i = 0, (1.19)

(xi − x3)2 + (yi − y3)

2 + (zi − z3)2 − d2

3i = 0, (1.20)

donde d1i, d2i y d3i son las distancias entre las partıculas P1, P2 y P3 y lapartıcula Pi, respectivamente. A partir de estas tres ecuaciones pueden despe-jarse tres incognitas: las coordenadas xi, yi y zi de la partıcula Pi.

FIGURA 1.12: Solido rıgido en el quese han elegido tres partıculas no ali-neadas, P1, P2 y P3, formando ası untriangulo base. Cualquier partıcula Pi

queda fijada por sus respectivas tresdistancias a los puntos P1, P2 y P3.

Por tanto, la configuracion de un solido rıgido libre queda determinada co-nociendo tan solo la posicion de tres partıculas, y bastan sus nueve coordenadaspara conocer la posicion exacta del solido rıgido en el espacio. Sin embargo, lascoordenadas de P1, P2 y P3 no son independientes entre sı, pues a su vez estansujetas a la condicion de rigidez del solido rıgido,

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2 − d2

12 = 0, (1.21)

(x3 − x2)2 + (y3 − y2)

2 + (z3 − z2)2 − d2

23 = 0, (1.22)

(x1 − x3)2 + (y1 − y3)

2 + (z1 − z3)2 − d2

31 = 0, (1.23)

donde d12, d23 y d31 son las distancias entre las partıculas P1, P2 y P3. De estasecuaciones es posible despejar tres de las coordenadas en funcion de las seis res-tantes, que sı seran completamente independientes. Se concluye finalmente quebastan seis coordenadas para determinar la configuracion de un solido rıgidolibre en el espacio y que, en consecuencia, posee seis grados de libertad. Laeleccion de las seis coordenadas independientes no es unica. En un sistema dereferencia cartesiano, estas coordenadas podıan ser, por ejemplo, las tres coor-denadas de la partıcula P1(x1, y1, z1), las coordenadas x2 e y2 de otra partıculaP2(x2, y2, z2), y la coordenada x3 de una tercera partıcula P3(x3, y3, z3). Losseis movimientos independientes que tiene el solido rıgido se podrıan describircomo las variaciones ∆x1, ∆y1, ∆z1, ∆x2, ∆y2, ∆x3 de estas coordenadas. Loscambios en las restantes coordenadas ∆z2, ∆y3 y ∆z3 no son independientes

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de los anteriores, debido a las ecuaciones de ligadura internas entre los puntosP1, P2 y P3.

Si elegimos otras coordenadas libres, los movimientos independientes delsolido rıgido seguiran siendo seis, puesto que son seis los grados de libertad,pero estos pueden ser mas sencillos de describir. Resulta mas conveniente eneste caso elegir como coordenadas libres las tres coordenadas cartesianas de unpunto, P1(x1, y1, z1), mas tres coordenadas angulares que fijen la orientaciondel solido respecto a los ejes coordenados. Cualquier movimiento del solidorıgido sera una combinacion de los siguientes:

Traslacion de la partıcula P1 del solido rıgido, con cambio ∆x1, ∆y1 y∆z1 en sus coordenadas (fig. 1.13b).

Rotacion ∆γ en torno a un eje que pase por P1 y sea paralelo al ejecoordenado z (fig. 1.13e).

Rotacion ∆β en torno a un eje que pase por P1 y sea paralelo al ejecoordenado y (fig. 1.13d).

Rotacion ∆α en torno a un eje que pase por P1 y sea paralelo al ejecoordenado x (fig. 1.13c).

Observese que los seis movimientos independientes consisten en tres traslacionesparalelas a los ejes coordenados, y tres rotaciones respecto de ejes tambienparalelos a los ejes coordenados. A modo de ilustracion, la figura 1.13 muestralos movimientos independientes necesarios para desplazar un solido rıgido libredesde una posicion inicial hasta otra final.

z

x

P1

z

y

x

z

y

P1

x

z

y

P1

x

y

Dz1

posiciónfinal

Dy1

Dx1

P1

z

x

y

(a)

posicióninicial

z

posiciónfinal

x

y

P1

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

FIGURA 1.13: Movimientos indepen-dientes aplicados sobre un solido rıgi-do libre para cambiar su posicion.

El estudio del numero de grados de libertad del solido rıgido libre en elplano (2D) es analogo al caso tridimensional. Conocidas las posiciones de dospartıculas P1 y P2 del solido rıgido, las coordenadas de cualquier otra partıculaPi(xi, yi) quedan determinadas por las dos ecuaciones de ligadura que imponela rigidez del solido: las distancias de P1 y P2 a Pi son constantes. Sin embargo,las cuatro coordenadas de P1 y P2 no son independientes, pues a su vez estansujetas a la condicion de rigidez del solido

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 − d212 = 0. (1.24)

A partir de esta ecuacion, es posible obtener una de las coordenadas en funcionde las restantes. Por tanto, la configuracion del solido rıgido libre en el planoqueda completamente determinada mediante tres coordenadas, y tres seran susgrados de libertad. Como ocurrıa en el caso 3D, la eleccion de las tres coorde-nadas no es unica. Una posible eleccion serıa las dos coordenadas cartesianasde P1 y una coordenada de P2. Otra eleccion valida serıa las dos coordenadascartesianas de P1, y el angulo que forma la recta que une P1 y P2 con el ejeOX (fig. 1.14). Con esta eleccion, cualquier movimiento del solido plano puedeconsiderarse una combinacion de traslaciones y rotaciones independientes entresı:

Traslacion de la partıcula P1 del solido rıgido, con cambio ∆x1, ∆y1 ensus coordenadas.

Rotacion del solido un angulo ∆α entorno al punto P1.

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Los tres movimientos independientes consisten en dos traslaciones paralelas alos ejes coordenados y una rotacion.

En resumen, el numero de grados de libertad de un solido rıgido libre en elespacio y en el plano es el siguiente:

GSR libre =

{

6 (en el espacio),

3 (en el plano),(1.25)

Grados de libertad del solido rıgido ligado

Un solido rıgido ligado es aquel que esta sometido a ligaduras externas, essolido rıgido ligado

decir, ligaduras entre las partıculas que constituyen el solido rıgido y el exterior.La presencia de vınculos externos lleva aparejada la existencia de una o

de varias ecuaciones de ligadura que, en este caso, relacionan las coordenadasde partıculas del solido con las partıculas de otros cuerpos (exteriores). Cadaecuacion de ligadura independiente supone una coaccion ejercida sobre el solidorıgido (es decir, un impedimento sobre las traslaciones o rotaciones indepen-dientes que el solido rıgido libre podıa realizar) y suprime un grado de libertadrespecto del caso en que el solido rıgido estaba libre.

Consideremos, por ejemplo, el caso de un solido rıgido plano articulado enla partıcula P (xp, yp) a un punto Q(xq, yq) del plano (fig. 1.5). Las coordenadasde la partıcula deberan satisfacer las ecuaciones de ligadura 1.6 y 1.7. Por tanto,este vınculo ejercera dos coacciones, impidiendo cualquier traslacion paralelaal eje x o al eje y. La articulacion suprime dos grados de libertad, y el solidoconserva solo un grado de libertad de los tres que tendrıa si fuera libre: laposibilidad de rotar en torno al punto P .

FIGURA 1.14: La configuracion de unsolido rıgido plano puede determinar-se mediante las coordenadas carte-sianas de un punto P (xp, yp) y unacoordenada angular α.

De forma general, el numero de grados de libertad de un solido rıgido ligadose puede obtener como

GSR ligado =

{

6 − C (en el espacio),

3 − C (en el plano),(1.26)

donde C representa el numero de coacciones, o equivalentemente, de ecuacionesde ligadura independientes impuestas sobre el solido. Mas adelante, cuando seaborde el estudio de la estatica del solido rıgido, se estudiara en detalle lascoacciones ejercidas por los vınculos mas frecuentes aplicados sobre los solidos.

1.4. Principios fundamentales de la Dinamica

Se dice que una fuerza actua sobre un cuerpo si un agente de algun tipofuerza

lo empuja o tira de el. Una fuerza puede provocar una modificacion del estadode movimiento del cuerpo, una deformacion del cuerpo o ambas cosas a la vez.Aunque no necesariamente ha de ser ası, pues la presencia simultanea de otrasfuerzas puede evitar la modificacion del estado de movimiento del cuerpo y ladeformacion puede no ser apreciable.

Una fuerza es una magnitud con direccion y sentido y que, ademas, comodescubrio Varignon, verifica la regla de la poligonal (o la del paralelogramo)cuando se componen varias fuerzas. Por tanto, las fuerzas son magnitudes vec-toriales.

Pierre Varignon (Caen, 1654;Parıs, 1722): Entre sus contribu-ciones destacan la teorıa generalde los momentos, el teorema de

Varignon y el polıgono de Varig-

non, que es la base de la regla dela poligonal para sumar vectores.

Una fuerza sobre un punto material se describe mediante un vector ligadoa la posicion de dicho punto material en cada instante.

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1.4 Principios fundamentales de la Dinamica 17

1.4.1. Fuerzas activas

Las fuerzas activas son aquellas que pueden alterar el estado de movimien- fuerzas activas

to o producir deformaciones en el sistema. Ejemplos de estas son la fuerzagravitatoria, las fuerzas ejercidas por campos electricos y magneticos, las pro-ducidas por resortes y bandas elasticas, las fuerzas impulsivas originadas enlas colisiones, etc. Seguidamente, se discutiran las caracterısticas de la fuerzagravitatoria y de las ejercidas por resortes, que seran ampliamente utilizadasen la resolucion de ejercicios.

Fuerzas gravitacionales. Ley de gravitacion universal

Newton formulo la ley de gravitacion universal, que establece que la interac- ley de gravitacion universal

cion gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una distanciar12 = |~r12| (fig. 1.15 arriba) corresponde a una fuerza atractiva (fig. 1.15 abajo)proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadra-do de la distancia entre ellos,

~F21 = −~F12 = Gm1m2

r212

~r12

|~r12|, (1.27)

donde G es una constante universal cuyo valor en el Sistema Internacional esG = 6,673 × 10−11 m3 kg−1 s−2 y se llama constante de gravitacion universal,y ~r12/|~r12| es un vector unitario con la misma direccion y sentido que el vectorcon origen en la masa puntual m1 y extremo en m2 (fig. 1.15 arriba).

r12

m1 m2

m1 m2

F12F21

FIGURA 1.15: Dos masas puntuales,m1 y m2, separadas una distancia|~r12| (arriba), y las fuerzas gravitato-rias que experimentan. ~F12 es la fuer-za gravitatoria que ejerce m1 sobrem2 y ~F21 es la que ejerce m2 sobrem1.

Un caso particular de esta ley se obtiene cuando uno de los cuerpos es laTierra y el otro esta situado proximo a su superficie. La masa de la Tierraes m1 = mT = 5,975 × 1024 kg y la distancia del centro de la Tierra a susuperficie, el radio medio de la Tierra2, es rT = 6,37×106 m. Entonces podemosreescribir (1.27) como

~FT 2 = m2~g, (1.28)

donde

~g = −GmT

r212

~r12

|~r12|≈ −G

mT

r2T

~rT

|~rT|. (1.29)

Si elegimos un sistema de referencia en el que el eje y coincida con la verticalsobre la superficie de la Tierra, resulta

~g = −9,8~m/s2. (1.30)

La constante ~g ası obtenida tiene dimensiones de aceleracion, por lo que sele denomina aceleracion de la gravedad de la Tierra. La ec. (1.28) se puedereescribir como

~P = m~g, (1.31)

donde ~P es el peso de la masa m. El peso no es otra cosa que la fuerza gravitato- peso

ria con que la Tierra atrae a esa masa cuando esta situada en las proximidadesde su superficie.

El peso en la Luna se obtiene de manera similar,

~PLuna = m~gLuna, (1.32)

2La Tierra no es una esfera sino un esferoide oblato. Su radio ecuatorial es 6,378160×106 my su radio polar es 6,356775 × 106 m.

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donde, teniendo en cuenta que la masa y el radio de la Luna son, respecti-vamente, mLuna = 7,35 × 1022 kg y rLuna = 1,7374 × 106 m, resulta que laaceleracion de gravedad de la Luna es ~gLuna = −1,6~m/s2; seis veces menorque en la superficie de la Tierra.

Fuerzas ejercidas por muelles ideales. Ley de Hooke

Si estiramos (comprimimos) un muelle real a lo largo de la direccion delmuelle, el muelle ejerce una fuerza, en la direccion de estiramiento (compre-sion) y con sentido contrario al de su estiramiento (compresion). Dicha fuerzaes aproximadamente proporcional a la elongacion del muelle. Por elongacionentendemos la diferencia entre la longitud del muelle deformado, l, y su longi-tud natural, esto es, la longitud que tiene el muelle cuando no esta sometido aninguna fuerza, l0 (fig. 1.16). Esta relacion aproximada se conoce como la leyde Hooke:

~F = −k∆~l, (1.33)

donde ~F es la fuerza que ejerce el muelle, k es una constante caracterıstica del

Robert Hooke [Freshwater (Islade Wight), 1635; Londres, 1703]:Fundo la teorıa de la elasticidad yestablecio en 1678 la ley que llevasu nombre: “Ut tensio, sic vis” (Dela misma manera que la deforma-cion, ası es la fuerza).

muelle (a veces llamada constante elastica del muelle) que tiene dimensiones de

fuerza entre longitud y ~∆l es el vector que describe la elongacion que ha sufridoel muelle. Recibe el nombre de muelle ideal a aquel que verifica exactamente lamuelle ideal

ley de Hooke.

FIGURA 1.16: El mismo muelle antes(arriba) y despues (abajo) de ser es-tirado horizontalmente una distancia| ~∆l| hacia la derecha. La longitud na-tural del muelle es l0. En el caso deabajo, el muelle ejerce una fuerza ho-rizontal ~F proporcional a ~∆l y haciala izquierda.

La fuerza ejercida por un muelle de longitud natural nula sobre un cuerpounido a uno de sus extremos es un ejemplo de una fuerza proporcional a ladistancia: la que hay entre dicho cuerpo y el extremo opuesto del muelle.

1.4.2. Fuerzas de reaccion vincular

Las fuerzas de reaccion vincular o fuerzas de ligadura son aquellas ejer-

fuerzas de reaccion vincular

cidas por las ligaduras sobre el sistema, y su efecto mecanico es impedir losmovimientos incompatibles con las ligaduras.

El principio de liberacion, principio de aislamiento o axioma de las liga-

principio de liberacion

duras, establece que todo sistema mecanico ligado puede transformarse en unsistema virtualmente libre si las ligaduras se sustituyen por sus correspondien-tes fuerzas de reaccion vincular.

EJEMPLO: Cuando una persona esta de pie sobre un suelo horizontal, laaccion del suelo puede sustituirse por una fuerza vertical hacia arriba.

Las fuerzas de reaccion vincular deben producir en todo momento el mismoefecto mecanico que el vınculo al que sustituyen, impidiendo los movimientosincompatibles con el enlace. Por ello, las fuerzas de reaccion vincular poseenlas siguientes caracterısticas:

Las fuerzas de reaccion vincular no producen movimiento.

El modulo de las fuerzas de reaccion vincular es siempre funcion de lasfuerzas activas, y se anula cuando estas lo hacen.

La direccion de la fuerza de reaccion vincular puede depender o no de lasfuerzas activas, segun sea el tipo de ligadura. Por ejemplo, la direccion

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1.4 Principios fundamentales de la Dinamica 19

de la fuerza de reaccion vincular que actua sobre una partıcula ligada auna superficie o a una curva sin rozamiento es siempre perpendicular adicha superficie o curva. Por el contrario, la fuerza de reaccion vincularque actua sobre una partıcula fija tiene una direccion dependiente de lasfuerzas activas aplicadas.

Las incognitas contenidas en la expresion de la fuerza de reaccion vincular co-rrespondiente a un vınculo reciben el nombre de incognitas de reaccion vincular. incognitas de reaccion vincular

Puede mostrarse que el numero de incognitas de reaccion vincular asociadas aun vınculo coincide con el numero de coacciones ejercidas por dicho vınculo.

EJEMPLO:

f

P+FP

f

P

fFIGURA 1.17: Fuerza de reaccionvincular ~φ sobre una anilla de peso ~Pobligada a permanecer sin rozamien-to sobre una recta horizontal (izda.)o inclinada (dcha.). El mismo casoque a la izda. pero con una fuerzavertical adicional (centro).

Consideremos una anilla puntual de peso ~P obligada a permanecer sin ro-zamiento sobre una recta. Si la recta es horizontal y sobre la anilla no se ejerceninguna fuerza adicional, entonces la fuerza de reaccion vincular ~φ es igual y desentido contrario a ~P (fig. 1.17 izda.). Si se ejerce una fuerza vertical adicional~F , entonces la fuerza de reaccion vincular ~φ es igual y de sentido contrarioa ~P + ~F (fig. 1.17 centro). Si se inclina la recta y no se ejerce ninguna fuerza

adicional, entonces la fuerza de reaccion vincular ~φ sigue siendo perpendiculara la recta (fig. 1.17 dcha.). En este caso, el modulo de ~φ cambia cuando lohacen las fuerzas activas pero su direccion se mantiene siempre perpendiculara la recta.

EJEMPLO:

x

y

ff

P

P

FIGURA 1.18: Fuerza de reaccion vin-cular ~φ sobre una anilla de peso ~Pobligada a permanecer sin rozamien-to sobre una curva. Se muestran lasfuerzas en dos posiciones diferentesde la anilla.

Si una anilla esta vinculada a una curva plana sin rozamiento (fig. 1.18), ladireccion de la fuerza de reaccion vincular sera, en general, diferente en cadapunto de la misma, pero siempre perpendicular a la tangente de la curva encada punto.

La direccion normal a una curva plana y = y(x) puede determinarse de lasiguiente forma. Consideremos un elemento de longitud (o de arco) sobre lacurva (fig. 1.19), que parte del punto de coordenadas A(x, y) y termina en elpunto B(x + dx, y + dy). Siendo dx y dy longitudes infinitesimales, el vector~AB = (dx, dy) sera paralelo, en primer orden, a la tangente a la curva en

el punto A. Dividiendo el vector por la longitud dx (escalar) obtenemos otrovector paralelo mas conveniente:

~t = (1, dy/dx) = (1, y′(x)), (1.34)

donde y′(x) representa la derivada a la curva en el punto A. Entonces, un vectorperpendicular a la tangente a la curva sera

~n = (y′(x),−1), (1.35)

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como puede comprobarse a traves del producto escalar de ~t y ~n (~t · ~n = 0).

A

By x +dy( )

y x( )

x x+dx

y y x= ( )

y

x

FIGURA 1.19: En el lımite dx → 0,el vector ~AB es tangente a la curvade ecuacion y = y(x).

La direccion de la fuerza de reaccion vincular sera paralela a ~n, por lo quepodra expresarse como

~φ = λ~n = λ(y′(x),−1), (1.36)

donde la incognita de reaccion vincular λ es un escalar, positivo o negativo, cuyovalor dependera de las fuerzas activas, y su valor se obtendra de la resolucionde las ecuaciones de equilibrio de la partıcula. Notese que, en general, λ no esel modulo de ~φ, ya que ~n no tiene porque ser un vector unitario.

1.4.3. Leyes de Newton de la Dinamica

Newton fue el primero en enunciar los principios fundamentales que rigen elmovimiento de una partıcula. Tales principios se describen en el libro Philosop-hiae naturalis principia mathematica (Principios matematicos de la filosofıanatural), publicado en 1686. Los sistemas de referencia en los que son vali-das las leyes de Newton se denominan inerciales o newtonianos. Adaptando suenunciado original, las leyes de Newton se pueden formular como sigue:

Primera ley de Newton

La primera ley de Newton (o ley de la inercia) dice:ley de la inercia

Una partıcula sobre la que no actue ninguna fuerza o sobre la que actue unconjunto de fuerzas cuya suma sea nula, permanecera en reposo si estabainicialmente en reposo, o en movimiento rectilıneo y uniforme (i.e., sincambiar su velocidad) si no estaba inicialmente en reposo.

Segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton (o ley fundamental de la Dinamica) dice:ley fundamental de la dinamica

Una partıcula sobre la que actue un conjunto de fuerzas cuya suma sea ~Fexperimentara una variacion por unidad de tiempo de su momento linealmomento lineal

o cantidad de movimiento (~p = m~v) igual a ~F .

~F =d~p

dt. (1.37)

En el caso particular de que la masa de la partıcula permanezca constante,la ec. (1.37) se puede escribir

~F = md~v

dt, (1.38)

donde d~v/dt es la aceleracion, ~a, de la partıcula. Luego la ec. (1.38) tambien sepuede escribir como

~F = m~a. (1.39)

Tercera ley de Newton

La tercera ley de Newton (o ley de accion y reaccion) dice:ley de accion y reaccion

Si una partıcula A ejerce una fuerza (accion) sobre otra partıcula B,entonces B ejerce a su vez una fuerza sobre A (reaccion) igual en moduloy direccion pero de sentido contrario.

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1.5 Estatica del punto material 21

Observaciones sobre las leyes de Newton

Primera ley:

(1) Contiene el principio del equilibrio de las fuerzas y, por tanto, es la ecua-cion fundamental de la Estatica.

Isaac Newton [Woolsthorpe (Lin-colnshire), 1643; Kensington (cer-ca de Londres), 1727]: Es uno delos genios cientıficos mas grandesde todos los tiempos. Entre mu-chas otras contribuciones, destacapor haber establecido la Mecani-ca como un sistema axiomatico ce-rrado (leyes de Newton, ecuacionde Newton del movimiento), ha-ber enunciado la ley de la gravita-cion (1666) y con ella interpretadocuantitativamente las leyes de Ke-

pler, lo que constituye la base de lamecanica celeste. En Optica, des-cubrio la dispersion de la luz e hizoinvestigaciones fundamentales so-bre interferencia (anillos de New-

ton) y teorıa del color (1666), ydefendio una teorıa corpuscular dela luz. En Matematica, descubrio elbinomio de Newton (1665) y, juntocon Leibniz, fundo el calculo dife-

rencial e integral (1665–1666).

(2) Es un caso particular de la segunda ley (~F = ~0 ).

Segunda ley:

(1) La ec. (1.37) es una ecuacion vectorial que se puede escribir como dos (siestamos en el plano) o tres (si estamos en el espacio) ecuaciones escalaresindependientes.

(2) Usando la segunda ley de Newton, es facil demostrar que todos los sis-temas de referencia inerciales estan en reposo relativo o se mueven entresı con velocidad constante. Para las aplicaciones arquitectonicas, un siste-ma de referencia en reposo respecto de la superficie terrestre es, en buenaaproximacion, un sistema de referencia inercial.

(3) Proporciona una definicion operacional de fuerza. De hecho, esta defini-cion operacional es la que se utiliza para definir la unidad de fuerza enel Sistema Internacional, el newton, cuyo sımbolo es N. Un newton es la

newtonfuerza que aplicada a una masa de 1 kg le imprime una aceleracion de1m/s2. Por tanto, 1 N = 1 kgm/s

2(vease la tabla B.1 en el apendice A).

La unidad de fuerza en el sistema tecnico es el kilogramo fuerza o kilopon-dio, kp. Un kilopondio es el peso de una masa de un kilogramo colocadasobre la superficie terrestre y equivale a 9,8 N (vease la tabla B.4).

(4) Notese que el concepto de masa ha aparecido en dos contextos diferentes.Por un lado, ligado a la fuerza gravitatoria y, por otro, ligado a la segundaley de Newton. Al aplicar la segunda ley de Newton a la caıda de unapartıcula por su peso, resulta

~P = mg~g = mi~a, (1.40)

donde mg y mi son, respectivamente, la masa gravitatoria y la masa inerte masa gravitatoria

masa inertede la partıcula. Experimentalmente se observa que ~a = ~g para todos loscuerpos (experimento de caıda libre de Galileo), de donde se deduce quemg = mi.

Tercera ley:

(1) Las fuerzas aparecen siempre por parejas iguales y de sentido contrario.

(2) La accion y la reaccion se aplican sobre partıculas distintas.

1.5. Estatica del punto material

Generalmente, las estructuras de la edificacion se componen de barras ovigas de materiales solidos ligadas entre sı mediante soldaduras, roblones, ar-ticulaciones, etc. Sin embargo, como ya se ha indicado, el estudio del equilibro

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de los cuerpos puede efectuarse mediante el modelo de punto material o desistemas de puntos materiales cuando concurren determinadas circunstanciasque ası lo permiten.

1.5.1. Condiciones de equilibrio para una partıcula

Decimos que un sistema de puntos materiales esta en equilibrio mecanico (oequilibrio mecanico

simplemente equilibrio) en un sistema de referencia inercial cuando su configu-racion, esto es, las posiciones de los puntos que lo forman, permanece invariablea lo largo del tiempo.

Teniendo en cuenta el concepto de grados de libertad ya estudiado, la de-finicion de equilibrio implica que las coordenadas que definen los grados delibertad permanezcan constantes durante en el tiempo.

Sea un punto material ligado sometido a N fuerzas activas, ~Fi. La aplicaciondel principio de liberacion permite a las ligaduras la sustitucion de las ligaduraspor un cierto numero M de fuerzas de reaccion vincular, ~φj . Teniendo en cuentalas leyes de Newton, las condiciones necesarias y suficientes para que el puntomaterial este en equilibrio son que

El punto material esta inicialmente en reposo respecto del sistema dereferencia inercial elegido.

La suma de todas las fuerzas (activas y de reaccion vincular) que actuansobre el punto material sea el vector nulo:

N∑

i=1

~Fi +M∑

j=1

~φj = ~0. (1.41)

La ec. (1.41) es una ecuacion vectorial. Teniendo en cuenta que cada una de

las fuerzas es, en el espacio, un vector de tres componentes, ~Fi = (Fix, Fiy , Fiz)

y ~φj = (φjx, φjy , φjz), la ec. (1.41) da lugar a 3 ecuaciones escalares indepen-dientes:

N∑

i=1

Fix +

M∑

j=1

φjx = 0, (1.42)

N∑

i=1

Fiy +

M∑

j=1

φjy = 0, (1.43)

N∑

i=1

Fiz +

M∑

j=1

φjz = 0. (1.44)

De estas ecuaciones se podran determinar, en principio, no mas de tresincognitas. Puesto que las fuerzas activas suelen ser conocidas, dichas incognitasson generalmente componentes o modulos de las fuerzas de reaccion vincular ~φj

(incognitas de reaccion vincular) o incognitas ligadas a la posicion de equilibriode la partıcula (incognitas de configuracion). En este ultimo caso, sera necesarioque las fuerzas dependan de la posicion que ocupe la partıcula, como ocurre,por ejemplo, en el caso de una partıcula unida a un resorte.

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1.5.2. Condiciones de equilibrio para un sistema de partıculas

Para que el sistema de partıculas se encuentre en equilibrio, cada una de laspartıculas que lo constituyen debe estar a su vez en equilibrio. Por tanto, lascondiciones necesarias y suficientes para que un sistema de puntos materialeseste en equilibrio exigen el cumplimiento de la ecuacion (1.41) para cada unade las partıculas que forman el sistema. Al resolver el sistema de ecuacionesresultante, habra de tenerse en cuenta la tercera ley de newton en las fuerzasque las partıculas se ejercen mutuamente.

1.5.3. Pasos para resolver problemas de Estatica

Los pasos que generalmente hay que seguir para resolver problemas deEstatica son los siguientes:

(a) Elegir el modelo que se va a utilizar para describir los cuerpos materiales(punto material, sistema de puntos materiales, solido rıgido, sistema desolidos rıgidos, etc.).

(b) Dibujar el diagrama de fuerzas y, a la vista del diagrama, elegir el sistemade referencia mas conveniente (es decir, aquel en el que la resolucion delproblema sea, presumiblemente, mas sencilla).

(c) Expresar vectorialmente en ese sistema de referencia todas las fuerzas queintervienen.

(d) Plantear las ecuaciones de equilibrio.

(e) Resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de equilibrio.

(f) Expresar las soluciones teniendo en cuenta su naturaleza escalar o vecto-rial (por ejemplo, las fuerzas son magnitudes vectoriales) sin olvidar lascorrespondientes unidades.

Otros consejos a la hora de resolver problemas son:

Conviene no usar la calculadora hasta el final del problema. No hacefalta sustituir las fracciones y raıces por sus valores decimales. De estamanera se evitan errores de redondeo y los resultados finales y los calculosintermedios quedan expresados en una forma mas elegante.

Conviene comprobar que las soluciones satisfacen los requisitos deseados.Por ejemplo, puede comprobarse que las fuerzas satisfacen la ecuacion deequilibrio.

El siguiente problema nos servira para ilustrar los pasos anteriormente in-dicados.

PROBLEMA RESUELTO 1.1:

Un bloque de 20N de peso esta en equilibrio mediante una fuerza ~F1 que semantiene formando un angulo de 30◦ respecto a la vertical, y mediante otra fuerzahorizontal ~F2. Determina ~F1 y ~F2.

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Solucion:

Sigamos los seis pasos mencionados antes:

FIGURA P1a: Esquema del proble-ma (izda.) y el correspondiente dia-grama de fuerzas (dcha.).

(a) Para describir el bloque usaremos el modelo de punto material. Es decir,haremos la abstraccion de que el bloque se comporta, a todos los efectosque nos interesan estudiar, como una partıcula o punto material.

(b) El diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido se ilustran en lafig. P1a dcha.

(c) Sobre la partıcula actuan solo tres fuerzas: su peso, la fuerza ~F1 y la fuer-

za horizontal ~F2. Su expresion vectorial en el sistema de referencia de lafig. P1a dcha. es:

~P = (0,−P )

= (0,−20)N, (P1.1)

~F1 = F1 (−sen 30◦, cos 30◦)

= (−F1

2,

√3F1

2), (P1.2)

~F2 = F2 (1, 0)

= (F2, 0). (P1.3)

Llegados a este punto es importante que quede claro cuales son los datos delproblema: ~P y las direcciones y sentidos de ~F1 y ~F2, representadas respecti-vamente por los vectores unitarios (−sen 30◦, cos 30◦) y (1, 0); y cuales son

las incognitas: los modulos de ~F1 y ~F2, representados respectivamente porF1 y F2.

(d) Puesto que se trata de un unico punto material libre, la ecuacion vectorialde equilibrio (1.41 se escribe como sigue:

~P + ~F1 + ~F2 = ~0. (P1.4)

Como estamos considerando un sistema plano, la ecuacion vectorial (P1.4)es equivalente a dos ecuaciones escalares:

0 − F1

2+ F2 = 0, (P1.5)

−20 +

√3F1

2+ 0 = 0. (P1.6)

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(e) De (P1.6) se obtiene

F1 =40√3

N. (P1.7)

Sustituyendo este resultado en (P1.5) se obtiene

F2 =20√3

N. (P1.8)

(f) Teniendo en cuenta las expresiones (P1.2) y (P1.3), y las soluciones (P1.7)y (P1.8), obtenemos

~F1 = (− 20√3, 20) N, (P1.9)

~F2 = (20√3, 0) N. (P1.10)

Notese que si en el paso (a) hubiesemos elegido un sistema de referencia distinto,la expresion de las soluciones ya no serıa (P1.9) y (P1.10), sino la correspondienteen el sistema de referencia elegido.


Un bloque de 10N de peso esta obligado a permanecer sin rozamiento sobre unplano inclinado 30◦ con respecto a la horizontal. Sobre el bloque actua una fuerzahorizontal ~F . Calcula el valor de ~F para que haya equilibrio y la fuerza de reaccionvincular (la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque) en dicha situacion.

Solucion:

30º

60º

F

P

x

y

30º

F

f


(a) Suponiendo que el bloque se puede describir mediante un punto material,el diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido para resolver elproblema se ilustran en la fig. P2a dcha.

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ICA

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US


(b) La fuerza de reaccion vincular asociada al hecho de que el bloque este obli-gado a permanecer sobre el plano tiene la direccion perpendicular al plano.Por tanto, la expresion vectorial, en el sistema de referencia elegido, de todaslas fuerzas que intervienen en el problema es:

~P = (0,−10)N, (P2.1)

~F = (−F, 0), (P2.2)

~φ = (φ cos 60◦, φ sin 60◦) = (φ

2,

√3φ

2). (P2.3)

(c) La ecuacion vectorial de equilibrio es:

~P + ~F + ~φ = ~0. (P2.4)

Las ecuaciones escalares correspondientes son:

−F +φ

2= 0, (P2.5)

−10 +

√3φ

2= 0. (P2.6)

(d) La solucion del sistema formado por las ecs. (P2.5) y (P2.6) es:

φ =20√3

N, (P2.7)

F =10√3

N. (P2.8)

(e) La solucion al problema es:

~F = (− 10√3, 0)N, (P2.9)

~φ = (10√

3, 10)N. (P2.10)


Halla la posicion de equilibrio y la fuerza de reaccion vincular en esa posicion parauna partıcula de 2 kg de masa obligada a permanecer sobre la curva y = 2x2+3x+4(las longitudes estan expresadas en metros) y sobre la que actua una fuerza ~F =(2, 4) kp.

Solucion:

(a) El diagrama de fuerzas que actuan sobre la partıcula se ilustra en la fig. P3a (dcha).

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P

F

x

y

P

F

x

y

f


(b) Expresemos vectorialmente las fuerzas que no estan en esa forma:

~P = (0,−2) kp, (P3.1)

~φ = λ (y′,−1)

= λ (4x + 3,−1). (P3.2)

(c) La condicion de equilibrio es:

~F + ~P + ~φ = ~0. (P3.3)

Por tanto, las ecuaciones de equilibrio son:

2 + λ (4x + 3) = 0, (P3.4)

4 − 2 − λ = 0. (P3.5)

(d) La solucion del sistema formado por las ecs. (P3.4) y (P3.5) es:

λ = 2 kp, (P3.6)

x = −1 m. (P3.7)

Haciendo uso de la ecuacion de la curva, y = 2x2 + 3x + 4, la coordenaday de la posicion de equilibrio es y = 3 m.

(e) Solucion que, en forma vectorial, se escribe

~φ = (−2,−2) kp, (P3.8)

~r = (−1, 3)m, (P3.9)

que son, respectivamente, la fuerza de reaccion vincular en el equilibrio y laposicion de equilibrio.


Sea una partıcula material de peso P = 4 kp insertada en un alambre en formade semicircunferencia de radio R = 1 m, con rozamiento despreciable. La partıculaesta sujeta a la accion de un muelle de longitud natural nula, fijado este a su vez aun extremo del alambre (como se ilustra en la figura). Si la posicion de equilibriode la partıcula se produce a un angulo α = 53◦, calcula:

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(a) La constante elastica del muelle.

(b) El vector fuerza de reaccion vincular que ejerce el alambre sobre la partıcula.

Datos: sen 53◦ = 45

y cos 53◦ = 35.

PROBLEMA RESUELTO 1.4

O A (1,0)

a=53o

B

y

x

Solucion:

Por tratarse de una partıcula material ligada en equilibrio y en el plano, han decumplirse las ecuaciones siguientes:

∑

Fx +∑

φx = 0, (P4.1)∑

Fy +∑

φy = 0. (P4.2)

En ellas se encuentran las incognitas que nos piden en los apartados (a) y (b): laconstante elastica del muelle, incluida en la fuerza del muelle sobre la partıcula, yla fuerza de reaccion vincular del alambre sobre la partıcula.Para determinar cuales son las fuerzas es necesario dibujar el diagrama de fuerzas.Vease la figura. Elegiremos como ejes coordenados los de la figura (en otros casos,habra que elegirlos entre aquellos en los que los vectores fuerza tienen las compo-nentes mas simples). De este diagrama inferimos los siguientes vectores fuerza:

Fuerzas activas:

~Fmuelle = k ~BA

= k(1 − cos 53◦, sen 53◦), (P4.3)

~P = (0, −4) kp. (P4.4)

Fuerzas de reaccion vincular:

~φ = (−φ cos 53◦, φ sen 53◦). (P4.5)

Para escribir la fuerza del muelle hemos tenido en cuenta la ley de Hooke: ~Fmuelle =k∆l~umuelle = k|lactual − lnatural| ~BA, y que el muelle es de lnatural = 0 m con lo

que |lactual| = | ~BA|. Para escribir la fuerza de reaccion vincular se ha tenido en

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O A (1,0)

a=53o

B (cos 53 , sen 53 )o o−

y

x

f

Fmuelle

←

←

←P

FIGURA P4a: Diagrama de fuerzas.

cuenta que esta es perpendicular al alambre en el punto B de apoyo y que, portanto, tiene direccion radial, segun ~OB o ~BO.Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio, obtenemos:

k(1 − cos 53◦) − φ cos 53◦ = 0, (P4.6)

k sen 53◦ − 4 + φ sen 53◦ = 0. (P4.7)

Son dos ecuaciones con dos incognitas, k y φ, justo las que nos interesan pararesponder a los apartados (a) y (b). Al resolver el sistema obtenemos k = 3 kp/m

y φ = 2 kp. El vector fuerza de reaccion vincular es entonces ~φ = (− 65, 8

5) kp.


En la figura se muestran dos pequenas anillas A y B, de pesos respectivos PA yPB, ensartadas en un alambre liso en forma de L. Ambas anillas estan unidas porun cable ideal tenso (tension T 6= 0) de longitud 9m, que pasa por una pequenapolea de posicion fija. Por ultimo, la anilla B recibe la accion de un muelle idealvertical de longitud natural nula y constante elastica k.

(a) Calcula el numero de grados de libertad del sistema.

(b) Determina el valor del angulo α para la configuracion de equilibrio.

(c) Dibuja la configuracion de equilibrio y halla los valores del angulo β y de laelongacion δ del muelle.

(d) Calcula la fuerza que el alambre ejerce sobre cada anilla y la tension del cable.

Datos: l = 4 m, d1 + d2 = 9m, PA = 3 kp, PB = 1 kp, k = 215

kp/m. Tomesesen 37◦ = 3

5, cos 37◦ = 4

5.

Solucion:

(a) El sistema tiene un solo grado de libertad: la posicion de la partıcula A quedadeterminada por la posicion de la partıcula B.

DPT

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PROBLEMA RESUELTO 1.5

d

l

l l

d2d1

BA

b

a

(b) Por tratarse de un sistema de dos partıculas materiales, A y B, ligadas enequilibrio y en el plano, han de cumplirse las ecuaciones siguientes:

∑

FAx +∑

φAx = 0, (P5.1)∑

FAy +∑

φAy = 0. (P5.2)

∑

FBx +∑

φBx = 0, (P5.3)∑

FBy +∑

φBy = 0. (P5.4)

Para determinar cuales son las fuerzas es necesario dibujar los dos diagramas defuerzas correspondientes a cada una de las dos partıculas. Vease la fig. P5a. Losejes coordenados que simplifican mas las ecuaciones son el horizontal como eje xy el vertical como eje y.

d

l = 4 m l = 4 m

l = 4 md2

d1

B

A

b

afB

← fA

←←TA

←TB

←Fmuelle

←PB

←PA

FIGURA P5a: Resolucion de los apar-tados (a) y (c).

En un cable ideal (i.e., inextensible y de peso despreciable) sin rozamiento con lapolea, la tension tiene la direccion del cable en cada punto y su modulo es el mismoen todos los puntos, de modo que, en este caso, las tensiones que actuan sobrelas partıculas A y B son iguales en modulo TA = TB ≡ T pero no en direccion~TA 6= ~TB, como se ve en la fig. P5a.

Comenzamos por la anilla A. De su diagrama de fuerzas, y sustituyendo directa-mente las componentes de las fuerzas en las ecs. (P5.1) y (P5.2), obtenemos:

T cosα = 0, (P5.5)

−PA + T senα + φA = 0. (P5.6)

Se trata de dos ecuaciones con tres incognitas: α, T y φA. Sin embargo, de laprimera de ellas ya obtenemos el valor de α, pues al ser T 6= 0, por estar tenso elcable, debe ser cosα = 0, de donde α = 90◦.

l = 4 md

d2 = 5 m d1 = 4 m

B A

b

a = 90o

l = 4 ml = 4 m

FIGURA P5b: Resolucion del aparta-do (b).

(c) La configuracion de equilibrio dibujada en la fig. P5b queda determinada porel valor encontrado para α. En la fig. P5b vemos que cosβ = 4

5y senβ = δ

5, obte-

niendo ası dos ecuaciones con las dos incognitas pedidas, β y δ. Resulta entoncesque β = 37◦ y δ = 3 m.

(d) Para hallar la tension T y las reacciones φA y φB disponemos de la ec. (P5.6),mas las dos ecuaciones que se obtienen al sustituir en (P5.3) y (P5.4) las com-ponentes de las fuerzas que se infieren del diagrama de fuerzas de la partıcula B.

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Ademas, hay que tener en cuenta que ya conocemos que α = 90◦, β = 37◦ yδ = 3 m. El valor de δ es necesario para saber el de la fuerza elastica del muellesobre la partıcula, dado por la ley de Hooke: Fmuelle = kδ, pues la longitud naturaldel muelle es nula.

−PA + T sen 90◦ + φA = 0, (P5.7)

T cos 37◦ − φB = 0, (P5.8)

−PB + T sen 37◦ + kδ = 0. (P5.9)

Sustituyendo los valores conocidos PA = 3 kp, PB = 1 kp, k = 215

kp/m y δ = 3 mobtenemos las siguientes 3 ecuaciones con 3 incognitas:

T + φA = 3, (P5.10)

T4

5− φB = 0, (P5.11)

T3

5+

2

5= 1. (P5.12)

De donde obtenemos finalmente que T = 1 kp, φA = 2 kp y φB = 4/5 kp. Siqueremos expresar vectorialmente las fuerzas de reaccion del alambre sobre laspartıculas, de los diagramas de fuerzas de la fig. P5a resulta ~φA = (0, 2) kp, ~φB =(− 4

5, 0) kp.

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Problemas propuestos

1.1. En la figura se observa una partıcula material de pesodespreciable frente al de la carga P1 = 50N que cuelga deella. La partıcula esta obligada a permanecer sin rozamientoen la guıa recta inclinada α = 53◦ respecto a la horizontal,y ademas esta sujeta a la accion de un muelle ideal de lon-gitud natural nula y constante elastica k = 120N/m y deun cable ideal del que pende una carga de peso P2 = 100N.

Calcula entonces:

(a) Los grados de libertad que posee la partıcula materialconsiderando el problema plano.

Y para la situacion de equilibrio:

(b) La elongacion que experimenta el muelle.

(c) La fuerza de reaccion vincular que ejerce la guıa sobrela partıcula.

Nota: Considera sen 53◦ = 45

y cos 53◦ = 35.

P1

P2

a

k

PROBLEMA 1.1

1.2. Un cuerpo puntual de masa m puede deslizar por unavarilla vertical lisa, estando sometido a la accion de dosmuelles ideales de longitud natural nula. Las constantes delos resortes valen k1 y k2, y sus extremos fijos son A(−l1, 0),B(l2, 0) (vease la figura). El cuerpo permanece en equilibrioen la posicion H(0,−h). Determina:

(a) La masa del cuerpo y la fuerza de reaccion vincular,en funcion de los parametros del enunciado.

(b) La relacion entre las constantes k1 y k2 para que lafuerza de reaccion vincular se anule.

(c) Supongamos que el cuerpo es sustituido por otro conel doble de masa. Entonces, para que el punto H continue

siendo la posicion de equilibrio, ¿las constantes deberıantener doble valor?, ¿la fuerza de reaccion serıa doble? Ra-zona las respuestas brevemente.

H 0, h( )-

k1k2

y

B l ,0( )2A l ,0( )- 1

O x

PROBLEMA 1.2

1.3. Una anilla de peso P = 1 N puede deslizar sin ro-zamiento por un cable recto que pasa por O y forma unangulo α con la vertical. La anilla esta unida a un punto fi-jo Q por un muelle cuya constante elastica es k = 1 N/m yque tiene longitud natural despreciable. En la configuracionde equilibrio, determina:

(a) La distancia r (indicada en la figura) en funcion de α.

(b) La fuerza de reaccion vincular en funcion de α.

(c) Los valores de α para los cuales el modulo de la fuerzade reaccion vincular es maxima y mınima, respectivamen-te.

r

1m

Q

O

aS

y

x

PROBLEMA 1.3

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Problemas propuestos 33

1.4. Un dispositivo mecanico para desplazar cargas peli-grosas puede modelarse como un sistema de dos partıcu-las materiales, A y B, de peso despreciable. Las partıcu-las A y B estan obligadas a permanecer sin rozamientoen las guıas horizontales OQ y RS, respectivamente. En-tre la partıcula A y el punto fijo R existe un muelle idealde longitud natural nula y constante elastica k = 10 N/m.De la partıcula A cuelga el peso a desplazar, de moduloP = 100 N. Entre la partıcula A y la partıcula B existeun cable en tension de peso despreciable y que en todomomento forma un angulo de 53◦ con la horizontal.

(a) Calcula el numero de grados de libertad del sistemaformado por las partıculas A y B.

Si sobre B se aplica una fuerza horizontal F = 30 N, taly como se ilustra en la figura, calcula, en la situacion deequilibrio,

(b) Las coordenadas de las partıculas A y B en el sistemade referencia de la figura.

(c) Las fuerzas de reaccion que ejercen la guıas OQ y RSsobre las partıculas A y B, respectivamente.

Datos adicionales: OR = 5m. Considera cos 53◦ = 35,

sen 53◦ = 45.

O

y

x

B

53o

Q

P

A

S

R (0,5) m F¬

PROBLEMA 1.4

1.5. Considera el sistema de dos puntos materiales A y Bde la figura. El peso de A es 10N y el peso de B es 12N.El punto A esta obligado a permanecer sin rozamiento so-bre una guıa que forma 53◦ con la horizontal y el punto Besta obligado a permanecer sin rozamiento sobre una guıaque forma 37◦ con la horizontal, tal y como se ilustra en lafigura. A y B estan unidos por un muelle ideal de longitudnatural nula y constante elastica k = 5 N/m. Determina:

(a) El numero de grados de libertad del sistema.

En la situacion de equilibrio, calcula:

(b) Las fuerzas de reaccion vincular ~φA y ~φB que las guıasejercen sobre los puntos A y B, respectivamente.

(c) Las distancias lA y lB.

(d) La fuerza ~FA que el muelle ejerce sobre el punto A.

Datos adicionales: Considera cos 37◦ = sen53◦ =4

5,

sen 37◦ = cos 53◦ =3

5.

x37o

B

53o

l A

lB

A

O

y

PROBLEMA 1.5

1.6. Dos cuerpos A y B que pesan 800N y 200N respecti-vamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies per-pendiculares mediante un cable que los une y que formaun angulo θ con la horizontal, segun se indica en la figura.Determina las reacciones de las superficies sobre los cuer-pos, la tension del cable y el angulo θ. Suponer ausencia derozamiento en todas las superficies.

30º 60º

qPA= 800N

PB= 200N

PROBLEMA 1.6

1.7. Una anilla de 10N de peso y que consideraremos pun-tual, puede moverse sin rozamiento sobre el eje verticalx = 0. De la anilla tira un muelle de longitud natural nulay constante elastica k = 2N/m, cuyo otro extremo esta fijoen el punto de coordenadas (−5,−5)m, tal como se indica

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en la figura. Tambien tira de la anilla un cable inextensi-ble que pasa por el punto (5, 5)m mediante una polea sinrozamiento, de radio despreciable y de cuyo otro extremocuelga un peso de modulo Q.

(a) Calcula el peso Q que cuelga de la polea y el vectorfuerza de reaccion vincular que el eje vertical ejerce sobrela anilla si esta se encuentra en equilibrio en la posicion(0,0).

(b) Calcula las coordenadas de la posicion de equilibrio yel vector fuerza de reaccion vincular del eje sobre la anillasi se suprime el cable del que cuelga el peso Q.

(0, )y

(5,5) m

( 5, 5) m- -

Q

(0,0) x

y

PROBLEMA 1.7

1.8. En la figura se muestran dos poleas de radio desprecia-ble y sin rozamiento: de la primera de ellas, que denotare-mos como P , cuelga un cuerpo A de peso WA = 200

√3 kp;

P puede moverse a lo largo del cable ideal que la sostie-ne por debajo. Dicho cable rodea la garganta de la po-lea Q, y de su extremo vertical pende un cuerpo B de pesoWB = 200 kp. El conjunto se encuentra en equilibrio.

Calcula:

(a) La tension del cable a un lado y otro de la polea P .

(b) El valor de los angulos α y β que el cable forma conla horizontal a un lado y otro de P .

(c) La longitud total del cable que hay entre O y Q, pa-sando por P y los valores de x e y correspondientes a lapolea P (vease la figura).

(d) El numero de grados de libertad de la polea P . Elnumero de grados de libertad de la polea P si el punto Qde la cuerda estuviese fijado a una pared.

40 m

4 3 m

y

x

O

P

Q

A

B

α β

PROBLEMA 1.8

1.9. Dos masas puntuales, m1 y m2, pueden moverse alo largo de las rectas AB y BC, respectivamente, comomuestra la figura. Estan unidas mediante un resorte de lon-gitud natural nula, que tira de cada una de las partıculascon una fuerza proporcional a su longitud, con constantede proporcionalidad k = 2 kp/m.

Sabiendo que m1 = 15 kg y que la masa m2 esta en equi-librio en la posicion P2(−2, 7)m, calcula:

(a) La posicion de equilibrio de m1 y la fuerza de reaccionvincular que sufre en dicha posicion.

(b) El valor de la masa m2 para que pueda permanecer enequilibrio en la posicion indicada, y la fuerza de reaccionvincular a la que se encuentra sometida.

Nota: las coordenadas en la figura estan expresadas en me-tros.

A (4,0)

B (0,8)

P x y1 ( , )

P2 ( 2,7)−

C

m1

m2

O

x

y

PROBLEMA 1.9

1.10. Una partıcula de 11N de peso puede moverse sin ro-zamiento a lo largo de la curva plana descrita por la ecua-cion y = −x2−1, y es atraıda por el origen de coordenadascon una fuerza proporcional al vector posicion del punto,~F = −k~r, siendo k = 2N/m. Determina las posiciones deequilibrio y la fuerza de reaccion vincular en cada una dedichas posiciones de equilibrio.

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Problemas propuestos 35

1.11. En la figura se muestra el andamio utilizado para pin-tar un paramento vertical. Consta de un cable de acerosobre la que se apoyan dos poleas, A y B, unidas medianteuna barra rıgida de peso despreciable. De las poleas cuel-gan sendas cuerdas, al final de las cuales se encuentra eltablero sobre el que trabajan los pintores. Para mantener elandamio en la posicion mostrada, la polea B esta unida aun cable horizontal del que se tira con una fuerza ~F . Lascargas dispuestas sobre el tablero producen en la cuerdade la izquierda una tension de 150N, mientras que en lacuerda de la derecha la tension es de 250N.

La forma que adopta el cable de acero puede aproximarse

mediante una curva parabolica de ecuacion y =x2

10− x

4.

Si se modelan las poleas mediante puntos materiales, de-termina:

(a) Las fuerzas ejercidas sobre la polea A por el cable deacero y por la barra que une ambas poleas.

(b) La fuerza ejercida sobre la polea B por el cable de

acero y la fuerza ~F necesaria para mantener el andamioen su posicion.

4 m

3 m

x

y

A

B F®

PROBLEMA 1.11

1.12. Un objeto de peso P = 1100N, que consideraremospuntual, se apoya sin rozamiento sobre una curva, de ecua-cion y = − 1

3x2−1. El objeto permanece en equilibrio en el

punto A, de coordenadas A(−3,−4)m, sujeto por un uni-co cable ideal en tension que pasa sin rozamiento por unaargolla fijada a una pared vertical situada en el origen decoordenadas O, y que esta amarrado al techo en el puntoB. Calcula:

(a) El numero de grados de libertad del objeto.

(b) La tension del cable, y la fuerza de reaccion vincularque ejerce la curva de apoyo sobre el objeto.

(c) Considerando la argolla como puntual, la fuerza queejerce sobre ella la pared a la que esta unida.

A( 3, 4) m- -

B

O(0,0) m

30o

x

y

PROBLEMA 1.12

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Cuestiones

1.1. Teniendo en cuenta las leyes de Newton, ¿cual de lassiguientes afirmaciones es verdadera?

(a) Un punto material sobre el que no actuan fuerzas per-manece en reposo respecto a cualquier sistema de referen-cia inercial.

(b) En un sistema de referencia inercial, la variacion delmomento lineal (o cantidad de movimiento) de un puntomaterial respecto del tiempo es igual a la fuerza resultanteaplicada sobre dicho punto material.

(c) Las dos fuerzas a las cuales se refiere la tercera ley deNewton siempre actuan sobre el mismo punto material.

(d) Un punto material sobre el que actua un sistema defuerzas estara necesariamente acelerado en todo sistemade referencia inercial.

1.2. En el espacio tridimensional considera un sistema for-mado por tres puntos materiales P1, P2 y P3 tal que P1 yP2 estan unidos mediante un muelle, y la distancia entre P2

y P3 permanece constante. El numero de grados de libertadde ese sistema es

(a) G = 8.

(b) G = 5.

(c) G = 4.

(d) G = 6.

1.3. En el plano, un punto material esta obligado a per-manecer sin rozamiento sobre la curva de ecuacion y =−x2 + 7. Al aplicar el principio de liberacion, la fuerza dereaccion vincular que sustituye al vınculo

(a) tiene una direccion constante independiente del puntode la curva sobre el que se encuentre el punto material.

(b) es proporcional al vector (2, 1) si el punto materialesta en el punto de coordenada x = 1.

(c) tiene direccion tangente a la curva en el punto dondese encuentre el punto material.

(d) Ninguna de las otras respuestas es correcta.

1.4. En un sistema de N puntos materiales ligados, en elespacio,

(a) el numero de coordenadas libres o independientes quedeterminan su configuracion es igual al numero de gradosde libertad menos el numero de ecuaciones de ligadura.

(b) la configuracion del sistema viene dada por el valorde 3N coordenadas libres o independientes.

(c) el numero de grados de libertad es igual al que tendrıael sistema si todos los puntos fueran libres menos el nume-ro de ecuaciones de ligadura.

(d) si todos los puntos materiales estan en equilibrio, elnumero de grados de libertad es cero.

1.5. El numero de grados de libertad de un sistema de pun-tos materiales

(a) depende de las posiciones que ocupen los puntos enel espacio.

(b) es cero si todos los puntos estan en reposo.

(c) es cero si todos los puntos estan en reposo y, ademas,la fuerza total que actua sobre cada uno de ellos es cero.

(d) Ninguna de las otras respuestas es cierta.

1.6. Sea una partıcula material ligada a una superficie lisa.Entonces la partıcula esta en equilibrio

(a) unicamente si la suma de las fuerzas activas queactuan sobre ella es nula.

(b) si la suma de las componentes tangenciales a la super-ficie de las fuerzas activas que actuan sobre ella es nula.

(c) si la suma de las componentes normales a la superficiede las fuerzas activas que actuan sobre ella es nula.

(d) si la fuerza de reaccion vincular que actua sobre ellaes no nula y tangente a la superficie.

1.7. Se cuelga un peso ~P de una arandela insertada en uncable rıgido, no necesariamente sin rozamiento, e inclina-do 45◦ respecto a la horizontal. Si la arandela permaneceası en equilibrio, ¿que puede afirmarse acerca de la fuerzade reaccion vincular del cable sobre la arandela?

(a) Es perpendicular al cable.

(b) Es paralela al cable.

(c) Es vertical.

(d) Tiene dos componentes no nulas, una horizontal y otravertical.

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