MatemticaSegundo Grado

Docentes : Ana Espinoza, Elena Valderrama, Rita Merino, Sarita Llatas BIMESTRE : III UNIDAD : V

CAPACIDADES:Identifica los procesos de los mtodos para dividir polinomios.Divide polinomios mediante el mtodo clsico, Ruffini, Horner y el Teorema del resto.Aplica estrategias para resolver problemas cotidianos sobre divisin de polinomios.I. ACTIVIDAD INICIALEl siguiente terreno perteneciente a la municipalidad tiene un rea de 20x3- 2x2 - 16x + 6 metros cuadrados , se desea cercar dicho terreno sabiendo nicamente que su ancho mide 4x 2 metros . Cuntos metros sern necesarios?

4x-2

II. DESARROLLO DEL CONTENIDOCASO 1 : Cuando el divisor es un monomio Si el dividendo es tambin monomio, se dividen los coeficientes y la parte literal aplicando las leyes de signos y de exponentes para la divisin. Ejemplo : = = Si el dividendo es un polinomio, se aplica la propiedad distributiva y se divide cada trmino del polinomio entre el monomio.Ejemplo:

= (( = CASO 2: Cuando el divisor el un polinomio En este caso se pueden aplicar los mtodos clsico, de Horner o de Ruffini.

a) Mtodo Clsico

Se aplica para la divisin de polinomios de cualquier grado. En el siguiente ejemplo se observa el procedimiento que se debe seguir.

Calcular : 1. Se ordenan ambos polinomios en forma decreciente segn una misma variable. Si el polinomio es incompleto, se completan con los trminos que faltan 2. Se divide el primer trmino del dividendo (6x4) entre el primer trmino del divisor (2x2).3. Se multiplica el cociente obtenido (3x2) por todos los trminos del divisor, se resta este producto al dividendo y se obtiene el residuo.4. Se baja el cuarto trmino del dividendo y se repite todo el proceso hasta encontrar un residuo cuyo grado absoluto sea menor que el grado del divisor.D(x) = d(x) =

6x4 + 4x3 -17x2 + 0x - 8- 6x4 + 0x3 + 9x2 4x3 8x2 + 0x -4x3 + 0x2 +6x -8x2 + 6x - 8 8x2 + 0x - 12 6x - 202x2 + 0x - 3

3x2 + 2x - 4

Finalmente :C(x) = 3x2 + 2x 4r (x) = 6x - 20

b) Mtodo de Horner Se aplica para la divisin de dos polinomios de cualquier grado y de una sola variable. Ejemplo 1 :Dividir : ( entre ( ) Para dividir por el mtodo de Horner los polinomios (dividendo y divisor) deben estar ordenados en forma decreciente, con respecto al exponente de la variable. Ordenado se obtiene:entre Enseguida colocamos los coeficiente del dividendo y el divisor en un esquema compuesto por dos lneas horizontales y dos lneas verticales :

3 6 -10 7 9 -2

-1

2

3 6 -10 7 9 -2

-1

2

-2 4

4

-8

-5 10

2 -4 5 -4 8

Cociente : Q(x) : 2x2 4x + 5 Residuo : r (x) : -4x + 8Ejemplo 2 : Dividir entre

Resolucin :Como en el divisor falta el trmino que contiene a x, se completa con cero:

4 20 -14 18 7 -3 12

2

0

-3

10 0

-2

-15

0 3

8 0 -12

5 -1 40 0 0

Cociente : Q(x) : 5x2 x + 4 Residuo : r (x) : 0

c) Mtodo de RuffiniEste mtodo es un caso particular de Horner y se emplea en la divisin de un polinomio P(x) entre divisores de las formas Ejemplo 1 : Dividir entre Para dividir por el mtodo de Ruffini se disponen los coeficientes del dividendo y el valor de x que anula al divisor :

2 8 -6 7 -41 16 20 54

8 10 27 13

Cociente : Q(x) : 8x2 +10x + 27 Residuo : r (x) : 13

Teorema del Resto o de Descartes

Permite calcular el resto, sin necesidad de efectuar la operacin de la divisin. Se emplea por lo general para divisiones de polinomios de cualquier grado entre divisores de la forma , o cualquier otra expresin transformable a esta. Ejemplo 1 : Calcular el residuo de dividir : entre Resolucin :1 Igualamos el divisor a cero : 2x -1 = 0 2 Este valor de x = lo reemplazamos en el dividendo :Dividendo : Residuo: =

Ejemplo 2:Calcular el residuo de dividir: entre Resolucin :Igualamos el divisor a cero : x + 1 = 0 x = -1Este valor de x = -1, lo reemplazamos en el dividendo:Dividendo : Residuo : 1 2 + 1 = 0

Divisibilidad :Se dice que un polinomio es divisible por otro cuando al dividirse resulta como cociente una expresin algebraica entera y como residuo , cero.

NIVEL I 1. Calcula el cociente de las siguientes divisiones 2. Las siguientes divisiones son exactas. Halla el polinomio cociente de cada divisina) b) c) d) (12e) 3. Mediante el mtodo de Ruffini, halla el cociente y el resto de las divisiones siguientes :a) b) (c) (d) (4. Halla el cociente y residuo de cada divisin, aplicando el mtodo de Horner :a) (b) (c) (d) (5. Halla el residuo de las divisiones siguientes, empleando el teorema del resto :a) b) c) d) e) (

NIVEL II1. Dividir y dar como respuesta la suma del cociente y el Residuo2. Cunto vale k si la divisin ; es exacta3. Determinar los coeficientes de a y b para que el polinomio sea divisible por 4. Efectuar el divisin :; sealando el cociente5. Hallar el resto en 6. Dada la divisin , qu proposicin ser verdadera?I. El resto no es 22II. El mximo grado del resto es 6III. El cociente es de grado mayor que 7

A) I B) IIC) III D) II y IIIE) Ninguna es verdadera7. Calcular el resto de dividir 8. Calcula los valores de a y b en las siguientes divisiones : y

1 3 8 -1 -3a 2b

-1 1

y

9. A partir del siguiente esquema de divisin, determina lo indicado, sabiendo adems que b= -3

m a b c x y

np 7

-7

7 -2 710 1

a. La suma de coeficientes del dividendob. La expresin algebraica del divisor