divisibilidad taller

TOPICOS DE MATEMATICA

DIVISIBILIDAD INTRODUCCIN La suma, diferencia y producto de dos nmeros enteros resulta siempre enteros. Es lo que suele llamarse a veces Conjunto cerrado de nmeros enteros, refirindose a las operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin. Se llama mltiplo de de un nmero nmero al por

____________

dicho

____________ nmero natural.

Cules son los mltiplos de 8? 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 1 = 8 2 = = = =

DIVISIN Si un nmero A se puede dividir exactamente entre otro B se dice que: A es divisible por B. Ejemplo: Entre qu nmeros se puede dividir 24 24 0 2 12 24 24 0 3 8 24 24 0 4 6 24 24 0 6 4

exactamente

24 aparte del 1? NOTA: Una caracterstica de la matemtica es su lenguaje simblico, lo cual permite resumir considerablemente lo que textualmente sera un poco difcil de entender.

24 24 0

8 3

24 24 0

12 3

24 24 0

24 1 Textualmente se tiene A es mltiplo de B Notacin Simblica A= B

24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 Entre que nmeros es divisible 16? 16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____ porque: 16 0 Estas cantidades se pueden expresar como: 1m x 10 1m x 100 1m x 1000 1m x 1m x = = = = = 10 m 100 m 1000 m m m 16 16 16

OBSERVACIN: OBSERVACIN Los trminos divisible y mltiplo estn siempre asociados.

64

8

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD POR 2 Divisibilidad por 2 = (2 1) Calcula el residuo de las siguientes divisiones: 47 2 = _______ resto ________ 11

I.

Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima

TOPICOS DE MATEMATICA24 320 2 = _______ resto ________ 2 = _______ resto ________ 231 25 es divisible por 4? No, porque 25 no es mltiplo de 4 25 = 4 con resto _____ 23125 = 4 con resto _____ 23125 = 4 + _____

=

Un nmero es divisible por 2 si termina en _____________ o en nmero

_________ Ejm: 46 es divisible por 2 46 es mltiplo de 2 46 =

Divisibilidad por 8 =

(2 3 )

3

2

Es divisible por 8 cuando sus _________ ltimas cifras son ____________ o mltiplo de _______________8 b 5 b 2 4 a 3 a 18

87 no es divisible por 2 porque resta _______________ 87 se puede dividir entre 2 con resto _______________ 87 87 = es

es divisible por 8? 8 = __________,

mltiplo

de

2

con

resto

Si, porque 128 residuo _________

_______________

2 + resto

36894 211 es divisible por 8? ______, porque 211 8 = _______

59 _______ divisible por 2 porque resta ___________ 59 =

resto ________

2

+

36894211 = 8 + _______

63

________ divisible por 2 porque

II.

DIVISIBILIDAD POR 5n Divisibilidad por 5 = (5 1) En qu cifra debe terminar un nmero para que sea divisible por 5?1

resta ____________ 63 =

2 +


(2 2 )

2

Veamos: 120 5 241 5 482 5 633 5 684 5 905 5

resto ____________ resto ____________ resto ____________ resto ____________ resto ____________ resto ____________

Un nmero es divisible por 4 si sus _____ ltimas o ________ mltiplo son de

___________ ___________. Ejm:b 4 a c 48

es divisible por 4?

Si, porque: 84 es mltiplo de 4

Para que un nmero sea divisible por 5 su ltima _________ debe ser _________ o _____________

abc 484 = 4


2

TOPICOS DE MATEMATICA120 = 5 241 = 5 + 1 633 = 5 + 684 = 5 + 482 = 5 + 905 = 5 +

48651 es divisible por 3 48651 = 3 352164 es divisible por 3? 3+5+2+1+6+4= ______ mltiplo de 3 352164 __________ divisible por 3.


( 5 2)

2

368851 es divisible por 3? No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31 31 3 = ______ resto _____ 31 = 3 + 368851 = 3 +

Un nmero es divisible por 25 cuando sus _______________ Ejem:ac 0 b 0

cifras

son

________ o mltiplos de ___________.

=

es divisible por 25 porque sus 2 Un nmero es divisible por 9 si la __________ de sus ________ es ________ de 9. Ejm: 4329918 es divisible por 9? Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36 36 9 = 4

ltimas cifras son ___________ 48575 es divisible por 25? ________ porque 75 ________ mltiplo de 25.

Cul es el resto en: 48 abc28 = 25 + resto? Rpta.: _____________

4329918 = 9

Cundo un nmero ser divisible por 125 = 53? Rpta.: _____________

72652 es divisible por 9? No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22 22 9 = ______ resto ______ 22 = 9 + 72652 = 9 +

=

III. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 Un nmero es divisible por 3 si la ______ de sus ________ es ___________ de 3. Ejm: 48651 es divisible por 3? Solucin: 4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24 24 es mltiplo de 3 IV. DIVISIBILIDAD POR 11 84436 es divisible por 11? Cmo saberlo? PASO 1.Empezando por la cifra de la derecha (6) se suman de manera intercalada las cifras. 3


TOPICOS DE MATEMATICA1. 8 4 4 3 6 6+4+8 Completar en adecuadamente los espacios en blanco

Si un nmero termina en cero o cifra par entonces ser siempre divisible por _____ Si un nmero termina en cero o cifra 5 entonces ser siempre divisible por _____

PASO 2.A este resultado se le resta la suma de las cifras que quedaron.

2.

Relacione ambas columnas: I. 4125 81423 ( ( ( )

2

8 4 4 3 6 = (6 + 4 + 8) (4 + 3) = 18 7 = 11 =

II.

) 3 ) 5

III. 26132 3.

11

Colocar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda: El nmero ( ) es divisible por 11 ( )a 2 b 5

84436 es divisible por 11 Si el resultado fuera cero tambin ser divisible por 11. 51030507 es divisible por 11?

a 4 b 6

es divisible por 4

El nmero a b ba El nmero ( )

es divisible por 25

5 1 0 3 0

5

0 7

4.

Hallar a, si:

(7 + 5 + 3 + 1) (0 + 0 + 0 + 5) 16 5 = 11 =

483 a = 25 + 8a) 4 d) 1 5. Hallar a, si: b) 3 e) 0 c) 2

11

51030507 es divisible por 11

a36482 a = 9 + 2Cul es el valor de a? Si: 548429 = +a a) 0 d) 3 6. 5 4 8 4 2 9 b) 1 e) 4 c) 2

11

Hallar el valor de a si:

7 a6 = 3a) 0 d) 4 7. =

y

4bca = 5b) 2 e) 5 c) 3

(9 + 4 + 4) (2 + 8 + 5) 17 15 = 2 2 11 = ____ resto 548429 = a=

Hallar el valor de a si:

11

+

b3a = 11a) 7 d) 8 8. Si:

y 4b = 5 b) 5 e) 0 c) 9

Ejercicios de Aplicacin

b43b = 547 b 3

Calcular el residuo de dividir: 9.

entre


4

TOPICOS DE MATEMATICAa) 1 d) 4 9. Si: 864 a = 11 Calcular el residuo de dividir: 4. a) 0 d) 3 10. b) 1 e) 4da 8 b

b) 2 e) 5

c) 3

Pero el mayor es 6. 6 es el mximo comn divisor de 12 y 18. MCD (12, 18) = 6 entre MNIMO COMN MLTIPLO (MCM) Es el menor mltiplo que tienen en comn dos o ms nmeros. Ejm: Hallar el MCM de 12 y 18. Mltiplos 12 : 18 : 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 18 , 36 , 54 , 72 ,

c) 2

Cuntos mltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; ; 300? a) 30 d) 37 b) 33 e) 38 c) 34

11.

Cuntos mltiplos de 7 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; ; 564? a) 60 d) 90 b) 70 e) 100 c) 80

12.

Cuntos mltiplos de 9 hay en: 21; 22; 23; ; 287? a) 29 d) 31 b) 28 e) 32 c) 30

Mltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, Pero el menor es 36: 36 es el mnimo comn mltiplo de 12 y 18. MCM (12, 18) = 36

13.

Cuntos mltiplos de 11 hay en: 4; 5; 6; 7; ; 787? a) 70 d) 73 b) 71 e) 74 c) 72

MTODOS DE CLCULO DEL MCD Y MCM I. Por descomposicin cannica Hallar el MCD y MCM de 40 y 60.

MXIMO COMN DIVISOR (MCD) Y MNIMO COMN MLTIPLO (MCM) MXIMO COMN DIVISOR (MCD) Es el mayor divisor que tienen en comn dos o ms nmeros. Ejm: Hallar el MCD de 12 y 18 Divisores 12 : 18 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18

Paso 1:

Descomposicin cannica

40 20 10 5 1

2 2 2 5 =2 x53

60 30 15 5 1

2 2 3 5 =2 x3x52

40 = 2 60 = 2

3

x x

5 3 x 5

2

divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6

Paso 2:

Comparacin:


5

TOPICOS DE MATEMATICAPara el MCDColoco a los menores o iguales2

2 5

3

> =

2

2 5

2

60 30 15 5

- 84 - 42 - 21 - 7

2 2 3

5

Qu pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo no se coloca

MCD (40, 60) = 2 x 5 = 202

Como 5 y 7 son PESI entonces: La descomposicin simultnea para el MCD llega a su fin. MCD (60 y 84) = 2 x 3 = 122

Paso 3: Para el MCMColoco a los mayores o iguales2

Para el MCM Se sigue dividiendo, no importa si solo uno tiene divisores diferentes del otro.

2 5

3

> =

2

2 5 3

3

60 - 84 30 - 42 15 - 21 5 1 1 1. 7 7 1

2 2 3 5 7 1 2

5

Qu pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo se coloca

MCD (40, 60) = 2 x 5 x 3 = 1203

Pero 5 tiene divisor 5 pero 7 no? No importa se sigue dividiendo. Pero 7 tiene divisor 7 pero 1 no? No importa se sigue dividiendo.

AHORA T: Halla el MCD y MCM de 54 y 30. Halla el MCD y MCM de 36 y 48.

2.

La descomposicin simultnea para el MCM llega a su fin cuando se obtienen puros unos.

II. Por descomposicin simultnea Hallar el MCD y MCM de 60 y 84 a) b)

AHORA T: Hallar el MCD y MCM de: 45 y 35 240 y 180

Paso 1:

Se descompone a todos a la vez. 60 - 84 30 - 42 15 - 21 2 2

CONCLUSIONES Para el MCD: La descomposicin simultnea acaba cuando se obtienen nmeros PESI. Para el MCM: La descomposicin simultnea llega a su fin cuando se obtienen puros unos. Adems:

Paso 2:

Analizo: 15 y 21 no tienen divisor 2

Pruebo con divisor 3, luego 5, luego 7 y as sucesivamente


6

TOPICOS DE MATEMATICAPara 2 nmeros: MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B 5. a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Ejm:

MCD(40, 60) = 20 MCM(40, 60) = 120

A = 40 B = 60

Hallar el MCD de A y B: A = 4 x 9 x 15 B = 2 x 6 x 14 a) 12 d) 6 b) 10 e) 184b

MCM(40 , 60) x MCM(40, 60) = 40 x 60 20 2400 120 = 40 x 60 = 2400 6.

c) 4

Si MCD( 5a, a) 4 d) 7

) = 14. Hallar (a + b) b) 5 e) 8 c) 6

Ejm: Si el MCM de dos nmeros es 2 x 3 x 5 x 7 y el producto de estos nmeros es 2 x 3 x 5 x 7. Hallar su MCD.4 2 2

7.

Si MCD ( 7 a, (2a) a ) = 6. Hallar a a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4

Ejercicios de Aplicacin1. Hallar el MCD de: i) 72 y 86 ii) 135 y 90 iii) 54 y 144 2. Hallar el MCD de A y B si: A = 2 x 3 x 7 x 113 4 6 2 3 10 10

8. Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360, 480 y 600 litros, desea venderlos en recipientes pequeos de modo que no sobre ni falte vino en ninguno de los barriles. Cul es la mxima capacidad de los recipientes? a) 60 d) 120 9. b) 80 e) 140 c) 100

Calcular el MCM de: i) 360 y 150 ii) 82 y 7 iii) 27 y 54

B = 2 x 3 x 5 x 13 a) 2 x 32 2 3

10.2 4

Hallar el MCM de A y B si: A=2 B=23 3

b) 2 x 3 e) 2 x 34

c) 2 x 3

3

3

d) 2 x 3

3

x 5 x 7

4

6

2

x 5 x 114 6

3. Hallar el valor de n si el MCD de A y B tiene 15 divisores. A=2 x3 B=2 a) 1 d) 4n1 n 4 2 2

a) 2 x 5 x 7 x 11 11 b) 2 x 5 c) 2 x 11 x 73 6 2

d) 5 x 7 x 2 x e) 5 x 11 x 74 6

4

6

2

x3 x5

b) 2 e) 5

c) 3

11. Hallar el valor de n si el MCM de A y B, tiene 60 divisores. A = 2 B = 2 a) 0 d) 3n+1

4. Hallar el valor de n si el MCD de A y B tiene 24 divisores. A=3 x5 B=32n n 2n+1

x3 x75

4

2n

x3

x7n+2

x2x5

b) 1 e) 4

c) 2


7

TOPICOS DE MATEMATICA12. Hallar el valor de n si el MCM de A y B tiene 48 divisores (n es un nmero primo) A = n x 2 x 11 B = n x 11 x 2 a) 1 d) 5 13. Si MCM ( 9a, a) 4 d) 94bn 3 2

O sea que: 16 = 121(3) Otro ejemplo: representar el nmero 17 en base 5

2

b) 2 e) 7

c) 3

) = 90. Hallar (a + b) b) 6 e) 10 c) 8 De las cifras: Las cifras cumplen las siguientes condiciones Pertenecen a Z (cifras Z) Son menores que la base (cifras < n) La cifra mxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1) Toman valores enteros menores que la base. 22 Si la base n; se pueden utilizar en las cifras 0, 1, 2, 3, 4, ............., (n 1) mxima

14.

Si MCM ( 9 a, a) 8 d) 5

2a

) = 196 b) 7 e) 4 c) 6

15. El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9. Hallar el valor de A. a) 45 d) 40 b) 30 e) 48 c) 35

cifra

SISTEMA DE NUMERACINConcepto Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales Principios: Del Orden Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda. De la Base Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las rdenes de un numeral en cierto sistema de numeracin. Ejemplo 342 n base Nos indica que se agrupar de n en n en dicho sistema La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2 n 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........} Entonces la base mnima: n= 2 Veamos en forma grafica: representa el nmero 16 en base 3 -

cifra significativa cifra no significativa Principales sistemas de numeracin Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sistema de Numeracin Binario o Dual Temario Cuartenario Quinario Senario Sexanario Heptanario Octanario Nonario Decimal o Decuplo Undecimal Duodecimal 0,1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 y 0, 1, 2, ........... 5 0, ..........., 6 0, ..........., 7 0, ...........; 8 0, ..........., 9 0, ..........., 9, (10) 0, ..........., 9(10), (11) Cifras

Representacin Literal de Numerales: Numeral de 3 cifras de

base n :

abc (n )


8

TOPICOS DE MATEMATICAbase n :

abcd (n )

Numeral de 4 cifras de

Ejemplo: Convertir 542(7) a base 10 Resolucin

ab : numeral de 2 cifras: (10, 11, 12, ................ 98, 99) abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999) aaa : numeral de 3 cifras iguales: (111, 222, 333, ..........., 999) -

23

542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2 = 245 + 28 + 2 = 275 O sea que: 542(7) = 275

18 ab : numeral de 3C. M. Practico: Sube y Baja Convertir 215(6) en base 10

cifras que empiezan en 18. (1800, 1811, 1812, .......) a( a +1)( a +2) Numer al de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....)

25

CAMBIOS DE BASE EN Z: Caso N 1: De base n a base 10 existen tres mtodos: Ruffini Descomposicin polinmica Practico: sube y baja A. M Ruffini: Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10 Resolucin O sea que: 215(6)= 83 O sea que: 215(6) = 83 Ejemplo Convertir 127(8) a base 10. Caso N 2: De la base 10 a base n El nico mtodo es el de divisiones sucesivas Ejemplo: Convertir 1234 a base 5 O sea que: 127(8) = 87 B. Descomposicin Polinmica Ejemplo: Convertir 324(6) a base 10 Ejemplo: Convertir 431 a base 4 Resolucin 324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4 = 108 + 12 + 4 = 124 O sea que: 324(6) = 124 Resolucin O sea que: 215(6)= 83

Convertir 542(7) en base 10

24

26


9

TOPICOS DE MATEMATICAEjemplo: Convertir 500 a base 9

Ejemplo N 01: Hallar a Siendo: abc Caso N 03: De base n a base m Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeracin undecimal Resolucin A. 10 a>2 a pqr Si: abc < pqr

n < m n > m

Resolucin Analicemos

28 Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima

10

TOPICOS DE MATEMATICA3. Convertir el desarrollo a base 3. 2 . 34 + 1 . 33 + 10 Resolucin 3. Hallar el valor de a + b + c 318(9) Rpta. si: A) C) 1 107 908 B) D) 706 24

abc ( 7 ) =

O sea:

4. Determinar el valor de n Si:

nn 2 ( 8)

= 218

29

304. Convertir el desarrollo a base 8 5 . 85 + 17 Resolucin Analicemos 5 . 85 + 17

Rpta.

5. Hallar a + b, si se cumple

7a 3 (b ) = 586(9)Rpta.

2 . 8 +1Luego tenemos:

6. Hallar a + b si se cumple:

ab 6( 8) = 3232(4)Rpta.

5. Convertir el desarrollo a base 11 10 . 113 + 9 . 112 + 10 . 11 + 3 Resolucin Analicemos:

7. Si los numerales estn correctamente escritos: 210(a); 21 b ( 5 ) ; 1aa Hallar a . b Rpta.(b )

8. Si los numerales estn correctamente escritas 705(m); Pero sabemos que: 10. Luego: 9 3(11)Ejercicios:

8m0 (n ) ; 2n7

Hallar: m + n Rpta.

1. Convertir a base 10, cada caso: A) C)5)

9. Hallar m/n; si los siguientes numerales estn 100 correctamente escritos 211(n); n 2 p ( m ) ; m 23 ( 5) Rpta.Suma de Nmeros Enteros

341(

B) 001(2)8)

203( D)

107(

4)

2. Convertir a base 3, cada caso:


11

TOPICOS DE MATEMATICAConcepto.- Es la operacin binaria que, dados 2 enteros a y b llamados sumandos, hace 2. Indicar el inverso aditivo de 5: a) +5 d) 1/5 i) S = 15 + 3 S = 18 S = 22 + 45 + 18 S = 85 b) 5 e) -1/5 c) -5 corresponder un tercer entero S llamado suma.

Completa los casilleros vacos y dar como respuesta la mayor de las cifras. 3. 3 Qu fcil! Ahora sumemos nmeros negativos. 4 7 1 5 2 9 3 6 8 5 2 3 9 7 2 +

ii)

Rpta.

iii)

S = (-15) + (-13)

4. 3 3 6 1 5 3

7 5 7 3 2

8

9

+

PROCEDIMIENTO Se procede de la misma manera que se suman los nmeros positivos con la nica diferencia que el signo del resultado de la suma ser (-). S = - (15 + 13) = -28

Rpta.

S = (-13) + (-8) S = -(13 + 8) = -21 v) S = (-15) + (-6) + (-9) S = -(15 + 6 + 9) = -30

5. 3 7 2 2

9 3 1

9 6 8 3

3

+

Rpta. Ahora Practica T 1) S = 15 + 6 + 12 = 2) S = (-8) + (-9) + (-13) = 3) S = 42 + 48 + 80 = 4) S = (-34) + (-12) + (-10) + (-8) = 5) S = (-15) + (-16) + (-12) = 6) S = -6 7 13 29 = 9 6. 8 2 6 9 3 7 5 3 3 6 3 1 5 2 1 9 Rpta. Completa los casilleros vacos y dar como respuesta la suma de dichos casilleros. 7. 5 7 3 + 12 +

1.

Indicar el elemento neutro de la suma. a) +1 d) a b) -1 e) 0 c) a

EJERCICIOS DE APLICACIN


TOPICOS DE MATEMATICA4 9 5 3 2 3 3 3 6 Rpta. 8. 9 3 5 8 5 3 6 Rpta. 9 3 4 9 9 + a) 20 d) 31 b) 21 e) N.A. c) 30

14. La suma de 2 nmeros enteros negativos es -28. Hallar el mayor sumando que cumple est condicin. a) -27 d) -15 b) -1 e) -16 c) -14

15. Se tienen 51 nmeros enteros consecutivos. Si el menor es 20. Hallar el nmero mayor. a) 71 d) 70 b) 52 e) 69 c) 72

9. 5 2 3 7

3 2 9 8 6

4

2

1

+ Simplificar:

7 2 Rpta.

16. M = +12 + 39 + 42 + 83 = 17. N = 981 + 1293 + 1939 = 18. O = -491 490 992 =

10. 3 2 1 6 7 7 5

5 6 3 8 2

9 5 1 9

4

+

19. Q = -582 583 592 = 20. R = -672 693 963 =

Resta de Nmeros Enteros Rpta.

11.

Carla tiene $20, Sonia tiene $50 ms que Carla Cunto

y Gloria $5 ms de lo que tiene Sonia. dinero tienen entre las 3 juntas? a) $ 75 d) 105 b) 85 e) 115

M S =

D

M = S + D

c) 95

Minuendo

Diferencia

Sustraendo

12. Jess tena 20 aos cuando naci su hija Betty. Actualmente Betty tiene 20 aos. Cunto suman las edades actuales de Jess y Betty? a) 40 d) 60 b) 50 e) N.A. 2) 5 3 7 2 9 7 13 c) 30 1) 4 3 8 2 5 8 -

13. La suma de 3 nmeros enteros consecutivos es 90. Hallar el nmero intermedio.


TOPICOS DE MATEMATICAii) S = +12 + (9 - 6) + (6 - 8) = +12 + (+3) + (-2) = +12 + 3 2 = 13

Qu fcil! Ahora prctica t!

2. Todo signo de coleccin parecido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego los nmeros contenidos en su interior con su signo cambiado.

Completa los casilleros vacos en los siguientes ejercicios. 1) 5 4 5 9 2 3 8 3 2) 4 2 3 9 2 1 6 ii) S = -(-95 + 33 + 96 - 32) = 95 33 96 + 32 3) 9 2 3 7 7 7 3 2 2 4) 7 6 5 3 9 9 2 = +127 129 = -2 3 i) S = -(15 16 32 - 19) S = -15 + 16 + 32 + 19 S = +67 - 15 = + 52

EJERCICIOS DE APLICACIN5) 4 2 1 5 6 9 3 7 8 8 6) 9 5 3 2 5 7 6 Completar los casilleros vacos: 1) 1 2 7) 7 5 2 4 3 9 3 1 4 3 8) 6 6 3 2 3 1 3) 1 5 8 4 9 6 3 2 3 5 4) 7 6 5 3 9 9 2 4 7 1 3 2 6 8 2) 4 2 3 9 2 1 6 3 -

REGLA DE SIGNOS:5) 4 8 3 5 2 1 1 9 9 6) 7 1 9 9 2 2 5 1 -

1. Todo signo de coleccin (parntesis ( ); corchetes [ ]; llaves { }; precedido por un signo +; puede ser suprimido, escribiendo los nmeros contenidos en su interior cada uno con su propio signo). i) S = = = = + 5 + (15 + 10) + (15 - 9) + 5 + (+25) + (+6) +5 + 25 + 6 +36

Completar los casilleros vacos y dar como respuesta la cifra mayor. 7) 4 4 5 -


14

TOPICOS DE MATEMATICA3 1 a) 1 d) 4 1 2 1 8 2 9 b) 2 e) 5 c) 3 b) Disminuye 320 c) Aumenta 140 d) Disminuye 140 e) No aumenta ni disminuye 14) Si al minuendo de una sustraccin le sumamos 8) 1 5 3 5 8 a) 5 d) 8 7 6 4 3 b) 6 e) 9 c) 7 53 y al sustraendo le restamos 17. En cunto vara la diferencia? a) Aumenta 70 b) Disminuye 70 c) Aumenta 36 d) Disminuye 36 e) N.A. 15) La suma de 11 nmeros enteros consecutivos es 99. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor. a) 8 a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 c) 7 d) 11 b) 9 e) 12 c) 10

9)

9 5 4 3

3 6

7

2 5

-

3

16) M = -(15 16 9 + 8) = 10) 5 3 9 2 3 3 a) 5 d) 8 3 3 b) 6 e) 9 c) 7 1 2 17) N = -(13 + 19 -6) + (9 7 - 5) = 18) P = -(30 + 26 - 93) (15 - 16) = 19) Q = -(8 9 7 13) + (15 - 9) = 20) R = -(7 + 6 - 9) (3 3 - 6) = Operaciones Combinadas de Adicin y Sustraccin c) 72

11) Si los 3 trminos de una sustraccin suman 144. Hallar el minuendo. a) 24 d) 48 b) 36 e) 60

i)

Efectuar: (+9) + (+5) (-6) + (-4) (+7) + (-6) PROCEDIMIENTOS Elimina los parntesis: + 9 + 5 + 6 4 7 6. (siguiendo regla de signos) Agrupa los enteros positivos: +20 Agrupa los enteros negativos: -4 7 6 = -17 Rene ambos resultados: +20 -17 = +3 Y aplica lo ya establecido. +9 + 5 + 6 =

12) Si los 3 trminos de una sustraccin suman 360. Hallar la suma del sustraendo ms la diferencia. a) 90 d) 360 b) 270 e) 135 c) 180

13) Si al minuendo de una sustraccin le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos 90. cunto vara la diferencia? a) Aumenta 320 ii) Reducir: (-5) + (-3) (-7) (+4) + (-9) 15 En


TOPICOS DE MATEMATICA Elimina los parntesis: Positivos: Negativos: Rene ambos resultados: 2. Calcular el valor de las siguientes operaciones combinadas: a) -5 [-17 + (15 -6)] + (-15 - 8) {-1 + (8 - 9) + (7 - 10)} b) -13 {-4 + [9 + (-5 6 + 12) + (-2)] - 5} Qu fcil Verdad! c) -15 + {-3 [8 4 + (6 - 1)] + 12 [6 (5 11)]} d) -14 {-9 [15 (16 + 31)] [-12 + (-8 - 7)]} e) {4 15 [7 (3 2 - 6) - 8] [-3 (7

SIGNO DE COLECCINSe usan para realizar agrupaciones. Estos son: Parntesis : Corchetes : Llaves : ( ) [] {} 3.

5)]} Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operacin sea correcta. Dar la suma de las cifras halladas. 7 9 3 3 a) 12 2 5 9 2 + 6 8 c) 10

i)

Efectuar: E = -8 + {-2 + 5 [-7 (3 + 6 - 2)] - 9} PROCEDIMIENTOS

b) 11 e) 8

Suprimir los signos de coleccin, empezando por los ms internos. Para suprimir parntesis (o corchetes o llaves). Efectuamos las operaciones indicadas al interior, transformndolas en un solo nmero. Luego aplica lo establecido anteriormente. E = -8 + {-2 + 5 [-7 (+7)] - 9} E = -8 + {-2 + 5 [-7 - 7] - 9} E = -8 + {-2 + 5 [-14] - 9} E = -8 + {-2 + 5 + 14 - 9} E = -8 + {+8} = 0 5. 4.

d) 9

Calcular el valor de las cifras que debemos escribir en los recuadros para que la operacin sea correcta. Dar la cifra mayor. 5 8 4 1 a) 6 d) 5 3 2 8 b) 7 e) 8 2 7 9 6 5 c) 9 +

En la siguiente operacin Cul es la menor de las cifras a colocarse en los casilleros para que la diferencia sea la correcta?

ii) Reducir: F = [-3 5 + 9] (-2 4 (-2 + 5 - 3) - 7) 9 F=[ F=[ F= 1. Efectuar las siguientes operaciones: a) -38 + (16 - 30) = b) -125 (27 (-26)) + (-37 + 12) = c) 8 13 + (16 - 25) (52 19 + 17) = d) -16 + (-7) (38 - 17) (-15 - 19) = e) 26 (9 18 - 6) (-12) (16 - 9) 12 = 6. ] (-2 4 ( ] -( )9 ) - 7) 9

7 2 9 a) 6 d) 2

2 5 3 9

-

b) 0 e) 3

c) 1

La diferencia de 2 nmeros es 28, si al minuendo y sustraendo le quitamos. Cul es la nueva diferencia? 16


TOPICOS DE MATEMATICA12. Un a) 53 d) 3 7. b) 28 e) 13 c) 25 automovilista se desplaza por la Panamericana sur a una velocidad de 80 km/h, luego aumenta su velocidad en 30 km/h, posteriormente Jorge compra un T.V. en S/. 700 y lo quiere vender ganando S/. 150. vender el T.V.? a) S/. 550 d) 700 8. b) 850 e) 750 c) 150 En cunto debe vuelve a aumentar su velocidad en 20 km/h; luego disminuye su velocidad en 40 km/h. A qu velocidad se desplaza el automovilista? a) 80 km/h d) 90 km/h b) 110 km/h e) 100 km/h c) 130 km/h

Liliana se pone a dieta, el primer mes bajo 900 gr.; el segundo mes bajo 200 gr. menos que el mes anterior, el tercer mes subi 250 gr. y el cuarto mes subi 300 gr. ms que el mes anterior. Cuntos gramos baj Liliana al

13. Un elevador estaba en el piso 18, baja 16 pisos, subi 11 pisos y luego bajo 5 pisos. En qu piso se encuentra ahora? a) 5 d) 2 b) 6 e) 8 c) 12

finalizar el cuarto mes? a) 1100 gr. d) 1150 gr. 9. b) 1400 gr. e) 800 gr. c) 1050 gr.

14. Un submarino norteamericano, se encuentra en el Golfo Prsico a 350 m bajo el nivel del mar, debido a fallas, tiene que descender 77 m. Ms tarde decide subir 118 m. A qu profundidad se encuentra el submarino? a) 422 m b) 309 m e) 359 m c) 232 m

En un juego un apostador gana S/ 35 luego pierde S/. 22, despus pierde S/. 8 y por ltimo gana S/. 21. Cunto gan o perdi? a) S/. 13 d) 26 b) 43 e) 16 1. c) 5

d) 159 m

Multiplicacin de Nmeros Enteros

Multiplica: a) (-8) x (-7) x (6) = b) (-5) x (-2) x (-3) x (2) = c) (4) x (9) x (-6) x (-1) = d) (3) x (8) x (4) x (-1) = e) (7) x (-3) x (5) x (2) =

10. Tulio apertura una cuenta de ahorro en el banco con S/. 500, deposita S/. 150, luego retira S/. 100; posteriormente retira S/. 250 por el cajero automtico; finalmente hace un retiro en caja del banco por un monto de S/. 170. Cunto le queda en el banco? 2. a) S/. 230 d) 30 11. b) 130 e) 250 c) 380

Escribe en el cuadrado el nmero que hace verdadera la igualdad y la propiedad utilizada. a) (-8) x (+12) = x (-8)

Un buque factora ha pescado una gran cantidad de atn y se dispone a congelarlo. En su cmara frigorfica la temperatura Si al Cunto desciende a 4C cada 7 minutos. principio la cmara est a 12C. tiempo tardar en alcanzar -16C? a) 21 d) 42 b) 28 e) 49 c) 35 b) (-24) x = -24

c) [(-5) x (-4)] x (-6) = (-5) x [ x (-6)]


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TOPICOS DE MATEMATICA3. La diferencia de un nmero y el triple de -4 es -8. Cul es el nmero? a) -20 d) 4 4. b) 12 e) -4 c) -12

La suma de 2 nmeros es -12 y su producto es +35. Hallar el mayor. a) -7 d) 5 b) 7 e) N.A. c) -5

5.

El triple de un nmero aumentado en 8 es igual a -10. Cul es el nmero? a) 6 d) -12 b) -18 e) -6 c) 18

6.

El domingo nev en la ciudad de Puno, se form una capa de 78 cm. de nieve y si la capa de nieve disminuye en promedio 5 cm. Cada da. Cul ser el espesor de la capa de nieve 6 das despus? a) 48 cm. d) 58 b) 38 e) 68 c) 108


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TOPICOS DE MATEMATICA


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divisibilidad taller

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